1.3.2函数的极值与导数教学设计
高中数学教学课例《1.3.2函数的极值与导数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
识与方法的基础，起着承上启下的作用。
知识与技能：
①了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函
数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，
提升思维水平；
②掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值
教学目标 的一般方法；
③了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条
件。
过程与方法：
培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和
规律的学习能力。
情感态度与价值观：
①体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有
效性；
②培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够
深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步
提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作 学生学习能
用。 力分析
通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应
学生展示：类比极大值，归纳出极小值，极小值点 的定义。
教师点拨：通过教师的点拨，帮助学生完善、深化 知识
典型例题：先让学生做，教师引导学生总结思路方 法技巧。
自主完成：分层设计练习题，让各层面学生都能学 有所获。
求,解方程=0,当=0 时:
（1）如果在 x0 附近的左边＞0,右边＜0,那么
f(x0)是极大值。 （2）如果在 x0 附近的左边＜0,右边＞0,那么
f(x0)是极小值。 通过典型例题巩固学生对新知识的理解。 通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方
法，突出本节课的重点。培养学生规范的表达能力，形 成严谨的科学态度。
学生展示：极小值与极小值点
教学过程
典型例题： 例 1：右图是函数 y=f(x)的函数,试找出函数
y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小
高中数学人教版选修1-1 3.3.2函数的极值与导数 教案1
3.3.2 函数的极值与导数教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．●教学流程创设问题情境，引出问题：在x＝a b点附近，函数值有何特点？⇒引导学生结合给出图象，观察、比较、分析，导出问题答案，给出极值概念.⇒通过引导学生回答所提问题，理解极大值与极小值大小的辩证关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数极值的步骤和方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握已知函数的极值求参数的方法.⇒通过例3及其变式训练，理解极值的含义，并学会通过极值解决综合问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学(对应学生用书第58页)课标解读1.理解极值的定义．(难点)2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)知识点极值点与极值【问题导思】函数y＝f(x)的图象如图所示．1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？【提示】函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小 . 2．f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？【提示】f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.3．函数在x ＝b 点处的情况呢？【提示】 函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.1．极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【问题导思】函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】 不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂互动探究 (对应学生用书第58页)类型1求函数的极值例题1 求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x ＋3ln x .【思路探究】原函数――→求导导函数―→f ′x ＝0的点x 0――→判断两侧符号极值【自主解答】 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值143极小值－6∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋f (x )极小值3因此当x ＝1 规律方法1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 变式训练求函数y ＝2x ＋8x的极值．【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表： x (－∞，－2)－2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞) y ′＋－－＋y －8 8由表知：当x ＝－2时，y 极大值＝－8； 当x ＝2时，y 极小值＝8.类型2由函数的极值求参数例题2 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【思路探究】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？【自主解答】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×－23＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－23)－23 (－23，1) 1 (1，＋∞) f ′＝(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )2227＋c－32＋c由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. 规律方法已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 变式训练已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 【解】 由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴a ＝－1，b ＝－9符合题意.例题3 直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【思路探究】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？【自主解答】 ∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．规律方法1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．