[k12精品]2017_2018学年高中数学第一章解三角形1.2应用举例第3课时几何计算问题优化练习新人教A版必修5
2017_2018学年高中数学第一章解三角形1_2应用举例一学案新人教B版必修5
在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)
＝60°，
由正弦定理得BC＝
＝200sin 75°(米)．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝(100 )2＋(200sin 75°)2－2×100 ×200sin 75°cos 75°
因此河对岸A、B两点间距离为 km.
规律方式 测量两个不可抵达的点之间的距离，一样是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能抵达的两点距离测量问题，运用正弦定明白得决．
跟踪演练3 要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距100 米的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离．
＝1002×(3＋4× －2× ×sin 150°)
＝1002×5
∴AB＝100 (米)．
答 河对岸A、B两点间的距离为100 米．
1．如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量以下四组数据，较适宜的是 ( )
A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ
答案 D
解析 由α、γ可求出β，由α、β、b，可利用正弦定理求出BC.应选D.
解 在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β，
∴∠CBD＝180°－(α＋β)，
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴BC＝ ·s.
在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴ ＝tanθ，
∴AB＝BC·tanθ＝ ·s.
要点三 测量两个不能抵达点之间的距离问题
[配套K12]2018版高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理(二)学案 新人教A版必修5
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1．1.2 余弦定理(二)[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一 余弦定理及其推论1．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C ．2．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．3．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．知识点二 正弦、余弦定理解决的问题思考 以下问题不能用余弦定理求解的是________． (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形； (2)已知两角和一边，解三角形；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形； (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (2)题型一 利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，其中a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 答案 A解析 方法一 在△ABC 中，由已知得1＋cos B 2＝12＋a2c， ∴cos B ＝a c ＝a 2＋c 2－b 22ac，化简得c 2＝a 2＋b 2. 故△ABC 为直角三角形．方法二 原式化为cos B ＝a c ＝sin Asin C，∴cos B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴sin B cos C ＝0，∵B ∈(0，π)，sin B ≠0，∴cos C ＝0， 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2，即△ABC 为直角三角形．反思与感悟 一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪训练1 在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 答案 B解析 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入得12＝a 2＋c 2－ac 2ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0， 即(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形． 题型二 正弦、余弦定理的综合应用例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得： sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息． (2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用． 跟踪训练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． 解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理， 得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2 sin A 及正弦定理得，c ＝2a . 由余弦定理及b ＝3，得9＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即9＝a 2＋4a 2－2a 2，所以a ＝3，c ＝2 3. 题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C.证明 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ， 即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ，∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos Ac .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C，故等式成立．反思与感悟 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2 A 2＝3b 2，求证：a ＋c ＝2b .解 由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2， 整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ， 故等式成立．例4 已知钝角三角形的三边BC ＝a ＝k ，AC ＝b ＝k ＋2，AB ＝c ＝k ＋4，求k 的取值范围． 错解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k （k ＋2）<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① ∵k 为三角形的一边长，∴k >0，② 由①②知0<k <6.错因分析 忽略隐含条件k ＋k ＋2>k ＋4，即k >2. 正解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k （k ＋2）<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① 由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，② 由①②可知2<k <6.误区警示 在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．跟踪训练4 若△ABC 为钝角三角形，三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(13，5)C ．(5，13)D ．(1，5)∪(13，5) 答案 D解析 (1)若x >3，则x 对角的余弦值22＋32－x22×2×3<0且2＋3>x ，解得13<x <5.(2)若x <3，则3对角的余弦值22＋x 2－322×2×x <0且x ＋2>3，解得1<x < 5.故x 的取值范围是(1，5)∪(13，5)．1．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形 答案 B解析 由题b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得a 2＝b 2，∴a ＝b .2．在△ABC 中，sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝sinC sin B ，则A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120°D ．30° 答案 C解析 由正弦定理得a 2－c 2－b 2＝bc ，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝120°.3．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A.85B.58C.53D.35 答案 D解析 由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos A 得72＝52＋AC 2－2·5·AC ·(－12)，∴AC ＝3或－8(舍)．∴sin B sin C ＝AC AB ＝35.4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10) D ．(10，8)答案 B解析 只需让3和a 所对的边均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a22·1·3>012＋a 2－322·1·a >01＋3>a 1＋a >3，解得22<a <10.5．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________．答案 1解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2＋1＋a ＝3，即a 2＋a －2＝0， 解得a ＝1或a ＝－2(舍)．6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，则此三角形是________三角形． 答案 钝角解析 4所对的角的余弦为22＋32－422×2×3＝－14<0，故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形．1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系． 2．解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理．(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯．。
2017_2018学年高中数学第一章解三角形1_2应用举例二学案新人教B版必修5
解 在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，x>0，
由正弦定理得 ＝ .
