2018年高考数学复合函数定义
高一数学复合函数讲解
1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。
例如：函数是由复合而成立。
函数是由复合而成立。
a是中间变量。
2、复合函数单调性由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。
对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。
∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。
有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。
注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。
例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。
②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。
∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。
注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。
1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。
2、已知求g（x）的单调区间。
提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。
如何应对高考数学中的复合函数
如何应对高考数学中的复合函数高考数学中的复合函数是很多学生感到头痛的一道难题。
虽然这不是高考数学中最难的部分，但如果不懂得正确地应对复合函数，依然会给考生带来很大的困扰。
因此，本文将从以下三个方面，给大家介绍一些应对高考数学中的复合函数的方法。
一，理解复合函数的概念首先，复合函数是指把一个函数f(x)的结果作为另一个函数g(x)的自变量，而得到的函数h(x)，即h(x)=g(f(x))。
因此，如果要计算复合函数的值，就需要按照定义，先求得f(x)的值，然后再将f(x)的值代入g(x)中求得g(f(x))，最终得到复合函数的值h(x)。
对于初学者来说，理解复合函数的概念是很重要的，因为只有理解了概念，才能更好地掌握应对复合函数的方法。
因此，建议在学习复合函数时，不要急于求快，要花时间理解概念，巩固基础。
二，掌握复合函数的求导规则在高考数学中，求导也是一个重要的考点。
对于复合函数的求导，我们可以使用链式法则。
链式法则是指，在求复合函数的导数时，先对外层函数求导，然后再乘上内层函数的导数。
具体而言，设函数y=h(x)=g(u), u=f(x)，则有：$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$其中，$\frac{dy}{du}$表示外层函数对u的导数，$\frac{du}{dx}$表示内层函数对x的导数。
他们的乘积即为复合函数的导数。
需要注意的是，在使用链式法则时，要注意导数的顺序。
也就是说，外层函数和内层函数的求导顺序不能颠倒。
否则，将会得到错误的结果。
三，做好必要的准备工作学好复合函数还需要做好一些必要的准备工作。
例如，要熟练掌握函数极限、导数和微分等概念。
在计算复合函数的导数时，有时候还需要用到其他的导数公式，如乘积法、商积法和复合函数求导的高阶方法。
因此，在学习复合函数时，需要将这些公式进行系统整理，建立起较为完善的概念体系。
此外，对于复合函数的计算，还需要灵活运用换元法、分部积分法等解题方法。
复合函数
定理 当内层函数 为偶函数时，复合函数 为偶函数〔此时 可为任意函数〕，简记为“内偶那么偶〞。
定理 当内层函数 为奇函数时，假设外层函数 为奇函数，那么复合函数 为奇函数；假设外层函数 为偶函数，那么复合函数 为偶函数，简记为“内奇外奇那么为奇〞、“内奇外偶那么为偶〞。
5、判断函数单调性 通常做法仍然是由函数单调性的定义判断，但假设其中某层中间变量没有单调性时，那么复合函数无单调性。只有复合函数的各层子函数在定义域上均为严格单调函数时，复合函数才具有单调性，并可用以下法那么判断复合函数的单调性。
定理 当 ， 均为增函数时，那么复合函数 为增函数；当 ， 均为减函数时，那么复合函数 为增函数，简记为“同向为增〞。
二、复合函数的简单性质
在中学，我们可以探讨复合函数的哪些性质呢？和常见的根本初等函数一样，我们可以探讨复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、极值与最值。探讨过程中，最关键的是要注意复合映射的多层制约，是否使复合函数仍有定义，研究它的每一层映射对复合函数性质的影响。
1、求定义域 因为多层复合映射结构复杂，所以使得求复合函数定义域的题型形式多样，现列举主要题型如下。
先由复合函数求得原函数，再求原函数的最值。
，求函数 的最值。
解：令 ，那么 ，于是得 ，
， ；
即 ，
当 时， ；当 时，因 ，故 ，
，且当 时, ；当 时, 。
8、求反函数 当复合函数 的各层子函数均为严格单调函数时，有反函数。一般先逐层求出各层子函数的反函数，然后复合为原函数的反函数，或用穿脱原那么从外到内依次取原映射的逆映射。注意由原函数的值域写出它的反函数的定义域。
为了表达和应用的方便，我们通常用“层〞来描述上述不同的映射所对应的函数。从外向内看，函数 中，称 定义的函数 为外层函数〔外函数〕，称 定义的函数 为内层函数〔内函数〕，且称函数 为函数 和 复合一次得到。这里外层函数的映射法那么 和内层函数的映射法那么 ，构作的复合函数的映射法那么称为复合映射 〔注意：不能把 读作“ 乘 〞，因为复合映射不具有交换律，即 ，这是复合映射很重要的一个根本特征〕。有人形容复合映射 是具有传递性的两个映射 和 的链条，可以帮助我们理解复合函数的内涵。
复合函数
当 a 0 时,显然适合题意.