变式训练已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)a－2a＋2由表可知函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．易错易误辨析 (对应学生用书第60页)因未验根而致误典例 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值． 【错解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.【错因分析】 解出a ，b 值后，未验证x ＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误． 【防范措施】 可导函数在x 0处的导数为0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f ′(x )＝0而求出的参数需要检验，以免出错．【正解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎨⎧ f ′1＝0，f －1＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.课堂小结1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.当堂双击达标(对应学生用书第60页)1．下列说法正确的是()A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值【解析】函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.【答案】 C2．函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图3－3－5所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值的个数为()图3－3－5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 在(a ，b )内，f ′(x )＝0的点有A 、B 、O 、C .要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．【答案】 A3．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 f ′(x 0)＝0⇒/ y ＝f (x )在x 0处有极值，但y ＝f (x )在x 0处有极值⇒f ′(x 0)＝0，应选B.【答案】 B4．求函数y ＝x ＋1x的极值．【解】 y ′＝1－1x 2＝x 2－1x 2，令y ′＝0解得x ＝±1，而原函数的定义域为{x |x ≠0}，∴当x变化时，y ′，y 的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) y ′ ＋ 0 － － 0 ＋y极大值极小值极大值极小值课后知能检测 (对应学生用书第111页)一、选择题1．已知函数f (x )，x ∈R ，有唯一极值，且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－62．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x()A．x＝1时，取得极大值B．x＝1时，取得极小值C．x＝－1时，取得极大值D．无极值点【解析】f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立．∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值．【答案】 D4．(2013·临沂高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意：f′(－3)＝27－6a＋3＝0∴a＝5.应选D.【答案】 D5．如图3－3－7所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图3－3－7A.23B.43C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C 二、填空题6．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】 －197．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8．(2013·昆明高二检测)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：图3－3－8(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 【解析】 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值； 所以只有(3)正确． 【答案】 (3) 三、解答题9．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2.【解】 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：时，函数有极大值，且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R . f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 －f (x ) 极小值 －3极大值 －1且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值； 且f (1)＝22－2＝－1.10．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 【解】 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝ax＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )、f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. 教师备课资源 (教师用书独具)备选例题已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求证：当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 【证明】 ∵f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0) ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx当ab ＞0时，若a ＞0，b ＞0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的；若a ＜0，b ＜0，则f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递减的．∴当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 备选变式已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求函数有极值时a 、b 满足的条件． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx.若函数f (x )有极值，首先f ′(x )＝0，即2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根． 因为ab ≠0，x 2＝－b2a ，所以当ab ＜0时，2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根x ＝－b 2a. 又当a ＞0，b ＜0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左负右正，此时函数f (x )在x ＝－b2a取得极小值； 当a ＜0，b ＞0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左正右负，此时函数f (x )在x ＝－b 2a取得极大值．综上，函数f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0)有极值时，a ，b 所满足的条件是ab ＜0.。
