1-微分方程
一阶微分方程解法
y x0 4
的特解.
解 分离变量, 得 sinydy sinxdx
cos y cosx
两边积分,得 ln c o sy ln c o s x ln c
于是原方程的通解为 c o sy c c o sx
3
又将初始条件
y x0 4
代入通解中, 得 c
2 2
故满足初始条件的特解为 cosy 2cosx
12
将 y与y’代入方程, 并整理, 得 c'(x) ex
两端积分, 得 c(x)ex c
故原方程的通解为 y = ex + c (x+1)2
例8 求方程 sin2y + xcoty dy = dx 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = π / 2 的特解.
解 将方程改写为 dx xcot y sin2 y
dx
解 将方程恒等变形为 dy y ln y
dx x x
令uy, 即yux 则得 dy x du u
x
dx dx
7
代入原方程,
得
du x
u
ulnu
dx
分离变量, 得
du dx u(ln u 1) x
两端积分, 得 ln (ln u 1 ) ln x ln c
即 lnucx1 将 u y代 入 上 式 , 并 化 简 得 方 程 的 通 解 为
x
y xecx1
8
三. 一阶线性微分方程 形如 y’+ pxy = q(x)的方程,称为一阶线性微分方程. 若 qx = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程 若 qx ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x) 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y’+ pxy = 0 是变量可分离的方程, 其通解为
一阶微分方程一阶线性
通解为： y Ce P ( x )dx Ce
即 y Cx e 。
2 1 x
(
2x x
2
1 x
) dx 2
Ce
ln x 2
1 x
，
将初始条件 y
x 1
e 代入通解，得 C 1 ，
1 x
故所求特解为 y x 2 e 。
3
4.2
一阶微分方程
（二）一阶线性非齐次方程的解法
7
4.2
一阶微分方程
方法 2（用通解公式法）
1 sin x 1 sin x y y ， P ( x ) ， Q( x ) ， x x x x
ye
1 dx x
sin x [ e x
1 dx x
dx C ]
1 sin x 1 [ x dx C ] [ cos x C ]. x x x
xe
1 dy y
[ y e
3
1 dy y
1 3 dy C ] y[ y C ] ， 3
9
1 4 故原方程的通解为 x y Cy 。 3
4.2
一阶微分方程
例 4．设可导函数 f ( x ) 满足方程
x
0
f (t )dt x t f ( x t )dt ，求 f ( x ) 。
P ( x ) dx
是①的解。
P ( x ) dx P ( x ) dx y C ( x )e C ( x ) P ( x )e 代入方程①，则有
C ( x )e
P ( x ) dx
C ( x ) P ( x )e
一阶微分方程解法
解法概述
01
一阶微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、积分因子法 等。
02
分离变量法适用于可以将方程改写为$frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$形式的 方程。
03
常数变易法适用于形如$frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$的线性方程， 通过设定一个合适的常数变易，将方程转化为易于求解的形式。
06
可降阶的高阶微分方程解法
可降阶的高阶微分方程的概念
定义
可降阶的高阶微分方程是指可以通过适当的变换，将其化为较低阶的微分方程进行求解的一类高阶微 分方程。
分类
可降阶的高阶微分方程主要包括y''=f(x)型、y''=f(x,y')型和y''=f(y,y')型三种类型。
可降阶的高阶微分方程的解法
01
y''=f(x)型的解法
通过积分将二阶微分方程化为一阶微分方程进行求解。
02
y''=f(x,y')型的解法
通过适当的变量代换，将原方程化为关于新变量的一阶微分方程进行求
解。
03
y''=f(y,y')型的解法
令y'=p，将原方程化为关于y和p的一阶微分方程组进行求解。
可降阶的高阶微分方程的应用举例
常数变易法的步骤
第一步
观察原方程，确定需要变易的常数及其形式。
第二步
引入新的变量，将原方程中的常数替换为相应的函数，得到新方程。
第三步
求解新方程，得到通解或特解。
第四步
将通解或特解中的新变量还原为原方程的常数，得到原方程的解。
高考数学中的一阶线性微分方程
高考数学中的一阶线性微分方程微积分是高中数学的一门重要的学科，其中涉及到微分及其应用。
在微分学中，微分方程是一类非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种不同的问题。
在高考数学中，微分方程也是一个非常重要的考点，其中一阶线性微分方程更是高考数学的热点难点。
一阶线性微分方程是指形如：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数，$\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数。
