复合函数定义论文
对复合函数的认识
对复合函数的认识复合函数是数学中的一个重要概念，它是由两个或多个函数组合而成的新函数。
在实际问题中，复合函数常常被用来描述复杂的关系和变化规律。
我们来看一下复合函数的定义。
设有两个函数f(x)和g(x)，复合函数就是将g(x)的输出作为f(x)的输入，即f(g(x))。
在复合函数中，g(x)被称为内函数，而f(x)被称为外函数。
复合函数的定义域和值域由内函数和外函数的定义域和值域决定。
复合函数的求解过程可以理解为将输入值按照内函数的规则进行处理，再将处理后的结果作为外函数的输入进行计算。
这种层层嵌套的计算方式使得复合函数能够描述更加复杂的关系。
复合函数在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，复合函数可以用来描述生产函数和需求函数之间的关系。
在物理学中，复合函数可以用来描述物体的运动规律。
在工程学中，复合函数可以用来描述信号的传输和处理过程。
在求解复合函数时，我们需要注意一些常见的问题。
首先是复合函数的定义域和值域。
由于复合函数的定义域和值域受到内函数和外函数的限制，因此我们需要确定内函数和外函数的定义域和值域，并求解它们的交集来确定复合函数的定义域和值域。
其次是复合函数的可微性。
如果内函数和外函数都是可微的，那么复合函数也是可微的。
我们可以利用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则告诉我们，复合函数的导数等于内函数的导数乘以外函数的导数。
这种求导的方法在微积分的应用中非常常见。
复合函数还具有一些特殊的性质。
例如，复合函数的奇偶性与内函数和外函数的奇偶性有关。
如果内函数和外函数都是偶函数或者都是奇函数，那么复合函数也是偶函数。
如果内函数是奇函数，外函数是偶函数，那么复合函数是奇函数。
复合函数还可以通过反函数来求解。
如果复合函数是一一对应的，那么可以通过求解内函数和外函数的反函数来求解复合函数的反函数。
反函数的求解在解方程和求解逆变换等问题中非常有用。
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。
函数的复合深入理解函数的复合及其应用
函数的复合深入理解函数的复合及其应用函数的复合——深入理解函数的复合及其应用函数的复合是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题以及数学推导过程中起到了重要的作用。
本文将深入探讨函数的复合及其应用，并通过具体的例子来说明其作用和运用方法。
一、函数的复合概念函数的复合可以理解为将一个函数的输出作为另一个函数的输入，即通过将一个函数的结果代入到另一个函数中，从而得到最终的输出结果。
复合函数的定义如下：设有函数f(x)和g(x)，则复合函数可以表示为：f(g(x))。
在复合函数中，g(x)先于f(x)进行操作，即先将x代入g(x)中得到中间结果，再将中间结果代入f(x)中，最终得到输出结果。
二、函数的复合性质函数的复合具有以下性质：1. 与运算顺序有关：函数的复合与复合的顺序有关，即f(g(x))不等于g(f(x))，除非f(x)和g(x)是同一个函数。
2. 不满足交换律：一般情况下，函数的复合不满足交换律，即f(g(x))不等于g(f(x))。
这是因为在复合函数中，函数的执行顺序是固定的，不能随意交换。
3. 结合律成立：函数的复合满足结合律，即f(g(h(x)))等于(f∘g)(h(x))等于f(g(h(x)))。
这个性质可以方便我们简化复合函数的书写和计算。
三、函数的复合应用函数的复合在数学推导和实际问题求解中具有广泛的应用。
下面通过几个具体的例子来说明函数的复合的应用。
例1：函数的复合在代数中的应用考虑函数f(x) = 2x + 1和函数g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))。
首先将x代入g(x)得到中间结果：g(x) = x^2 + 1将中间结果代入f(x)得到最终结果：f(g(x)) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) + 1 = 2x^2 + 3因此，复合函数f(g(x))为2x^2 + 3。
例2：函数的复合在几何中的应用考虑两个函数f(x) = 2x和g(x) = x + 3，表示变量x的平移和缩放。
复合函数的几个性质及其应用
复合函数的几个性质及其应用2复合函数的性质及其应用有关函数的知识是高中数学的重要内容，也是高考及竞赛的重点、热点，同时也是难点。
