2018-2019年中考数学一轮复习第2节 三角形及其性质
重庆市中考数学一轮复习 第四章 三角形 第2节 三角形及其性质练习册-人教版初中九年级全册数学试题
第2节三角形及其性质课时1 一般三角形及等腰三角形(建议答题时间：40分钟)1. (2017某某)三角形的重心是( )A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017某某)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，103. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是( )A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017某某)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )A. 2a＋2b－2cB.2a＋2bC.2cD. 05. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为( )A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017某某)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A ＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( )A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017某某)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )．A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017某某)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．第10题图第12题图第13题图11. (2017某某)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．12. (2017某某)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀X开的角为30°，则∠A＝________度．13. (2017某某)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．14. (2017某某)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15. (2017某某)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16. (2017某某)如图，在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第16题图第18题图17. (2017某某)在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝________.18. (2017某某)在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM ，当AM ⊥BM 时，则BC 的长为________．19. (2017达州)△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值X 围是________．20. (2017内江)如图，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BD ，垂足为点D ，DE ∥AC .求证：△BDE 是等腰三角形．第20题图21. (2017)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：AD＝BC.第21题图22. (2017某某)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD ＝AE，连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2 直角三角形及勾股定理 (建议答题时间：40分钟) 1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A. 3，4，5B. 1，2， 3C. 6，7，8D. 2，3，42. (2016某某)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( ) A. 433B. 4C. 83D. 4 3第2题图第3题图3. (2017某某)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( )A.2aB. 22aC. 3aD. 433a 4. (2017某某)如图，在△ABC 中，E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，AB ＝2，AC ＝1，DE ＝32，则∠CDE ＋∠ACD ＝( )A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图5. (2017某某巴蜀月考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E .若BC ＝4，AC ＝8，则BD ＝( )A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017某某)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A ′B ′C ′拼在一起，其中点A ′与点A 重合，点C ′落在边AB 上，连接B ′C .若∠ACB ＝∠AC ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，则B ′C 的长为( )A. 3 3B. 6C. 3 2D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．第8题图第11题图第12题图9. (2017某某)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．10. (2017某某)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．11. (2017某某)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值X围是________．12. (2017某某)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)13. (2017某某)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．第13题图第14题图14. (2017某某)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15. (2017某某)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017某某)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终．．落在边AC上，若△MB′C 为直角三角形，则BM的长为________．17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．第18题图19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，(1)求AB的长；(2)求CD的长．