1.3.2正方形的判定上课课件(北师大新版)
合集下载
北师大九年级上1.3正方形的性质与判定(2)课件ppt
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∵四边形ABCD是矩形
B
C
∴∠ABC=90°,∠DCB=90°
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB F
∴∠EBC=
1 2
∠ABC=45°,∠ECB=
∠12 DCB=45°
∴∠EBC=∠ECB ∴EB=EC ∴四边形BECF是菱形
在△EBC中
∵∠EBC=45°,∠ECB=45° ∴∠BEC=90° ∴四边形BECF是正方形
求证：四边形ABCD是正方形。
证明：∵∴四 四边 边形 形AABBCCDD是是菱平形行四边形，B形ABCD是正方形
新知探究
Ⅳ、求证：对角线相等的菱形是正方形。
已知：如图，菱形ABCD中， AC=BD。A
求证：四边形ABCD是正方形。
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形，B AB=AD 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB=90° ∴四边形ABCD是正方形
合作交流
ⅰ、满足什么条件的矩形是正方形？ (1)一组邻边相等
一组邻边相等
(2)对角线互相垂直
对角线互相垂直
新知探究
Ⅱ、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。
已知：如图，矩形ABCD中， AC⊥BDA 。求证：四边形ABCD是正方形。
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD是平行四边形，B ∠DAB=90° 且OB=OD 且AC⊥BD ∴ AB=AD
巩固练习
1、已知：如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的
两点，且BE=DF.
求证：四边形那个AECF是菱形. D F
C
E
A
B
You made my day!
我们，还在路上……
∵四边形ABCD是矩形
B
C
∴∠ABC=90°,∠DCB=90°
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB F
∴∠EBC=
1 2
∠ABC=45°,∠ECB=
∠12 DCB=45°
∴∠EBC=∠ECB ∴EB=EC ∴四边形BECF是菱形
在△EBC中
∵∠EBC=45°,∠ECB=45° ∴∠BEC=90° ∴四边形BECF是正方形
求证：四边形ABCD是正方形。
证明：∵∴四 四边 边形 形AABBCCDD是是菱平形行四边形，B形ABCD是正方形
新知探究
Ⅳ、求证：对角线相等的菱形是正方形。
已知：如图，菱形ABCD中， AC=BD。A
求证：四边形ABCD是正方形。
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形，B AB=AD 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB=90° ∴四边形ABCD是正方形
合作交流
ⅰ、满足什么条件的矩形是正方形？ (1)一组邻边相等
一组邻边相等
(2)对角线互相垂直
对角线互相垂直
新知探究
Ⅱ、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。
已知：如图，矩形ABCD中， AC⊥BDA 。求证：四边形ABCD是正方形。
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD是平行四边形，B ∠DAB=90° 且OB=OD 且AC⊥BD ∴ AB=AD
巩固练习
1、已知：如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的
两点，且BE=DF.
求证：四边形那个AECF是菱形. D F
C
E
A
B
1.3《正方形的性质与判定第2课时》北师大版数学九年级上册教学课件
满足怎样条件的矩形是正方形？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠 部分得到一个正方形，可量一量验证.
【猜想1】当矩形的一__组__邻__边__相_等__时， 【猜想2】当矩形的_对__角__线__互__相__垂__直___时，
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
又∵ AC=BD，
A
∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=
∠COD=∠AOD=90°.
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都
是等腰直角三角形.
B
∴∠BAD=90°.
∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
D O
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
则∠BEC = 90°，所以四边形 BECF 是正方形.
A
D
E
B
C
F
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
➢ 正方形的四个角都是直角，四条边相等. ➢ 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠 部分得到一个正方形，可量一量验证.
【猜想1】当矩形的一__组__邻__边__相_等__时， 【猜想2】当矩形的_对__角__线__互__相__垂__直___时，
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD.
又∵ AC=BD，
A
∴OA=OC=OB=OD，∠AOB=∠BOC=
∠COD=∠AOD=90°.
