7.1 不等关系与不等式练习题

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高三理数一轮讲义：7.1-不等式的性质与一元二次不等式(练习版)

第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c ；a ＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅[微点提醒] 1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a b －ma －m (b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b .2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形.3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )2.(必修5P74例1改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b d3.(必修5P103A2改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2]4.(2018·衡阳联考)若a ，b ，c 为实数，且a abD.a 2>ab >b 25.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.6.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.考点一不等式的性质多维探究角度1比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c 的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)(一题多解)若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞ln b2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④角度2利用不等式变形求范围【例1－2】(一题多解)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】(1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则a b 的取值范围是________.考点二一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.【例2－2】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] (2)(2019·清远一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)考点三一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( )A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( ) A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0 B.－2 C.－52 D.－3[思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化2.已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x >2y B.lg x >lg y C.1x >1yD.x 2>y 23.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( ) A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 4.若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m <－1n B.m －n <m －n C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________.8.(2019·阳春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a 0B.2a －b <12 C.log 2a ＋log 2b <－2 D.2a b ＋b a <1212.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x .若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.。

2024年高考数学总复习第七章不等式真题分类26不等关系与不等式

因为 y＝3x 在 R 上是增函数，当 a>b 时，3a>3b，故 B 不成立．因为 y＝x3 在 R 上是增函数，当 a>b 时，a3>b3，即 a3－b3>0，故 C 成立．因为当 a＝3，b＝－6 时，a>b，但|a|<|b|，所以 D 不一定成立．故选 C.
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真题分类26 不等关系与不等式
高考·数学
答案：B 解法一： ∵a＞b＞0，ab＝1，∴log2(a＋b)＞log2(2 ab )＝1.
1 ∵2ba ＝2aa ＝a－1·2－a，令 f(a)＝a－1·2－a，又∵b＝1a ，a＞b＞0，∴a＞1a ，解得 a＞1. ∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln 2＝－a－2·2－a·(1＋aln 2)＜0， ∴f(a)在(1，＋∞)上单调递减，∴f(a)＜f(1)，即2ba ＜12 . ∵a＋1b ＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)，∴2ba <log2(a＋b)<a＋1b . 故选 B.
Ⅰ.利用不等式的性质判断不等关系
1．(2019·课标全国Ⅱ(理)，6，5 分)若 a>b，则( )
A．ln (a－b)>0 B．3a<3b
C．a3－b3>0
D．|a|>|b|
答案：C 由 a>b，得 a－b>0，但 a－b>1 不一定成立，则 ln (a－b)>0 不一定成立，故 A 不一定成立．
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真题分类26 不等关系与不等式
解法二： ∵a＞b＞0，ab＝1， ∴取 a＝2，b＝12 ，此时 a＋1b ＝4，2ba ＝18 ，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3， ∴2ba ＜log2(a＋b)＜a＋1b .故选 B.

不等关系与不等式(含解析)