第19题图20. (2017某某)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D 【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a ＋b >c ，∴c －a －b ＝c －(a ＋b )<0，∴|c －a －b |＝a ＋b －c ，|a ＋b －c |＝a ＋b －c ，∴|a ＋b －c |－|c －a －b |＝0.5. B 【解析】∵BE 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABC ＝2∠ABE ＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C ＝70°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝20°.6．B 【解析】设∠C ＝x °，∵AD ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ＝x °，∴∠ADB ＝2x °，∵AB ＝BD ，∴∠BAD ＝∠ADB ＝2x °，∴∠B ＝180°－4x °，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝x °，∴180°－4x °＝x °，解得x ＝36，∴∠B ＝∠C ＝36°.7．B 【解析】∵∠A ＝30°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝75°，又∵l 为AB 的垂直平分线，∴DB ＝DA ，∠DBA ＝∠A ＝30°∴∠CBD ＝∠CBA －∠DBA ＝75°－30°＝45°.8.B 【解析】如解图，∵∠C ＝∠F ＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D ＋∠1＝∠D ＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D ＋180°＝30°＋180°＝210°.第8题解图9.B 【解析】∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴点B 关于AD 的对应点为点C ，∴CE 等于BP ＋EP 的最小值．10. 15° 11. 40° 12. 75 13. CD ＝DE14. 1415. 100° 【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.16. 64° 【解析】∵在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD ＝12∠ABC ，∠2＝∠ACE ＝12∠ACB ，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC ＋∠ACB )，∵∠ABC ＋∠ACB ＋∠A ＝180°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12×128°＝64°.17. 2 3 【解析】假设点D 与点B 重合，可得DE ＋DF 为等边三角形AC 边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC 边上的高为23，故DE ＋DF ＝2 3.18. 8 【解析】∵AM ⊥BM ，∴∠AMB ＝90°，在Rt △ABM 中，∵D 是AB 的中点，∴DM ＝12AB ＝3，∵ME ＝13DM ，∴ME ＝1，DE ＝4，又∵DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC ＝8. 19. 1＜m ＜4 【解析】如解图，延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∵在△ABD 和△ECD 中，BD ＝CD ，DE ＝AD ，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝EC ，在△AEC 中，∵AC ＋EC ＞AE ，且EC －AC ＜AE ，即AB ＋AC ＞2AD ，AB －AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4即1＜m ＜4.第11题解图20. 证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∵DE ∥AC ，∴∠ADE ＝∠DAC .∴∠BAD ＝∠ADE ，∵AD ⊥BD ，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＋∠B ＝90°.∵∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∴∠B ＝∠BDE ，∴BE ＝DE ，∴△BDE 是等腰三角形．21. 解：∵AB ＝AC∴在△ABC 中，∠ABC ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝12×72°＝36°，∴∠ABD ＝∠A ，∴AD ＝BD ，又∵在△ABC 中，∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝36°＋36°＝72°， ∴∠BDC ＝∠C ，∴BD ＝BC ， ∴AD ＝BC .22. (1)解：∠ABE ＝∠ACD .理由如下： ∵AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ， ∴△ABE ≌△ACD (SAS )． ∴∠ABE ＝∠ACD ； (2)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB . 由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC . 又∵AB ＝AC ，∴点A 、F 均在线段BC 的垂直平分线上，即过点A 、F 的直线垂直平分线段BC .课时2 直角三角形及勾股定理1. B2. D3.B 【解析】∵CD ⊥AB ，CD ＝DE ＝a ，∴CE ＝2a ，∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 是AB 的中点，∴AB ＝2CE ＝22a .4. C 【解析】∵点E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，DE ＝32，∴BE ＝CE ＝DE ＝32，∴∠CDE ＝∠DCE ，BC ＝ 3.在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝1＋(3)2＝4＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝90°.5.C 【解析】设BD ＝x ，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD ＝x ，则CD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5.6.A 【解析】∵∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32，又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝32， ∠C ′A ′B ′＝∠CAB ＝45°，∴∠CAB ′＝∠C ′AB ′＋∠CAB ＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB ′中，AC ＝3，AB ′＝32，∴B ′C ＝AC 2＋AB′2＝32＋（32）2＝3 3. 7. C 【解析】如解图，∵S正方形ABCD＝13，∴AB ＝13，∵AG ＝a ，BG ＝b ，∴a 2＋b 2＝AB 2＝13，∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝21，∴2ab ＝(a ＋b )2－a 2－b 2＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ABG ＝12ab ＝12×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.第7题解图8. 25 9.5210. 2 【解析】∵方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝12BE ＝EF＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE ＝∠EAF ，∴CD ∥AF ，∴CD AF ＝EDEA.