∴sinC＝ ＝ × ＝ .
∴C＝60°(C＝120°舍去，不然由8x>7x，知B也为钝角，不合要求)．
由余弦定理得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°，
C．南偏东10°D．南偏西10°
答案 B
解析 如图，因△ABC为等腰三角形，因此∠CBA＝ (180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，应选B.
2．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地域为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时刻为( )
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，由正弦定理，得 ＝ ，
∴sin∠BCD＝ ＝ ＝ .
∴∠BCD＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝ .
∴x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5.
∴AB＝21或AB＝35，
在△ABD中，AD＝ABsinB＝ AB，
∴AD＝12 或20 .
1．已知两座灯塔A，B与海洋观看站C的距离相等，灯塔A在观看站C的北偏东40°，灯塔B在观看站C的南偏东60°，那么灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°B．北偏西10°
2．解三角形的应用题时，通常会碰到两种情形：
(1)已知量与未知量全数集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定明白得之．
高中数学 第一章 解三角形 1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计 新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章解三角形1.2 解三角形的实际应用举例—高度、角度问题教学设计新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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《解三角形的实际应用举例—高度、角度问题》一、教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量高度、角度问题等实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。
其次结合学生的实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想—-总结规律-—反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题,设计变式，帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题。
情感态度与价值观:激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形,得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学过程一、课题导入提问：现实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题二、讲授新课［范例讲解］例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。
2017_2018学年高中数学第一章解三角形1.2应用举例第3课时几何计算问题课件新人教A版必修5
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C 3 1 1 2 2 ＝ × ＋ × 2 3 2 3 ＝ 3 2 ＋ ， 6 3
1 故所求面积 S△ABC＝ bcsin A＝6 2＋8 3. 2
探究二
三角形中线段长度的计算
[典例 2] 在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，D 为 BC 的中点，且 AD＝ 4，求 BC 边的长．
1.2
第 3 课时
应用举例
几何计算问题
考
纲
定
位
重
难
突
破
1.掌握三角形的面积公式． 重点：正、余弦定理、三角 2．利用面积公式、正弦定 函数公式及其性质．
理、余弦定理、三角函数公 难点：三角函数公式与正、 式求解综合问题. 余弦定理的结合.
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
(5)S＝
abc (R 是三角形外接圆的半径)； 4R
(6)S＝2R2sin A· sin B· sin C(R 是三角形外接圆的半径)； 1 (7)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆的半径)； 2
1 (8)S＝ pp－ap－bp－cp＝2a＋b＋c.
[双基自测] 1．在△ABC 中，a＝ 2，A＝45° ，则△ABC 外接圆的半径 R 等于( A．1 C．4 B． 2 D．无法确定 )
a 2 解析：由 2R＝ ＝ ， ∴R＝1. sin A 2 2
答案：A
3 2．已知△ABC 的面积为 ，且 b＝2，c＝ 3，则( 2 A．A＝30° C．A＝30° 或 150° B．A＝60° D．A＝60° 或 120°
)
1 1 3 3 解析：S△ABC＝ bcsin A＝ ×2× 3· sin A＝ ，所以 sin A＝ ，又因 2 2 2 2 为 A∈(0° ，180° )，所以 A＝60° 或 120° .
