8定积分应用(积分中值定理,求极限,变上限
定积分的几个简单应用
定积分的几个简单应用一、定积分在经济生活中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决．例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余．解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是dq q )5015.065(100000--⎰10000023)1.015(q q -=50000=，所求消费者剩余为50000元．例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量．解 所求的总产量为⎰⎰+='=105105)1240()(dt t dt t Q Q 1052)640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123lim ．解 nn n n n n n n k n k 12111123+++=∑= )21(1nn n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有∑=∞→n k n n k 123lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==⎰dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑=∞→． 解 212213)(11n k nk n k n n k n k n k -⋅=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有2213lim k n n k n k n -∑=∞→31)1(31110232102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明．例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证：⎰⎰+≥b ab a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x xa x a ⎰⎰+-=)(2)()(ϕ， 显然0)(=a ϕ，且)(2)(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ⎰+--='ϕ )(2))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ϕ，从而)(x ϕ在闭区间[]b a ,上单调增加，所以0)()(=≥a x ϕϕ，取b x =得⎰⎰+≥b a ba dx x fb a dx x xf )(2)(． 定积分在许多领域中有着重要应用，它是解决一些几何学问题、物理学问题和经济学问题的重要工具．这一章主要介绍了定积分在不同学科中的应用问题．。
定积分微积分基本公式
T2
一般地，若 F ( x ) f ( x )
b
a
? F (b) F (a ) f ( x )dx
在解决这个问题之前，先讨论原函数存在问题.
设函数f ( x )在[a, b]上连续,当x取[a , b]上任一定值时,
a
x
f ( t )dt 有唯一确定值与 x对应 , 因此a f ( t )dt 在
n 1 dx 1 1 1 1 xi lim lim n n 1 0 1 x n2 2n n i 0 1 i
小结
1 . 变上限定积分 F ( x ) a f ( t )dt 2. 变上限定积分的导数 F ' ( x ) f ( x ) 3. 牛顿—莱布尼兹公式
又
a
(x)
a
x
f ( t ) dt 也 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ,
F ( x ) ( x ) C , x [a , b ] 令
x a F ( a ) ( a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 C F (a ) . F ( x ) ( x ) F (a ) .
即任何一个连续函数必存在原函数。
如
x
a
sin t sin x dt 是 的一个原函数 t x
例1.计算( x )
0
x
sin t 2dt在x 0处的导数
d x d x 2 2 f (t )dt f ( x ) sin x 解 ( x ) sin t dt a dx dx 0
2
1 2
0 (1 cos x ) dx
变上限定积分及微积分基本定理
dx 1
d
x
xf (t)dt
d
x
tf (t)dt
dx 1
dx 1
d
x
x
f (t)dt
d
x
tf (t)dt
dx 1
dx 1
x
x
f (t)dt xf ( x) xf ( x) f (t)dt
1
1
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推广1： 若 f ( x)连续,( x)可导
则 d
(x)
f (t)dt
f [ ( x )] ( x )
dx a
推导：设( x)
(x)
f (t)dt
( x)u
u
f (t)dt
d
a
d du f (u)( x)
a
f [ ( x)] ( x)
dx du dx
推广2：
d ( x) f (t )dt f [ ( x )] ( x) f [ ( x )] ( x)
1 e t 2 dt
lim
x0Biblioteka cos xx2(0) 0
lim x0
ecos2 x ( sin x)
2x
1 2e
(
lim x
x et2dt)2
0
x e2t2dt
0
()
lim x
2
x et2dt
0
e x2
()
e2x2
lim x
2e x2 2x ex2
0
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定理1（p119）（微积分基本定理）
证
x x
( x x) a f (t)dt