当D 与A 重合时，CD 与AF 重合，取得最大值为5，当D 接近于E 时，DE 越小，CD 越小，∵线段CD 不能为0，∴0<CD ≤5.第11题解图12. 2＋2m 【解析】如解图，连接BD ，∵D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC ，∴∠BDC ＝90°，∠ABD ＝∠C ＝45°，∴∠BDF ＋∠FDC ＝90°，又∵∠EDF ＝90°，∴∠BDF ＋∠BDE ＝90°，∴∠CDF ＝∠BDE ，∴△BED ≌△CFD (ASA )，∴BE ＝CF ，DE ＝DF ，则BE ＋BF ＋EF ＝BC ＋EF ＝2＋EF ，而Rt △DEF 中，DE ＝DF ＝m ，∴EF ＝2m ，则△BEF 的周长为2＋2m .第12题解图13. 78 【解析】如解图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC ＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.第13题解图14. 33－3 【解析】∵AB ＝AC ＝23，∠BAC ＝120°，∴BC ＝6，∠B ＝∠BCA ＝30°，如解图，将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACD ′，∴∠D ′CA ＝∠B ＝30°，AD ＝AD ′，∴∠D ′CE ＝60°，∵∠DAE ＝60°，∠DAD ′＝120°，∴∠EAD ′＝60°，∴△EAD ′≌∠EAD (SAS )，∴ED ′＝ED ，∴ED ′＋BD ＋EC ＝6，∴EC ＝6－DE3，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2＋EC 2＝D ′C 2，即DE 2＋(6－DE 3)2＝(6－DE 3×2)2，解得DE ＝33－3(负根舍去)．第14题解图15. 2＋ 6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt△ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形 ，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2＋EF 2＝DE 2，即x 2＋(2＋3)2x 2＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6)cm .第15题解图16.2＋12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋12；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM ＝B ′M ，BN ＝B ′N ，B ′M ∥BA ，∴MC BC ＝B ′M AB ，即MC B ′M ＝BC AB ＝2，∴MCB ′M ＝2，即MC ＋BM BM ＝2＋11，即BC BM ＝2＋11，∵BC ＝2＋1，∴BMBM 长为2＋12或1.第16题解图17. 解：∵∠BDC ＝45°，∠ABC ＝90°， ∴△BDC 为等腰直角三角形， ∴BD ＝BC ，∵∠A ＝30°，∴BC ＝12AC ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC 2，即(2BC )2＝(4＋BD )2＋BC 2， 解得BC ＝BD ＝2＋23(负根舍去)．18. 解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，∴BD ＝52－42＝3；(2)如解图，延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 交CB 延长线于点E ， ∵DB ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴AE ∥DB ，∵D 为AC 边的中点，∴BD ＝12AE ，∴AE ＝6，即BC 边上高的长为6.第18题解图19. 解：(1)在Rt △ABC 中， ∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25， 即AB 的长是25；(2)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴20×15＝25·CD ，∴CD ＝12. 20. 解：(1) 4；【解法提示】在△ACD 中， ∵∠A ＝60°，AC ＝AD ， ∴△ACD 是等边三角形， ∴DC ＝AC ＝4.(2)如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E .第20题解图在△CDE 中，∠DCE ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－60°＝30°，CD ＝4， ∴DE ＝2，根据勾股定理得CE ＝CD 2－DE 2＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3，∴DB＝BE2＋DE2＝（3）2＋22＝7.。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_等腰直角三角形-填空题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_等腰直角三角形-填空题专训及答案等腰直角三角形填空题专训1、(2019哈尔滨.中考真卷) 如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点，点B'落在边AC上，连接A'B，若∠ACB=45°，AC=3，BC=2，则A'B的长为________ 。
2、(2018哈尔滨.中考真卷) 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点,连接EF,∠CEF=45°EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN= ,则线段BC的长为________.3、(2017绥化.中考真卷) 如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为________．4、(2017玄武.中考模拟) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P为△ABC内一个动点，∠PAB=∠PBC，则CP的最小值为________．5、(2019海曙.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（1，），以OP为斜边作等腰直角△OAP，直角顶点A在反比例函数y＝的图象上，则k 的值是________.6、(2019柯桥.中考模拟) 等腰直角△ABO在平面直角坐标系中如圈所示，点O为坐标原点，直角顶点A的坐标为（2，4），点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为________.7、(2019金华.中考模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为________.8、(2019乐清.中考模拟) 折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为290mm，宽为200mm的白纸，如图所示，以下面几个步骤折出纸飞机：（说明：第一步：白纸沿着EF折叠，AB边的对应边A′B′与边CD平行，将它们的距离记为x；第二步：将EM，MF分别沿着MH，MG折叠，使EM与MF重合，从而获得边HG与A′B′的距离也为x），则PD=________mm.9、(2019.中考模拟) 如图所示，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于＝1，则正方形ABCD的面积为________．AD，EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知S△AIJ10、(2011杭州.