2.3.4平面与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.面面垂直的定义：
两个平面相交，
如果它们所成的二面
角是直二面角，就说
这两个平面互相垂直。
回顾
2.面面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平
面的垂线，则这两个平面 垂直。
a
a a
探究
A1 A
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
1 （锥体体积公式： V Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高） 3
C A C1 A1 P
D B D1 B1
练习：
1、下列命题中错误的是（ B ） A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 直线平行于平面 β B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 线都垂直于平面 β
α 内一定存在 α 内所有直 α 一
的中点， P 是线段 AD 的中点． （Ⅰ） 在平面 ABC 内， 试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ， 说明理由，并证明直线 l 平面 ADD1 A1 ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求二 面角 A A1M N 的余弦值．
C A C1 A1 P D1 D B B1
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面 定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 α 与 β 交于直线 a，则 a ⊥平面M
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（B ）个 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无 数条直线；
2.3.4平面与平面的垂直的性质
性质
若两个平面垂直,则在一个平面内 性质定理：
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
在β内作直线BE⊥CD于B, 则∠ABE是二面角α-CD-β 的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE ∴AB⊥β
A
D C B
E
又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
举例
例： 已知
l , , ,
判定定理 判定定理
线线垂直
定义
线面垂直
性质定理
面面垂直
作业 1. 求证：两条异面直线不能同时
和一个平面垂直；
2. 求证：三个两两垂直的平面的 交线两两垂直.
平面与平面 垂直的性质
先直观感受平面与平面 垂直的情形
复习
1.定义：两个平面相交，如果它们所成 的二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质:
1.凡是直二面角都相等； 2.两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一 个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角.
复习
若一个平面经过另一个平面 2.判定定理： 的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
D
A垂直
思考
(1) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能 否在黑板上画一条直线与地面垂直? (2) 如图,长方体中, 平面A1ADD1与平面 ABCD垂直,直线A1A A1 垂直于其交线AD,平 面A1ADD1内的直线 A A1A与平面ABCD垂 直吗？ D1 B1 D B C C1
求证： l
l
m
n
a
b P
证明：在平面 a m，b n
2[1].3.4平面与平面垂直的性质
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2.3.4平面与平面垂直的性质一、学习导引 【知识梳理】面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 【重点难点】重点： 性质定理及其证明过程； 难点： 性质定理的运用 【创新学法】1. 线线关系、线面关系、面面关系在证明过程中互相转化运用；2. 性质定理的证明与运用关键都在于在一个平面内作垂直于交线的直线. 【易错警示】在平面内作垂直于棱的直线，不是平面内的任意直线二、典题解读例1．对于直线l 平面βα,，下列命题中正确的命题是 （ D ） (A) 若αβα⊂⊥l , ，则β⊥l (B) 若γβγα⊥⊥, ，则βα// (C) 若ββα⊥⊥l , ，则α//l (D) 若γαβα⊥,//，则γβ⊥ 例2．已知γβγα⊥⊥,，且l =βα ，求证：γ⊥l证明：记OBOA ==γβγα 在平面γ内任取一点A 。
过A 作OA AE ⊥于E 。
γα⊥ ，AE l AE ⊥⇒⊥∴α。
同理可得：AF l AF ⊥⇒⊥β γ⊥∴l例3．已知γαβα⊥,//，求证：γβ⊥证明：记CDAB ==γβγα ，在平面γ内作直线AB l ⊥，则α⊥l .CD AB // CD l ⊥∴又γβγββα⊥∴⊂⊥∴,,,//l l 。
三、 延伸拓展例4．已知平面PAC ⊥平面BAC ，PC PB PA ==，（1）求证：BC AB ⊥；（2）设AB BC =，作出过AC 与平面PBC 垂直的平面，并证明两个平面垂直. 证明：（1）分别取AC 、BC 的中点M 、N 。