高中数学1.3.2函数的极值与导数优秀教案
1.3.2 函数的极值与导数学习目标：1、理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极值的方法。
2、培养学生观察、归纳的能力；学会运用数形结合的方法解决问题。
教学重难点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。
教学过程一、复习回忆：1.函数的单调性与导数的关系：一般地，设函数y =f (x )在某个区间(a ，b )内有导数，如果在这个区间内f '(x )>0，那么函数y =f (x )为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f '(x )<0，那么函数y =f (x )为这个区间内的减函数.如果在某个区间内恒有f '(x )=0，则y =f (x )为常数。
2.函数f (x )=2x 3－6x 2+7，求f (x )的单调区间,并画出其图象; 二、讲授新课：a b y=f (x ) x o y y=f (x ) xo y a b观察画出函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象，答复下面问题：问题1：在点x =0附近的图象有什么特点？问题2：函数在x =0处的函数值和附近函数值之间有什么关系？问题3：在点x =0附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在x =0处的导数是多少？思考1 分析讨论函数在x =0附近的变化规律：你能尝试给出极大值的定义吗？ 函数极大值的定义设函数y =f (x )在x =x 0及其附近有定义假设x 0满足1. f (x 0)＞f (x )；f '(x 0)=0.x 0的两侧的导数异号，满足“左正右负〞，我们就说f (x 0)是函数y =f (x )的一个极大值，点x 0叫做函数y =f (x )的极大值点。
思考2 你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？函数极小值的定义设函数y =f (x )在x =x 0及其附近有定义，假设x 0满足：1. f (x 0)＜f (x )；f '(x 0)=0.x 0的两侧的导数异号，满足“左负右正〞，我们就说f (x 0)是函数y =f (x )的一个极小值，点x 0叫做函数y =f (x )的极小值点。
高中数学 1.3.2函数的极值与导数教案 新人教版选修2-2
§1.3.2 函数的极值与导数（2 课时） 课题：1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程与设计： 详细过程一．创设情景 观察图 3.3-8，我们发现，t a 时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数 h(t ) 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规 律？ 放大 t a 附近函数 h(t ) 的图像，如图 3.3-9．可以看出 h( a ) ；在 t a ，当 t a 时， 函数 h(t ) 单调递增， h(t ) 0 ；当 t a 时，函数 h(t ) 单调递减， h(t ) 0 ；这就说明，在 ．这样，当 t 在 a 的 t a 附近，函数值先增（ t a ， h(t ) 0 ）后减（ t a ， h(t ) 0 ） 附近从小到大经过 a 时， h(t ) 先正后负，且 h(t ) 连续变化，于是有 h(a) 0 ．教学目标：教学重点： 教学难点：对于一般的函数 y f x ，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就 函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值 点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1 ． 问 题 ： 图 3.3-1 （ 1 ） ，它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数王新敞奎屯 新疆h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t ) h (t ) 9.8t 6.5 的图像．'运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加，即 h(t ) 是增 函数．相应地， v(t ) h' (t ) 0 ． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少，即 h(t ) 是减 函数．相应地， v(t ) h' (t ) 0 ． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图 3.3-3 ，导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率．在 x x0 处，f ' ( x0 ) 0 ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增；在 x x1 处， f ' ( x0 ) 0 ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系' 在某个区间 ( a , b) 内，如果 f ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果f ' ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减．' 说明： （1）特别的，如果 f ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内是常函数．3．求解函数 y f ( x) 单调区间的步骤： （1）确定函数 y f ( x) 的定义域； （2）求导数 y f ( x) ；' '（3）解不等式 f ( x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间；'（4）解不等式 f ( x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间．'三．典例分析 例 1．已知导函数 f ( x) 的下列信息：' 当 1 x 4 时， f ( x) 0 ； '当 x 4 ，或 x 1 时， f ( x) 0 ；'当 x 4 ，或 x 1 时， f ( x) 0'试画出函数 y f ( x) 图像的大致形状．解：当 1 x 4 时， f ' ( x) 0 ，可知 y f ( x) 在此区间内单调递增； 当 x 4 ，或 x 1 时， f ' ( x) 0 ；可知 y f ( x) 在此区间内单调递减； 当 x 4 ，或 x 1 时， f ' ( x) 0 ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” ． 综上，函数 y f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示． 例 2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） f ( x) x3 3x ； （2） f ( x) x2 2x 3（3） f ( x) sin x x x (0, ) ； （4） f ( x) 2x3 3x2 24 x 1 解： （1）因为 f ( x) x 3x ，所以， f ( x) 3x 3 3( x 1) 03 ' 2 2因此， f ( x) x 3x 在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示．