中考真卷) 在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC的距离为________．11、(2018福建.中考真卷) 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB= ，则CD=________．12、(2020江西.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC 绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是________ .13、(2017娄底.中考真卷) 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D 为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________（用含m的代数式表示）14、(2017揭阳.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2 ，AD为BC边上的高，动点P在AD上，从点A出发，沿A→D方向运动，设AP=x，△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2， y=S1+S2，则y与x的关系式是________．15、(2019河池.中考模拟) 一个直角三角形中，它的一个锐角的外角为135°，则这个三角形________对称轴.（填“有”或“没有”）16、(2019西安.中考模拟) 如图，在边长为3的正方形ABCD的外部作等腰，，连接DE，BF，BD，则________.17、(2020萧山.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD 为BC边上的高.动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝________秒时，S1＝2S2.18、如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点P，则的最小值是.19、如图，在矩形中，，分别为，的中点，以为斜边作，，连接，.若，则.20、如图，中，，点D在边上，以为折痕将折叠，得到，若，则的长为．等腰直角三角形填空题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：。
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_三角形的面积
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_三角形_三角形的面积三角形的面积专训单选题：1、(2018宿迁.中考真卷) 在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线l，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）。
A . 5B . 4C . 3D . 22、(2020河南.中考模拟) 如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB 上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△PAB与△PCD的面积之差为（）A . 5B . 10C . l5D . 203、(2018杭州.中考真卷) 如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1， S2，（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则 D . 若，则4、(2019中山.中考模拟) 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（）A .B .C .D .5、(2022任城.中考模拟) 如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )① ；② ；③若，则平分；④若，则A . ①③B . ②③C . ②④D . ③④6、(2019南宁.中考模拟) 如图，某商标是由三个半径都为R的圆弧两两外切得到的图形，则三个切点间的弧所围成的阴影部分的面积是（）A . （﹣π）R2B . （+ π）R2C . （﹣π）R2D . （+π）R27、(2021四川.中考模拟) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A . 4B . 6.25C . 7.5D . 98、(2019西藏自治区.中考真卷) 如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（）A .B .C .D .9、(2019西安.中考模拟) 如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1， S2，则( )A . S1＝S2B . S1＝S2C . S1＝S2D . S1＝S210、如图，正方形边长为4，点在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接.下面四个说法中有几个正确（）①当时，；②当时，点，，共线；③当三角形与三角形面积相等时，则DE＝；④当平分∠EAF时，则DE＝A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个填空题：11、(2018宿迁.中考真卷) 如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点AB分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°,点A的坐标为（1,0），将三角板ABC沿x轴右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B 第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.12、(2019宁波.中考模拟) 如图，把一副三角板按如图放置，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点E是AB的中点，连结CE，DE，DC.若AB＝8，则△DEC的面积为________.13、(2019.中考模拟) 已知反比例函数y＝在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B.连接OC交反比例函数图象于点D，且＝，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为________.14、(2019.中考模拟) 将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB＝AC＝8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积是________cm2．15、(2019河南.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为________．16、(2019黄冈.中考真卷) 如图，一直线经过原点O，且与反比例函数相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC。
中考数学第一轮复习 三角形
类型之二 三角形的重要线段的应用 命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·成都] 如图 19－1，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、 BC 的中点，若 DE＝4，则 AB＝___8_____.
1．三条边对应相等的两个三角形全等(简记为________)S．SS 2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为________)． ASA3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为