则BC PN AC PM ⊥⊥,BCAB ABMN MN ，BC ABCPM MN ，PAC ⊥∴⊥∴⊥⊥// 又平面又面（2）过M 作PN MH ⊥PBC 。
AHC PBC：MH 平面平面平面不难证明⊥∴⊥四、随堂练习1. 在下列关于直线m l ,与平面βα,的命题中,真命题是( )(A) 若β⊂l 且βα⊥，则α⊥l (B) 若β⊥l 且βα//，则α⊥l . (C) 若β⊥l 且βα⊥，则α//l (D) 若m =βα 且m l //，则α//l2.正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1,AA AB 上的点，若0190=∠NMC，那么1NMB ∠的大小是 （ ）(A) 大于090 (B) 小于 090 (C) 等于 090 (D) 不确定3．在正四面体ABC P -中，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 （ C ） （A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面PAE （C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面ABC 4． 下列命题正确的是(A) 一个四边形有三个直角，那么该四边形是矩形； (B) 过空间一点作已知平面的垂线只能作一条；CHNMCBAP(C) 过空间一条直线至少能作一个平面与已知平面垂直； (D) 过空间一条直线至少能作一个平面与已知平面平行.5. 平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π，过B A ,分别作两平面交线的垂线，垂足为','B A ，则'':B A AB = （ ）（A ）2∶1 （B ）3∶1 （C ）3∶2 （D ）4∶36.已知二面角βα--l 的大小是0120，平面αγ⊥，βγ⊥，且a =αγ ，b =βγ ，则直线b a ,的夹角是 .7. 直角梯形ABCD 中，BC AD //，090=∠A ， 1==AB AD ，2=BC .沿BD 翻折，使平面ABD ⊥平面BCD . (1) 求二面角A CD B --的大小； (2) 证明：平面ABC ⊥平面ADCABBC8．点P 是边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一动点，始终保持平面APB ⊥平面PBC ，且平面APC ⊥平面PBC ，求点P 到平面ABC 的最大距离.CB9. 三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，（1）求证：AB ⊥BC；（2）设AB=BC=32，求AC与平面PBC所成角的大小.PAC B10．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=AF=1，M是线段EF的中点。
平面与平面垂直的性质
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥ 如果 ⊥β (1) α里的直线都和 垂直吗？ 里的直线都和β垂直吗 里的直线都和 垂直吗？ (2)什么情况下 里的直线和 垂直？ 什么情况下α里的直线和 垂直？ 什么情况下 里的直线和β垂直
思考3:对于三个平面α 思考3:对于三个平面α、β、γ， 3:对于三个平面 如果两个相交平面都垂直于另 α 如果α⊥γ β⊥γ， α⊥γ， 如果α⊥γ，β⊥γ， ∩ β = l ，那 一个平面， 一个平面，那么这两个平面的 么直线l与平面 的位置关系如何？ 与平面γ 么直线 与平面γ的位置关系如何？ 交线垂直于这个平面. 交线垂直于这个平面. 为什么？ 为什么？
b⊥l
b ⊂ α ⇒ a // α a ⊄α
求证： 求证：如果一个平面与另一个平面的 垂线平行， 垂线平行，则这两个平面互相垂直
αb A B
a β
γ
如图，四棱锥P ABCD的底面是 例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，AB=2， 侧面PAB PAB是 矩形，AB=2BC = 2 ，侧面PAB是 ， 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. PAB⊥底面 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. 证明：侧面PAB⊥侧面PBC PAB⊥侧面PBC； （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； 求侧棱PC与底面ABCD所成的角. PC与底面ABCD所成的角 （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
C
D' A’ B’
C’
思考:一般地， 思考:一般地， α ⊥ β , α ∩ β = CD AB ⊂ α , AB ⊥ CD ,垂足为B，那么直 垂足为B AB与平面 的位置关系如何？ 线AB与平面 β 的位置关系如何？ 为什么？ 为什么？
2.3.4平面与平面垂直的性质
B 设过直线a与平面内的一点的平面与平面的交线为 b,∵a//,∴a//b,∵a⊥AB,∴b⊥AB,∵b在平面 内,⊥β,∴b⊥β,∴a⊥β
例3.已知平面, , 满足⊥, , ∩ l.求证: l⊥
证明: 如图,
设 m, n.
在γ内任取一点A(不在m,n上),
在γ内过点A作 a⊥m, b⊥n.
(A) 如果平面 ⊥平面 , 那么平面 内所 有直线都垂直于平面
(B) 如果平面 ⊥平面 , 那么平面 内一 定存在直线平行于平面
(C) 如果平面 不垂直于平面 , 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
(D) 如果平面 ⊥平面 , 平面 ⊥平面 , ∩ l, 那么l⊥
(D)选项的证明看:例3.
∵ , ,
∴a⊥, b⊥.