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都
是等腰直角三角形.
B
∴∠BAD=90°.
∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
D O
C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
则∠BEC = 90°，所以四边形 BECF 是正方形.
A
D
E
B
C
F
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
复习回顾 观察下列实物中的正方形，说一说什么是正方形？
正方形具有 哪些性质呢？
➢ 正方形的四个角都是直角，四条边相等. ➢ 正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
3.正方形的性质与判定第1课时正方形的性质PPT课件(北师大版)
第一章
特殊平行四边形 3．正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
1 …知…识…回…顾…. 2 …新…知…导…航…. 3 …轻…松…过…招….
第1课时 正方形的性质
知识回顾
正方是轴对称图形，它有 4 条对称轴，即经 过对边中点的直线或两对角线所在直线：正方形又 是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心 （也是对边中点的直线的交点）。 .
第1课时 正方形的性质
新知导航
变式训练
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O. （1）若周长为8，则对角线长为 2 2 ， 面积为 4 ； （2）图中共有 8 个等腰直角三角形．
第1课时 正方形的性质
新知导航
2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C 作l的垂线，垂足分别为E，F，若 AE＝1，CF＝3.求AB的长．
第1课时 正方形的性质
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为 BC延长线上一点，且CE＝CF. （1）求证：△BCE≌△DCF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°
CE＝CF
在△BCE和△DCF中， ∠BCE＝∠DCF ，
∴△BCE≌△DCF.
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3， ∴AB＝ AE2＋BE2 ＝ 1＋9 ＝ 10 .
第1课ห้องสมุดไป่ตู้ 正方形的性质
轻松过招
北师大版九年级数学上册1.3.2正方形的判定课件(共17张PPT)_2
怎样判定一个平行四边形是正方形？
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
细心引导 探究新知
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是 正方形？
怎样判定一个平行四边形是正方形？
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
矩形
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是
例2：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。
∴∠EBC=2 ∠ABC=45°∠ECB2= ∠DCB=45° F
∴ ∠EBC∠ECB ∴EB=EC
□ BECF是菱形（菱形的定义）
△EBC中∠EBC=45°∠ECB=45°
∴∠BEC=90°
∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
变式探究 在△ABC中,AB=AC,D是BC的中
点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
选做5、如图，四边形ABCD和DEFG都是正
方形，试说明AE=CG
A
D
解：因为四边形ABCD是正方形，
根据正方形的四边相等，得 AD=CD.
又知四边形DEFG也是正方形，
所以DE=DG. 又因为正方形的每个内角为90°， B
E F
G C
所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC.
所以∠ADE＝∠CDG.
1)求证：DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
A
E
F
B
D
C
合作交流
1. 已知:正方形ABCD中，点E、F 、 G 、 H分别在 AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，试 判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
细心引导 探究新知
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是 正方形？
怎样判定一个平行四边形是正方形？
既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
矩形
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是
例2：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。
∴∠EBC=2 ∠ABC=45°∠ECB2= ∠DCB=45° F
∴ ∠EBC∠ECB ∴EB=EC
□ BECF是菱形（菱形的定义）
△EBC中∠EBC=45°∠ECB=45°
∴∠BEC=90°
∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）
变式探究 在△ABC中,AB=AC,D是BC的中
点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
选做5、如图，四边形ABCD和DEFG都是正
方形，试说明AE=CG
A
D
解：因为四边形ABCD是正方形，
根据正方形的四边相等，得 AD=CD.
又知四边形DEFG也是正方形，
所以DE=DG. 又因为正方形的每个内角为90°， B
E F
G C
所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC.
所以∠ADE＝∠CDG.
1)求证：DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
A
E
F
B
D
C
合作交流
1. 已知:正方形ABCD中，点E、F 、 G 、 H分别在 AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，试 判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
1.3 课时2 正方形的判定 课件 (共29张PPT) 数学北师版九年级上册
例2.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
45°
45°
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC=90°, ∠DCB=90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC=45°, ∠ECB=45°，∴ ∠EBC=∠ECB . ∴ EB=EC,∴□BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.