________)．
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为________)．
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质
[2011·株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
__5_0_°____.
图 19－2
全等三角形
考点1 全等图形及全等三角形
1．能够完全_____重__合_的两个图形称为全等形，全等图形的形状和 ______大__小都相同．
2．能够完全______重_合_的两个三角形叫全等三角形． [注意] 完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
大于
[总结] 任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝
角，最多有一个直角．
互余
类型之一 三角形三边的关系
命题角度： 1．利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 2．利用三角形三边的关系求字母的取值范围 3．三角形的稳定性
重庆市中考数学一轮复习(课件)4.第2节 三角形及其性质
面积计算公式：S=⑪ 1 ah ，其中a是底边长，
h是底边上的高
2
未完继续
温馨提示 ①对于等腰三角形的边、角、周长的计算，顶 点位置的探索，往往由于腰、底的不确定，需分类讨论解 决，防止漏解;②等腰三角形的“三线合一”是一条重要性 质，在计算和证明中，往往作为辅助线，需灵活添加解决
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1.三边相等
（2）如图①，若D在BC的延长线上，∠ACD=110°， 求∠BAC的度数；
（3）如图②，若D在BC的延长线上，AC=DC， ∠BAC=40°，求∠D的度数；
（4）如图③，若D是AC上一点，且AD=BD=BC，求∠A的度数；
（5）如图④，若E是AC上的点，且BE是△ABC的中线，BE把 △ABC的周长分为12和15两部分，求△ABC的三边长；
等 腰 三 角 形(如 图⑤)
对称图形，有一条对称轴，即AD
4.顶角的⑩ 角平分线 重合(三线合一)
，底边上的高和底边的中线互相
判定
1.有两边相等的三角形是等腰三角形
2.有两角相等的三角形是等腰三角形
作垂线,顶点和垂足之间的线段
高 线
图形及性质：如图③,在△ABC中,AD为BC边上的 高线,则有AD⊥⑧ BC ,即∠ADB=∠ADC=90°
垂心：三角形的三条高线的交点,该点称为三角 形的垂心
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定义：连接三角形两边中点的线段
中 位
图形及性质：如图④,在△ABC中,D、E分别为AB、
第四章 三角形
第2节 三角形及其性质
考点特训营
三角形及其边角关系
三角形的分类 三角形边角关系
2019年安徽数学中考一轮复习《第4章第2节三角形及其性质》课件
4．等边三角形
形； d. 有一个角是 ________ 的等腰三角形是等边三角
形．
数学
第四章 三角形
●考点四
证 明 ： 连 接 AC ． ∵ AB ＝ AC ， ∴ ∠ BAC ＝
∠BCA，又∵∠A＝∠C，即∠BAC＋∠DAC＝∠BCA
＋∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD．
数学
第四章 三角形
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝3，BC＝5，分别以 A， 1 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P，Q，过 P， 2 8 Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长是______. 5
3 ， 2
故 BC＝2CE＝ 3.∵AB＝2，AC＝1，∴AC2＋BC2＝12＋( 3)2＝4＝22＝ AB2，∴△ABC 是直角三角形，故∠ACB＝90° ，∵DE＝CE，∴∠CDE ＝∠DCE，∴∠CDE＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD＝∠ACB＝90° .
【答案】
C
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第四章 三角形
【点拨】
根据三角形的三边数量关系 ， 可以判
数学
第四章 三角形
四、直角三角形 【例 5】 如图，△ABC 中，E 为 BC 边的中点，CD⊥AB，AB＝2， 3 AC＝1，DE＝ ，则∠CDE＋∠ACD＝( 2 A．60° B．75° C．90° D．105° )
数学
第四章 三角形
【解析】
∵CD⊥AB，E 为 BC 边的中点，∴CE＝BE＝DE＝
4_2 一般三角形及性质【2022通用版中考数学一轮复习精讲精练】(解析版)
模块四三角形第二讲一般三角形及性质知识梳理夯实基础知识点1：三角形的性质1.概念由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。
（三角形具有稳定性）2.分类3.三边的关系（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系．4.内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．知识点2：三角形中的重要线段图形特征性质备注知识点3：与三角形有关的直线垂1直击中考 胜券在握 1．（2021·宜宾中考）若长度分别是a 、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a 的取14AEF ABC S S =值范围即可得解． 【详解】根据三角形的三边关系得5353a -<<+，即28a <<，则选项中4符合题意， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键． 2．（2021·宿迁中考）如图，在△ABC 中，△A =70°，△C =30°，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，DE △AB ，交BC 于点E ，则△BDE 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】B 【分析】由三角形的内角和可求∠ABC ，根据角平分线可以求得∠ABD ，由DE //AB ，可得∠BDE =∠ABD 即可． 【详解】 解：∠∠A +∠C =100° ∠∠ABC =80°， ∠BD 平分∠BAC ， ∠∠ABD =40°， ∠DE ∠AB ， ∠∠BDE =∠ABD =40°， 故答案为B ． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．