2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.2应用举例(3)学案新人教A版必修5
1.2 应用举例（3）学习目标 1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．知识点一 航海中的测量问题思考 在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？答案 用方向角和方位角．梳理 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角．方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.知识点二 三角形面积公式的拓展思考 如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？答案 在△ABC 中，如果已知边AB 、BC 和角B ，边BC 上的高记为h a ，则h a ＝AB sin B ．从而可求面积．梳理 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .类型一 航海中的测量问题例1 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile 后到达海岛C .如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)解 在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理， AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos∠ABC ＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137°≈113.15.根据正弦定理，BC sin∠CAB ＝ACsin∠ABC ，sin∠CAB ＝BC sin∠ABC AC ≈54.0sin 137°113.15≈0.325 5， 所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练1 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at (海里)，AC ＝3at (海里)，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin∠CAB ＝ACsin B ，得 sin∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ×sin 120°3at ＝323＝12， ∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．类型二 三角形面积公式的应用命题角度1 求面积例2 在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S .(精确到0.1 cm 2)(1)已知a ＝14.8 cm ，c ＝23.5 cm ，B ＝148.5°；(2)已知B ＝62.7°，C ＝65.8°，b ＝3.16 cm ；(3)已知三边的长分别为a ＝41.4 cm ，b ＝27.3 cm ， c ＝38.7 cm.解 (1)应用S ＝12ca sin B ， 得S ＝12×23.5×14.8×sin 148.5°≈90.9(cm 2)． (2)根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin C sin B，S ＝12bc sin A ＝12b 2sin C sin A sin B， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°，S ＝12×3.162×sin 65.8°sin 51.5°sin 62.7°≈4.0 (cm 2)． (3)根据余弦定理的推论，得cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝38.72＋41.42－27.322×38.7×41.4≈0.769 7， sin B ＝1－cos 2B ≈1－0.769 72≈0.638 4.应用S ＝12ca sin B ，得S ≈12×38.7×41.4×0.638 4 ≈511.4 (cm 2)．反思与感悟 三角形面积公式S ＝12ab sin C ，S ＝12bc sin A ，S ＝12ac sin B 中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．跟踪训练2 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，求△ABC 的面积．解 由正弦定理，得1sin 30°＝3sin C ，∴sin C ＝32. ∵0°<C <180°，∴C ＝60°或120°.①当C ＝60°时，A ＝90°，∴S △ABC ＝12×3×1＝32； ②当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34. 命题角度2 已知三角形面积 例3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若△ABC 的面积等于3，求a ，b .解 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.反思与感悟 题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．跟踪训练3 如图所示，已知半圆O 的直径为2，点A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，点B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，求B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大．解 设∠AOB ＝α，在△ABO 中，由余弦定理，得AB 2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)，∴S ＝S △AOB ＋S △ABC ＝12OA ·OB ·sin α＋34AB 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋54 3. 当α－π3＝π2，α＝5π6，即∠AOB ＝5π6时，四边形的面积最大．1．一艘海轮从A 处出发，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 n mileB ．10 3 n mileC ．20 2 n mileD ．20 3 n mile答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°， AB ＝40×12＝20 (n mile)．∴∠BCA ＝45°，∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BCsin 30°. ∴BC ＝20×1222＝10 2 (n mile)． 2．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12D ．4 答案 A解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，∵S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14， ∴abc ＝1.3．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43， 则b ＝________.答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，C ∈(0，π2)， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝223， ∵12ab sin C ＝43，a ＝32，∴b ＝2 3.1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解． 40分钟课时作业一、选择题1．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，则B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km 时，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0.设该方程的两根为x 1，x 2，则P 点的位置有两处，即P 1，P 2.则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20(km)，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1(h)． 故选B.2．甲骑电动车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．6 kmB ．3 3 kmC ．3 2 kmD ．3 km 答案 C解析 由题意知，AB ＝24×14＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°. 