§3.2 边缘分布
合集下载
3.2边缘分布
f ( x, y ) = 1 2π σ 1σ 2 − 1 ( x − µ1 ) 2 exp 2 2 2 1− ρ 2(1 − ρ ) σ 1
( y − µ2 )2 − 2ρ + , 2 σ 1σ 2 σ 2 −∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞,
• 其中µ1,µ2,σ1,σ2,ρ都是常数,且σ1>0,σ2>0, |ρ|<1.称(X,Y)为 服从参数µ1,µ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布, 记为 (X,Y)~N(µ1,µ2,σ12,σ22,ρ). 试求二维正态随机变量的边缘 概率密度.
x →+∞
= F ( ∞， y )
三、离散型随机变量的边缘分布律
对于二维离散型随机变量( X , Y )，已知其联合分布律为
Pij = P { X = xi ， Y = y j }
( i，j = 1， 2， ⋯)
现求随机变量 X 的边缘分布律为：
P{ X = xi } = ∑ pij ,
j =1
∞
+∞ −∞
f ( x, y ) d x
(2.4)
例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度 6, x 2 ≤ y ≤ x, f ( x, y ) = 0, 其它. 求边缘概率密度f X ( x), fY ( y ).
y y=x y=x2 o 1
解:
f X ( x) = ∫
∞
y
−∞
f ( x, y ) d y
则分量 X 的边缘分布函数为 FX ( x ) = P { X ≤ x} = P { X ≤ x， Y < ∞}
= lim F ( x， y ) = F ( x， ∞ )
( y − µ2 )2 − 2ρ + , 2 σ 1σ 2 σ 2 −∞ < x < ∞, − ∞ < y < ∞,
• 其中µ1,µ2,σ1,σ2,ρ都是常数,且σ1>0,σ2>0, |ρ|<1.称(X,Y)为 服从参数µ1,µ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布, 记为 (X,Y)~N(µ1,µ2,σ12,σ22,ρ). 试求二维正态随机变量的边缘 概率密度.
x →+∞
= F ( ∞， y )
三、离散型随机变量的边缘分布律
对于二维离散型随机变量( X , Y )，已知其联合分布律为
Pij = P { X = xi ， Y = y j }
( i，j = 1， 2， ⋯)
现求随机变量 X 的边缘分布律为：
P{ X = xi } = ∑ pij ,
j =1
∞
+∞ −∞
f ( x, y ) d x
(2.4)
例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度 6, x 2 ≤ y ≤ x, f ( x, y ) = 0, 其它. 求边缘概率密度f X ( x), fY ( y ).
y y=x y=x2 o 1
解:
f X ( x) = ∫
∞
y
−∞
f ( x, y ) d y
则分量 X 的边缘分布函数为 FX ( x ) = P { X ≤ x} = P { X ≤ x， Y < ∞}
= lim F ( x， y ) = F ( x， ∞ )
概率论-第三章-3.2 边缘分布
缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
§3-2 边缘分布
求 ( X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度 fX ( x )，fY ( y )。
令 ( X ,Y ) 的联合密度函数为 1 f ( x, y) e 2π 1 f X ( x) e 2π
x2 2 x2 y2 2
(1 sin x sin y ),
显然, ( X ,Y ) 不服从正态分布, 但是 , 1 fY ( y ) e 2π
三．什么是边缘概率密度？
边缘概率密度与联合概率密度存在什么关系？
例题4
设 随 机 变 量 和 Y具 有 X 联合概率密度 6, x 2 y x f ( x, y) 0, 其 它 求边缘概率密度 f X ( x ), fY ( y ).
