第四节,一阶微分方程应用举例
四节一阶微分方程应用举例
e2x 4e4x d x C
e2x Ce2x 将 F(0) f (0)g(0) 0 代入上式，得 C 1
于是
F(x) e2x e2x
二、解微分方程应用问题
关键问题是正确建立数学模型, 要点:
利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.
dy vy
by
y
即
dx a x 2 1 x ( 齐次方程 )
dy b y
y
Pa
v
x
定解条件 x yh 0 . ( 求解过程参考P273例3 )
练习题:
1、 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),它的切线在纵 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .
提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 此点处切线方程为
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
例1. 求下列方程的通解
(4)
y
6x3 3xy2 3x2 y 2y3
方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y
方法 2 化为微分形式
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
例2. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
得
k=?
一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
一阶微分方程xlnx y' = y
一阶微分方程xlnx y' = y1. 概述微分方程是数学中重要的研究对象之一，它描述了变化率和变量之间的关系。
一阶微分方程是微分方程中的一类基本问题，其中包括了许多实际问题的数学建模。
本文将介绍一阶微分方程xlnx y' = y的求解方法。
2. 方程说明给定一阶微分方程xlnx y' = y，其中y'表示对y的一阶导数。
这是一个常微分方程，其中含有x、y和y'。
我们的目标是求解方程，并找到满足方程的y函数。
3. 解题方法为了求解这个微分方程，我们可以利用分离变量的方法。
首先将方程改写为dy/dx = y/(xlnx)，然后将变量分离得到dy/y = dx/(xlnx)。
接下来对两边进行积分，即可得到方程的通解。
4. 求解过程对于dy/y = dx/(xlnx)，我们将对两边进行积分。
左边的积分得到ln|y|，右边的积分则需要进行一些变换。
令u = lnx，那么du = dx/x，可以将右边的积分转化为∫（1/u）du。
然后我们可以得到ln|y| = ∫（1/u）du。
继续对右边进行积分，得到ln|y| = ln|lnx| + C。
其中C为积分常数。
5. 方程通解根据ln|y| = ln|lnx| + C，我们可以得到y = e^(ln|lnx| + C)。
进一步化简，得到y = e^C * lnx。
这就是微分方程xlnx y' = y的通解。
6. 总结通过分离变量和积分的方法，我们成功求解了一阶微分方程xlnx y' = y，并得到了通解。
微分方程的解法是数学分析中的重要问题，也是实际问题建模的重要工具。
我们可以通过这种方法求解出许多实际问题的数学模型，为实际问题的解决提供了重要的数学支持。
7. 特解在得到微分方程xlnx y' = y的通解后，我们可以通过给定的初值条件来求得特解。
特解即满足微分方程并同时满足给定初值条件的特定解。
大学数学_6_4 一阶线性微分方程的应用举例
y 2 2 x 2 17
例 2 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速 度成正比， 并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零， 求降 落伞下落速度与时间的函数关系. 解 i)列方程并确定初始条件. 设降落伞下落速度为 v(t)，降落伞 在空中下落时，同时受到重力 P 与阻力 R 的作用（图 6-5）.重力 大小为 mg 方向与 v 一致，阻力大 R=kv 小为 kv（k 为比例系数） ，方向与 v P=mg 相反，从而降落伞所受外力为 F=mg-kv 图 6-5
dQ Q ln 3 dp, ln Q p ln 3 C1 即所求通解为 Q Ce p ln3 C 3 p.
(iii) 确定任意常数以求得特解. 将初始条件代入通解，得C=1200，故所求需求量Q对价格 p的函数关系为Q=1200 3 p.
内容小结
解微分方程应用题的方法和步骤
第四节
一阶微分方程的应用举例
学习的目的在于应用，在本节我们将通过举例着重介 绍一阶微分方程的一些简单应用和利用一阶微分方程解决 实际问题的一般步骤. 利用微分方程解决几何、物理等实际问题的一般步骤 如下： (1)根据题设条件，利用已知的公式或定理，建立相应 的微分方程及确定初始条件； (2)分辨所建立的微分方程的类型，运用相应解法求出 其通解； (3)利用初始条件，定出通解中的任意常数，求得满足 初始条件的特解； (4)根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来解 释问题的实际意义或求得题设所需的其他结果. 以上四个步骤中列方程、解方程是重点.
ⅲ）确定任意常数以求得特解 将初始条件（6）带入通解，解得 C=9,则所求曲线 方程为 y x2 y 2 9 .