由正弦定理，得BS ＝AB sin∠BAS si n∠ASB ＝6sin 30°sin 45°＝32(km)． 3．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135° B．45° C．60° D．120°答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°.4．已知三角形的三边分别为a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A 等于( ) A.23 B.45 C.1213 D.1517答案 D解析 S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc＝－2bc cos A ＋2bc ，∵S ＝12bc sin A ， ∴12bc sin A ＝2bc －2bc cos A . 即4－4cos A ＝sin A .平方得17cos 2A －32cos A ＋15＝0.即(17cos A －15)(cos A －1)＝0.得cos A ＝1(舍)或cos A ＝1517. 5．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.334 C.1532 D.1534 答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ，即49＝BC 2＋25－2×BC ×5×(－12)， 整理得BC 2＋5BC －24＝0，解得BC ＝3或BC ＝－8(舍去)． S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin 120°＝12×5×3×32＝1534. 6．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，S △ABC ＝154，则b 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 C解析 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2， 所以b ＝c ＝2a .sin B ＝1－cos 2B ＝154， 又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝154， 所以b ＝2，选C.二、填空题7．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________.答案 3314解析 由正弦定理，得7sin 120°＝5sin C， ∴sin C ＝5314且C 为锐角(A ＝120°)． ∴cos C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C )＝32cos C －12sin C ＝32×1114－12×5314＝3314. 8．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险．(填“有”或“没有”)答案 没有解析 如图所示，在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理，得BC ＝AB sin∠BAC sin∠ACB ＝30×sin 30°sin 15°＝156－24＝15(6＋2)． 过点C 作CD 垂直于AB ，交AB 的延长线于点D .在Rt△BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. 所以没有触礁的危险．9．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________ km.答案 6－1解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2 km ，AB ＝3 km ，设B 船到灯塔C 的距离为x km ，即BC ＝x km.由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos ∠ACB ， 即9＝4＋x 2－2×2x ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋6(km)．三、解答题10．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．解 ∵tan B ＝12>0，∴B 为锐角， ∴sin B ＝55，cos B ＝255. ∵tan C ＝－2<0，∴C 为钝角，∴sin C ＝255，cos C ＝－55， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255×255＝35. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2sin A sin B sin C ＝2R 2×35×55×255＝1. ∴R 2＝2512，R ＝536. ∴πR 2＝2512π， 即外接圆的面积为2512π. ∴a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.综上，a ＝3，b ＝153，c ＝2153， △ABC 外接圆的面积为2512π. 11．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理AB sin∠ACB ＝BC sin∠BAC，得 sin∠ACB ＝AB sin∠BAC BC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos∠ACB ＝277. 故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114. 12．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t ，∠ACB ＝120°.在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos∠ACB ，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°，整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10，在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin∠CAB ＝AB sin ∠ACB， 所以sin∠CAB ＝BC sin∠ACB AB ＝10×32103＝12， 又因为∠CAB 为锐角，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.。
文库上传2017-2018版高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计
1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a ，b ，c 的关系满足( )A ．b ＝acB ．b 2＝ac C ．a ＝b ＝cD ．c ＝ab【解析】 由方程有重根，∴Δ＝4sin 2B －4sin A sinC ＝0，即sin 2B ＝sin A sinC ，∴b 2＝ac .【答案】 B2．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则角A 的对边的长为( ) A.57 B.37 C.21D.13【解析】 ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×c ×sin 60°＝3，∴c ＝4.由余弦定理a 2＝b2＋c 2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×12＝13，∴a ＝13. 【答案】 D3．在△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则此三角形的外接圆的半径R ＝( ) A.12 B ．1 C ．2 2D.522【解析】 S △ABC ＝12ac sin B ＝24c ＝2，∴c ＝4 2.b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25， ∴b ＝5，∴R ＝b 2sin B ＝52×22＝522.【答案】 D4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394【解析】 在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3＝0， 解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝332.【答案】 B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4【解析】 由题意知：a ＝b ＋1，c ＝b －1，所以3b ＝20a cos A ＝20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc＝20(b ＋1)·b 2＋b －2－b ＋22b b －，整理得7b 2－27b －40＝0，解之得：b ＝5(负值舍去)，可知a ＝6，c ＝4. 结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4. 【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为_____． 