概率专题复习
概率复习资料汇编
概率复习资料汇编(1) 求恰有2位同学不及格的概率；(2) 假设3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.2．连续型随机变量X 的分布函数为220,0(),0x x F x A Be x -≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩, 求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x;(3) )2PX << 3．设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为: ,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度4．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：,02,(,)0,A x y x f x y ⎧<<<=⎨⎩其他〔1〕求常数A 的值；〔2〕求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；〔3〕X 和Y 是否独立?5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数：3,0,01(,)0,y x y y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他求〔1〕数学期望()E X 与()E Y ；〔2〕X 与Y 的协方差(),Cov X Y6 . 设总体X 概率密度为()1,01()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其他，1θ>-未知，12,,nX X X 为来自总体的一个样本. 求参数θ的矩估量量和极大似然估量量. 7．有三个盒子,第一个盒子中有2个黑球,4个白球,第二个盒子中有4个黑球,2个白球,第三个盒子中有3个黑球,3个白球,今从3个盒子中任取一个盒子,再从中任取1球.(1) 求此球是白球的概率；(2) 假设取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率.8．连续型随机变量X 的分布函数为0,()arcsin ,1,x a x F x A B a x a a x a ≤-⎧⎪⎪=+-<≤⎨⎪>⎪⎩,其中0a >为常数。
数学概率复习题
数学概率复习题一、选择题1. 设事件A、B独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.4，则P(A交B)等于（）。
A. 0.24B. 0.36C. 0.16D. 0.482. 一袋中有5个红球，3个蓝球，从袋中取出2个球，不放回，则两球颜色相同的概率是（）。
A. 2/3B. 7/48C. 5/24D. 4/213. 已知事件A、B互不相容，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A并B)等于（）。
A. 0.15B. 0.35C. 0.8D. 0.7二、填空题1. 设事件A、B独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A交B)等于_________。
2. 一副卡牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中随机取出2张，则两张牌颜色不同的概率是_________。
3. 一次抛掷两枚骰子，两枚骰子点数和为奇数的概率是_________。
三、计算题1. 某班级有40人，其中有20人喜欢打篮球，30人喜欢踢足球，其中10人既喜欢打篮球又喜欢踢足球。
从这些学生中随机选择一个人，问他喜欢打篮球或踢足球的概率是多少？2. 某工厂生产的合格产品占总产量的80%，次品率为3%，现从产品中随机抽取一件，问它不合格的概率是多少？3. 一批电视机有100台，其中有5台有质量问题。
现从中随机挑选5台进行检验，问其中恰好有2台有质量问题的概率是多少？四、解答题1. 从26个字母中任意选取5个字母，问其中至少有一个元音字母的概率是多少？2. 设A、B为两个事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.7，已知P(A并B)=0.2，求P(A交B的补集)。
3. 一枪手在射击时，命中靶的概率为0.8。
如果进行5次射击，问他至少命中一次的概率是多少？以上为数学概率复习题，请根据题目要求进行计算和填空。
相信通过这些练习，你能更好地掌握概率知识，提高解题能力。
祝你成功！。
概率论复习知识点总结
? P( Ai B) ?
P(Ai )P( B Ai ) ?
n
P(Ai )P( B Ai )
P(Ai )P( B Ai ) ? P(B)
,i
? 1,2,?
,n
i?1
?例1.16，1.17，作业：三、14，15
第1章要点
七、事件的相互独立性
P(AB)= P(A)P(B)
?注意几对概念的区别： ?互不相容与互逆 ?互不相容与相互独立 ?相互独立与两两相互独立 ?作业：一、8；二、8，9； 三、17，19
P(A∪B) = P(A) + P(B)–P(AB)．
例1.4；作业: 一、4，11 ； 二、3，5，6
第1章要点
四、古典概型与几何概型 ?古典概型概率计算公式：
P( A) ? 事件A中所包含样本点的个数 ? k
? 中所有样本点的个数 n
作业：三、6，8
第1章要点
五、条件概率与乘法公式 ?若P(A)>0
p
p(1? p)
np
np(1 ? p)
?
?
( a ? b) 2 (b ? a )2 12
θ
θ2
μ
σ2
第4章要点
四、协方差及相关系数 ?定义式：Cov( X,Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)]
? XY ?