当
a0
a0 时 0a4 2 a 4a 1 0
综上知函数的单调性
引理1：函数y f [ g ( x)],若u g ( x)在区间(a, b)上单增， 其值域为(c, d ), 又函数y f (u )在区间(c, d )上是增函数， 那么复合函数y f [ g ( x)]在区间(a, b)上是增函数。
1 x
2 x 2 x 1
的单调区间。
2.求函数y 2 的单调区间。 3.求函数y 4 2 的单调区间。
x x
则u 2 x 2 1在(,0)上单增，在(0,)上单减， y 2 在区间(,1)上单增，
u
y 2 , u (,1)
u
(,0)
u 2 x 2 1
(0,)
y 2u
y2
2 x 2 1
单增 单增 单增
单减 单增 单减
故y 23x1在(,0)上单减，在 (0,)上单增。
f (u1 ) f (u2 ) 即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上单减。
记u1 g ( x1 ), u2 g ( x2 ) 则u1 u2，且u1 , u2 (c, d ) 又y f (u )在区间(c, d )上单增
复合函数y f [ g ( x)]的单调性是由内层函数 u g ( x) 和外层函数 y f (u)单调性共同决定的。
g(x) f(x)
单增 单增
单增 单减 单减
单减 单增 单减
单减 单减 单增
f[g(x)] 单增
例1 ：求函数y 2
3 x 1
复合函数概念精析
0 / 14复合函数概念精析蓝田县洩湖中学王锦锋复合函数概念精析复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。
但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要。
一、复合函数的概念我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u 又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f ［g(x)］叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。
例如y=sin 2x它与y=sin x不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sin u和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。
由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。
1、由字面理解“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。
它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形1 / 14如a·f(x)±b·g(x)或a·f(x)·b·g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。
这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。
自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。
例如，复合函数y=sin 2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin 2x。
因此有人说复合函数是函数的函数。
高考数学知识点之复合函数
高考数学知识点之复合函数在学习过程中，专门多同学在遇到如此的问题时容易犯错误：例f(x)的定义域为[2,3]，求f(x+1)的定义域答案怎么说是[1,2]依旧[3,4]呢?专门多同学会在那个问题上犹豫。
有些时候一些小问题弄不明白事实上反映的是知识体系上的一个大缺漏。
在那个问题上犹豫说明同学对复合函数的定义还并没有明白得透彻，因此顺着如此一条线索我们来一同复习一下复合函数相关的知识要点。
一、复合函数的概念从映射的角度来说，复合函数f(g(x))确实是从一个集合D先通过对应关系f映射到集合A，再从A通过对应关系g映射到集合B上。
其中x的定义域为集合D，f(g(x))的值域为集合B。
从函数的嵌套这一角度来说，就相当于从集合D中取一个x值，先算出g(x)的值再带入f()里头进行运算得到的结果。
实际显现的比较容易让人混淆的复合函数，其特点要紧是f()括号内部类似x，却不是x。
例如f(-x)、f(x+1)等，事实上差不多上复合函数。
请注意，只有f()括号内部是x，而不是其他值的时候，f(x)才不是复合函数，否则请一律以复合函数对待。
二、复合函数的定义域第一我们必须明确定义域那个概念指的是什么。
在那个地点，专门多同学混淆了定义域和使对应关系f有意义的范畴这两个概念。
定义域指的是自变量能够取值的范畴。
而使对应关系f有意义的范畴则代表f()那个括号里头能够代入的一切有意义的值，并没有对自变量作出要求。
