1.1 矢量分析
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精品课件-电磁场与电磁波-第1章
第1章 矢量分析基础
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为
第1章 - 1 矢量坐标系梯度
12
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .1 正交坐标系
任意矢量A：
A A
Au21 Au22 Au23
任意矢量B：
（1-22） （1-23） （1-24）
（1-25） （1-26）
13
第一章 矢 量 分 析
e e e u1
u2
u3
A B Au1 Au2 Au3
B B B u1
u2
u3
（1-27）
d , d, dz
拉梅系数：
r
h1 1, h2 , h3 1 （1-58）
位置矢量为： r = e + ez z
线元微分元为： dr = d (e + ez z)
e d de ezdz zdez e d e de ezdz
（1-59） （1-60）
26
第一章 矢 量 分 析
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .3 圆柱坐标系
ez
e
e
(u1，u2，u3 ) (,, z)
（1-48）
ez P(ρ0 ,φ0 , z0 )
e e
0 0 2
z
e e ez
e ez e
（1-49）
图 1 -6 柱坐标系
ez e e
21
第一章 矢 量 分 析
ez ez
ex e cos e sin ， ey e sin e cos ， ez ez
（1-51-2）
22
第一章 矢 量 分 析
园柱坐标系中矢量：
A e A e A ez Az
直角坐标系中：
A ex Ax ey Ay ez Az
坐标变换矩阵为：
Ax cos
第一章 矢量分析(电磁场与电磁波)
例:已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求: (1) 该矢量场的旋度; (2) 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分, 如图所 示, 验证斯托克斯定理.
y B r=3
O
A x
四分之一圆盘
第 7,8 学时 , 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度 标量的方向导数和梯度 一个标量场u可以用一个标量函数来表示.在直角坐标 系中, 可将u表示为 u=u(x, y, z) 令 u(x, y, z)=C, C为任意常数.该式在几何上一般表示 一个曲面,在这个曲面上的各点,虽然坐标(x, y, z)不同, 但函数值相等,称此曲面为标量场u的等值面 等值面. 随着C 等值面 的取值不同,得到一系列不同的等值面,如下图所示. 同理,对于由二维函数v=v(x, y)所给定的平面标量场, 可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值线.
S → P
∫ lim
l
A dl
S
称固定矢量R为矢量A 的旋度 旋度,记作 旋度 rotA=R 上式为旋度矢量在n方 向的投影,如图所示, 即
rotA 旋旋旋
n
P l
S → P
∫ lim
l
A dl
S
= rotn A
旋度及其投影
矢量场的旋度 旋度仍为矢量 矢量.在直角坐标系中,旋度的表达式为 旋度 矢量
C C=A× B an aA A (a)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋
O
aB B
B A
θ
(b)
矢量积又称为叉积 叉积(Cross Product),如果两个不为零的 叉积 矢量的叉积等于零,则这两个矢量必然相互平行,或者 说,两个相互平行矢量的叉积一定等于零.矢量的叉积 不服从交换律,但服从分配律,即 A×B= -B×A × × A×(B+C)=A×B+A×C × × ×
矢量1
B
ds
S
研究了矢量在闭合面的性质，面上某个点处矢量的 性质如何研究呢？
§1.3.1
A S AnS
自然现象中的通量 A
S
n
AS cos
25
散度定义：单位体积的净流散通量 Divergence——div
divA
lim
A
ds
“求模”： A A A
“判断正交”： A B 0
标量积的结
果是个标量！
8
§1.1
矢量运算 标量积
标量积的应用：证明“三角形余弦定理”
C
B
A
C A2 B2 2AB cos
思路：C边的长度就是矢量 C 的“模”
C AB
C C C C (A B)(A B) 9
B
Bcos
A
z
Z
P(X, Y, Z) r az
ax O
X
Y ay y
x
• 直角坐标系中的单位矢量有下列关系：
ax
a
y
a
x
a
z
ay
a
z
0
ax ax ay ay az az 1
• 直角坐标系中两矢量点积的计算公式：
A Axax Ayay Azaz ,
直角系中
ax
x
ay
y
az
z
直角系中u
ax
u x
ay