对角线相等
正方形
定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵四边形 ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。
原四边形对角线关系
不相等、不垂直
相等
垂直
相等且垂直
中点四边形形状
45°
45°
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC=90°, ∠DCB=90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC=45°, ∠ECB=45°，∴ ∠EBC=∠ECB . ∴ EB=EC,∴□BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.
对角线相等
正方形
定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵四边形 ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。
原四边形对角线关系
不相等、不垂直
相等
垂直
相等且垂直
中点四边形形状
新北师大版九年级数学上册《正方形的判定》优质课课件(共21张PPT).ppt
一个角是直角 正方形 平行四边形 一组邻边相等
定义能否作为依据来判定四 边形是正方形呢？
解读定义：
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
识别正方形的方法
矩形
正方形
菱形
从而我们得出： ♥一组邻边相等的矩形是正方形。 ♥有一个内角是直角的菱形是正方形。 既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
A
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
A
D
ADBiblioteka OOBC
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
B
C
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０； （４） ＡＣ⊥ＢＤ。
平行四边形
矩形
解题小结：正方形即
菱形 是特殊的矩形，又是
特殊的菱形。它没有
（２）
（１） 明确的判定定理，要
▪
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/142021/1/142021/1/142021/1/14
谢谢观看
Ｈ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
课后作业4：
已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， 垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分 线，CE⊥AN垂足为点E， ①求证：四边形ADCE是矩形。 ②当△ABC满足什么条件时，四边形
M
ADCE是正方形，说明理由。
AE
N
B
C
▪ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/142021/1/14Thursday, January 14, 2021
定义能否作为依据来判定四 边形是正方形呢？
解读定义：
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
识别正方形的方法
矩形
正方形
菱形
从而我们得出： ♥一组邻边相等的矩形是正方形。 ♥有一个内角是直角的菱形是正方形。 既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
A
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
A
D
ADBiblioteka OOBC
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
B
C
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０； （４） ＡＣ⊥ＢＤ。
平行四边形
矩形
解题小结：正方形即
菱形 是特殊的矩形，又是
特殊的菱形。它没有
（２）
（１） 明确的判定定理，要
▪
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/142021/1/142021/1/142021/1/14
谢谢观看
Ｈ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
课后作业4：
已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， 垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分 线，CE⊥AN垂足为点E， ①求证：四边形ADCE是矩形。 ②当△ABC满足什么条件时，四边形
M
ADCE是正方形，说明理由。
AE
N
B
C
▪ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/142021/1/14Thursday, January 14, 2021
新北师大版初三上册数学(九年级) 第一章：3、《正方形的判定》课件
解： ∵ DE∥AC，DF∥AB
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形∴ ∠BAC90°时，四边形AEDF是矩形
[趁热打铁]
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ 解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
质 对角线
每条对角线平分一组对角
[实践出真知]
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？
（1）
（2）
剪口与折痕成 45°角
（3）
（4）
[实践出真知]
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 或对角线互相垂直
正方形
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
1.3.2 正方形的判定
[温故而知新]
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定 矩形
平行四边形
菱形
[温故而知新]
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
一个角是直角 且一组邻边相等
正方形
边
正方形的对边平行且相等
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形∴ ∠BAC90°时，四边形AEDF是矩形
[趁热打铁]
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ 解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
质 对角线
每条对角线平分一组对角
[实践出真知]
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？
（1）
（2）
剪口与折痕成 45°角
（3）
（4）
[实践出真知]
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 或对角线互相垂直
正方形
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
1.3.2 正方形的判定
[温故而知新]
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定 矩形
平行四边形
菱形
[温故而知新]
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
一个角是直角 且一组邻边相等
正方形
边
正方形的对边平行且相等
北师大版九年级数学上册1.3.2：正方形的判定课件(共20张PPT)
矩形 正 菱形
证明四边形EFGH是正方形. （既是菱形又是矩形的四边形是正方形） 通过本节课的学习，你学习了哪些知识？
方
∴ ∠1= ∠ABC=45°，∠2= ∠DCB= 45° ∴∠2=180－∠1=90°
形
∴ EF=FG=GH=EH， ∠1=∠3
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵HG∥AC，∠1=90°
又∵ DE=DF（已证）
问题3：除了刚才的方法外，怎样将一张矩形纸通过适当折叠后，一刀剪出正方形？
通过本节课的学习，你学习了哪些知识？ ∴四边形CFDE是正方形.