这个方程的解决方法非常重要，因为一阶线性微分方程是众多微分方程中比较简单的一种。
下面我们将详细介绍一阶线性微分方程的解法。
一、非齐次线性微分方程的解法对于形如$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的非齐次线性微分方程，我们可以使用变量分离法来解决。
1. 求出齐次线性微分方程的通解首先我们要求出非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，即$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$的通解。
设齐次线性微分方程的通解为$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是待定系数，$e$为自然对数的底数。
下面我们来证明这个解法的正确性。
将$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$代入到$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$中，即可得到：$\frac{d(Ce^{-\int p(x)dx})}{dx}+p(x)(Ce^{-\int p(x)dx})=0$$\Rightarrow -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}+C(e^{-\intp(x)dx})\frac{d}{dx}(e^{-\int p(x)dx})+p(x)Ce^{-\int p(x)dx}=0$ $\Rightarrow \frac{d}{dx}(Ce^{-\int p(x)dx})=0$根据微积分基本定理可知，如果$\frac{d}{dx}(Ce^{-\intp(x)dx})=0$，那么$Ce^{-\int p(x)dx}$就是一个常数，不妨设为$C_1$。
一阶线性微分方程通解
一阶线性微分方程通解
一阶线性微分方程形式为：
其中，P(x),Q(x)均为x的已知函数，Q(x)称为自由项。
一阶，指的是方程中关于 y 的导数是一阶导数。
线性，指的是这个方程简化后的每一项关于y、y' 的次数为0或1。
当自由项Q(x)≡0时，方程为 y'+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性微分方程。
当自由项Q(x)≠0时，方程为 y'+P(x)y=Q(x)，这时称方程为一阶非齐次线性微分方程。
一、一阶齐次线性微分方程的解法
齐次线性微分方程的形式：
此方程实质是可分离变量的微分方程，分离变量后为
两边积分，得
求得通解为：
二、一阶非齐次线性微分方程的解法
非齐次线性微分方程的一般形式：
一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，这种方程的解法为：（详细解法）
1.求出其对应的齐次线性微分方程 y'+P(x)y=0 的通解
2.将原一阶非齐次微分方程改写为
两边积分，得
即
因为积分
中的被积函数含有未知函数 y，因此还不能说得到了方程的解．但是，由于y是x的函数，则上面这个积分的结果最终是x的函数．故可设
从而有
再求未知函数C(x)．因为上面的y是原方程的解，所以上面的y应满足原方程，将y及它的导数y'
代入原方程，得
即
两边积分，得
便得方程的通解公式为
或者
上式右端第一项是对应的线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程的一个特解．因此，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的线性齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和．
在应用时可直接使用上述公式。
高中数学教师必备的知识微分方程(一)一阶微分方程
解：设曲线方程为
，由题意
，（一阶微分方程）且
（*）
两边积分
又
即
DDY 整理
（ 为任意常数 ）（**是方程的通解（积分曲线族）；（*）可以用来确定通解中的任意常数，从 而得到所求的特定解（曲线），（*）式称为初始条件，（***）称为特解。
初始条件与特解：用以确定通解中任意常数的条件，如：
DDY 整理
微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程，叫微分方程。 当未知函数是一元函数时，叫常微分方程，当未知函数是多元函数时，叫偏微分方 程。
如
（三阶）
（一阶）
（一阶）
（二阶） 微分方程的阶： 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶。
一般地，n 阶微分方程的形式是 微分方程的解： 满足微分方程的函数叫做微分方程的解，当解中含有独立的任意常数， 且其个数恰好是方程的阶数时，这种解叫通解。 例 1 某曲线的切线斜率为 且过点（1，2），求此曲线的方程。
，
当
时，得
为原方程的解；
当
时，
两边积分后得
，分离变量后得 即
从而得
分离变量，再两边积分，得原方程所求通解为
例 5 求方程
的通解。
， ，
例 2 求方程
的通解。
解当
时，
，两边积分得
（ 为任意常数）
此为方程的通解，显然 说明 ：
也是方程的解，但它不包含在通解之中。
1 .如果由方程
（*）确定的隐函数
是一个微分方程的解（通
解），则（*）式叫微分方程的隐式解（隐式通解），如上例。