f X ( x)
f ( x, y )dy
§3-2
边缘分布
一．什么是边缘分布函数？
边缘分布与联合分布存在什么关系？ 二．什么是边缘分布律？ 边缘分布律与联合分布存在什么关系？ 三．什么是边缘概率密度？ 边缘概率密度与联合分布存在什么关系？
一、什么是边缘分布？ 边缘分布与联合分布存在什么关系？ 边缘分布函数的定义
设 F ( x, y ) 是二维随机变量 (X，Y ) 的
P{ X xi } pij
j 1
pi
p j
（2）(X，Y )关于 Y 的边缘分布律
P{Y y j } pij
i 1
二．什么是边缘分布律？ 边缘分布律与联合分布律存在什么关系？
注记
二维离散型随机向量(X，Y )的联合分布律 pij = P{ X = xi , Y = yj } ( i, j = 1, 2, … )可以决定 它关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 pi . = P{ X = xi } ( i = 1, 2, …) p. j =P{Y = yj } ( j = 1, 2, …) 即 联合分布律决定边缘分布律 反之，不一定。
3.2 边缘分布
已知二维随机变量的分布F(x,y) 如何求两个一维随机变量的分布FX(x)与 FY(y)
定义3.2.1
(边缘分布 )
设二维随机变量 （X,Y)的分布函数为F(x,y) ，
FX ( x ) P{ X x} P{ X x, Y }
F ( x ,)
FY ( y ) P{Y y} P{ X , Y y}
X
y1
p11 p21
p31
y2
p12 p22
p32
y3
p13 p23
p33
P{X=xi}=pi·
p11+ p12+p13 p21+ p22&+p33
关于Y的边缘分布
P{Y y j } P{ X , Y y j }
Y
i 1
P{ X x i , Y y j }
FX ( x ) P{ X x} F ( x ,) FY ( y ) P{Y y} F ( , y )
f X ( x)
f ( x , y )dy
fY ( y ) f ( x , y )dx
例题讲解
例1：设（X, Y）的联合密度为
0 x 2, 0 y 1; k ( x 2 y ), f ( x, y) 其他 0, 求 (1)k值;
f ( x , y )dy
y
0 x 1; o 其他
y x
x x dy 2 x , 0,
G
y x
x
y
fY ( y )
y x
f ( x , y )dx
1
定义3.2.1
(边缘分布 )
设二维随机变量 （X,Y)的分布函数为F(x,y) ，
FX ( x ) P{ X x} P{ X x, Y }
F ( x ,)
FY ( y ) P{Y y} P{ X , Y y}
X
y1
p11 p21
p31
y2
p12 p22
p32
y3
p13 p23
p33
P{X=xi}=pi·
p11+ p12+p13 p21+ p22&+p33
关于Y的边缘分布
P{Y y j } P{ X , Y y j }
Y
i 1
P{ X x i , Y y j }
FX ( x ) P{ X x} F ( x ,) FY ( y ) P{Y y} F ( , y )
f X ( x)
f ( x , y )dy
fY ( y ) f ( x , y )dx
例题讲解
例1：设（X, Y）的联合密度为
0 x 2, 0 y 1; k ( x 2 y ), f ( x, y) 其他 0, 求 (1)k值;
f ( x , y )dy
y
0 x 1; o 其他
y x
x x dy 2 x , 0,
G
y x
x
y
fY ( y )
y x
f ( x , y )dx
1
概率论与数理统计3.2 边缘分布与独立性
p·
j
p2 j . . . pij . . . p· j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个， 抽取两次，定义随机变量X、Y如下
1, 第一次抽取的产品是正品 X 0, 第一次抽取的产品是次品
1, 第二次抽取的产品是正品 Y 0, 第二次抽取的产品是次品
2 R2 x2 , R x R 2 R 0y R 2 fY ( y ) R 0, 其它
1 2 f (0, 0) , f X (0) fY (0) 2 R R
因此， X与Y不独立。
随机变量的独立性
如果二维随机变量(X,Y)满足, 对任意x,y, 有
P( X x, Y y ) P ( X x ) P (Y y ) 即 F ( x, y ) FX ( x) FY ( y )
则称X与Y相互独立 .
连续型 离散型
f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
1y 1 2dx ,0 y0 1,x 1 2 dx , 0 y fY ( y ) f ( x, y )dx 其它 0, 其它 0, 2( y2 y1), 0 1y 1 2 , 0 y , 0, 其它 其它 0,
对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取； (2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。
(1) 有放回抽取
Y XY 0 X 0 4 0 1
(2) 无放回抽取
pi· 2/5 3/5 1
X X Y
01
1
Y 0 0 X
01 1
1pi·
46 6 25 25 25 25 69 9 1 6 25 25 25 25
3.2边缘分布与独立性
y
解:
(2) fY
y=x
(
1
y) y 24
24 y(2 5 y(3 2y
x)dx y2
),
0 y 1
52
2
0
1
x
注意取值范围
即
f
X
(
x)
12 5
x2
(2
x),
0 x 1
0,
其它
fY ( y)
24 5
y( 3 2
2y
y2 2
),
0 y 1
0,
其它
例3：设二维r.v.（X，Y）的二维联合概率密度函数为：
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
可推广到多维的情况.