例如f(x)=1/ x，其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，而使对应关系f有意义的范畴与之相同。
然而关于函数f(x+1)，其定义域应该是自变量能够取值的范畴，而自变量x =-1时x+1=0，导致分母为0，因此x≠-1，故定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，然而使对应关系f有意义的范畴依旧是(-∞,0)∪(0,+∞)。
区分清晰这两点之后，我们便能够解决本文开头的问题。
题目所给对应关系f有意义的范畴是[2,3]，而我们将f(x+1)看成复合函数f(g(x))，为使得f(g(x))有意义，g(x)∈[2,3]，因此解得x∈[1,2]。
复合函数
一分为二，化繁为简——谈复合函数一、引言在新课标高中数学的必修一中，除了常见的一些基本初等函数，例如：,sin ,,log n x a y x y x y a y x ====等等以外，通常还会遇到一些在结构上较为复杂的函数，例如：234(32),sin(21),,log (23)x a y x y x y a y x +=+=+==+等等。
而当我们对这些结构上较为复杂的函数分析其结构特点时，可以发现，这些函数都可看成时由两个基本初等函数经过“复合”而成的。
例如：函数2(32)y x =+，如设32u x =+，则原函数可以看成由函数232y u u x ==+和“复合”而成。
从而使得对函数2(32)y x =+的研究转化为对基本初等函数232y u u x ==+和的分层研究。
函数2log y x 叫对数函数，那么，函数22log (23)y x x =--究竟是一种什么样的函数呢？二、复合函数的相关概念1、定义：一般地：对于两个函数()()y f u u g x ==和，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数y 为()()y f u u g x ==和的复合函数，记作：[()]y f g x =。
在复合函数[()]y f g x =中，()y f u =称为复合函数的外函数，()u g x =称为复合函数的内函数。
2、定义域和值域复合函数的定义域即内函数的定义域，复合函数的值域即外函数的值域。
而外函数的定复合函数的单调性是由内外函数的单调性共同决定的：内函数是增函数+外函数是增函数=复合函数是增函数；内函数是增函数+外函数是减函数=复合函数是减函数；内函数是减函数+外函数是增函数=复合函数是减函数；内函数是减函数+外函数是减函数=复合函数是增函数。
也就是说，当内外函数的单调性相同的时候，复合函数是增函数，当内外函数的单调性不同的时候，复合函数是减函数。
（同增异减）三、复合函数的常见应用1、求定义域或值域1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
高一必修一复合函数知识点
高一必修一复合函数知识点复合函数是高中数学中的一个重要概念，它在函数的运算和应用中扮演着重要的角色。
本文将详细介绍高一必修一中与复合函数相关的知识点。
一、复合函数的定义及表示方法复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过一系列的运算得到最终结果。
一般表示为f(g(x))，其中g(x)是先于f(x)进行的函数操作。
二、复合函数的求解方法1. 基本复合函数的求解：将内函数的输出作为外函数的输入，逐步代入求解。
2. 复合函数的符号表示法：若f(x) = u(x)和g(x) = v(x)，则复合函数可以表示为(u∘v)(x)，即f(g(x))。
3. 复合函数的运算规则：满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
三、复合函数的图像变换1. 反函数的复合：若f(g(x)) = x，g(f(x)) = x，即f(x)和g(x)互为反函数，则(f∘g)(x) = (g∘f)(x) = x。
2. 复合函数的图像对称性：若f(x)在点x处对称，则(f∘g)(x)在g(x)处也有对称性。
四、复合函数的应用领域复合函数在高中数学的各个章节中都有广泛的应用，包括函数的求导、函数的极值、解函数方程等各个方面。
1. 函数的求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)。
2. 函数的极值：根据函数的极值存在性定理，可以通过求解复合函数的导数等方法求得函数的极值。
3. 解函数方程：对于给定的函数方程f(g(x)) = 0，可以通过求解复合函数的根来解得方程的解。
综上所述，复合函数是高一必修一数学中重要的知识点之一。
它不仅在数学理论的研究中有重要应用，也在实际问题的求解中占据重要地位。
通过对复合函数的学习和理解，同学们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高数学水平。
希望本文对大家的学习有所帮助！。
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2018年高考数学复合函数定义域及常见函数解析式的求法总结