Cov( X ,Y) ( D( X ) ? 0, D(Y ) ? 0) D( X ) D(Y)
第1章要点
二、事件运算满足的定律 ?事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为 事件，则有 ?交换律：A? B ? B ? A, AB ? BA ?结合律：( A ? B ) ? C ? A ? (B ? C ), ( AB)C ? A(BC ) ?分配律：( A ? B)C ? ( AC) ? (BC ),
概率复习
概率复习第一讲古典概型例1.一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个.设{恰有一个红球}A =，{第三个球是红球}B =.求在下列条件下事件B A ,的概率. （1）不放回抽样； （2）放回抽样.例2.某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．练习提升:1.将一枚硬币抛两次，恰好出现一次正面的概率是 （ ）A.21 B.41 C.43 D.312．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 （ ） A ．5216 B ． 25216 C ． 31216 D ． 912163．在5张卡片上分别写上数字1，2，3，4，5然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的数能被5或2整除的概率是 ( ) A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8 4.从5名男医生和4名女医生中选出4名代表，至少有一男一女的概率是 ． 5.“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)， ，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望．6.以下茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵树。
概率复习
1．随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围为 0≤P(A)≤1； 必然事件的概率为 1； 不可能事件的概率为 0. (2)古典概型的概率 m A中所含的基本事件数 P(A)＝ ＝ . n 基本事件总数 (3)几何概型的概率 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
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(2)法一：由(1)连续取两次的事件总数为M＝16， 1 设事件B：连续取两次分数之和为0分，则P(B)＝16；(8分) 4 1 设事件C：连续取两次分数之和为1分，则P(C)＝16＝4；(10分) 设事件D：连续取两次分数之和大于1分， 11 则P(D)＝1－P(B)－P(C)＝16.(12分)
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(2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为： (A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F) (C，D)(C，E)(C，F)(D，E)(D，F)(E，F)共 15 种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： (A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F)(E，F)共 6 种， 6 2 选出的两名教师来自同一学校的概率为 P＝ ＝ . 15 5 （11 分） （12 分） （9 分）
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解析：从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总 数为10，其中取到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件， 8 4 所以所求的概率为P(A)＝10＝5.
答案： C
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2．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 ( 1 A.2 2 C.3 1 B.3 D．1 )
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解析：这里所有的基本事件为：甲、乙；甲、丙；乙、丙， 即基本事件共有三个，甲被选中的事件有两个，按等可能事 2 件的概率，有P(甲)＝3.
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) A, B, C 都不发生；(2) A, B, C 不都发生；(3) A, B, C 至少有一个发生；(4) A, B, C 至多有一个发生。
解：(1) ABC A B C(2) ABC A B C(3) A B C(4) BC AC AB2. 设A , B 为两相互独立的随机事件, P( A)0.4 , P(B) 0.6 ,求P( A B), P( A B ), P( A | B) 。
解：P( A B) P( A) P(B) P( AB ) P( A) P(B) P( A)P( B) 0.76 ；P( A B) P( AB ) P( A)P( B) 0.16, P( A | B) P(A) 0.4 。
3. 设A, B 互斥，P(A) 0.5 ，P(A B) 0.9 ，求P( B ), P( A B) 。
解：P(B) P(A B) P( A) 0.4, P( A B) P( A) 0.5 。
4. 设P( A) 0.5, P(B) 0.6, P( A | B) 0.5，求P( A B), P( AB) 。
解：P( AB ) P( B)P( A | B) 0.3, P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8,P( AB ) P( A B) P(A) P( AB ) 0.2 。
5. 设A, B, C 独立且P( A) 0.9, P( B) 0.8, P(C ) 0.7, 求P( A B C) 。
解：P( A B C) 1 P( A B C ) 1 P( ABC ) 1 P( A)P(B) P(C) 0.994 。
6. 袋中有4 个黄球，6 个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
解：(1) P2 1 14 ；(2) P 4 6C 8。
(完整)概率复习题及答案
〈概率论〉试题一、填空题1．设A、B、C是三个随机事件。
试用A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生2）A、B、C 中恰有一个发生3）A、B、C不多于一个发生2．设A、B为随机事件，，，.则＝3．若事件A和事件B相互独立, ，则4。
将C，C,E,E,I，N，S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0。
5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A=______________7。
已知随机变量X的密度为,且，则________________8。
设～，且,则_________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_________ 10。
若随机变量在(1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是11.设，，则12。
用（)的联合分布函数F（x,y）表示13。
用（）的联合分布函数F（x，y）表示14.设平面区域D由y = x , y = 0 和x = 2 所围成，二维随机变量(x,y）在区域D上服从均匀分布，则（x，y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为。
15。
已知，则＝16.设，且与相互独立,则17。
设的概率密度为，则＝18。
设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在［0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N(0，22），X3服从参数为=3的泊松分布,记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=19。
设，则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时，近似有~ 或～。
特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有~ 或～.21.设是独立同分布的随机变量序列，且,那么依概率收敛于。