矢量分析
二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
电磁场与电磁波-第1章
z o x
v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A × B = ( Ax ax + Ay a y + Az az ) × ( Bx ax + By a y + Bz az )
y
ˆ ˆ ˆ = ( Ay Bz − Az By )ax + ( Az Bx − Ax Bz )a y + ( Ax By − Ay Bx )az
第1章 矢量分析
主要内容 矢量代数、常用坐标系、 梯度、散度、旋度、亥姆量
标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量的数学符号用黑斜体字母表示，如A、B、E，或斜体字母上 矢量的数学符号用黑斜体字母表示， 黑斜体字母表示
两矢量的叉积又可表示为： 两矢量的叉积又可表示为：
ˆ ax v v A × B = Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
2、矢量运算法则
（3）乘法: 乘法: 乘法 ③ 三重积 三个矢量相乘有以下几种形式： 三个矢量相乘有以下几种形式：
v v v ( A ⋅ B)C
矢量，标量与矢量相乘。 矢量，标量与矢量相乘。
v v v v v v v v b.满足结合律 满足结合律： b.满足结合律： ( A + B ) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
矢量加法是几个矢量合成问题，反之， 矢量加法是几个矢量合成问题，反之，一个矢量也可分解为几个矢量
2、矢量运算法则
第一章矢量分析
r u ( x, y , z , t ) 、 F ( x , y , z , t )
r u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 即若标量函数为 u u( x, y, z) ，则等值面方程为：
第一章 矢量分析
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
空间中存在任意曲面S，则定义：
v v S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面 S 的通量。
矢量场的通量
第一章 矢量分析
若S 为闭合曲面
s
v v v Ñ A ( r ) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 说明：1) 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
s
第一章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
若 0 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发 出矢量线的正源； 若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源； 若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无 源，或正源负源代数和为0。 局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性，不能显示源的特 性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量 可以表示源的特性。
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2
一、标量与矢量
标量: 仅由数量确定的物理量。
特点Hale Waihona Puke 只有大小而没有方向的量. Scalar
温度，高度，长度，质量
矢量: 用数值与方向表示的物理量。
特点：不但有大小而且有方向特征的量. Vector
力，位移，动量，电场强度
矢量描述
r
a 数学表示： a，或
图示：有向线段，
电磁场与电磁波
3
标量场与矢量场
y
dV dxdydz
x
电磁场与电磁波
11
柱坐标系
——Cylindrical Coordinates
M (r,, z) 或者
v R
evr
r
evz
z
M (,, z)
z
z平面
单位矢量为
rr r (er , e , ez )
r,, z
rr
r
r柱面
r
A Arer Ae Azez
ev
rd
ev r
sin
d
er
R(r, ,)
z dr
r drSr dSr dS
evr (r sin d)(rd
evev((rrdsin)
d)
dr
dr
)
d
e
d
电磁场与电磁波
x
dl
R1 (r1,1,1 ) e
电磁场与电磁波
10
直角坐标系中微分长度、面积、体积
微分长度（长度元）
微分面积（面积元）
dSx exdydz
dSy
eydzdx
dSz ezdxdy
dl
dS
ex
dx
eydy