3（2）因为 f ( x) x2 2x 3 ，所以， f ' ( x) 2x 2 2 x 1 当 f ( x) 0 ，即 x 1 时，函数 f ( x) x 2x 3 单调递增；' 2当 f ( x) 0 ，即 x 1 时，函数 f ( x) x 2x 3 单调递减；' 2函数 f ( x) x 2x 3 的图像如图 3.3-5（2）所示．2 ' （3） 因为 f ( x) sin x x x (0, ) ，所以， f ( x) cos x 1 0因此，函数 f ( x) sin x x 在 (0, ) 单调递减，如图 3.3-5（3）所示． （4） 因为 f ( x) 2x 3x 24 x 1 ，所以3 2．2当 f ( x) 0 ，即'时，函数 f ( x) x 2x 3 时，函数 f ( x) x 2x 32 2； ；当 f ( x) 0 ，即' 3函数 f ( x) 2x 3x 24 x 1 的图像如图 3.3-5（4）所示． 注： （3） 、 （4）生练 例3 如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同 的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得 慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上， （A）符合上述变化情况．同理可知其它三种 容器的情况．解： 1 B , 2 A , 3 D , 4 C 思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结 合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的， 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像就比较“陡峭” ；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图 3.3-7 所示， 函数 y f ( x) 在 0 , b 或 a , 0 内的图像“陡峭” ，在 b , 或 , a 内的图像“平 缓” ． 例4 求证：函数 y 2x3 3x2 12 x 1 在区间 2,1 内是减函数．' 2 2 证明：因为 y 6 x 6 x 12 6 x x 2 6 x 1 x 2 当 x 2,1 即 2 x 1 时， y' 0 ，所以函数 y 2x3 3x2 12 x 1 在区间 2,1 内 是减函数． 说明：证明可导函数 f x 在 a , b 内的单调性步骤： （1）求导函数 f ' x ； （2）判断 f ' x 在 a , b 内的符号； （3）做出结论： f ' x 0 为增函数， f ' x 0 为减函数． 例5 已知函数 f ( x) 4 x ax 22 3 x ( x R ) 在区间 1,1 上是增函数，求实数 a 的取 3'值范围． 解 ： f ( x) 4 2ax 2 x ， 因 为 f x 在 区 间 1,1 上 是 增 函 数 ， 所 以 f ( x) 0 对' 2x 1,1 恒成立，即 x2 ax 2 0 对 x 1,1 恒成立，解之得： 1 a 1所以实数 a 的取值范围为 1,1 ． 说明： 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型， 常利用导数与函数单调性关 系：即“若函数单调递增，则 f ( x) 0 ；若函数单调递减，则 f ( x) 0 ”来求解，注意此' '时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x －6x +73 22.f(x)=1 +2x x4. y=xlnx3. f(x)=sinx , x [0,2 ]2．课本 P101 练习 五．回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数 y f ( x) 单调区间 （3）证明可导函数 f x 在 a , b 内的单调性 六．布置作业。
教学设计10：1.3.2 函数的极值与导数
1.3.2函数的极值与导数教学目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识链接在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在点x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y ＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在点x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在点x ＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.教学导引1.极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值. 课堂讲义要点一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值.解 由题意可知f ′(x )＝x 2－4. 解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2； 由f ′(x )＜0得－2＜x ＜2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283.当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.跟踪演练1 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由.(1)y ＝8x 3－12x 2＋6x ＋1； (2)y ＝x |x |； (3)y ＝1－(x －2)23.解 (1)∵y ′＝24x 2－24x ＋6， 令y ′＝0，即24x 2－24x ＋6＝0， 解得x ＝12，当x >12时，y ′>0；当x <12时，y ′>0.∴此函数无极值.(2)令y ＝x |x |＝0，则x ＝0，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x ≥0，－x 2x <0，当x >0时，y ＝x 2是单调增函数； 当x <0时，y ＝－x 2也是单调增函数. 故函数y ＝x |x |在x ＝0处无极值.另外，∵当x >0时，y ′＝2x ，y ′＝0无解； 当x <0时，y ′＝－2x ，y ′＝0也无解， ∴函数y ＝x |x |没有极值.(3)当x ≠2时，有y ′＝－23(x －2)31-.当x ＝2时，y ′不存在，因此，y ′在x ＝2处不可导. 但在点x ＝2处的左右附近y ′均存在， 当x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0.故y ＝f (x )在点x ＝2处取极大值，且极大值为f (2)＝1. 要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即x ＝±1是3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1 ②又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值. 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.要点三 函数极值的综合应用例3 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ). (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围. 