不等关系与不等式班级___________ 姓名_____________ 学号__________层级一学业水平达标1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤4002．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜03．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C.()0，πD.⎝⎛⎭⎫－π6，π 5．已知M ＝2x ＋1，N ＝11＋x 2，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ＝ND ．不确定6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．7．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．9．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ； (2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0.层级二应试能力达标1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －12．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<14．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x ，y ，z ，则下列选项中能反映x ，y ，z 关系的是( )A ．x ＋y ＋z ＝65B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >y >z ，x ，y ，z ∈N *C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >z >0，y >z >0，x ，y ，z ∈N*D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x <65，y <65，z <65，x ，y ，z ∈N*5．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________． 6．设a ，b 为正实数，有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)． 7．比较a 2＋b 2与2(2a －b )－5的大小；答案解析1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400解析：选B x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400. 2．若abcd ＜0，且a ＞0，b ＞c ，d ＜0，则( ) A ．b ＜0，c ＜0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＞0，c ＜0D ．0＜c ＜b 或c ＜b ＜0解析：选D 由a ＞0，d ＜0，且abcd ＜0，知bc ＞0，又∵b ＞c ，∴0＜c ＜b 或c ＜b ＜0.3．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bd D ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C.()0，πD.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.5．已知M ＝2x ＋1，N ＝11＋x 2，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ＝ND ．不确定解析：选A ∵2x >0，∴M ＝2x ＋1>1，而x 2＋1≥1， ∴11＋x 2≤1，∴M >N ，故选A. 6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．解析：根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >213.答案：⎩⎪⎨⎪⎧30(x －1)<213，30x >2137．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4] ＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0，故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4. 答案：＞8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．解析：∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是[3,8]．答案：[3,8]9．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0. 证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab ， ∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab .(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b＜0，即b －aab ＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.层级二应试能力达标1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －1解析：选A 因为x 2＋y 2－(2xy －1)＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y )2＋1>0，所以x 2＋y 2>2xy－1，故选A.2．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B ∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B.3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.4．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x ，y ，z ，则下列选项中能反映x ，y ，z 关系的是( )A ．x ＋y ＋z ＝65B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >y >z ，x ，y ，z ∈N *C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x >z >0，y >z >0，x ，y ，z ∈N*D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝65，x <65，y <65，z <65，x ，y ，z ∈N*解析：选C 由题意得x ＋y ＋z ＝65，x >z >0，y >z >0，x ，y ，z ∈N *.故选C. 5．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________．解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1. ∴1＋a ＞0,1－a ＞0. 即11＋a 1－a ＝11－a 2∵0＜1－a 2≤1，∴11－a 2≥1，∴11＋a≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 6．设a ，b 为正实数，有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．解析：对于①，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b ⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b ≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a－b <1成立．对于②，取特殊值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1.对于③，取特殊值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1. 对于④，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0， ∴a ≠b ，不妨设a >b >0. ∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0， ∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2. 即a 3－b 3>(a －b )3>0， ∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0， ∴0<a －b <1，即|a －b |<1.因此正确．答案：①④7．(1)比较a 2＋b 2与2(2a －b )－5的大小； (2)已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：a a b b ≥(ab )2+a b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．解：(1)∵a 2＋b 2－[2(2a －b )－5]＝(a －2)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(2a －b )－5，当且仅当a ＝2，b ＝－1时，等号成立．。

7.1 不等关系与不等式

7.1 不等关系与不等式五年高考I 考点不等式的概念和性质 1．（2013陕西，10.5分）设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 ( )][].[x x A -=- ][2]2.[x x B = ][][].[y x y x c +≤+ ][][].[y x y x D -≤-2．（2013广东．8,5分）设整数n≥4，集合⋅=},,3,2,1{n X 令集合,,,|),,{(X z y x z y x S ∈=且三条件x z x z y z y x <<<<<,,y <恰有一个成立}．若（x ，y ，z ）和（x ，w ，x ）都在S 中，则下列选项正确的是 ( )S w y x s w z y A ∉∈),,(,),,.( S w y x S w z y B ∈∈),,(,),,.( s w y x S w z y C ∈∉),,(,),,.( S w y x S w z y D ∉∉⋅),,(,),,(3．（2012湖北．10.5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积y ，求其直径d 的一个近似公式⋅≈3916V d 人们还用过一些类似的近似公式．根据 95141.3=π判断，下列近似公式中最精确的一个是( )3916.V d A ≈ 32.V d B ≈ 3157300.V d C ≈ 31121.V d D ≈ 4．（2011全国．3，5分）下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是 ( )1.+>b a A 1.->b a B 22.b a C > 33.b a D >5．（2011浙江．7，5分）若a ，b 为实数，则,,10<<ab 是b a 1<或,,1ab >的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2011上海．15，5分）若,R b a ∈、且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是 (． )ab b a A 2.22>+ ab b a B 2.≥+ ab b a C 211.>+ 2.≥+a b D7．（2010江苏．12.5分）设x ，y 为实数，满足y x xy 224,83≤≤≤,9≤则43yx 的最大值是解读探究智力背景鹧鸪天。

7.1生活中的不等式(2)