先以 3L/min * 例 4 容器内有 100L 的盐水,含 10kg 的盐， 的均匀速率，往容器内注入（定净水与盐水立刻混合） ， 又以 2L/min 的均匀速率从容器中抽出盐水，问 60min 后 容器内盐水中盐的含量是多少？
一阶微分方程解法
解法概述
01
一阶微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、积分因子法 等。
02
分离变量法适用于可以将方程改写为$frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$形式的 方程。
03
常数变易法适用于形如$frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$的线性方程， 通过设定一个合适的常数变易，将方程转化为易于求解的形式。
06
可降阶的高阶微分方程解法
可降阶的高阶微分方程的概念
定义
可降阶的高阶微分方程是指可以通过适当的变换，将其化为较低阶的微分方程进行求解的一类高阶微 分方程。
分类
可降阶的高阶微分方程主要包括y''=f(x)型、y''=f(x,y')型和y''=f(y,y')型三种类型。
可降阶的高阶微分方程的解法
01
y''=f(x)型的解法
通过积分将二阶微分方程化为一阶微分方程进行求解。
02
y''=f(x,y')型的解法
通过适当的变量代换，将原方程化为关于新变量的一阶微分方程进行求
解。
03
y''=f(y,y')型的解法
令y'=p，将原方程化为关于y和p的一阶微分方程组进行求解。
可降阶的高阶微分方程的应用举例
常数变易法的步骤
第一步
观察原方程，确定需要变易的常数及其形式。
第二步
引入新的变量，将原方程中的常数替换为相应的函数，得到新方程。
第三步
求解新方程，得到通解或特解。
第四步
将通解或特解中的新变量还原为原方程的常数，得到原方程的解。
一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用（1）数学建模列出微分方程（含初始条件）；（2）求解微分方程.步骤:利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.),(y x M y xo 例1 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.提示: 设曲线上的动点为M (x,y ),令X = 0, 得截距由题意知微分方程为xx y y ='-即11-=-'y x y 定解条件为.11==x y y x x '=αtan x 此点处切线方程为它的切线在纵1、几何应用2、物理应用（1）动力学：例2跳伞运动(如图)，求伞降落速度与时间的关系，初始时刻为原点.mg)( 阻力kv f =x o kv mg F ma -==作受力分析用ma F =（2）热学例3 发动机冷却系统设计(Newton 冷却定律:冷却速度与温差成正比)dtT T k dt dT e )(-+=α.之间的关系与试建立发动机温度t T ,),(e T t T 环境温度为工作温度为),(,e T T k -降温速率为升温速率为α例4. 已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在30 分钟后使车间空的含量不超过0.06 % ?提示: 设每分钟应输入t 时刻车间空气中含则在],[t t t ∆+内车间内=∆x 两端除以t∆并令0→∆t 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出)得微分方程t k ∆⋅10004.0t x k ∆⋅-54005400( 假定输入的新鲜空气输入, 的改变量为t = 30时5406.0540010006.0⨯=⨯=x 2504ln 180≈=k 25005400d d k x k t x =+5412.00⨯==t x解定解问题因此每分钟应至少输入250 3m 新鲜空气.初始条件得k = ?（3）电学例5 ~RL K)(t i tE E m ω=sin 0)(=--+iR dtdi L E ).(t i R L 串联电路，求下图为一个-（4）原子物理例6 铀的衰变规律M dtdM λ-=.,,0,)(),(0求衰变规律时成正比衰变速度与铀的现有量M M t t M t M M ===3、其它例7 种群增长模型2N N dt dN βα-=),0(),(:>=ααN t N N 出生率种群数量.)(的关系式试建立t N .,0),0(02N N t N ==>时死亡率ββ小结如何建立微分方程?(1) 利用已知规律(2) 微元法(3) 导数积分的几何意义等。
高考数学中的一阶线性微分方程
高考数学中的一阶线性微分方程微积分是高中数学的一门重要的学科，其中涉及到微分及其应用。
在微分学中，微分方程是一类非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种不同的问题。
在高考数学中，微分方程也是一个非常重要的考点，其中一阶线性微分方程更是高考数学的热点难点。
一阶线性微分方程是指形如：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数，$\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数。
这个方程的解决方法非常重要，因为一阶线性微分方程是众多微分方程中比较简单的一种。
下面我们将详细介绍一阶线性微分方程的解法。
一、非齐次线性微分方程的解法对于形如$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的非齐次线性微分方程，我们可以使用变量分离法来解决。
1. 求出齐次线性微分方程的通解首先我们要求出非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，即$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$的通解。
设齐次线性微分方程的通解为$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是待定系数，$e$为自然对数的底数。
下面我们来证明这个解法的正确性。