β
又∵ l,
∴ a⊥l, b⊥l.
γn
l α
am bA
a, b,
a∩bA,
⇒l⊥.
结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个 平面的交线垂直于这个平面.
如图：
l α
β γ
判断线面垂直的两种方法：
①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.
例4.AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一 点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC。
2. 已知两个平面垂直, 下列命题
① 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线.
② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的无数条直线. 另一个平面内垂直于前一个平面的无数条直线.
③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线, 则此垂 线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是 ( B )
平面与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质教学目的：使学生掌握平面与平面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，并会用性质定理解答问题。
教学重点：平面与平面垂直的性质及其应用。
教学难点：掌握两个平面垂直的性质及应用．教学过程：一、复习引入：1、二面角的定义，两平面垂直的定义2、平面垂直的判定定理二、研探新知探究:如图，设α⊥β，α∩β＝CD，AB α，AB⊥CD，且AB∩CD＝B，我们看直线AB与平面β的位置关系。
在β内作直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角α－CD－β的二面角，由α⊥β知，AB⊥BE，又AB⊥CD，BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB⊥β。
归纳得到平面与平面垂直的性质定理:定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
探究：1.若两个平面垂直，过其中一个平面内一点能否作另一个平面的垂线？2.这条直线与这个平面有何关系？可作多少条这样的垂线？例1、如图，已知平面α，β满足α⊥β，直线a满足a⊥β，a α，试判断直线a与平面α的位置关系。
探究：已知平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，试判断直线a与平面β的位置关系？例2.已知:α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a。
求证:a⊥γ.三、归纳小结: 1.平面与平面垂直的性质定理2. 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
四、课堂小练1、练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（）A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.2、下列命题中，正确的是（）A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直D、a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.3、二面角α－l－β是直二面角，a ∈α，b∈β，且a、b与l都是斜交，那么 ( )A. a与b可能垂直，但不可能平行．B. a与b可能垂直，也可能平行．C.a与b不可能垂直，但可能平行．D. a与b不可能平行，也不可能垂直．4、在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是 ( )A.若l β且α⊥β,则l⊥α.B. 若l⊥β且α∥β,则l⊥α.C.若l⊥β且α⊥β,则l∥α.D. 若α∩β=m且l ∥m,则l∥α.5、在互相垂直的两个平面中，下列命题中①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；④过一个平面内的任意一点作垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内；正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 6、三棱锥P─ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC求证AB⊥BC;PB CA。
课件4： 2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
跟踪训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上， PC⊥平面BDE. (1)证明：BD⊥平面PAC (2)若PA=1，AD=2，求二面角B－PC －A的正切值
（1）证明 ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD. ∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD. 又∵PA PC=P，BD 平面PAD. ∴BD⊥平面PAC. （2）解 设AC与BD交于点O,连接OE, ∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE. 又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO. ∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.
所以Rt△AEB≌Rt△BEP，
所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形．
由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.
因为PC⊥平面AEB，
1
8
所以三棱锥P–ABC的体积V＝ 3 ·S·PC＝ 3 .
自测自评
1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有( D )
A．b∥α
B．b⊂α
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1D1
解析 ∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C， ∴BD⊥平面A1ACC1， ∴BD⊥CE.
谢 谢！
跟踪训练1 已知，如图，直线a⊥α，直线b⊥β，且 AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c. 证明 过点B引直线a′∥a， a′与b确定的平面设为γ， ∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′， 又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ. ∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c① ∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c. 又a′∥a，∴a′⊥c② 由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c.
如图，取AB中点D，连接PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，又因为PD∩CD＝D，
课件12：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
当堂检测
1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，直线 l⊥平面 A1C1(l
与棱不重合)，则( )
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B 与 l 异面
D．B1B 与 l 相交
【解析】 因为 B1B⊥平面 A1C1，又 l⊥平面 A1C1，则 l
∥B1B.
【答案】 B
2．如图 2－3－33 所示，三棱锥 P－ABC 中，平面 ABC
(2)连接 PG，如图， ∵△PAD 为正三角形，G 为 AD 的中点， ∴PG⊥AD. 由(1)知 BG⊥AD，PG∩BG＝G， ∴AD⊥平面 PGB， ∵PB⊂平面 PGB，∴AD⊥PB.