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a3).当a ＝0时，f ′(x )＝－3x 2≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a >0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得0<x <2a 3，故函数f (x )的单调递增区间为(0，2a3)；当a <0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得2a 3<x <0，故函数f (x )的单调递增区间为(2a3，0).(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2a 3)，单调递减区间为(－∞，0)和(2a3，＋∞).所以f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，f (x )极小值＝f (0)＝b . 由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f x 极大值>0，f x 极小值<0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 327＋b >0，b <0，解得－4a 327<b <0.因为对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，所以b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.所以实数b 的取值范围为(－4,0).规律方法 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数. 跟踪演练3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x ＞2或x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2).当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示. 所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的实根. 所以，实数a 的取值范围是(5－42，5＋42). 当堂检测1.下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D.若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 【答案】D【解析】由极值的概念可知只有D 正确.2.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.－1＜a ＜2 B.－3＜a ＜6 C.a ＜－1或a ＞2 D.a ＜－3或a ＞6【答案】D【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0， 解得a ＞6或a ＜－3.3.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 【答案】9【解析】f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.。
(完整word)高中数学《§1.3.2函数的极值与导数》导学案
《§1.3.2 函数的极值与导数》导教案课前部分编写人：审查：高二数学组【学习目标】1．知识与技术目标：（1）理解极大值、极小值的观点；（2）可以运用鉴别极大值、极小值的方法来求函数的极值；（3）掌握求可导函数的极值的步骤 .2．过程与方法目标：培育学生察看、剖析和归纳的能力，使学生进一步感觉数形联合思想.3.感情、态度与价值观目标进一步培育学生合作、沟通的能力和团队精神；激发学生踊跃主动地参加数学学习活动，养成优秀的学习习惯.【学习要点、难点】要点：极值的观点与求法.难点：函数在某点获得极值的必需条件和充足条件一、【复习回首】函数的单一性与其导函数正负的关系？二、【学习研究】问题：察看以下图，从图 2 中精选出与图 1 点a地点相像的点，函数y f ( x) 在这些点处的函数值与这些点邻近的函数值有什么大小关系？y f ( x) 在这些点的导数值是多少？在这些点左右双侧， y f ( x) 的导数的正负有什么规律？从图2中精选出与图1点 b 地点相像的点，并回答上述问题图 1图 2新知：极值的观点阅读教材 p27内容，自主学习函数极值的观点，回答以下问题.1.若函数 y f ( x) 在x0处存在导数，则x0左右双侧及x0处的导数知足哪些条件时x0才会是f (x)的极值点？2．函数的极值点能出此刻定义域区间的端点处吗?3．函数的极值是独一的吗？一个函数的极大值必定大于它极小值吗？提示：极值反应了函数在某一点邻近的函数值的大小状况，刻画的是函数的局部性质 . 做一做图 3 是导函数y f ( x) 的图象，函数y=f ( x)的极大值点有__, 极小值点有图 3思虑： 1. 可导函数y f (x) 在一点的导数值为0 是函数在这点取极值的什么条件？2.在导函数图象上怎么找极值点？三、【典型例题】四、【怀疑汇总】例 1求函数 y1x34x 4 的极值. 1. 我的迷惑？32. 小组合作研究后的迷惑你能总结出求极值的一般步骤吗？五、【自学总结】我的收获自我检测已知函数 f (x) 4x3ax2bx 5在 x 3与 x1时有极值，求函数的分析式.2《§1.3.2 函数的极值与导数》导教案 3 ．其余组展现的问题及成就：（评论与反省）课上部分编写人：审查：高二数学组【展现沟通】1.课上要解决的问题是：2．展现纲要：《§1.3.2 函数的极值与导数》导教案课后部分编写人：审查：高二数学组【课后反省】【课后作业】1.选修 2-2 p29练习 1、 22.第 9 课时卷子【高考链接】1.（2012 陕西 7 题 5 分）设函数 f ( x)xe x则（）A..x 1为f ( x)的极大值点B..x1为 f ( x)的极小值点C..x1为f (x)的极大值点D..x1为f ( x)的极小值点2（. 2012 重庆 8 题 5 分）设函数f ( x)在R上可导，其导数为 f ' ( x),且函数 y1 x f /x的图象如下图，则以下结论中必定建立的是（）A. 函数f x 有极大值f 2 和极小值 f 1B. 函数f x 有极大值 f2和极小值 f1C. 函数f x 有极大值f2和极小值 f2D. 函数f x 有极大值f2和极小值 f2达标检测 （限时独立达成）达标检测 （限时独立达成）．关于函数 f ( x ＝x 3－ x 2，给出命题： ．关于函数 f ( x ＝x 3－ x 2，给出命题：1 ) 3 1 ) 3 ①f ( x) 是增函数，无极值； ①f ( x) 是增函数，无极值； ②f ( x) 是减函数，无极值；②f ( x) 是减函数，无极值；③f ( x) 的递加区间为 ( －∞， 0) ，(2 ，＋∞ ) ，递减区间为 (0,2) ；③f ( x) 的递加区间为 ( －∞， 0) ， (2 ，＋∞ ) ，递减区间为 (0,2) ；④f (0) ＝0 是极大值， f (2) ＝－ 4 是极小值． ④f (0) ＝ 0 是极大值， f (2) ＝－ 4 是极小值． 此中正确的命题有 ( )此中正确的命题有 ( )A ．1 个B ．2 个A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个C ．3 个D ．4 个．函数 f ( x 的定义域为开区间 ( a ，b ，导函数 f ′(x ) 在 ( a ， b 内的图象如图所．函数 f x 的定义域为开区间 ( a ，b ，导函数 f ′(x 在 a ， b 内的图象如图所2 ) )) 2 ( ) )) ( )示，则函数f x 在开区间(a ，b 内有极小值点()示，则函数 f (x 在开区间(a ，b内有极小值点()( ))))A ．1 个B ．2 个A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个C ．3 个D ．4 个3 2 在 x3 时有极值 10，则 a 的值为3 2在 x3 时有极值 10，则 a 的值为3. 函数 f (x) xax 3x 9 3. 函数 f ( x) x ax 3x 9．已知函数 y ＝ x 3 ＋ax 2＋bx ＋ 27在 x ＝－ 1处有极大值，在 x ＝ 3处有极小值，则 ．已知函数 y ＝x 3＋ ax 2＋ bx ＋ 27在 x ＝－ 1处有极大值，在 x ＝ 3处有极小值，则44a ＝，b ＝________.a ＝，b ＝________.____________。