( x x) ( x)
( x)
积分中值定理与定积分应用积分中值定理与定积分应用的实战技巧
积分中值定理与定积分应用积分中值定理与定积分应用的实战技巧积分中值定理与定积分应用的实战技巧积分中值定理和定积分是微积分中的重要概念，能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍积分中值定理和定积分的基本概念，以及如何应用这些概念来解决实际问题。
一、积分中值定理积分中值定理是微积分中的基本定理之一，它与导数中值定理有密切关联。
积分中值定理表明，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，则在[a,b]上至少存在一点c，使得函数的平均值等于函数在c处的导数值。
其数学表达式如下：∫[a,b] f(x) dx = f(c) (b-a)其中，f(x)表示在[a,b]上的连续函数，c为[a,b]上的某一点，b和a 分别为积分上限和下限。
积分中值定理的应用十分广泛。
它可以用于证明其他定理，例如柯西中值定理和拉格朗日中值定理。
除了数学的理论性应用外，积分中值定理还可用于解决实际问题，如求函数在某个区间上的平均值、证明函数在某个区间上的增减性等。
下面将以一个具体例子来说明积分中值定理的应用。
例子：求函数f(x) = 2x^2 + 3x在区间[1,3]上的平均值。
解：根据积分中值定理，函数f(x)在[1,3]上的平均值等于函数在该区间上某一点的函数值。
首先，我们计算函数f(x)在[1,3]上的定积分：∫[1,3] (2x^2 + 3x) dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 |[1,3] = 24然后，求出函数f(x)在[1,3]上的平均值：平均值 = (1/3 - 1/2) * 24 = 8所以，函数f(x) = 2x^2 + 3x在区间[1,3]上的平均值为8。
通过这个例子，我们可以看到积分中值定理的实际应用，它不仅使我们能够求出函数在某个区间上的平均值，还可以帮助我们判断函数在某个区间上的增减性。
二、定积分的应用定积分是对区间上函数值的累加，可以用于求解曲线下面的面积、体积、平均值等问题。
含有积分的一些极限问题的解法
1
4Πt5
f
x 2+ y 2+ z 2≤t2
(x 2 +
y2 +
z 2) dx dy dz 1
解 作球面坐标变换 x = rsinΥco sΗ, y = rsinΥsinΗ, z = rco sΥ, 有
µ ∫∫∫ lim
t→0+
1
4Πt5
f
x 2+ y 2+ z 2≤t2
(x 2 +
y2 +
z2) dx dy dz =
若满足 0 0
(或∞∞) 型未定式,
则可用罗必达法则来求其极限 1
这也是处理含有变上限积分极限的一般方法 1
∫x 2 f (t) d t
∫ 例 7 设 f ′(x ) 连续, f (0) =
0,
且f
′(0)
≠ 0,
求 lim x →0
0
x
x2 f
1 (t) d t
0
解 所求极限满足
0 0
型未定式,
运用罗必达法则,
有
∫ 原式 =
lim
x →0
x 2f
f (x 2) (x ) + 2x
2x
x
f
= (t) d t
0
lim
x →0
f
(x )
2f ′(x 2) + x f ′(x )
2x + 2f
(x )
=
lim
x →0
3f
4f ′(x 2)
(x ) x
+
f ′(x )
=
11
五、 利用不等式估计
若被积函数较容易放缩, 则可以先利用不等式放缩, 得到被积函数的不等式, 然后再用两边
定积分的概念与性质
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底 ,
为高的小矩形,
并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
3) 近似和.
4) 取极限.
令
则曲边梯形面积
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动,
已知速度
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 大化小.
定积分
换元积分法 分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
定理1. 设函数
单值函数
满足:
1)
2) 在
上
则
证: 所证等式两边被积函数都连续, 且它们的原函数也存在 .
则
是
的原函数 ,
因此积分都存在 , 因此有
n 个小段
过的路程为
2) 常代变.
且
将它分成 在每个小段上物体经
得
3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同:
特殊乘积和式的极限
二、定积分定义 (P225 )
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I , 上的定积分,
可积的充分条件:
定理1. 定理2.
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为
取
且只有有限个间断点
(证明略)
注 注. 当n 较大时, 此值可作为
的近似值
注
例2. 用定积分表示下列极限:
变上限函数的性质及其应用
变上限函数的性质及其应用作者连永龙系别统计与数学学院专业数学与应用数学年级2008级学号802091149指导教师邢华导师职称副教授评语：成绩：指导教师：年月日摘要：了解变上限函数的的定义并掌握其性质，用来解决定理、积分不等式、积分等式、敛散性的证明；极限、概率密度函数、重积分、不定积分的求解等问题。
从而，体会变上限函数的应用价值。
关键词：变上限函数性质应用变上限积分的改进引言变上限函数的引入及其定义：对于定义在[],a b 上的可积函数()f x 的定积分()d b af x x ⎰，若()f x 已知，则定积分为一确定的数。
现考虑，对任意的x 属于[],a b ，由定积分的性质得()f t 在[],a x 可积，且其结果为定义在[],a b 的函数。