（既是矩形又是菱形的四边形是正方形）
练习：在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
小结：判定正方形的方法都可归结为既能判定一个四边
形是矩形，又能判定这个四边形是菱形，这也是今后我们判 定正方形的方法.
三、例题讲解，新知应用
DF⊥AC，垂足分别为E、F.
∵ ∠2+∠3= 90°
∴∴判∴∠EB定2FE=:==1既FC8G是F0－==矩DGA∠G形H1===又AE9HH是0°，菱形∠1的例=∠四31边：形D是如正F方图⊥形，A. C△，AB垂C足中分，别∠A为CEB、=F9.0°求，证C:D四平边分形∠CAFCDBE，是D正E方⊥形BC.，
例2：已知：如图点E、F、G、H分别是正方形ABCD的四条边上的中
点.
方法2:
A
H
D 求证证明：：四∵边正形方E形FGAHB是CD正方形.
1
2
∴AB=BC=CD=DA，
∴ EF=FG=GH=EH ∴菱形EFGH
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[归纳总结] 对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形．
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
学习反思
1、本节课我们学习了什么？
正方形的判定
1、定义法 2、矩形菱形法 3、对角线法
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
探究问题一
正方形的判定
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
重难互动探究 例1 [教材例2变式题] [2013· 铁岭] 如图1－3－21所 示，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， 点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD， 连接AE，BE. (1)求证：四边形AEBD是矩形； (2)当△ABC满足什么条件时， 矩形AEBD是正方形，并说明理由．
1）一组邻边相等的矩形是正方形
2、矩形菱形法：
2） 有一个角是直角的菱形是正方形
3、对角线法：
两条对角线互相垂直平分 且相等的四边形是正方形。
老师说下列三个图形都是正方形,你相信吗?
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
5 2 5 2
有一组邻边相等并且有一个 角是直角的平行四边形是正 方形。
矩形、等 腰梯形 菱形
菱形
正方形
中点四边形
矩形
正方形
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
例2在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF是正方形． 证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形， 又∵在矩形ABCD中，BE平分 ∠ABC，CE平分∠DCB ∴∠EBA=∠ECB=45° ∴∠BEC=90°，BE=CE ∴四边形BECF是正方形．
探究问题二
中点四边形
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
例2 如图1－3－22所示，在四边形ABCD中，对角 线AC⊥BD.E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD 边的中点，连接EF，FG，GH，EH.试探究四边形 EFGH是怎样的特殊四边形？
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
正方形有什么性质？
边
正 方 形 的 性 质
正方形的对边平行且相等
角
正方形的四个角都是直角
对角线
正方形的 两条对角线互相垂直平分 且相等,每条对角线平分一组对角
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
1 、定义法：
有一组邻边相等，并且有一个角 是直角的平行四边形是正方形。 既是矩形又是菱形(或者既是菱形 又是矩形)的四边形是正方形。
解：四边形 EFGH 是矩形． 在△ABC 中，因为 AF＝BF，BG＝CG， 1 1 所以 FG∥AC，FG＝ AC.同理 EH∥AC，EH＝ AC. 2 2 所以 FG∥EH，FG＝EH. 所以四边形 EFGH 是平行四边形． 在△ABD 中，因为 AF＝BF，AE＝DE，所以 EF∥BD. 又因为 FG∥AC 且 AC⊥BD，所以 EF⊥FG. 所以平行四边形 EFGH 是矩形．
九年级数学--有付出就有回报
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
2.正方形的性质与判定—判定
B a c A C1 O C b 、 严肃、严密——苏步青
正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做
正
方形。
一个角是直角
平行四边形
正方形 一组邻边相等
7 7 7
两条对角线互相垂直平分且相 等的四边形是正方形。
7
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
中点四边形（解决教材问题）
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
原四边形的 对角线之间 的关系
既不垂直， 也不相等
不垂直， 仅相等
互相垂直， 不相等
互相 垂直 且相等
特例
平行四边形、 直角梯形 平行四边形
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