高中数学新人教版A版精品教案《1.3.2 函数的极值与导数》
1.3.2 函数的极值与导数（第一课时）一、教学目标1、知识与技能1 结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的条件；2 理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 ；3 掌握求可导函数的极值的步骤 2、过程与方法经历函数极值点的探究过程，总结用导数研究函数极值的方法 3、情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识，进一步体验导数的作用。
二、教学重点、难点重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及利用导数求可导函数的极值的步骤 难点：对极大、极小值概念的理解三、教学过程设计 （一）课前准备 合作预习1．通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ 函数()y f x =在某个区间为可导函数，若()0,()f x f x '>⇒函数在这个区间上是增函数； 若()0,()f x f x '<⇒函数在这个区间上是减函数 2．用“导数法”求单调区间的步骤： ①求函数定义域；②求出函数的导函数()f x '；③解不等式()0>'x f ，求得其解集，再根据解集写出函数()x f 单调递增区间； 解不等式()0<'x f ，求得其解集，再根据解集写出函数()x f 单调递减区间注：单调区间不能以并集出现设计意图：回忆函数的单调性与导数的关系，同时也为本节课的学习做好铺垫3如图表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()105.69.42++-=t t t h 的图像,a t =时，高台跳水运动员距水面的高度最大问题1 函数()t h 在a t =处的导数是多少？问题 2 函数()t h 在此点附近的图像有什么特点？导数符号有什么变化规律？问题3 函数()t h 在点a 处的函数值与点a 附近的函数值有什么关系 设计意图：用高台跳水的例子，与上节课形成呼应，引导学生提出和思考新的问题，发展学生的数学应用意识（二）预习反馈 （三）合作探究新知探究一：极值的定义 1、观察函数()x f y =的图像 问题：（1）函数 ()x f y =在点b x a x ==,的处函数值与它们附近所以各点处的函数值有什么关系（2）函数()x f y =在点b x a x ==,的导数值是多少（3）在点b x a x ==,附近, ()x f y =的导数的符号有什么规律 形成定义：函数()y f x =在点a x =的函数值()f a 在比它在点a x =附近其他点的函数值都小，()0f a '=，且在点a x =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值函数()y f x =在点b x =的函数值()f b 在比它在点b x =附近其他点的函数值都大，()0f b '=，且在点b x =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值yxa ob()y f x =(图一))(>'x f 0)(<'x f 0)(<'x f 0)(='a f 0)(='b f探究二、极值概念的理解 2、观察图二，回答以下问题： 问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些是极小值点？ 问题2：极大值一定大于极小值吗？问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？问题4：区间的端点能成为极值点吗？【关于极值概念的几点说明】1极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; 2极值点是自变量的值,极值指的是函数值;3函数的极大小值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; 4函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点设计意图：通过对图二的观察使学生经历感知，观察发现、归纳类比的思维过程，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法。
函数的极值与导数教学设计
课题：1.3.2函数的极值与导数〖教材分析〗本节课是人教A版数学选修2-2教材中导数应用的第二节，通过第一节利用导数判断函数的单调性的学习，学生已经了解了导数在函数中的初步应用，为了培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，本节课将继续学习函数的极值与导数的关系，让学生了解极值点、极值的概念后探索取得极值的条件，并在此基础上重点学会如何求函数的极值. 是上节内容的延续和深化，也为下节利用导数知识求函数的最值做了铺垫，在本章起着承上启下的作用. 因此制定本节课的教学目标为：〖教学目标〗1、理解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质2、掌握利用导数求函数极值的方法以及求可导函数的极值的步骤3、经历导函数的零点与原函数的极值点并不等价的探究过程，并总结用导数研究函数极值的方法与注意事项4、感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，会借助导数去分析和思考问题，培养导数应用的意识5、培养学生的探索精神和严谨的科学态度〖学情分析〗学生进入高二下，学习紧迫感比高一强烈，理科学生动手动脑能力还是较强的，学生求知欲与表现欲也很强，大部分同学能很好做到课前预习后再听课，课上积极思考并踊跃发言，但思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学的视野的拓展，因此问题的铺设很关键. 学生在学习本节知识时，最容易出错的地方是将导函数的零点与原函数的极值点当作一回事，基于此，确立本节课的重难点为：〖教学重难点〗【重点】函数极值点的判断方法和求解步骤【难点】导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解〖教具教法〗多媒体课件，问题引导、探究发现式教学〖课堂模式〗设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性，打造高效课堂。