课题
7.1生活中的不等式（2）
课时
2-2
授课时间
班级
二（1）
课型
新授
授课人
教学目标
教学
重、难点
重点：
难点：
教、学具
多媒体教学
教师活动内容、方式
学生活动方式、内容
旁注
一、情境创设
下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能,应该用怎样的式子来表示?
(1)一辆轿车在某公路上的行驶速度是akm/h，已知该公路对轿车限速是100km/h，那么a和100之间的关系可以表示为？
(2)根据科学家测定,太阳表面的温度不低于6000℃.设太阳表面的温度为t℃,怎样表示t和6000之间的关系?
二、探索研究
在日常生活在，同类量之间常常存在不等关系.你能举例说明日常生活在不等关系吗？
概念：用不等号表示不等关系的式子叫不等式
经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的次数为一次，系数不为0的不等式，我们称之为一元一次不等式.
三、例题教学
例1、用不等式表示：
(1)a是正数
(2)b是非负数
(3)y的2倍与6的和比1小
(4)x2减去10不大于10
(5)设a,b,c为一个三角形的三条边长,两边之和大于第三边.
四、练习：
根据下列数量关系列出不等式：
(1)x的4倍小于3；
(2)y减去1不大于2；
(3)x的2倍与1的和大于x；
(4)a的一半不小于－7；
五、课堂小结：
1、本节课你学到了什么？
2、你还有什么不明白的？
六、课堂业
补充习题7.1（2）
课后反思：

高考数学一轮复习 7.1不等式的概念和性质、基本不等式

(2) a ≥b a(ba,b≥0).
2
(3) ba +ba ≥ 2 (a,b同号).
(4)ab≤

a
2
b
2(a,b∈R).
(5) a2≥ b2 2
ab
≥2
≥
ab(a,b∈R2+).
11
(6)绝对值不等式
ab
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,
ab

③实函数y= 2(x2的最3) 小值是4; x2 2
④若x,y是正数,且 1 +4 =1,则xy有最小值16.
xy
其中正确命题的序号是
.
答案 ②④
解析 ①不正确.反例:若a=1,b=2,则满足a<b,而ab2=4,a2b=2,显然不满足
ab2<a2b.
②正确.③不正确.因为y= 2(x2= 3) =22 (x+2 2)≥42,当且x仅2 2
课标版理数 § 7.1 不等式的概念和性质、基本不等式
知识梳理
1.不等式的定义在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系, 含有这些符号的式子,叫做不等式. 2.比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a
a
A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]
C.[4,+∞)
D.[-4,4]
答案 A ∵M= a2a=a4+ ,∴a4 当a>0时,M≥4;当a<0时,M≤-4,∴M的取
值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞),故选A.

1.不等式与不等关系课件与练习

a 1 2 当x , 时， 2 2 a 1 2x 1 0,0 2 x a 1 a f ( x ) 1 a. 不等式f ( x ) g ( x )化为例1：已知函数f ( x) ax bx, 且1 f ( x) 2,
比较大小的常用方法： 1.作差法：一般步骤是：作差；变形；定号；结论。其中关键是变形，常采用配方法、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式。当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差。 2.作商法：一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结论。 3.特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小。
设m a b n a b 4a 2b 5 f 2 10
练习：
1 1 1.若，满足 , 试求 +3的取值范围。 1 2 3
解： 1,7
3.已知函数f ( x) 3 x, x 4,1 , 求f ( x)的值域。
3. （2013 全国卷I）已知函数f ( x ) 2 x 1 2 x a g ( x ) x 3. (1)当a 2时，求不等式f ( x ) g ( x )的解集. a 1 2 设a 1, 且当x , 时,f ( x ) g ( x ), 2 2 求a的取值范围. (1) 0,2
求取值范围：
例4. 如果30＜x＜42，16＜y＜24， x 求x＋y，x－2y及 y 的取值范围.
练习：
x 的取值范围。 y
1.已知x 2, 1 , y 1,3 , 求x y,3x y,
3 2.已知函数y 2 x 1, x 1, , 求f ( x)的值域。 2