将$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$代入到$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$中，即可得到：$\frac{d(Ce^{-\int p(x)dx})}{dx}+p(x)(Ce^{-\int p(x)dx})=0$$\Rightarrow -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}+C(e^{-\intp(x)dx})\frac{d}{dx}(e^{-\int p(x)dx})+p(x)Ce^{-\int p(x)dx}=0$ $\Rightarrow \frac{d}{dx}(Ce^{-\int p(x)dx})=0$根据微积分基本定理可知，如果$\frac{d}{dx}(Ce^{-\intp(x)dx})=0$，那么$Ce^{-\int p(x)dx}$就是一个常数，不妨设为$C_1$。
微积分-一阶线性微分方程的解
一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。
接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
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可分离变量方程求解
(4) y 2 ( x 3 y ) d x (1 3 x y 2 ) d y 0
变方程为 y 2 x d x d y 3 y 2 ( yd x xd y ) 0 两边乘积分因子 y 2
x d x y 2 d y 3 ( yd x xd y ) 0
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u x 方法 2 化为微分形式
( 6x 3 3x y 2 ) d x ( 3x 2 y 2 y 3 ) d y 0
P Q 6x y y x
故这是一个全微分方程 .
例2. 求下列方程的通解:
(1) x y y y ( ln x ln y )
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
(03考研)
g 2 ( x) f 2 ( x) [ g ( x) f ( x)]2 2 f ( x) g ( x) (2e x ) 2 2 F ( x)
3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y d y 3 ( x 1) 2 y 2 化方程为 dx 2 y ( x 1)
d y d y dt d y 令t=x–1,则 dx d t dx d t d y 3t 2 y 2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut
第四节、一阶微分方程应用举例
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
于是
F ( x) e 2 x e 2 x
二、解微分方程应用问题
关键问题是正确建立数学模型, 要点: 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.
例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸
为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点 y O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b
v a b a
由此得微分方程
bx x y
2 2
,
by
2
x y
2
o
P a b v
x
dx vx a x2 y2 x by y dy vy
即
a dx b dy
x y
2
x ( 齐次方程 ) 1 y
定解条件 x
y h
Байду номын сангаас
0 . ( 求解过程参考P273例3 )
(2) 2 x ln x d y y ( y 2 ln x 1) d x 0 3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y (4) y 2 ( x 3 y ) d x (1 3 x y 2 ) d y 0
提示: (1) 原方程化为 du u ln u (分离变量方程) 令u=xy,得 dx x (2) 将方程改写为 dy 1 y3 2 y (贝努里方程) 令 z y d x 2 x ln x 2x
e e , 故为分离变量方程: d y e x dx
y3 x
y e
通解
2 y3
1 y3 x e e C 3
2 2 (2) x y x y y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y y 1 x
2
y x
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F ( x) 2 F ( x) 4e 2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e
2 d x
e 2 x 4e 4 x d x C
4e
2x
2d x e dxC
e 2 x Ce 2 x 将 F (0) f (0) g (0) 0 代入上式，得 C 1
用凑微分法得通解: 1 2 1 x y 3 xy C 2
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0,
f ( x) g ( x) 2e x .
练习题:
1、 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 它的切线在纵 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 此点处切线方程为 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为
2
xu 1 u 2 xu 1 u 2
dx 2 化为 2 x y , 调换自变量与因变量的地位 , dy 用线性方程通解公式求解 .
y y 1 x 0 时， x 1 (3) y 2 2x y
y x
6x 3 3x y 2 (4) y 2 3x y 2 y 3
例1. 求下列方程的通解 1 y3 x 2 2 ( 2 ) x y x y y; (1) y 2 e 0; y 1 6x 3 3x y 2 (3) y ; (4) y 2 . 2 3 2x y 3x y 2 y 提示: (1) 因 e
y3 x
(b a), 且鸭子游动方向始终朝着点O ,
求鸭子游动的轨迹方程 . 提示: 如图所示建立坐标系. 则
A
h
b
P a
x
a (a , 0)
o
设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为
b b PO b
0
x x2 y2
,
y x2 y2
y A
h
dx d y 鸭子的实际运动速度为 v , , dt dt