〖教学基本流程〗〖教学过程〗一、复习引入[师]：通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ [生答]： 函数()y f x =在x 的定义域内的某个开区间内可导， 若'()0f x >⇒()f x 在这个区间上是增函数； 若'()0f x <⇒()f x 在这个区间上是减函数.【设计意图】回忆函数的单调性与导数的关系，同时也为本节课的学习做好铺垫.二、导入新课[师]：高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系为2()5510h t t t =-++. 此函数是二次函数，当12t =时，运动员距水面的高度最大. 问：（1）函数()h t 在此点处的导数值为多少？ （2）此点附近区域内的图象有什么特点？ （3）导数的符号有什么变化规律？[生答]：（1）函数h （t ）在此点处的导数值为0； （2）此点左边是增函数，右边是减函数；（3）当x 从小到大经过此点时，h ’（x ）的符号先正后负【设计意图】用高台跳水的例子，与上节课形成呼应，引导学生提出和思考新的问题，发展学生的数学应用意识三、共探新知〖探究一〗极值的定义[师]★问题1：对于这一事例是这样，更为一般的函数()y f x =，是否也有同样的性质呢？（图1） （图2）〖引导思考1〗如图1，函数()y f x =在a 点的函数值与它附近区域内的点的函数值之间有什么关系？在a 点处的导数值为多少？它附近区域导数的符号有什么变化规律？[生]答：函数y=f （x ）在a 点的函数值比它在点a 附近区域内其他点的函数值都小，f’（a ）=0，而且在点a 附近左侧f’（x ）<0，在点a 附近右侧f’（x ）>0.〖引导思考2〗函数()y f x =在b 点的函数值与它附近区域内的点的函数值之间有什么关系？在b 点处的导数值为多少？它附近区域导数的符号有什么变化规律？[生]答：函数y=f （x ）在b 点的函数值比它在点b 附近区域内其他点的函数值都大，f’（b ）=0，而且在点b 附近左侧f’（x ）>0，在点a 附近右侧f’（x ）<0.四、形成概念〖引导思考3〗如图2，图中c 、d 、e 、f 、g 、h 等点中哪些点与图1中a 点有相同的特征？ c 、e 、g ；哪些点又与图1中b 点有相同的特征？ d 、f 、h .〖引导思考4〗图1中的a 点是函数()y f x =的最小值点吗？为什么？ [生]：不是，没有最小值.[师]：如果在a 点附近很小的一个区间内，点a 是函数()y f x =的最小值点吗? [师生共同思考，形成新的概念]：图1中，把a 点叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；同理，把b 点叫做函数的极大值点， f(b) 叫做函数的极大值.注：极小值点、极大值点统称为 极值点 ，极大值与极小值统称为 极值 . 【设计意图】用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法. 两种情况分析一种，另一种鼓励学生用类比的方法自己归纳，通过思考与讨论，知道极值刻画的是函数的局部性质，进一步理解极值点和极值的含义.五、深化概念[师]★问题2：上述函数()y f x =在极点处的导数值有什么特征？ [生答]：导数值为0〖引导思考5〗所有函数的极值点处的导数都是0吗？ [生答]：不一定（举例y =|x |），注：高中阶段一般都是寻求可导函数的极值点[师]★问题3：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？为什么？ [生答]：不一定（举例y =x 3）对于可导函数，0'()0f x =是0x 为极值点的 必要不充分 条件.【设计意图】通过层层追问，引导学生从正反方向辨析极值的概念，突破难点，强化重点，同时培养学生的观察、概括及表达能力，帮助学生进一步了解极值点和极值的含义.〖探究二〗利用导数判别函数的极大（小）值[师]★问题4：若函数()y f x =在0x 处取得极值，如何知道0x 是极大值点还是极小值点？〖引导思考6〗极大值点附近区域的左右两边图象有什么特征？附近区域导数的符号有什么变化规律？[师生共同归纳]一般地，当函数f (x )在点x 0处光滑连续不断时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是： 解方程'()0f x =，当0'()0f x =时，（1）如果在x 0附近的左侧f’（x ）>0，右侧f’（x ）<0，那么f (x 0)是极大值； （2）如果在x 0附近的左侧f’（x ）<0，右侧f’（x ）>0，那么，f (x 0)是极小值.体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.六、范例解析【例一】 求函数31()443f x x x =-+的极值.〖点评〗求可导函数f (x )的极值的步骤： ⑴ 求导函数f '(x )；⑵ 求方程 f '(x )＝0在函数f (x )的定义域内的根； ⑶ 检查f '(x )在方程根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 【设计意图】 通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法，突出本节课的重点.培养学生规范的表达能力，形成严谨的科学态度.〖练习〗下面几种说法中正确的是__________（填写正确选项序号） ① 点（282,3-）函数31()443f x x x =-+的极大值点 ② 函数()f x 的极大、极小值是唯一确定的 ③ 函数()f x 的极大值一定大于它的极小值④ 函数()f x 的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点⑤ 函数()f x 是连续不断的光滑曲线，且有两个极大值点，则在两个极大值点之间一定有一个极小值点【例二】 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数'()f x 在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点共有( )AA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个〖引导思考7〗 从上图可以看出导函数的零点一定是原函数的极值点吗？什么样的零点才是极值点？ 答：不一定，导函数中 “相交型”（穿过型）的零点才是极值点，“（同侧）相切型”的零点不是极值点（拐点）.【例三】 函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a 的值为（ ）BA. -3或4B. 4C. -3D. 3或4【设计意图】 例二、例三两题重在易错点的梳理，给不同层次的学生提供了不同的收获，进一步分解本课的难点.【例四】已知函数32()335f x x ax bx =+++在x=2处有极值，且其图象在1x =处的切线与直线6250x y ++=平行.（1）求函数的单调区间；.（2）求函数()f x 的零点的个数.（3）若关于x 的方程()=f x m 有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.【设计意图】 通过例四，进一步突出重点.使学生从感性认识升华到理性认识.七、举一反三1、求下列函数的极值（1）3()612f x x x =+-；（2）()ln f x x x =-.2、若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取得极值，则a =__________.【设计意图】通过练习，进一步突出重点，使学生从感性认识升华到理性认识.八、小结提升[师问生答，师生共同回忆]1、口答：极值点是如何定义的？如何求极大、极小值点？2、可导函数的极值点一定是导函数的_______？反之也成立吗？3、你还可以通过其他方法判断导函数的零点是否为极（大、小）值点吗？（这一问是否太难了？）答：对导函数在零点处进行二次求导，若大于0，则是极小值；若小于0，则是极大值.(此条件不是充要的) 4、（带着此问题预习下一课时）极值与最值有关系吗？[板书设计]：通过板书，给同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系.备课反思本节课内容介绍极值的概念，学会求函数的极值，课时1课时.因为是初次接触极值概念，所以本节课重在极值概念的理解渗透，以及函数的极值点与导函数零点并不等价关系的探析，因此并没有涉及各种类型函数极值的求解以及过多强调极值的应用，这些内容将安排在最值概念讲解完后再深入学习.我们目前研究的基本都是可导函数的极值，因此求极值时第一步先求导函数的零点，再辨别此零点是否是原函数的极值点，或是极大极小值点.导函数的零点只是它成为极值点的必要条件，还必须具备“穿过x轴”这一特征，所以必须从零点的左右附近进行考量，这也是本节课的重点及难点所在.对于这个课题，最纠结的是本课如何引入？本设计选用开门见山式的复习导入，目的是为了直指问题核心，同时又能跟上节课“用导数研究函数的单调性”紧密结合，一气呵成.