2024年高考数学总复习第七章《不等式》不等关系与不等式

2024年高考数学总复习第七章《不等式》§7.1不等关系与不等式最新考纲1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．1．两个实数比较大小的方法(1)－b >0⇔a >b－b ＝0⇔a ＝b－b <0⇔a b 1⇔a ＝b⇔a 0)2．不等式的基本性质概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b 的大小关系确定吗？提示不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .(×)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×)(4)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .(√)(5)ab >0，a >b ⇔1a <1b .(√)题组二教材改编2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是()A ．a －c b ＋dD ．a ＋d >b ＋c答案C解析由同向不等式具有可加性可知C 正确．题组三易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有()A.a c －b d >0 B.a c －b d <0C.a d >b c D.a d ac ，又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad.5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案(－π，0)解析由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为()A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案B解析(作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解∵a a b b a b b a ＝a a －bb a －b＝－b，又a >b >0，故ab >1，a －b >0，－b>1，即a a b ba b ba >1，又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b >a b b a .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法．跟踪训练1(1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________．答案M >N解析因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则()A ．77a a <7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定答案C解析77a a 7a a7＝77－a a a －7－a，则当a >7时，0<7a <1，7－a <0，则－a>1，∴77a a >7a a 7；当0<a <7时，7a >1，7－a >0，则－a>1，∴77a a >7a a 7.综上，77a a >7a a 7.题型二不等式的性质例2(1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是()A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bcB ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >bD ．若a >b ，则1a <1b 答案C解析对于选项A ，当c <0时，不正确；对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0，能推出1a <1b 的是________．(填序号)答案①②④解析运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2(1)已知a ，b ，c 满足c ac B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2D．ac(a－c)>0答案A解析由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac一定成立．(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正确的不等式有________．(填序号)答案①④解析因为1a<1b<0，所以b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，|a|<|b|，在b<a两边同时乘以b，因为b<0，所以ab<b2.因此正确的是①④.题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立例3已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案A解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35，2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．故选A.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.命题点2求代数式的取值范围例4已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4，2)(1，18)解析∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.引申探究若将本例条件改为－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，＋n＝3，－n＝2，＝52，＝12.即3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴－52<52(x＋y)<10，1<12(x－y)<32，∴－32<52(x＋y)＋12(x－y)<232，即－32<3x＋2y<232，∴3x＋2y－32，思维升华(1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是()A.1a－b>1bB．a2<abC.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n答案C解析(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 答案C解析A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a 0，所以a b 2B ．C.b a ＋a b <2D ．a e b >b e a答案D解析由题意知，b <a <0，则a 21，b a ＋ab >2，∵b <a <0，∴e a >e b >0，－b >－a >0∴－b e a >－a e b ，∴a e b >b e a ，故选D.3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是()A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >ab答案A解析取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.4．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是()A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |答案C解析∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .5．设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则()A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q答案A解析因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ，而sin 2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是()A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π答案C解析∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2.又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2.故－3π2<2α－β<π2.7．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．答案a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋ba 2－＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b ＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b 8．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >b c ；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．答案①解析由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a b 的充分条件．9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0.其中正确的命题是________．(填序号)答案①②③解析∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0，∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．10．设αT 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案T 1<T 2解析T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d ；(2)已知c >a >b >0，求证：a c －a >bc －b .证明(1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥a b ，∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d.(2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.由a >b >0⇒1a <1b ，c >0⇒c a <c b ⇒c －a a <c －b b ，c －a >0，c －b >0⇒a c －a >b c －b.12．已知1<a <4，2<b <8，试求a －b 与a b 的取值范围．解因为1<a <4，2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2.又因为18<1b <12，所以18<a b <42＝2，即18<a b <2.13．设012log a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.14．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则()A ．a e)，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251024>1，所以b >c .即c a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是()A ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)B ．sin x >sin yC ．x 3<y 3D.1x 2＋1>1y 2＋1答案C 解析方法一因为实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，所以x <y .对于A ，取x ＝0，y ＝3，不成立；对于B ，取x ＝－π，y ＝π，不成立；对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3<y 3成立；对于D ，取x ＝－2，y ＝1，不成立．故选C.方法二根据指数函数的性质得x <y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．16．设0b ln aB ．a ln b <b ln aC ．a e b <b e aD ．a e b ＝b e a 答案B解析观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln x x ，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln x x 在(0，1)上单调递增．所以ln b b <ln a a ，B 正确．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2<0，所以函数f (x )＝e x x 在(0，1)上单调递减，又因为0b e a ，故选B.。