3．（2021·陕西中考）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°【答案】B 【分析】由题意易得105BEC ∠=︒，然后根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∠25B ∠=︒，50C ∠=︒，∠在∠BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒， ∠35A ∠=︒，∠170BEC A ∠=∠-∠=︒； 故选B ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．4．（2021·辽宁本溪中考）一副三角板如图所示摆放，若180∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．80°B ．95°C ．100°D ．110°【答案】B 【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，∠A =90°-30°=60°，∠∠3=∠1-45°=80°-45°=35°， ∠∠3=∠4=35°，∠∠2=∠A +∠4=60°+35°=95°， 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．5．（2021·广东惠州一中一模）已知三角形三边为a 、b 、c ，其中a 、b 两边满足|6|0a -=，那么这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．8c > B ．814c <<C ．68c <<D ．214c <<【答案】B 【分析】根据两个非负数的和是0，可以求得a ，b 的值．因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围． 【详解】解：根据题意得：60a -=，80b -=， 解得6a =，8b =，因为c 是最大边，所以868c <<+， 即814c <<． 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，然后解不等式即可．6．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【答案】C 【分析】过点O 作OE AC ⊥于点E ，作OF AB ⊥于点F ，作OG BC ⊥于点G ，先根据角平分线的性质可得OE OF OG ，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点O 作OE AC ⊥于点E ，作OF AB ⊥于点F ，作OG BC ⊥于点G ，,,OA OB OC 是ABC 的三条角平分线， OE OF OG ∴==，::::20:30:402:3:4ABOBCOCAOAB B SC CA SS∴===，故选：C ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．7．（2019·江苏扬州中考）已知n 正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n ，则满足条件的n 的值有( ) A ．4个 B ．5个C ．6个D ．7个【答案】D 【分析】分n+8与3n 最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组后求出正整数解即可得答案. 【详解】 ∠n+2<n+8，∠分n+8最大与3n 最大两种情况，当n+8最大时，23883283n n n n n n n n +++⎧⎪+-+⎨⎪+≥⎩＞＜，解得 ：2<n≤4， 又∠n 为正整数， ∠n=3，4；当3n 最大时，28338238n n n n n n n n ＞＜+++⎧⎪--+⎨⎪≥+⎩解得：4≤n<10， 又∠n 为正整数， ∠n=4，5，6，7，8，9，综上：n 的值可以为3、4、5、6、7、8、9，共7种可能， 故选D. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，三角形三边关系，熟练掌握相关内容并正确分类讨论是解题的关键.8．（2021·安徽中考）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ） A ．2CD ME = B ．//ME AB C ．BD CD = D ．ME MD =【答案】A 【分析】设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．由题意易证()CAE FAE SAS ≅，从而证明ME 为CBF 中位线，即//ME AB ，故判断B 正确；又易证()AGD ABD ASA ≅，从而证明D 为BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出CD BD =，故判断C 正确；由90HDM DHM ∠+∠=︒、90HCE CHE ∠+∠=︒和DHM CHE ∠=∠可证明HDM HCE ∠=∠．再由90HEM EHF ∠+∠=︒、EHC EHF ∠=∠和90EHC HCE ∠+∠=︒可推出 HCE HEM ∠=∠，即推出HDM HEM ∠=∠，即MD ME =，故判断D 正确；假设2CD ME =，可推出2CD MD =，即可推出30DCM ∠=︒．由于无法确定DCM ∠的大小，故2CD ME =不一定成立，故可判断A 错误．【详解】如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．∠AD 是BAC ∠的平分线，HF AB ⊥，HC AC ⊥， ∠HC =HF ， ∠AF =AC ．∠在CAE 和FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()CAE FAE SAS ≅， ∠CE FE =，∠AEC =∠AEF =90°， ∠C 、E 、F 三点共线， ∠点E 为CF 中点． ∠M 为BC 中点， ∠ME 为CBF 中位线，∠//ME AB ，故B 正确，不符合题意；∠在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∠()AGD ABD ASA ≅， ∠12GD BD BG ==，即D 为BG 中点． ∠在BCG 中，90BCG ∠=︒， ∠12CD BG =， ∠CD BD =，故C 正确，不符合题意；∠90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠， ∠HDM HCE ∠=∠． ∠HF AB ⊥，//ME AB ， ∠HF ME ⊥，∠90HEM EHF ∠+∠=︒． ∠AD 是BAC ∠的平分线， ∠EHC EHF ∠=∠． ∠90EHC HCE ∠+∠=︒， ∠HCE HEM ∠=∠， ∠HDM HEM ∠=∠，∠MD ME =，故D 正确，不符合题意； ∠假设2CD ME =， ∠2CD MD =，∠在Rt CDM 中，30DCM ∠=︒．