由几种初等函数复合而成的函数更因其概念抽象，综合程度较高，解题方法灵活，给教与学带来了一些困难，现行教科书上并未对其作系统介绍，本文拟讨论形如y=f[g(x)]的复合函数的几个性质及其应用。
复合函数的定义：一般地，若函数y=f(u)的定义域为P ，而函数u=g(x) 的定义域为M ，值域为C ，并且C 包含在P 内，那么对于M 内的每一个值x 经过中间变量u ，相应地得到唯一确定的一个值y ，于是y 经过中间变量u 而成为x 的函数，记为：y=f[g(x)]。
这种函数称为复合函数。
（函数u=g(x)的值不超过函数y=f(u)的定义域是极重要的）。
y=f(u)叫做复合函数的外函数，u=g(x)叫做复合函数的内函数。
一、 定义域 ：复合函数y=f[g(x)]的定义域是函数u=g(x)的定义域中使值属于y=f(u)的定义域的部分。
例1， 设函数f(x)的定义域是[0，4]，求函数f(2x )的定义域解：∵f(x)的定义域为[0，4] ∴0≤2x ≤4， 即-2≤x ≤2∴f(2x )的定义域为 [-2，2]二、值域：求复合函数的值域时即要考虑内函数的值域又要兼顾外函数的定义域。
例2 求函数)32(log 25.0+-=x x y 的值域解：∵ 44)1(3222≥+--=+-x x x 又0322>+-x x∴43202≤+-<x x345得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=≥+-=≤-≤>-045)1(01)0(1230023k g k g k k k 解得：0≤k ≤54若y=f(x)具有单调性由复合函数单调性很容易得出以下结论：1、y=f(x)与y=-f(x)的单调性相异;2、若f(x)≠0则y=f(x)与)(1x f y =的单调性相异; 3、若f(x)＞0则y=f(x)与)(x f y =的单调性一致. 例5 讨论 21x xy += 的单调性 解：∵21x xy += 是奇函数∴在(-∞, 0)与(0, +∞)上具有相同的单调性， 当x ＞0时2111x y +=2x y = 递增 ⇒ 21x y =递减 ⇒211x y +=递减⇒2111x y +=递增。
复合函数
定理 当内层函数 为偶函数时，复合函数 为偶函数〔此时 可为任意函数〕，简记为“内偶那么偶〞。
定理 当内层函数 为奇函数时，假设外层函数 为奇函数，那么复合函数 为奇函数；假设外层函数 为偶函数，那么复合函数 为偶函数，简记为“内奇外奇那么为奇〞、“内奇外偶那么为偶〞。
5、判断函数单调性 通常做法仍然是由函数单调性的定义判断，但假设其中某层中间变量没有单调性时，那么复合函数无单调性。只有复合函数的各层子函数在定义域上均为严格单调函数时，复合函数才具有单调性，并可用以下法那么判断复合函数的单调性。
定理 当 ， 均为增函数时，那么复合函数 为增函数；当 ， 均为减函数时，那么复合函数 为增函数，简记为“同向为增〞。
二、复合函数的简单性质
在中学，我们可以探讨复合函数的哪些性质呢？和常见的根本初等函数一样，我们可以探讨复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、极值与最值。探讨过程中，最关键的是要注意复合映射的多层制约，是否使复合函数仍有定义，研究它的每一层映射对复合函数性质的影响。
1、求定义域 因为多层复合映射结构复杂，所以使得求复合函数定义域的题型形式多样，现列举主要题型如下。
先由复合函数求得原函数，再求原函数的最值。
，求函数 的最值。
解：令 ，那么 ，于是得 ，
， ；
即 ，
当 时， ；当 时，因 ，故 ，
，且当 时, ；当 时, 。
8、求反函数 当复合函数 的各层子函数均为严格单调函数时，有反函数。一般先逐层求出各层子函数的反函数，然后复合为原函数的反函数，或用穿脱原那么从外到内依次取原映射的逆映射。注意由原函数的值域写出它的反函数的定义域。
为了表达和应用的方便，我们通常用“层〞来描述上述不同的映射所对应的函数。从外向内看，函数 中，称 定义的函数 为外层函数〔外函数〕，称 定义的函数 为内层函数〔内函数〕，且称函数 为函数 和 复合一次得到。这里外层函数的映射法那么 和内层函数的映射法那么 ，构作的复合函数的映射法那么称为复合映射 〔注意：不能把 读作“ 乘 〞，因为复合映射不具有交换律，即 ，这是复合映射很重要的一个根本特征〕。有人形容复合映射 是具有传递性的两个映射 和 的链条，可以帮助我们理解复合函数的内涵。
复合函数概念精析
0 / 14复合函数概念精析蓝田县洩湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。