【解析】 画出三角形(略)知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝3，∴AD ＝ 3. 【答案】37．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为________．【解析】 由12bc sin A ＝2203得c ＝55，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401， 所以a ＝49. 【答案】 498．在△ABC 中，B ＝120°，b ＝7，c ＝5，则△ABC 的面积为________. 【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即49＝a 2＋25－2×5×a cos 120°，整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin 120°＝1534.【答案】1534三、解答题9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2＝5c 2.【证明】 由已知得cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴(1－sin 2A )(1－sin 2B )－sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴1－sin 2A －sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C .由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＋b 2＝5c 2.10．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 【解】 (1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3.[能力提升]1．已知锐角△ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4【解析】 由题意S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝3，得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝2.【答案】 A2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6【解析】 由正弦定理可得sin A sin B cos C ＋sin C ·sin B cos A ＝12sin B ，又因为sin B ≠0，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12.因为a >b ，所以B ＝π6.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．【解析】 在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎪⎨⎪⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.【答案】 84．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．【解】 (1)因为m∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217.又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.。
2018版高中数学第一章解三角形1.2应用举例一学案新人教B版
1.2 应用举例（一）学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)(3)张角由C点看AB的张角指的是角________．知识点二测量方案思考1 如图是北京故宫的角楼，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C，设CC′为测量仪器的高，过点C′的水平面与AB相交于点B′，由测点C′对角楼进行测量，你认为通过测量的数据能求出角楼的高度吗？思考2 如图，如果移动测量仪CC′到DD′(测量仪高度不变)，想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量某楼高．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．类型一测量两个不能到达点之间的距离问题例1 如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．反思与感悟测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．跟踪训练1 要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距1003米的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离．类型二求高度命题角度1 测量仰角(俯角)求高度例2 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10 m B．5 3 mC．5(3－1) m D．5(3＋1) m反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2 江岸边有一炮台C高30 m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，则两条船相距________ m.命题角度2 测量方位角求高度例3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB 的高是( )A．10 m B．10 2 mC．10 3 m D．10 6 m1．如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是 ( )A．a，c，α B．b，c，α C．c，a，β D．b，α，γ2．如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x的值是________．3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m，________m.4.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为________m.1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．答案精析问题导学 知识点一 思考梳理 (1)90 (2)上方 下方 (3)ACB 知识点二思考1 可测得点A 的仰角α的大小．在△AB ′C ′中，三条边的长度都无法测出，因而AB ′无法求得．思考2 如图所示，在点B ′，C ′，D ′构成的三角形中，可以测得∠β和∠γ的大小，又可测得C ′D ′的长，这样，我们就可以根据正弦定理求出边B ′C ′的长，从而在Rt△AB ′C ′中，求出AB ′的长．使问题得到解决． 题型探究 类型一例1 解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CDsin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64(km)． 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形， ∴AC ＝CD ＝32(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋616－2×32×64×22＝38，∴AB ＝64(km)． ∴河对岸A 、B 两点间的距离为64km. 跟踪训练1 解 如图在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC ＝CD ＝1003(米)．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°)＝60°， 由正弦定理得BC ＝1003sin 75°sin 60°＝200sin 75°(米)． 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(1003)2＋(200sin 75°)2－2×1003×200sin 75°cos 75°＝1002×(3＋4×1－cos 150°2－2×3×sin 150°)＝1002×5， ∴AB ＝1005(米)．所以河对岸A 、B 两点间的距离为1005米． 类型二 命题角度1例2 D [方法一 设AB ＝x m ， 则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x )m.∴tan∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1)m. 所以A 点离地面的高AB 等于 5(3＋1)m.方法二 ∵∠ACB ＝45°， ∴∠ACD ＝135°，∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC＝CDsin ∠CAD·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2∴AB＝AC sin 45°＝5(3＋1)m.]跟踪训练2 30命题角度2例3 100 6解析依题意，∠CAB＝30°，AB＝600 m，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理，得BC＝ABsin∠ACB·sin∠CAB＝600sin 45°×sin 30°＝3002，∴CD＝BC tan∠CBD＝3002×tan 30°＝1006(m)．跟踪训练3 D当堂训练1．D 2.4 3.20 3 4033 4.50 2。