∠无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意． 故选A ． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．9．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE ，BF 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线，50BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，则EAD ∠的度数为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【答案】A 【分析】根据角平分线的定义求得∠BAE 的度数，然后利用三角形内角和求得∠BAD 的度数，从而可求∠EAD 的度数． 【详解】解：在ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的角平分线，50BAC ∠=︒，∠∠BAE=1252BAC ∠=，∠ADB=90°又因为60ABC ∠=︒ ∠∠BAD=180°-∠ADB -∠ABC=30°∠EAD=∠BAE-∠BAD=5°故选：A．【点睛】本题考查三角形角平分线和三角形高线的定义及三角形内角和定理，题目比较简单，正确推理计算是解题关键．10．（2020·山东省淄博中考）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD△BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【答案】A【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∠AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∠点F为∠ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∠AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∠AD∠BE，∠∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt∠AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt∠AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt∠BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∠4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．11．（2021·四川省宜宾中考）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB ＝AC＝10，BC＝12，则tan△OBD的值是（）A．12B．2CD【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD∠BC，BD=12BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得106AB AOBD OD==，进而即可求解．【详解】解：AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，∠AD∠BC，BD=12BC=6，∠AD8，过点O作OF∠AB，∠BE平分∠ABC，∠OF=OD，∠1212AOBDOBAB OFS AO ABS OD BDBD OD⋅===⋅∠106AB AOBD OD==，即：8106ODOD-=，解得：OD=3，∠tan∠OBD=3162 ODBD==，【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出AB AO BD OD=，是解题的关键．12．（2021·湖南怀化三模）如图，已知在ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，垂足为E ，交AC 于点D ．若6AB =，9AC =，则ABD △的周长是________．【答案】15【分析】直接利用垂直平分线的性质，得出DB =DC ，再利用等量代换即可求得三角形的周长．【详解】解：∠DE 是BC 的垂直平分线，∠DB DC =,∠ABD △的周长=AB AD BD AB AD CD ++=++6915AB AC =+=+=,故填：15．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．13．（2021·青海中考）如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，若DEF 的周长为10，则ABC 的周长为______．【答案】20根据三角形中位线定理得到AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∠∠DEF的周长为10，∠DE+EF+DF=4，∠D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∠AC=2DE，AB=2EF，BC=2DF，∠∠ABC的周长=AC+AB+BC=2（DE+EF+DF）=20，故答案为：20．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．如图，在四边形ABCD中，△A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分△ABC，则BCD 的面积为____________．【答案】15 2【分析】过点D作DE∠BC于点E．根据BD平分∠ABC，DE∠BC，AD∠AB．得出AD=DE=3．然后利用三角形面积S∠BCD=12BC•DE=7.5即可．【详解】解：如图，过点D作DE∠BC于点E，∠∠A=90°，∠AD∠AB，∠BD平分∠ABC，DE∠BC，AD∠AB，又∠BC =5，∠S ∠BCD =12BC •DE =12×5×3=7.5．故答案为7.5．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形面积，掌握角平分线性质，三角形面积是解题关键． 15．