全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题直线的倾斜角与斜率、直线的方程

直线的倾斜角与斜率、直线的方程
A组基础题组
1.倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线的方程是( )
A.3x-y+1=0
B.3x-y-3=0
C.3x+y-3=0
D.3x+y+3=0
2.直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A.0≤α≤π
4B.π
2
<α<π C.π
4
≤α<π
2
D.π
2<α≤3π
4
3.(优质试题河北衡水调研)已知直线l的斜率为3,在y轴上的截距等于直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为( )
A.y=3x+2
B.y=3x-2
C.y=3x+1
2
D.y=-3x+2
4.已知直线2x-my+1-3m=0,当m变动时,直线都通过定点( )
A.-1
2,3 B.1
2
,3 C.1
2
,-3 D.-1
2
,-3
5.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )
A.-1<k<1
5B.k>1或k<1
2
C.-1<k<1
2
D.k>1
2
或k<-1
6.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .
7.已知直线l过直线x-y+2=0与2x+y+1=0的交点,且与直线x-3y+2=0垂直,则直线l的方程为.
8.直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,△OAB的面积为12,则直线l的方程为.
9.根据所给条件求直线的方程:
(1)经过点B(3,4)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形;
(2)过点(5,10)且到原点的距离为5.
10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过定点A(-3,4);
.
(2)斜率为1
6
B组提升
题组
1.(优质试题湖南岳阳二模)已知动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点
P(1,m),且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则1
2a +2
c
的最小值为( )
A.9
2B.9
4
C.1
D.9
2.直线l的倾斜角是直线4x-3y-1=0的倾斜角的一半,若直线l不过坐标原点,则直线l在x轴上与y轴上的截距之比为.
3.(优质试题福建四地六校联考)为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最大?
4.直线l过点P(1,4),分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点.
(1)当|PA|²|PB|最小时,求直线l的方程;
(2)当|OA|+|OB|最小时,求直线l的方程.
答案精解精析
A 组 基础题组
1.D 由于倾斜角为120°,故斜率k=- 3.又直线过点(-1,0),所以直线的方程为y=- 3(x+1),即 3x+y+ 3=0.
2.C 直线l 的斜率k=tan α=
1+m 22-1=m 2+1≥1,所以π4
≤α<π
2
.
3.A ∵直线x-2y-4=0的斜率为12
, ∴直线l 在y 轴上的截距为2, ∴直线l 的方程为y= 3x+2,故选A. 4.D 直线方程可化为2x+1-m(y+3)=0, 令 2x +1=0,y +3=0,得 x =-1
2,
y =-3, ∴直线恒过定点 -1
2
,-3 .故选D.
5.D 设直线l 的斜率为k,则直线l 的方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l 在x 轴上的截距为1- -2k ,
则-3<1--2k
<3,解得k>1
2
或k<-1.
6.答案 -3 解析 因为k AB =
7-54-3
=2,k AC =
x
-5-1-3
=-x
-54
,
且A,B,C 三点共线,所以k AB =k AC ,即-x -54
=2,解得x=-3. 7.答案 3x+y+2=0
解析 由题意得,直线l 可设为3x+y+m=0,因为直线x-y+2=0与2x+y+1=0的交点为(-1,1),所以m=3-1=2,则直线l 的方程为3x+y+2=0.
8.答案 2x+3y-12=0
解析 设直线l 的方程为x a +y b
=1(a>0,b>0), 则有3a +2
b
=1,且1
2
ab=12,解得a=6,b=4.
所以所求直线l 的方程为x 6+y
4
=1,
即2x+3y-12=0.
9.解析 (1)由题意可知,所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4),所以由点斜式得y-4=±(x -3). 所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.
(2)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0,满足题意; 当斜率存在时,设其为k, 则所求直线方程为y-10=k(x-5), 即kx-y+10-5k=0. 由点到直线的距离公式,得
=5,解得k=3
4
.
故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上可知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
10.解析 (1)设直线l 的方程为y=k(x+3)+4(k≠0),它在x 轴,y 轴上的截距分别是-4
k -3,3k+4,由已知,得(3k+4)² -4
k -3 =±6,解得k 1=-2
3或k 2=-8
3.
故直线l 的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.
(2)设直线l 在y 轴上的截距为b,则直线l 的方程是y=1
6x+b,则它在x 轴上的
截距是-6b,由已知,得|-6b²b|=6,∴b=±1. ∴直线l 的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.
B组提升题组
1.B 因为动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0,又Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,∴(4-1)2+(-m)2=3,解得
m=0.∴a+c=2,则1
2a +2
c
=1
2
(a+c)1
2a
+2
c
=1
2
²5
2
+c
2a
+2a
c
≥1
2
5
2
+2c
2a
²2a
c
=9
4
,
当且仅当c=2a=4
3
时取等号,故选B.
2.答案-2
解析设直线l的倾斜角为θ,则tan 2θ=4
3
,
即2tanθ
1-tan2θ=4
3
,所以tan θ=-2或tan θ=1
2
.
由2θ∈[0°,180°)可知θ∈[0°,90°),
所以tan θ=1
2
.
设直线l在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,
所以tan θ=-b
a ,即a
b
=-1
tanθ
=-2.
3.解析如图所示,建立平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),
所以直线EF的方程为x
30+y
20
=1(0≤x≤30).
易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时,可取最大值.
在线段EF上取点P(m,n),作PQ⊥BC于点Q,PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,
则S=|PQ|²|PR|=(100-m)(80-n).。