规律方法 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理， 另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直， 故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理．证 明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直； (2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交 线．
图 2－3－30
【思路探究】 (1)由题中平面 PAD⊥平面 ABCD，只需 要证明 BG 垂直于两平面的交线即可．
(2)转化为证 AD⊥平面 PBG 即可． 【自主解答】 (1)∵在菱形 ABCD 中，G 为 AD 的中点， ∠DAB＝60°，∴BG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴BG⊥平面 PAD.
思想方法技巧 折叠问题的求解策略 典例 如图 2－3－32，在矩形 ABCD 中，AB＝2AD，E 是 AB 的中点，沿 DE 将△ADE 折起． (1)如果二面角 A－DE－C 是直二面角，求证：AB＝AC； (2)如果 AB＝AC，求证：平面 ADE⊥平面 BCDE.
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王新敞
奎屯
新疆
求证：AB ． A D 证明：在 内过 B 作 BE CD B E 则由题意得 ABE 是 CD 的平面角， C ∵ 知 AB BE
又∵ AB CD 且 CD BE B ∴．AB
.面面垂直的性质定理
, CD, AB , AB CD于点B AB
思考1、已知平面α、β和直线a，若α⊥β， a⊥β，则直线a与平面α具有什么位置关系？
a ,或 a
思考2、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过 点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么 位置关系？P72 直线a必在平面α内，
思考1、已知平面α、β和直线a，若α⊥β， a⊥β，则直线a与平面α具有什么位置关系？
P
A
E
D
B
C
例3、如图，在空间四边形ABCD中，△BCD 是正三角形， △ABD是等腰直角三角形，且 ∠BAD=90 ，又二面角A-BD-C为直二面角， 求二面角A-CD-B的大小的正切值
O
A
B
H
D F C
练习1： 已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面， 平面 PDC 与平面ABCD 成 45°角， M、N 分别为 AB、PC 的中点． 求证：平面 MND⊥平面 PDC.
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个 平面互相垂直
A
D E
B
C
直线和平面垂直的性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行
a a b b
a
b
练习：两条异面直线不能同时和一个平面垂直
新课:两平面垂直的性质定理：
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线 的直线垂直于另一个平面 , CD, AB , AB CD 于点 B 已知：
线面垂直的判定
1.定义法 2.判定定理 l m, l n,
l m n
m ,n mn B 3.一个结论（第二判定定理） a b a b ，
l
B
a
b
平面与平面的垂直的判定
1 两个平面垂直的定义： 平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角 的两平面，叫做互相垂直的平面 2．两平面垂直的判定定理：
一条直线与平面 垂直，所以直线 a应与直线 b重合 a
a P a
c C
a a p c P
例1、已知
a, , ，求证： a
a A P
M
．
N C
B
结论：若两个相交平面都垂直于同一平面，则它 们的交线也垂直于这个平面.
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，AB=2， BC 2，侧面PAB是 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
a ,或 a
结论：垂直于两个垂直平面中的一个平面的直线 或在另一个平面内或平行于另一个平面.
1.已知平面 、 ， ，直线a满足a ， a ，试判断直线a与的位置关系.
解；在 内作垂直于 与交线的直线 b 因为 ，所以 b，因为 a , 所以 a // b ,又因为 a ,所以 a // , 即直线 a与平面 平行
b
a
思考2、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过 点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么 位置关系？ 直线a必在平面α内，
结论：两个平面垂直，过一个平面内一点的另一 个平面的垂线必在第一个平面内.
2.已知： , P , P a , a 求证：a
证明：设 c , 过点 P在平面 内作 b c 根据上面的定理有 b ，因为经过一点只能有
图 27
练习 2 正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中， Ｅ、Ｆ、Ｍ、Ｎ分别是Ａ１Ｂ１、ＢＣ、Ｃ１ Ｄ１、Ｂ１Ｃ１的中点。 （１） 求证：平面ＭＮＦ⊥平面ＥＮＦ。 （２） 求二面角Ｍ－ＥＦ－Ｎ的平面角的 正切值。
三． 小结：
1、两平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则 一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 2、垂直于两个垂直平面中的一个平面的直线或 在另一个平面内或平行于另一个平面. 3、两个平面垂直，过一个平面内一点的另一个 平面的垂线必在第一个平面内. 4、若两个相交平面都垂直于同一平面，则它们 的交线也垂直于这个平面.
作业1.成才之路相关内容 2.状元之路17