2 .在求解微分方程时，由于方程的变形，常使某些解不在所求得的通解中。一般说， 这种解容易从方程中直接观察出，有时，适当扩大通解中任意常数的取值范围，可把这些 解包含进去（如例 1）。另一方面，实际问题中求解微分方程的主要目的是寻找满足初始 条件的特解，这样的特解大都可以从通解中定出，例外的情况也不难直接从方程得出。所 以今后将不再指出这些不属于通解中的解。
第六章微分方程第二节一阶微分方程
二
dx
u6
章
微 分离变量:
分
u 6 du 2dx u1
du 2u 2 dx u 6
方 程
积分得
u 5ln | u 1 | 2x C
代回原变量, 得原方程的通解:
x y 5ln | x y 1 | 2x C
y x 5ln | x y 1 | C
dx x 1
解法一 常数变易法
第 十
对应的齐次方程为 dy 2 y 0 dx x 1
二 章
分离变量得
dy 2dx
y x1
微 分
两边积分
ln | y | 2ln | x 1 | ln | C |
方
程
y C( x 1)2
由常数变易法令 y u( x)(x 1)2
sin u
x
微 分 方
两边积分
cos sin
u u
d
u
dx x
ln
|
C
|
程得
ln sinu ln x ln C , 即 sinu C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
- 11 -
第二节 一阶微分方程
2
3
y ( x 1)2
章
dx ( x 1)
微 分 方
y
e
2 dx
x1 [
(
x
3
1)2
e
2 dx x1
dx
c]
一阶微分方程解法
一阶微分方程解法在数学的领域中，一阶微分方程是一个重要的研究对象，它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
那么，什么是一阶微分方程呢？简单来说，一阶微分方程就是指方程中只含有一阶导数的微分方程。
一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中$y'＄表示$y$对$x$的一阶导数，＄P(x)＄和$Q(x)＄是关于$x$的已知函数。
接下来，我们就来探讨一下一阶微分方程的常见解法。
一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成$g(y)y' ＝ f(x)＄的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。
对于这种类型的方程，我们可以通过将变量分离，然后两边积分来求解。
具体的求解步骤如下：首先，将方程变形为$＼frac{g(y)｝｛y'｝＝ f(x)＄。
然后，将两边分别积分：＄＼int ＼frac{g(y)｝｛y'｝dx ＝＼intf(x)dx$。
最后，经过积分运算，求出$y$的表达式。
例如，对于方程$y' ＝ 2xy$，我们可以将其变形为$＼frac{dy}｛y} ＝ 2xdx$，然后两边积分得到$＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$，进而得到$y ＝ Ce^｛x^2}＄（其中$C$为常数）。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如$y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。
对于这种类型的方程，我们可以使用积分因子法来求解。
首先，求出积分因子$＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。
然后，将原方程两边同时乘以积分因子$＼mu(x)＄，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄此时，左边可以变形为$（ye^｛＼int P(x)dx}）＇＄。
于是，原方程就变成了$（ye^｛＼int P(x)dx}）＇＝ Q(x)e^｛＼int P(x)dx}＄。
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C、二阶线性偏微分方程定解问题的几种 主要解法
1.行波法：
先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件确定其定 解问题的解. 行波法是通解法中的一种特殊情形,行波法又称达朗贝尔 (d’Alembert)解法.
它不仅可以求解无界区域的线性偏微分方程，而且能求 解某些非线性偏微分方程．
–
2.分离变量法：
常系数含两个自变量的二阶线性PDE (partial differential equation) 一般形式：
或
研究电磁场边值问题的主要任务就是求解一定边界条 件下电磁场量满足的微分方程，特别是二阶线性偏微 分方程。 三类二阶线性偏微分方程在电磁理论中应用：
– – –
波动方程：描述电磁波在媒质或导波系统中传播状态； 扩散方程（热传导方程）：描述导电媒质中电荷密度或电流 密度从高密度处向低密度处的扩散运动过程，使用相对较小。 稳恒场方程：即描述静态场分布的泊松方程或拉普拉斯方程。
5. 积分变换方法：(付立叶变换，拉普拉是空间变量；无论是无界空间， 还是有界空间；都可以采用积分变换的方法求解线性偏微分方程的 定解问题． 但从实际计算上看，还需要根据方程和定解条件的类型，选择最合 适的积分变换． 反演问题，是关系到拟采用的积分变换是否实际可行的关键问 题．反演时涉及的积分很简单，甚至有现成的结果(如查积分变换表， 专用工具书等)可供引用，采用积分变换的确可以带来极大的便 利．但若涉及的积分比较复杂，而且没有现成的积分变换结果可供 引用，那么反演问题就成为了积分变换的难点． 这种方法的优点是减少方程自变量的数目．