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第3课时 几何计算问题[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A 等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 3解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝3可知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8cos60°＝13，所以a ＝13.所以a sin A ＝13sin 60°＝2393.答案：A2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( ) A.62 B ．1 C.32D.22解析：由正弦定理得6sin 120°＝2sin C ，∴sin C ＝12，∴C ＝30°或150°(舍去)． ∵B ＝120°，∴A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×2×sin 30°＝32.答案：C3．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角A的大小为( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.5π6解析：∵S ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4.答案：B4．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3a ＝2c sin A ，c ＝7，且a ＋b ＝5，则△ABC 的面积为( ) A.332B.92C.532D.72解析：由3a ＝2c sin A 及正弦定理得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C ，∵sin A ≠0，∴sin C ＝32，故在锐角△ABC 中，C ＝π3. 再由a ＋b ＝5及余弦定理可得7＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，解得ab ＝6，故△ABC 的面积为12ab ·sin C ＝332.答案：A5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，若△ABC 的面积S ＝10，b ＝4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263D.283解析：由3a cos C ＝4c sin A ，得asin A ＝4c 3cos C .又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得csin C＝4c 3cos C ，∴tan C ＝34，∴sin C ＝35.又S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，∴c sin A ＝5.根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253，故选B. 答案：B6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝2，△ABC 的面积为2，则sin A ＝________.解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴sin A ＝2S △ABC bc ＝223×2＝23.答案：237．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝32AC ＝3，∴AC ＝2，∴△ABC为等边三角形，∴AB ＝2. 答案：28．锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则AB ＝________. 解析：由三角形面积公式得12×3×4·sin C ＝33，sin C ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°.根据余弦定理AB 2＝16＋9－2×4×3×12＝13.AB ＝13.答案：139．已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 解析：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32. ∵AB >AC ，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝ 3.故△ABC 的面积为23或 3.10．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，求边BC 上的中线AD 的长．解析：∵2B ＝A ＋C ，∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°，∵BC ＝4，D 为BC 中点，∴BD ＝2， 在△ABD 中，由余弦定理知：AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝12＋22－2×1×2·cos 60° ＝3，[B 组 能力提升]1．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3解析：连接BD (图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，∴∠ABD＝90°.在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝23，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×2×2×sin 120°＝5 3.答案：B2．已知△ABC 中，a 比b 大2，b 比c 大2，且最大角的正弦值为32，则△ABC 的面积为( ) A.1534B.154C.2134D.932解析：由题目条件，知a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，故角A 为△ABC 中的最大角，即sin A ＝32，解得A ＝60°(舍去)或A ＝120°.由余弦定理，得cos A ＝cos 120°＝c 2＋c ＋2－c ＋22c c ＋＝－12，解得c ＝3，所以b ＝5，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1534.答案：A3．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154， 又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组{ b －c ＝bc ＝24得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，所以a ＝8.4．在△ABC 中，若a ＝2，B ＝60°，b ＝7，则BC 边上的高等于________． 解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 即7＝4＋c 2－2×2c ×12，整理得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3.所以BC 边上的高为c sin B ＝3×sin 60°＝332.答案：3325．(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cosB ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 解析：(1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C ， 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为5＋7.6．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解析：如图，连接BD ，则四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△BCD 中，由余弦定理，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C . ∵A ＋C ＝180°， ∴cos A ＝－cos C ， ∴64cos A ＝－32， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.∴S ＝16sin 120°＝8 3.。