22.设是来自正态总体的样本，令则当时～。
23。
设容量n = 10 的样本的观察值为(8，7，6,9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=24。
概率论期末总复习必考题型
复习重点题目第一章p13例2、p14例5、习题一20、25第二章p34 例7、8；习题二15、24。
第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。
第四章习题四13、14、15、16。
第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。
第八章例4、例5、习题八3、6。
例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。
所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？解设事件8 8 10 45A ={射击中靶}B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2构成完备事件组 ,则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816习题一、20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。
求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
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概率专题复习
课时安排：一课时
【知识点一】
确定事件与随机事件
___________________________叫做随机事件,__________________叫做必然事件____________________________叫做不可能事件。
【基础练习】
1.下列事件中，属于不可能事件的是（）
A.某个数的绝对值小于0
B.某个数的相反数等于它本身
C.某两个数的和小于0
D.某两个负数的积大于0
2.下列事件是必然发生事件的是（）
A.打开电视机，正在转播足球比赛
B.小麦的亩产量一定为1000公斤
C.在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球
D.农历十五晚上一定能看到
圆月
3.下列事件中，属于不确定事件的有（）
①太阳从东方升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；
③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员
A. ①②③
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②④
【拓展练习】
4.有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，
朝上一面的点数之和一定大于等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a、b为实数，那么a＋b＝b＋a．其中是必然事件的有（）A．1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
【知识点二】
____________________________________叫做概率。
求概率的常用方法：①利用概率的定义直接求概率；②用树状图和_______求概率；③用______的方法估计一些随机事件发生的概
率。
【基础练习】
1.如图，转动转盘，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是
（）
A.5
8
B.
1
2
C.
3
4
D.
7
8
2.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点
（第2题图）
数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）
A . 1
2
B.
1
3
C .
1
4
D .
1
5
3.在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）
A.12
B.9
C.4
D.3
4.元旦游园晚会上，有一个闯关活动：将20个大小重量完全相同的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的。
如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为（）
A.2
3
B.
1
4
C.
1
5
D.
1
10
【拓展练习】
5.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立
方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数一半的概率是______.
6.一不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球，分别标有
数字1,2,3,4
（1）从纸箱中随机地一次取出两个小球，求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率；
（2）先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字；将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明.
【课外作业】
1.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么不可能事件的是（）
A.“至少有一个黑球”或“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”或“至少有一个红球”
C.两个都是白球
D.“至少有一个黑球”或“都是红球”
2.下列说法正确的是（ ）
A ．买一张福利彩票一定中奖，是必然事件；
B.买一张福利彩票一定中奖，是不可能事件 ；
C.抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是31
D.一组数据：1,7,3,5，3的众数是3 3.从一个不透明的口袋中找出红球的概率为1/5，已知袋中红球有3个，则袋中共有球的个数为（ ）
A.5个
B.8个
C.10个
D.15个
4.时代中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为B 区第2排1号到40号，分票采用随机抽样的办法，小明第一个抽取，他抽取的座号为10号，接着小亮从其余的票任意抽取一张，取得的一张票恰好与小明邻座的概率是( )
A.
140 B. 12 C. 139 D. 239
5.小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针
扎到其内切 圆(阴影)区域的概率为（ ）
A. 21
B. π63
C. π93 D .π
33
6.密码锁上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取，某人忘记密码的最后一位数字，如果随意按下密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是（ ）
A.100001
B.10001
C.1001
D.101
7.从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人乘坐以上交通工具，从甲地经乙地到丙地的方法有______种．
8.设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只．则从中任意取1只，是二等品的概率等于______．
9.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，
其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖。
参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会。
某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是_____．
10.有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“08"和“北京”的字块，如果婴儿能够排成"2008北京”或者“北京2008"．则他们就给婴儿奖励，假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是___________．
11．开学前，小明去商场买书包，商场在搞促销活动，买一只书包可以送2支笔和1本书．
（1）若有3支不同笔可供选择，其中黑色2支，红色1支，试用树状图表示小明依次抽取2支笔的所有可能情况，并求出抽取的2支笔均是黑色的概率；（2）若有6本不同书可供选择，要在其中抽1本，请你帮助小明设计一种用替代物模拟抽书的方法．。