但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要。
一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u 又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f ［g(x)］叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。
例如y=sin 2x它与y=sin x不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sin u和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。
由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。
1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。
它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形1 / 14如a·f(x)±b·g(x)或a·f(x)·b·g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。
这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。
自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。
例如，复合函数y=sin 2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin 2x。
因此有人说复合函数是函数的函数。
复合函数方法-概述说明以及解释
复合函数方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：复合函数方法是数学中一种重要的思维工具和求解技巧。
在数学分析、微积分、线性代数等领域中，复合函数方法被广泛运用于问题的求解和理论的推导中。
本文旨在系统地介绍复合函数方法的基本理论和应用，探讨其在不同领域的优势和发展前景。
复合函数是指由两个或多个函数相互作用而形成的一种新函数。
通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入，复合函数方法可以将原来的问题转化为更简单的形式，从而更方便地分析和解决。
复合函数方法的关键思想在于将复杂问题分解成若干个简单的部分，通过逐步推导和组合，最终得到整体问题的解决方案。
本文将首先介绍复合函数的定义和基本性质，包括复合函数的可交换性、结合性以及复合函数和原函数之间的关系。
在此基础上，将进一步探讨复合函数方法在实际问题中的应用。
例如，在微积分中，通过对一次函数和多项式函数进行复合，可以求解复杂的函数极限、导数和积分；在线性代数中，复合函数方法可以用于分析线性变换和矩阵运算等。
复合函数方法的应用不仅限于数学学科，还广泛应用于物理学、工程学以及经济学等其他领域。
复合函数方法的优势在于它能够将复杂问题简化为易于理解和处理的形式，从而提高问题求解的效率。
通过灵活地选择合适的函数进行复合，可以将复杂问题转化为熟悉的基本函数形式，从而更容易应用数学工具和技巧进行推导和计算。
此外，复合函数方法还能够将不同领域的知识和技巧进行有机结合，促进学科之间的交叉与融合。
展望复合函数方法的发展，我们可以预见其在未来的科学研究和工程实践中将发挥更加重要的作用。
随着科学技术的不断进步和学科的不断发展，我们将面临更加复杂和多样化的问题。
复合函数方法将继续在这些问题的求解和理论研究中发挥重要的作用，并为我们提供更有力的工具和思维方式。
综上所述，复合函数方法是一种重要的数学思维工具和求解技巧。
通过将原问题转化为更简单的形式，复合函数方法能够提高问题求解的效率和精确度，并促进学科之间的交叉与融合。
复合函数含义
复合函数含义复合函数含义：函数y=log 2x 是对数函数，那么函数y=log 2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log 2u ，u=2x-1，因此函数y=log 2(2x-1)是由对数函数y=log 2u 和一次函数u=2x-1经过复合而成的。
一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