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于：
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P(X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y y j )
则称X和Y相互独立.
例1中的X与Y是否独立？
若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的 定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f (x, y)
2
1
2
1
x
exp -
1
2(1 -
2
)
2 2
xy
y2
(-
x,
y
)
求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度.
3.2 边缘分布
§3.2 边缘分布
二维随机变量 ( X , Y )作为一个整体，它具 有联合分布函数 F ( x, y)，而和都是一维随机变 量，它们也有自身的概率分布，分别称为( X , Y ) 关于X和Y的边缘分布（Marginal Distribution），其相应的分布函数 FX ( x), FY ( y) 依次称为二维随机变量是关于和关于的边缘 分布函数（Marginal Distribution Function）．易知 3－15） FX ( x) P{X x} P{X x} P{Y } P{X x, Y } F x , （ FY ( y) P{Y y} P{Y y } P{X } P{X , Y y} F (, y) （3－16）
j i 1 ij j
离散型随机变量的边缘分布可从联合分布列 的表格形式直接得到，见下表：
二、连续型随机变量的边缘概率 密度函数
设 ( X , Y ) 是二维连续型随机变量，其联 f ( x, y) 合概率密度函数为 . x 由 FX ( x) F ( x, ) [ f x, y dy]dx知 f X ( x) f ( x, y)dy （3—19） 同理 f Y ( y) f ( x, y)dx （3—20）
P{ X xi , Y } pi j , i 1, 2, ,
j 1
i 1, 2, , （3—17） 即 P{X xi } pi j pi ， j 1 同理 ( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布列为 P{Y y } p p j 1, 2, , （3—18）
下面分别讨论二维离散型随机变量和二维连 续型随机变量的边缘分布：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F ( x, y) dv 8uvdu
y
v
y
0
0
1 0
v=u
4
当 x 1, y 1 时，
1
u
F ( x, y ) 1
24
0,
y4 , F (x,y) =
x<0或y<0
0 x <1, 0 y < x ， 0 x <1, y 1，
2x2y2–y4, 0 x <1, x y <1， 2x2–x4 ,
x i x j 1
p ,
ij
y j y i 1
p .
ij
4
联合分布律 及边缘分布律
Y y1 X x1 xi
pi1
p• j
p•1
yj
pi•
p1 j
p11
p1•
pij
pi
•
p•
j
1
5
例1 一口袋中装有四个球，上面依次标有数 字1,2,2,3。从袋中任取一球后不放回的再取一 球，假设每次取球时袋中各球被取到的可能 性相同，以X和Y表示第一次和第二次取出的 球上标有的数字，求X, Y的边缘分布律。 解 ( X , Y ) 可能取值为 (1,2), (1,3), (2,1), (2,2),
§2 边缘分布 对于二维随机变量 ( X , Y ) ，随机事件X x 即是指X x, Y 。 称这种由 ( X , Y ) 的联合 分布函数确定出的一维随机变量 X 的分布函数 为( X , Y ) 关于 X 的边缘分布。 又称边际分布。若 ( X , Y ) 的联合分布函数为
2
于是 p X ( x)
1 2πσ1σ 2
1
( x μ1 ) 2
2 2 σ1
ρ
2
e
e
x μ1 1 y μ2 ρ 2 (1 ρ ) σ 2 σ1
2
dy,
1 y μ2 x μ1 , 令 t ρ 2 σ1 1 ρ σ2
D
0 dy 0 kxydx
y k k 0 y dy 2 8
1 2
1
y
D 1 0
y=x
k 8
x
20
(2)
P( X Y 1)
1 y
yy 11 0.5 00 xx yy=x =x
0.5 dy 1 y 8 xydx
5 / 6.
y
1 0
y=x
0.5
x
P( X 0.5) 0.5 1 0 dx x 8 xydy 7 / 16 .