（2021·河北中考）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少 10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∠∠A +∠B =50°+60°=110°，∠∠ACB =180°-110°=70°，∠∠DCE =70°，如图，连接CF 并延长，∠∠DFM =∠D +∠DCF =20°+∠DCF ，∠EFM =∠E +∠ECF =30°+∠ECF ，∠∠EFD =∠DFM +∠EFM =20°+∠DCF +30°+∠ECF =50°+∠DCE =50°+70°=120°，要使∠EFD =110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由∠EFD =∠DFM +∠EFM =∠D +∠DCF +∠E +∠ECF =∠D +∠E +∠ECD =∠D +30°+70°=∠ D +100°， 因此应将∠D 减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．16．（2021·山东聊城中考）如图，在△ABC中，AD△BC，CE△AB，垂足分别为点D和点E，AD 与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF 值为____________．【答案】12:15:10【分析】由题意得：BF∠AC，再根据三角形的面积公式，可得5432ABCS AD CE BF===，进而即可得到答案．【详解】解：∠在∠ABC中，AD∠BC，CE∠AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，∠BF∠AC，∠AB＝5，BC＝4，AC＝6，∠111222ABCS BC AD AB CE AC BF =⋅=⋅=⋅，∠5432ABCS AD CE BF===，∠CE：AD：BF=12:15:10，故答案是：12:15:10．【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．。
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—全等三角形
∴ = ，∠ = ∠，
∵∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠，
∴ ∥ ．
考点一 全等三角形及其性质
题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
【对点训练1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，、相交于点，且△ ≌△ ，在上，在
1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.
考点一 全等三角形及其性质
题型01 利用全等三角形的性质求角度
【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△ ≌△ ，若∠ = 50°, ∠ = 40°，则∠1的度数为
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
【小技巧】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素
（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有
（
）
A．40°
Hale Waihona Puke B．25°C．15°D．无法确定
【对点训练1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ ≌△ ，∠ = 75°，∠ = 30°，则∠的
度数为（
A．105°
）
B．80°
C．75°
D．45°
考点一 全等三角形及其性质
题型02 利用全等三角形的性质求长度
【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ ≅△ ，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若 =
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第2节三角形及其性质
(必考，1～2道，近3年每年考查1道，4～19分)
玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)
命题点直角三角形的相关证明及计算(10年13考，多在解答题中涉及考查) 1. (2013重庆B卷9题4分)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为( )
A. 2
B. 2 3
C.
3
3
＋1 D. 3＋1
第1题图
2. (2009重庆10题4分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是( )
A. ①②③
B. ①④⑤
C. ①③④
D. ③④⑤
第2题图
3. (2012重庆20题6分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC 边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)
第3题图
答案
1. D 【解析】∵CD ⊥AB ，∴△ADC 与△CDB 都是直角三角形．又∵∠A ＝45°，∠B ＝30°，CD ＝1，∴AD ＝1，CB ＝2CD ＝2，∴DB ＝BC 2－CD 2＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝1＋ 3.
2. B 【解析】如解图，连接CF ，由SAS 定理可证△CFE ≌△AFD ，∴∠CFE ＝∠AFD ，从而可证∠DFE ＝90°，DF ＝EF .∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；当EF ⊥CB ，DF ⊥AC 时，易得四边形CDFE 为正方形，故②错误；∵△DEF 是等腰直角三角形，DE ＝2DF ，当DF 与AC 垂直时，DF 最小为4，DE 取最小值为42，
故③错误；再由△CDF ≌△BEF 可知S 四边形CDFE ＝S △CDF ＋S △CEF ＝S △BEF ＋S △CEF ＝S △CFB ＝12
S △ABC ，保持不变，故④正确；△CDE 的最大面积等于四边形CDFE 的面积减去△DEF
的最小面积，由③可知S △DEF 最小＝12
×4×4＝8，又由④可得S 四边形CDFE
＝S △CFB ＝16，故⑤正确．综上可得正确的结论为①④⑤.
第2题解图
3. 解：∵△ABD 是等边三角形，
∴∠B ＝60°，(1分)
∵∠BAC ＝90°，
∴∠C ＝180°－90°－60°＝30°，
∴BC ＝2AB ＝4，(3分)
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：
AC＝BC2－AB2＝42－22＝23，
∴△ABC的周长是AC＋BC＋AB＝23＋4＋2＝6＋2 3.(6分)。