简言之：复合函数就是: 把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x 2+1; 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x 换成g(x),f(g(x)) = 3g(x)+5 = 3(x 2+1)+5 = 3x 2+8.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型：（一）求复合函数表达式；（二）求复合函数相关定义域；（三）复合函数的单调性；（四）函数性质等与复合函数结合。
新课程中复合函数相关题： 7，如果tt t g t t t f -=+=1)(,1)(，证明：)(2)()(2t g t g t f -=-。
8、已知函数)(x f 与)(x g 分别由下表给出，那么_____________________))1((=f f _____________________))2((=g f _____________________))3((=f g _____________________))4((=g g9、设函数32)(+=x x f ，函数53)(-=x x g ，求))(()),((x f g x gf 。
7、已知)(x f 是一个定义在R 上的函数，求证：（1）)()()(x f x f xg -+=是偶函数；（2）)()()(x f x f x h --=是奇函数。
浅谈复合函数
浅谈复合函数复合函数是一种非常有用的数学工具，它可以用来描述多个函数之间的关系。
在本文中，我们将讨论复合函数的定义、性质以及如何求解复合函数。
首先，让我们来了解一下复合函数的定义。
定义：若函数 f 和 g 都是定义在一个集合 D 上的函数，则将函数 g 当作函数 f 的输入，并得到函数 h，则称函数 h 为函数 f 和 g 的复合函数，记作 h = f(g(x))。
例如，若函数f(x)=x^2+1，函数g(x)=x+1，则函数h = f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2+1。
注意，复合函数的定义并不是将函数 f 和 g 相乘或相加，而是将函数 g 作为函数 f的输入。
现在，让我们来看一看复合函数的一些性质。
性质 1：复合函数的定义域是函数 g 的定义域。
性质 2：复合函数的值域是函数 f 的值域。
性质 3：若函数 f 和 g 都是单射函数，则复合函数 h 也是单射函数。
性质 4：若函数 f 和 g 都是可导函数，则复合函数 h 也是可导函数。
性质 5：若函数 f 和 g 都是连续函数，则复合函数 h 也是连续函数。
接下来，我们来讨论如何求解复合函数。
假设我们已经知道函数 f 和 g，并想要求出复合函数 h。
那么，我们需要做的就是将函数 g 代入函数 f 中，并得到函数 h。
例如，若函数f(x)=x^2+1，函数g(x)=x+1，则函数h = f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2+1。
注意，在求解复合函数时，我们需要先将函数 g 代入函数 f 中，再得到函数 h。
因此，我们可以将复合函数表示为 h(x)=f(g(x))。
此外，我们还可以使用复合函数的运算法则来求解复合函数。
这一运算法则规定，若函数 f 和 g 分别为函数 h 和 k 的复合函数，则函数 f 和 g 的复合函数为(f∘g)(x)=f(g(x))。
例如，若函数 f(x)=x^2+1，函数 g(x)=x+1，函数 h(x)=x^3+1，函数 k(x)=x+2，则函数 f 和 g 的复合函数为(f∘g)(x)=f(g(x))=(x+1)^2+1，函数 h 和 k 的复合函数为(h∘k)(x)=h(k(x))=(x+2)^3+1。
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复合函数定义探析
本文讨论复合函数定义中容易引起误解之处，并从数学运算的角度给出复合函数的一个更易于理解的定义.
关于复合函数，很多教科书给的都是类似如下定义：
设函数y=f(u)的定义域是df，函数u=g(x)的值域是zg，若zg ∩df不为空集，则将y=f(g(x))称为由函数y=f(u)和u=g(x)构成的复合函数.y=f(u)称为外层函数，u=g(x)称为内层函数，也称为中间变量.
对于上面这个定义，不少人通过学习之后，都认为y=f(u)与
y=f(g(x))是相同的函数，因为它们都用y来表示.