于是定义这种函数为变上限函数： ()()d x aF x f t t =⎰[],x a b ∈变上限函数的性质及其相关定理一、 与定积分相同的有关性： 性质1、若()()d x aF x f t t =⎰[],x a b ∈，k 为常数，则()()d ()x aG x kf t t kF x ==⎰性质2、若f 、g 都在[],a b 上积分，且()()d x aF x f t t =⎰、()()d x aG x g x t=⎰[],x a b ∈，则()()f t g t ±在[],a x 可积，且[]()()d ()d ()d x xx a aaf tg t t f t t g t t ±=±⎰⎰⎰性质3、若f 、g 都在[],a x 上可积[],x a b ∈，则()()f tgt 在[],a x 上可积[],x a b ∈性质4、设()f x 为[],a b 上的可积函数，若()0f x ≥，[],x a b ∈，则()d 0xaf t t ≥⎰性质5、若()f x 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上也可积，且[]()d ()d ,x x aaf t t f t tx a b ≤∈⎰⎰这些性质可以类似证明定积分的性质来证明二、不定积分的特殊性质：（一）变上限函数的连续性定理：若()f x 在[],a b 上可积，则()()d x aF x f t t =⎰在[],a b 上是连续的。
定积分及其应用(思维导图)
条件：f(x)在[a,b]连续 结论：区间内存在ξ使，f（x）在区间的积分结果=（b-a）· f（ξ）
积分中值定理可以去掉积分限
牛莱公式
凑微分法
凑微分法不会改变上下限的所属关系，上下限仍旧属于最简字母
分部积分法
第二类换元积分法
换积分上下限 换被积函数 换积分变量
几何意
比较定理
正的积分限
积分限相同，积分变量不同，用比较定理 仅需比较两个被积函数的大小 一个比你大，就绝对比你大
考研中常用的函数大小比较
定积分的应用
定积分的计算
对称区间，偶倍奇零
周期性
三角函数的周期 上下限的长度为(n)T，永远可以在保证长度的情况下，变换积分起点终点→（对称区间或许为最优解）
积分中值定理
下限为0时候，牛逼爸➡奇偶互换
存在原函数F（x）为 f(x)的变上限函数
若f(x)连续
自变量位于上下限中，其核心思维在于求导→见到变限函数就想求导
上限求导*f(上限）- 下限求导*f(下限） 能拉出来就来拉出来 不能拉出来，就代换
标准型 非标准型
求导法则
无穷区间的反常积分 ∞
无界函数的反常积分 瑕点
①求和形式 ②提出来1/n
③找项【左端点】【右端点】【区间中点】
定积分的几何意义
“绝对面积”
考研中常考的圆 画图确定定积分
加“-”变换积分上下限 可加性：拆分区间积分 定积分是一个数，与积分变量的字母选取无关
利用定积分定义求极限
求和形式、数列极限→首先定积分定义，再去夹逼
定积分及其应用
定积分的性质
加减法中都存在才能拆 可加性按照瑕点进行拆分
拆开
①找瑕点 ②区间中间是否存在瑕点
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例.
lim
x 0
(e 1 t ) dt
2 2 4
t (arct ant )
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
x e dt y 0确定, 求y( x )
t 2 0 y2
几个重要结论
结论1
设f ( x )是以T为周期的连续函数，证 明：
对的x有
例.
0
f ( x )dx f ( x )dx,
1 0
提示：去证明
0
f ( x )dx
1
0
f ( x )dx 1 ,
即证
x
0
f ( x )dx x
递减
2 3
4
证明 2,4，使2 f ( ) (1 ) f ( )
变上限积分问题
1.变上限积分问题
( x) f (t ) d t
a
x
( x) ( f (t ) d t ) f ( x)
a
x
(被积函数中不含自变量x)
d ( x) a f (t ) d t dx
a a
结论3
设f ( x )是 a, a 内的连续函数，
证明若f ( x )为奇（偶）函数 ,
则0 f (t )dt 偶（奇）函数
x
例： 当f ( x )是以2为周期的连续函数时，
证明：函数 ( x) 20 f (t )dt－ 0 f (t )dt G x
也是以 为周期的周期函数 08研 2
积分中值定理与罗尔定理的应用
证明下列各题:
(1).设f ( x)在1,3上连续，在1,3上可导,
且f (1) x f ( x)dx 。证明 1,3，使
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。
f [ ( x )] ( x )
d ( x) d a ( x) ( x ) f ( t ) d t d x ( x ) f (t ) d t a f (t ) d t dx
f [ ( x )] ( x ) f [ ( x )] ( x )
x T
x
f ( t )dt f ( t )dt
T 0
结论2
设f (t )在 a，a上连续，证明： －
－a f (t )dt 0 f (t )＋f (－t )dt
a a
且
1若f (t )是奇函数时，a f (t )dt 0 －
a
2若f (t )是偶函数时，
－a f (t )dt 20 f (t )dt
例.
d x2 2 求 0 1 t dt dx
例.
d x3 1 求 x2 1 t 4 dt dx
d cos x 求 1 t 2 dt sinx 例.
确定常数 a , b , c 的值, 使
例.
lim
x 0
1
cos x
t ln tdt
3
x(arctan x)
x 2
例
设f ( x )是连续函数，f ( 1 ) 1
ab a
若对的a , b有 f ( t )dt与a无关,求f ( x )
例.
例
.设f ( x )在0,1上连续，在0,1上可导
且f ( 0 ) 0 ,
1
0 f ( x ) 1
2
f ( x )dx 1 f 3 ( x )dx 求证 : 0 0