z ez
ez
dy
dz
dl
dz
ex
dx ey
R
微分体积（体积元）
v
A(,,
z)
ev
A
ev
A
evz
Az
v A
ev
A
A
ev
ev
A
A
ev
evz
A z
A z
evz
ev
(
A
A
)
ev
(
A
A
)
evz
A z
电磁场与电磁波
29
球坐标系
evr r
Az y
A z
ex
Ax z
ey
Ay z
ez
Az z
电磁场与电磁波
26
矢量函数
v
A(,,
z)
ev
A
ev
A
evz
Az
ev evx cos evy sin
ev
evx sin evy cos
ev
ev evx sin evy cos
eeerrrzererrrercsoins
er cos
r e
sin
电磁场与电磁波
z
o
er z err r e er
22
三种坐标系坐标单位矢量之间的转换关系
r ex
r ey
er z
eeerrz
cos sin sin cos
0
0
0 0 1
z
M (x, y, z)
v R
erx
x
ery
y
erz
z
z M (x, y, z)
单位矢量为
(ex , ey , ez )
R
y
y
r ex
r ey
r ez
r ey
r ez
r ex
右手螺旋
x
r ez
r ex
r ey
x
A ex Ax ey Ay ez Az
电磁场与电磁波
6
二 坐标系
直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系
——Cartesian Coordinates ——Cylindrical Coordinates ——Spherical Coordinates
电磁场与电磁波
7
Cartesian Coordinates
M (x, y, z)
Cylindrical Coordinates
ez
dz
z
r • d
ez
dl
微分面积（面积元） dS
dSr
er (r d)dz
dS dS z
edrdz ez (r d
)dr
dz
e
dr
er
x
d
y
电磁场与电磁波
14
微分体积（体积元）
z
r • d
ez
dl
dV dr (rd) dz
电磁场与电磁波
17
球坐标系
r sind
er
R(r, ,)
z dr
d
r d
dl
R1 (r1,1,1 ) e
y
e
d x
电磁场与电磁波
z rsin
r d r d
rsin
y
d
r sin d x
18
微分面积
dS
v dl
evr dr
坐标系： 柱坐标系：
(
,
,
z;
r e
,
r e
,
r ez
)
球坐标系：
(
r,
,
;
er
,
e
,
e
)
微分长度、面积、体积
dl dS dV
电磁场与电磁波
31
电磁场与电磁波
5
一、矢量运算
4、矢量的叉积（叉乘）
r A
r B
r en
AB
sin
AB
ern ：为与矢量A，B成右手螺旋关系的单位矢量
5、矢量的三重积
矢量的标量三重积
r rr A • (B C)
为以A、B、C为边的六面体的体积
r r r rr r rr r 矢量的矢量三重积 A (B C) B( A • C) C( A • B)
x
y
电磁场与电磁波
12
柱面坐标系
z
z平面
顶视图
O
r,, z
er y
r柱面
er y
x
x, y, z
y
er x x
er r
注意：er
,
e
随坐标点位置变动而动
电磁场与电磁波
er , e , ez
右螺旋
13
柱面坐标系中微分长度、面积、体积
d微l分长er度dr（长e度(r元 d）)
电磁场与电磁波
矢量分析
静电场
恒定电场
边值问题
恒定磁场
时变电磁场
平面电磁波的传播
电磁波的反射与折射
波导
电磁波的辐射
电磁场与电磁波
1
第 1 章 矢量分析
主要内容：
标量场和矢量场 坐标系 标量的梯度 矢量的通量、散度、高斯定理 矢量的环量（流）、旋度、斯托克斯定理 亥姆霍兹定理
“三度” “三定理”
电磁场与电磁波
场 如果空间中一个区域内的每一点都有一物理 量的确定值与之对应，则在这个区域构成该物 理量的场。
1. 占有一个空间，客观存在 2. 可以用数学模型来描述 3. 除个别点和表面，物理状态连续
标量场：如温度场 Tr (x, y, z) 矢量场：如静电场 E(x, y, z)
静态场：物理状态与时间无关 动态场：随时间变化而变化——时变场
eerryz ererzsin er cos
r e
r ex
cos
r ey
sin
y er er y er
er x
err errx sin ery cos
ez ez
电磁场与电磁波
o
x 21
三种坐标系坐标单位矢量之间的转换关系
eerer柱rr坐标eerrer系scio与ns球 坐er标erzz c系soins
y
19
dV dr (rd ) (r sin d)
R(r, ,) d
er
z
dr
dl
R1 (r1 ,1 ,1 ) e
x
电磁场与电磁波
e
d
y
20
三种坐标系的坐标单位矢量之间的转换关系
直角坐标系与柱坐标系
r ex
r e
cos
r e
sin
dz
e
dr
er
x
d
y
电磁场与电磁波
15
球坐标系
——Spherical Coordinates