解：(1)证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长 到点E，使OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形． ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形． (2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形． 理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的 角平分线，∴AD＝BD. ∵由(1)得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正 方形．
特殊的平行四边形的判定小结
2、你有什么收获？说出来与大家分享。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
学习反思
1、本节课我们学习了什么？
正方形的判定
1、定义法 2、矩形菱形法 3、对角线法
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
探究问题一
正方形的判定
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
重难互动探究 例1 [教材例2变式题] [2013· 铁岭] 如图1－3－21所 示，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， 点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD， 连接AE，BE. (1)求证：四边形AEBD是矩形； (2)当△ABC满足什么条件时， 矩形AEBD是正方形，并说明理由．
1）一组邻边相等的矩形是正方形
2、矩形菱形法：
2） 有一个角是直角的菱形是正方形
3、对角线法：
两条对角线互相垂直平分 且相等的四边形是正方形。
老师说下列三个图形都是正方形,你相信吗?
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
5 2 5 2
有一组邻边相等并且有一个 角是直角的平行四边形是正 方形。
矩形、等 腰梯形 菱形
菱形
正方形
中点四边形
矩形
正方形
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
例2在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF是正方形． 证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形， 又∵在矩形ABCD中，BE平分 ∠ABC，CE平分∠DCB ∴∠EBA=∠ECB=45° ∴∠BEC=90°，BE=CE ∴四边形BECF是正方形．
探究问题二
中点四边形
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
例2 如图1－3－22所示，在四边形ABCD中，对角 线AC⊥BD.E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD 边的中点，连接EF，FG，GH，EH.试探究四边形 EFGH是怎样的特殊四边形？
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
正方形有什么性质？
边
正 方 形 的 性 质
正方形的对边平行且相等
角
正方形的四个角都是直角
对角线
正方形的 两条对角线互相垂直平分 且相等,每条对角线平分一组对角
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
1 、定义法：
有一组邻边相等，并且有一个角 是直角的平行四边形是正方形。 既是矩形又是菱形(或者既是菱形 又是矩形)的四边形是正方形。
解：四边形 EFGH 是矩形． 在△ABC 中，因为 AF＝BF，BG＝CG， 1 1 所以 FG∥AC，FG＝ AC.同理 EH∥AC，EH＝ AC. 2 2 所以 FG∥EH，FG＝EH. 所以四边形 EFGH 是平行四边形． 在△ABD 中，因为 AF＝BF，AE＝DE，所以 EF∥BD. 又因为 FG∥AC 且 AC⊥BD，所以 EF⊥FG. 所以平行四边形 EFGH 是矩形．
九年级数学--有付出就有回报
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
2.正方形的性质与判定—判定
B a c A C1 O C b 、 严肃、严密——苏步青
正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做
正
方形。
一个角是直角
平行四边形
正方形 一组邻边相等
7 7 7
两条对角线互相垂直平分且相 等的四边形是正方形。
7
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
中点四边形（解决教材问题）
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
原四边形的 对角线之间 的关系
既不垂直， 也不相等
不垂直， 仅相等
互相垂直， 不相等
互相 垂直 且相等
特例
平行四边形、 直角梯形 平行四边形
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
解：(1)证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长 到点E，使OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形． ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AEBD是矩形． (2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形． 理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的 角平分线，∴AD＝BD. ∵由(1)得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正 方形．
特殊的平行四边形的判定小结
2、你有什么收获？说出来与大家分享。