那么，这两个函数到底是不是相同的呢？
首先，要判断两个函数是否相同，主要是考虑两个函数的定义域和对应法则是否都相同.看下面的例子，设f(u)=u2，g(x)=x+lnx，则得复合函数为f(g(x))=(x+lnx)2.第一，很显然f(u)=u2的定义域是r，而f(g(x))=(x+lnx)2的定义域是r+，所以这两个函数的定义域并不相同.第二，f(u)=u2的对应法则是对自变量进行平方，而f(g(x))=(x+lnx)2的对应法则是对自变量求自然对数后再加上自变量本身，最后才平方，所以这两个函数的对应法则也是不相同的.
其次，不妨假设f(u)与f(g(x))相同，现有以下三个函数
f(u)=u2，g1(x)=x+lnx与g2(x)=lnx，那么f(u)=u2与g1(x)=x+lnx 复合可得f(g1(x))=(x+lnx)2，f(u)=u2与g2(x)=lnx复合可得
f(g2(x))=(lnx)2.按照相同的假设，这里得到的两个复合函数都等于f(u)，即f(g1(x))=(x+lnx)2=f(u)=f(g2(x))=(lnx)2，这显然是错误的.
最后，函数的复合是一种数学运算，而数学运算指的是“依照数学法则求出算式结果的过程”(《现代汉语实用词典》南方出版社).可以这么理解，数学运算是对已知量实施了某些动作，产生新的量的过程.复合函数就是几个已知函数进行运算后得到的新函数，这个新函数怎么会在任何情况下都等于前面的其中一个已知函数呢？如果都等的话，这种运算便形同虚设了.所以，如果认为函数f(u)与f(g(x))是相等的，就如同是“当2+3=5时”，认为2和5是相等的一样.
由上述几点可知，函数f(u)与f(g(x))是不相同的函数，既然是不相同的，在一个命题里面，就不应该用相同的符号来表示，要不就会造成误解，这正是不少人认为它们是相同的最直接的原因.另外，对于复合函数的定义，再从数学运算这一数学基本概念方面进一步强调其含义，就会更加清晰一些.因此，下面给出一个更易于理解的定义：
定义（复合函数）已知函数f(u)和g(x)，把g(x)代入f(u)得到f(g(x))的过程（代入指把u都换成g(x)），称为函数的复合运算.若f(g(x))存在，则称f(g(x))是由f(u)和g(x)复合而成的复合函数，此时称f(u)为外层函数，g(x)为内层函数，称u为中间变量，记作u=g(x).若f(g(x))不存在，则称f(u)和g(x)进行复合运
算时没有意义.
几点说明
（1）f(g(x))不存在是指自变量x的取值范围是空集，即定义域为空；
（2）求函数时除了要写出函数的对应法则（常表现为表达式），还要写出函数的定义域，求复合函数也应如此；
（3）函数的复合运算可以由多个函数按一定的先后顺序进行，如由f(u)，g(v)，h(x)按顺序进行复合运算可得f(g(h(x))).
几个求复合函数的例子：
例1已知函数f(u)=log2u，g(x)=x2+1，则f(u)和g(x)进行复合运算应得f(g(x))=log2(x2+1)，其定义域为r=(-∞，+∞)非空，所以复合函数f(g(x))=log2(x2+1)存在.
例2已知函数f(u)=log2u，g(x)=x2-x，则f(u)和g(x)进行复合运算应得f(g(x))=log2(x2-x)，其定义域d=(-∞，0)∪(1，+∞)非空，所以复合函数f(g(x))=log2(x2-x)存在.
例3已知函数f(u)=log2u，g(x)=-x2-1，则f(u)和g(x)进行复合运算应得f(g(x))=log2(-x2-1)，但此函数定义域d=
f(g(x))不存在，即f(u)和g(x)进行复合运算时没有意义.
【参考文献】
［1］华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教育出版社.
［2］周誓达.微积分.北京：中国人民大学出版社.
［3］肖林元.函数的定义域会空吗.数学教学，1996（1）.。