（1）定义域一定是x的范围,注意力应放在x上,不管已知定义域,还是求定义域,都是指x范围.如f(3x+1)的定义域为[1,2]是指括号内3x+1中的x的范围是[1,2]
（2）求定义域的方法是：凡是f后面括号内的范围是相同的,不管括号内是什么,通过这个求x范围
如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(x)定义域
由条件可得整个括号内的范围为[4,7]
而f(x)中,括号内只有x,故定义域即为[4,7]
再如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(1-2x)定义域
由上可知括号内范围[4,7]
故1-2x的范围也是[4,7]
解不等式4≤1-2x≤7得出的x范围即为所求的定义域
函数解析式的七种求法
一）求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；
2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；
3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f （x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
~1/3~
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；
（三）求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B 的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；
5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结
函数解析式的七种求法
一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1有一年全国高考题副题有一道题是这样的：分解因式x x－2x y＋y y＋2x－2y－3.
分析待定系数法是初中数学的一个重要方法,我们用这个方法来解这道题：先看多项式中的二次项x x－2x y＋y y,可以分解成（x－y）（x－y）.因此,如果多项式能分解成两个关于x、y 的一次因式的乘积,那么这两个因式必定是（x－y＋m）（x－y＋n）的形式,其中m、n为待定系数,只要能求出m和n的值,多项式便能分解.
解设x x－2x y＋y y＋2x－2y－3＝(x－y＋m)(x－y＋n)＝x x－2x y＋y y＋(m＋n)x＋(－m－n)y＋m n 两个多项式恒等,它们的对应项的系数就对应相等.
∴解之,得m＝－1，n＝3
∴x x－2x y＋y y＋2x－2y－3＝(x－y－1)(x－y＋3)
通过本例可知,用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.
该题最简捷的方法是分组,利用整体思维法（把x－y看成一个整体进行思考）分解因式.
解原式＝(x x－2x y＋y y)＋(2x－2y)－3
＝(x－y)(x－y)＋2(x－y)－3
＝(x－y－1)(x－y＋3)
二、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
例2已知f(x+1)=x^2-2x,求f(x)
令x+1=t，x=t-1
则f（t）=（t-1）²-2（t-1）
=t²-2t+1-2t+2
=t²-4t+3
所以f(x)=x^2-4x+3
用t代换的时候，显然t可以为所有实数R，
如果x也可以为所有实数R的话，那么f(t)和f(x)表示的就是同一个函数
所以最后可以直接把t换成x.
三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3已知已知f((x+1)/x)=(x^2+1)/x^2+1/x.求函数f(x)的解析式.
（用的换元法）：
设t=(x+1)/x(x≠0).
则x=1/(t-1),t≠1.
∴f(t)=(x^2+1)/x^2+1/x
=(1/(t-1))^2+1)/(1/(t-1))^2+1/(1/(t-1))
=t^2-t+1.
∴f(x)=x^2-x+1(x≠1,且x≠0).
四、代入法：求复合函数函数时，一般用代入法。
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例：：已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1,若x N+,试求f(x)的表达式.
解：令y=1
f(x+1)=f(x)+2x+4
所以
f(2)=f(1)+2×1+4
f(3)=f(2)+2×2+4
f(4)=f(3)+2×3+4
依此规律：
f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4
左边相加=右边相加
所以f(x)=x²+3x-3（x∈N+）
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算。