前面的问题1到引导思考4的安排尊重了教材的呈现方式，问题2与3的安排把教材的思考提前了，目的在于不打断思路，对概念进行正反辨析，加强概念深层次的理解，同时也引出对极大、极小值具体判断的深入——由图象特征再到导数规律.之后用例一巩固新知，并归纳求极值的一般步骤.例二、例三的安排是对本节课难点的突破，引导学生进一步理解为何导函数零点只是原函数的极值点的必要条件，并在导函数的图象上得到判别极值点的另一方法——二次求导.此方法在教材上没有出现，理解起来也有一定的难度，因此用例二和引导思考7与8进行了铺垫，给同学们以新的视角，激发导数应用意识.例四是对整节课的重难点的再次强化，第二问初步体现了极值的运用.整节课的备课过程中我们一直在思考以下一些问题：（1）课程顺序的安排是否妥当，重难点的处理是否符合学生的认知规律？（2）这堂课的备课整体上常规化，课堂引入的不足和课堂创新上没有带来耳目一新的感觉，使得本节课难有亮点，因此只能在课堂生成上出彩，这个风险性较大，如果借班上课必难有把握.（3）一直纠结问题3要不要问，课本上没有强调函数在极点处不可导的情况，我们参考了高等数学上的讲法，但怕偏离主题，这里仍然是值得商榷的.（4）例二、例三两题的选题和设置应该是很紧凑的，大家认为放在这很好，但是否有些冲淡重点主题？（5）本节课的小结仍然是学生归纳，老师补充并发问的形式，能否有更好的方法？（6）小结中的问3的设置是想激发学生的思维，如何设问是成败的关键，如果学生自己想不到二次求导，最后就变成教师自己说出来了，这样问题的设置也就失败了，所以怎么问呢？问4恰好又跟最值有关，作为下一节课的设问伏笔，这样安排应该比较妥当.教后反思（略）。
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知识点2 极值的概念
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知识点3 求极值的步骤
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知识点4： 极值的综合应用
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目标设计
1. 理解极大值、极小值的概念；
2. 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3. 掌握求可导函数的极值的步骤；
4. 通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
情境一：1.通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）
2.观察下图表示高台跳水运动员的高度h 随时间t h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题： 问题1：在点t=a 附近的图象有什么特点？
问题2：函数在t=a 处的函数值和附近函数值之间有什么关系？ 问题3：在点t=a 附近的导数符号有何变化规律？ 问题4：函数在t=a 处的导数是多少？
（函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a
t
o h
a
0)(>'a h
单调递增 单调递减 0
)(='a h
0)(<'a h
时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. ） 情境二：观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答下面的问题：
问题1：函数y=f(x)在a.、b 两点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 问题2：函数y=f(x)在a 、b 两点的导数值是多少？
问题3：在a 、b 两点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢？
学生观察图像思考、小组讨论、归纳：
①在点a 的左侧与右侧附近,函数y=f(x)的函数值都大于f(a)；在点b 的左侧与右侧附近,函数y=f(x)的函数值都小于f(b).
②函数y=f(x)在a 点的导数值是0)(='a f ； 函数y=f(x)在b 点的导数值是0)(='a f
③在a 点左侧附近,函数 y=f(x)的导数0)(<'x f ；在点a 右侧附近，函数 y=f(x)的导数0)(>'x f ，
左右两侧附近的导数值符号要相反。
在点b 左侧附近,函数 y=f(x)的导数0)(>'x f ；在点b 右侧附近,函数 y=f(x)的导数0)(<'x f ，
左右两侧附近的导数值符号要相反。
极值的定义：
我们把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点统称为极值点, 极大值与极小值统称为极值.
问题4：通过以上探索，你能归纳出可导函数y=f(x)在某点x 0取得极值的充要条件吗？
充要条件：f ′(x 0)=0且点x 0的左右附近的导数值符号要相反
问题5：导数为0的点一定是极值点吗？能举例说明吗？导数为0是可导函数在此处取极值点的什么条件？（必要不充分条件） 情境三 学生探究：引导学生观察图1.3.10，回答以下问题：
问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？ 问题2：极大值一定大于极小值吗？
问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？
问题4：区间的端点:能成为极值点吗？（此处点出极值点只能出现在区间的内部，而不可能是区间端点）
问题5：极值是相对于函数的定义域而言的吗？（此处引出极值的局部性）
情境四：再探究：
如果0)(0='x f ，应该如何判断0x 是函数的极大值还是极小值呢？ 例1：求函数f(x)= 1
3 x ³-4x+4的极值
归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
1求f ´(x)；2解方程f ´(x) =0,当f ´(x 0) =0时:
（1）如果在x 0附近的左侧f ´(x)＞0,右侧f ´(x)＜0,那么f(x 0)是极大值. （2）如果在x 0附近的左侧f ´(x)＜0,右侧f ´(x)＞0,那么f(x 0)是极小值 【课堂练习】
求出下列函数的极值。
(1)27)(3-=x x f (2) 3126)(x x x f -+= （3）593)(23+--=x x x x f
解题方法总结：
求函数y=f(x)极值(极大值、极小值)的方法：
(1)求导数)(x f '； (2)令0)(='x f 求极值点； (3)列表，讨论单调性； (4)写出极值.
例2：已知函数2233)(a bx ax x x f +++=在1-=x 时有极值0，求常数b a ,的值。
（此题为易错题，通过此题让学生进一步强化函数在某点出取极值的充要条件，并注意验证根的合理性和必要性）
例3：求函数)(3)(23R a a x x x f ∈--=的极值，并讨论a 为何值时函数恰有一个零点。
（极值的应用） 习题设计：
1.给出函数①3x y =②14+=x y ③x y =④x y =，其中在x=0处取得极值的函数是 （知识点2，易）
2. 对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的( ) （知识点1，易）
2
2
-
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 3. 确定函数y =
1
2+x x
的单调区间，并求函数的极大、极小值（知识点3，中） 4. 已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( ) （知识点3，中）
(A)21<<-a (B)63<<-a (C)3-<a 或6>a (D)1-<a 或2>a 5. 设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值.
(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线)(x f y =与x 轴仅有一个交点.（知识点4，难）。