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§7.1 不等关系与不等式
一、选择题
1.已知2log 3.6,a =4log 3.2,b =4log 3.6,c =则( )
A.a b c >>
B. a c b >>
C. b a c >>
D. c a b >> 解析因为1a >,,b c 都小于1且大于0,故排除C,D;又因为,b c 都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以b c <,故选B. 答案 B
2．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1
B ．12
log b <12
log a <0
C ．2b <2a <2
D ．a 2<ab <1
解析：取a ＝12，b ＝1
3验证可得．
答案：C
3．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )． A ．a ＞b ＋1
B ．a ＞b －1
C ．a 2＞b 2
D ．a 3＞b 3
解析 A 项：若a ＞b ＋1，则必有a ＞b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a ＞b ，但不能推出a ＞b ＋1，故a ＞b ＋1是a ＞b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a ＝b ＝1时，满足a ＞b －1，反之，由a ＞b －1不能推出a ＞b ；C 项：当a ＝－2，
b ＝1时，满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立；D 项：a ＞b 是a 3＞b 3的充要条件，综上知选A. 答案 A
4．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A 、B 的大小关系是( )
A ．A >
B B ．A B 2，选A. 答案 A
5．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1
x
＜a 等价于( )．
A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a
B ．－1a ＜x ＜1
b
C ．x ＜－1a 或x ＞1
b
D ．x ＜－1b 或x ＞1
a
解析由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1
a
；
(2)当x ＜0时，－b ＜1x
＜a ⇔x ＜－1
b
.
综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1
a
.
答案 D
6．已知ab ≠0，那么a b ＞1是b
a ＜1的( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析
a b ＞1即a －b b ＞0，所以a ＞b ＞0，或a ＜b ＜0，此时b
a
＜1成立；反之b a
＜1，所以
a －b
a
＞0，即a ＞b ，a ＞0或a ＜0，a ＜b ，此时不能得出a
b
＞1. 答案 A
7．若a 、b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )． A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2 ab C.1a ＋1b
＞2ab
D.b a ＋a b
≥2
解析对A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对B 、C ：当
a ＝
b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b ＜0，而2ab ＞0，2
ab ＞0，显然B 、
C 不对；对
D ：当ab ＞0时，由均值定理b a ＋a b ＝2 b a ·a
b
＝2. 答案 D 二、填空题
8．若a 1<a 2，b 10. 答案 a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1
9．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y
－a ，⑤a y ＞b
x 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．
解析令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，
∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y .因此①不成立．
又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by .因此③也不正确．又∵a y ＝
3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b
x
.因此⑤不正确．
由不等式的性质可推出②④成立．答案 ②④
10．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．
解析 ∵z ＝－12(x ＋y )＋5
2(x －y )，
∴3≤－12(x ＋y )＋5
2(x －y )≤8，
∴z ∈[3,8]．答案 [3,8]
11．若角α，β满足－
π2＜α＜β＜π
2
，则2α－β的取值范围是________．解析 ∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π＜2α＜π，－π2＜－β＜π
2，
∴－3π2＜2α－β＜3π2，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜π
2，
∴－3π2＜2α－β＜π2.
答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫
－3π2，π2 12. 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：
①
c a ＞c
b
；② c a ＜c b ； ③ log ()log ()b a a c b c ->-，其中所有的正确结论的序号是 .
答案 ①②③ 三、解答题
13．已知a >0，b >0，试比较M ＝a ＋b 与N ＝a ＋b 的大小．解析 ∵M 2
－N 2
＝(a ＋b )2
－(a ＋b )2
＝a ＋b ＋2ab －a －b ＝2ab >0， ∴M >N .
14．已知f (x )＝ax 2－c 且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．解析由题意，得⎩⎨
⎧
a －c ＝f 1，4a －c ＝f 2，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝13[f 2－f 1]，c ＝－43f 1＋1
3
f 2.
所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋8
3f (2)．
因为－4≤f (1)≤－1，所以53≤－53f (1)≤20
3，
因为－1≤f (2)≤5，所以－83≤83f (2)≤40
3.
两式相加，得－1≤f (3)≤20，故f (3)的取值范围是[－1,20]．
15．已知a ∈R ，试比较1
1－a 与1＋a 的大小．
解析 11－a －(1＋a )＝a 2
1－a
.
①当a ＝0时，a 2
1－a ＝0，∴11－a
＝1＋a .
②当a＜1且a≠0时，
a2
1－a
＞0，∴
1
1－a
＞1＋a.
③当a＞1时，
a2
1－a
＜0，∴
1
1－a
＜1＋a.
综上所述，当a＝0时，
1
1－a
＝1＋a；
当a＜1且a≠0时，
1
1－a
＞1＋a；
当a＞1时，
1
1－a
＜1＋a.
16． (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋
1
xy
≤
1
x
＋
1
y
＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c. 解析(1)由于x≥1，y≥1，所以
x＋y＋
1
xy
≤
1
x
＋
1
y
＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得
log c a＝
1
xy
，log b a＝
1
x
，log c b＝
1
y
，log a c＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋
1
xy
≤
1
x
＋
1
y
＋xy
其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．。