二阶微分方程
电磁场理论中常遇到三种方程：
– – –
（偏）微分方程 积分方程 变分问题
最常用的是微分方程，后二个问题可由微分方程得到。 电磁场的边值问题和本征值问题基本以微分方程形式 出现。--如偏微分方程中的波动方程 在数学物理方程中，主要讨论了三种类型的偏微分方 程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．
–
–
7. 变分法．
–
在理论上，它可以把不同类型的偏微分方程的定解 问题用相同的泛函语言表达出来(当然不同问题中 出现的泛函是不同的) ． 变分法又提供了一种近似计算的好办法．有效地利 用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计 算大为简化． 变分或泛函语言已经成为表述物理规律的常用工具 之一．
A、二阶线性常微分方程（周希朗）
在电磁场理论中，大多数问题中出现的二阶变 系数常微分方程都是线性的，只有像非均匀传 输线等少数问题才出现非线性方程。
1 方程的奇异性 一般来说，二阶线性变系数常微分方程的解是否可表 示为幂级数形式，取决于该方程是否在所讨论区域出 现非正则奇点。因此有必要在复数域上对方程的奇异 性进行一般性讨论。 设二阶线性齐次变系数常微分方程为 y’’+a(z)y’+b(z)y=0 且a(z), b(z)在复平面z上的一定区域内，除具有有限个 孤立奇点外，是复变数z的单值解析函数。
–
3 幂级数解法：
是在某个任选点的邻域上，把待求的解表示为系数待定 的级数，代入方程以逐个确定系数． 勒让德多项式、贝塞尔函数即用幂级数解法求解得出． 这种解法普遍，但计算量大，较为繁琐．必要时可借助 于计算机迭代计算．
–
4. 格林函数法：
它给出了定解问题的解和方程的非齐次项以及定解条件之 间的关系，因而便于讨论当方程的非齐次项或定解条件发 生变化时，解是如何相应地发生变化的. Green函数法，已经成为理论物理研究中的常用方法之 一．
6. 保角变换法．
– –
理论基础是解析函数所代表的变换具有保角性． 主要用于二维Laplace 方程或Poisson方程的边值问题，因 为在保角变换下，前者的形式不变，后者也只是非齐次项作 相应的改变． 粗略地说，运用保角变换，可以把“不规则”的边界形状化 为规则的边界形状．例如，可以把多边形化为上半平面或单 位圆内．再结合上半平面或圆内的Poisson公式，就能直接 求出二维Laplace方程的解． 运用保角变换，可以解决一些典型的物理问题或工程问 题．例如，有限大小的平行板电容器的边缘效应问题．
是求解线性偏微分方程定解问题最主要方法．又称为本征函数 展开法，或驻波法. 分离变量法基本思想是把偏微分方程分解成为几个常微分方程， 常微分方程和边界条件构成本征值问题，然后对本征值问题直 接求解。 从理论上说，分离变量法的依据是Sturm–Liouville型方程的本 征值问题 从解题步骤上看，要求本征值问题所对应的定解条件必须是齐 次的(若为非齐次，则需先齐次化)．从而使得这种解法对于定 解问题中微分方程的具体形式有一定的限制，同时对所讨论问 题的空间区域形状也有明显限制．并且还涉及到正交曲面坐标 系的选取．
–
–
–
准线性方程：一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数 是线性的，则称方程为准线性方程．
自由项：在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自 由项．
–
在解析几何中对于二次实曲线
则当δ>0，=0，<0时，上述二次曲线分别为双曲 线、抛物线和椭圆． 受此启发，可对二阶线性偏微分方程进行分类.
–
–
–
–
积分变换法和分离变量法存在密切的联系．
例如，当本征值过渡到连续谱时，分离变量法就变为相 应的积分变换法． 另外，从实用的角度来看，如果空间是有界的，一般说 来，积分变换和分离变量法没有什么差别，故仍不妨采 用分离变量法． 积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点：它还可 以应用于求解某些非线性偏微分方程．
–
–
8.计算机仿真解法：
–
利用数学工具软件（Matlab, Mathematic, Mathcad）和常用计算机语言（Visual C++）等 实现对数学物理方程的求解．
9.数值计算法:
–
对于边界条件复杂，几何形状不规则的数学物理定 解问题，精确求解很困难，甚至不可能的情形，可 采用数值求解的方法：有限差分法、蒙特－卡洛 （Monte-Carlo）法等．
根据复变函数理论，复平面z上一定区域的点z 可分为两大类：常点和奇点。 （1）常点
2、二阶线性变系数常微分方程的解
3、常见的二阶线性变系数常微分方程
B、二阶线性偏微分方程（周希朗）
偏微分方程
–
方程的阶：偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的 阶． 方程的次数：偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程 的次数． 线性方程：一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合） 偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程。