x y
x
当0 x<1, x y<1时，
F ( x, y ) 0 du u 8uvdv 2 x y x
2 2
yห้องสมุดไป่ตู้
4
22
当0 x <1, y 1时，
v 1 0 v=u
F ( x, y) du 8uvdv
0 u
x
1
2x x
2
4
1
u
23
当x 1, 0 y < 1时， v
21
(3) F ( x, y ) P X x, Y y f (u, v)dvdu v 当x<0 或 y<0 时, F(x,y) = 0 v=u 1 当0 x< 1, 0 y< x 时， y v 0 4 F ( x, y) dv 8uvdu y u 1 0 0
(2,3), (3,1)(3,2) . 由乘法原理，得： 1 2 1 P( X , Y ) (1,2) p12 , 4 3 6 1 1 1 P( X , Y ) (1,3) p13 , 4 3 12
类似可得：
6
1 1 1 P( X , Y ) (2,1) p21 2 3 6 1 1 1 P( X , Y ) (2,2) p22 2 3 6 1 1 1 P( X , Y ) ( 2,3) p23 2 3 6 1 1 1 P( X , Y ) (3,1) p31 4 3 12 1 2 1 P( X , Y ) (3,2) p32 . 4 3 6 从而所求的分布列为：
30
1 则有 p X ( x ) e 2σ1
即
( x μ1 ) 2
2 2 σ1
e
t2 2
d t,
pX ( x )
同理可得
1 e 2πσ1
1 e 2 σ 2
( x μ1 ) 2
2 2 σ1
, x .
( y μ2 ) 2
2 2σ 2
pY ( y )
i 1
j 1,2,,
分别称 pi ( i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
3
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函 数分别为:
FX ( x ) F ( x , )
FY ( y ) F ( , y )
定义 设二维离散型随机变量 X ,Y )的联合分布 (
律为 记
P { X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,. pi pij P { X xi }, i 1,2,,
j 1
p j pij P {Y y j },
, y .
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,
并且都不依赖于参数 ρ.
31
F ( x, y ) , 则关于 X 的边缘分布函数记为 FX (x) ,
FX ( x) F ( x,) P( X x, Y ) 类似可得 ( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布函数为 FY ( y) F (, y) P( X , Y y) 。
1
二维随机变量的边缘分布函数
( y 2 )2 2 2 2
, y
29
解
pX ( x )
p( x, y ) d y,
( y μ2 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) 由于 2ρ 2 σ2 σ 1σ 2
y μ2 x μ1 ( x μ1 )2 ρ ρ2 , 2 σ1 σ1 σ2
4 9
1
13
解 (2)
P( X i,Y j ) P( X i) P(Y j X i)
1 2 C j 1 C 3 3 3 3
i 3 i 3i j
1 1 3
3 j
i, j 0,1,2,3
3
1 8 27 27 1 4 27 9 1 2 27 9 1 1 27 27 1 27
p• j
8 27 4 9 2 9 1 27
0
1 2
3 pi•
1
15
(1) 与(2) 有相同的边缘分布, 但它们
的联合分布却不同. 故有结论
联合分布可以唯一地确定边缘分布 边缘分布却不能唯一确定联合分布
其中k 为常数. 求 (1)常数 k ; (2) P ( X + Y 1) , P ( X < 0.5); (3) 联合分布函数 F (x,y); (4) 边缘密度函数与边缘分布函数
19
解 令
(1)
D ( x, y ) 0 x y, 0 y 1
f ( x, y)dxdy 1 f ( x, y )dxdy 1 y
由联合分布函数
FX ( x) P X x P X x,Y F ( x,)
边缘分布函数, 逆不真. y x y y x
2
x
FY ( y) PY y P X ,Y y
F (, y )
二维离散型随机变量的边缘分布律与边缘分布函数
f ( x, y )dy
17
同理可知关于 Y 的边缘分布函数和密度函数 为： y FY ( y ) ( f ( x, y )dx)dy ,
fY ( y )
f ( x, y )dx 。
18
例3 设随机变量( X ,Y ) 的联合密度函数 为
kxy, 0 x y,0 y 1, f ( x, y ) 其他 0,
7
Y
X
1 2 3 p.j
1 0 1/6 1/12 1/4
2 1/6 1/6 1/6 1/2
3 1/12 1/6 0 1/4
pi. 1/4 1/2 1/4 1
表中横行相加即得X的边缘分布律 X pi. 1 1/4 2 1/2 3 1/4
8
表中纵行相加即得Y的边缘分布律 1 2 3
Y p.j
1/4
1/2
16
3 二维连续型随机变量的边缘概率密度及边 缘分布函数
对二维连续型随机变量 ( X , Y ) ，若联合 概率密度为f ( x, y ) ，则关于 的边缘分布 X
F 函数为： X ( x ) (
x
f ( x, y )dy )dx ,
其边缘密度函数为：
f X ( x)
y4 ,
x 1, 0 y < 1，
1, x 1, y 1， （也可写成五段）
25
(4) FX ( x) F ( x,) 0,
x < 0， x1 y<0