广西2020版高考数学一轮复习滚动测试卷四(第一_九章)文

滚动测试卷四(第一~九章)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.集合M={x |(12)x≥1},N={x|y=lg(x+2)},则M ∩N 等于 ( )A.[0,+∞)B.(-2,0]C.(-2,+∞)D.(-∞,-2)∪[0,+∞)M={x |(12)x≥1}={x |(12)x≥(12)0},所以M={x|x ≤0},N={x|y=lg(x+2)}={x|x>-2},所以M ∩N={x|x ≤0}∩{x|x>-2}={x|-2<x ≤0}. 2.(2018湖北黄冈、黄石等八市联考)设复数√3-i 2 017在复平面内对应的点为A ,则过原点和点A 的直线的倾斜角为( ) A.π6B.-π6C.2π3D.5π6α,α∈[0,π),∵复数√3-i 2017=√3-i 在复平面内对应的点是A (√3,-1),原点(0,0),直线过原点和点A ,∴直线的斜率k=√3-0=-√33,即tan α=-√33,∴α=5π6.故选D .3.将函数f (x )=sin (2x +π6)的图象向右平移π6个单位,则所得的图象对应的函数解析式是( )A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=sin (2x +2π3) D.y=sin (2x -π6)f (x )=sin (2x +π6),∴将函数f (x )=sin (2x +π6)的图象向右平移π6个单位,所得的图象对应的函数解析式是y=sin (2x -π6).4.已知函数y=f (x )的定义域为{x|x ≠0},满足f (x )+f (-x )=0,当x>0时,f (x )=ln x-x+1,则函数y=f (x )的大致图象是 ( )y=f (x )的定义域为{x|x ≠0},满足f (x )+f (-x )=0,所以函数f (x )是奇函数,排除C 项,D 项.当x=e 时,f (e)=1-e +1=2-e <0,排除B 项,A 项正确.5.已知向量a ,b 满足|a |=1,(a+b )⊥a ,(2a+b )⊥b ,则向量a ,b 的夹角为( ) A.π6 B.π4C.π3D.3π4a ,b 的夹角为θ,因为|a |=1,(a+b )⊥a ,(2a +b )⊥b , 所以(a+b )·a =1+|b |cos θ=0, ① (2a+b )·b =2|b |cos θ+|b |2=0. ②由①②可得cos θ=-√22,θ=3π4,故选D .6.已知双曲线x 2x2−x 2x2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.x 220−x 25=1 B.x 25−x 220=1C.3x 225−3x 2100=1D.3x 2100−3x 225=1双曲线x 2x 2−x 2x 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l :x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l 上,∴{-xx =-12,x =-5,x 2+x 2=x 2,解得{x =2√5,x =√5.∴双曲线方程为x 220−x 25=1.7.如图,在△ABC 中,点D 在AC 上,AB ⊥BD ,BC=3√3,BD=5,sin ∠ABC=2√35,则CD 的长为( )A.√14B.4C.2√5D.5,sin ∠ABC=2√35=sin (π2+∠xxx )=cos ∠CBD ,再根据余弦定理可得,CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos ∠CBD=27+25-2×3√3×5×2√35=16,可得CD=4.8.(2018全国Ⅰ,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在侧(左)视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A.2√17B.2√5C.3D.2,易知N 为xx ⏜的中点,将圆柱的侧面沿母线MC 剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从M 到N 的路程中最短路径为MN.在Rt △MCN 中,MN=√xx 2+xx 2=2√5.9.已知P 为抛物线y 2=4x 上一个动点,Q 为圆x 2+(y-4)2=1上一个动点,则点P 到点Q 的距离与点P 到直线x=-1的距离之和的最小值是( ) A.5 B.8 C.√17-1 D.√15-1y 2=4x 的焦点为F (1,0),圆x 2+(y-4)2=1的圆心为E (0,4),半径为1.根据抛物线的定义可知,点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离,所以当P ,Q ,E ,F 四点共线时,点P 到点Q 的距离与点P 到直线x=-1的距离之和最小,为|QF|=|EF|-r=√42+1-1=√17-1.10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=-11,a 5+a 9=-2,则当S n 取最小值时,n 等于( ) A.9 B.8C.7D.6a 1,公差为d ,由a 2=-11,a 5+a 9=-2, 得{x 1+x =-11,x 1+6x =-1,解得{x 1=-13,x =2.∴a n =-15+2n.由a n =-15+2n ≤0,解得n ≤152.∴当S n 取最小值时,n=7.11.(2018全国Ⅱ,文12)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f (1-x )=f (1+x ),若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=( )A.-50B.0C.2D.50f (-x )=f (2+x )=-f (x ),∴f (x+4)=f [(x+2)+2]=-f (x+2)=f (x ). ∴f (x )的周期为4.∵f (x )为奇函数,∴f (0)=0.∵f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-2,f (4)=f (0). ∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0.∴f (1)+f (2)+…+f (50)=f (49)+f (50)=f (1)+f (2)=2.12.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为√36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C 的离心率为( ) A.23 B.12C.13D.14A (-a ,0),△PF 1F 2为等腰三角形,∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c.过点P 作PE ⊥x 轴,∵∠F 1F 2P=120°,∴∠PF 2E=60°.∴|F 2E|=c ,|PE|=√3c ,∴P (2c ,√3c ). ∵k PA =√36,∴PA 所在直线方程为y=√36(x+a ). ∴√3c=√36(2c+a ).∴e=x x =14.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用[x ]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lg x ]-2=0的实根个数是 .lg x=t ,则得t 2-2=[t ].作y=t 2-2与y=[t ]的图象,知t 2-2=[t ]有3个解, 分别是t=-1,t=2,还有一解在1<t<2内. 当1<t<2时,[t ]=1,所以t=√3.故得x=110,x=100,x=10√3,即共有3个实根.14.若实数x ,y 满足{x -2x ≤-2,x ≥1,x +x ≤4,则xx 的取值范围是 .[13,1]{x -2x ≤-2,x ≥1,x +x ≤4对应的平面区域如图,设k=xx ,由图象可知,过原点的直线y=kx ,当直线y=kx 经过点A 时,直线的斜率k 最大, 当经过点B 时,直线的斜率k 最小, 由{x -2x =-2,x +x =4,解得A (2,2),此时k=22=1.由{x =1,x +x =4,解得B (3,1),此时k=13,故直线y=kx 的斜率k 的取值范围是[13,1], 即xx 的取值范围是[13,1].15.正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2√6,则这个球的表面积为 .πP-ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1所在的直线上,记为O ,设球半径为R ,则PO=AO=R ,PO 1=4,OO 1=R-4或OO 1=4-R.在Rt △AO 1O 中,R 2=8+(R-4)2,得R=3, 所以球的表面积为S=4πR 2=36π.16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为 .√2πO 为底面圆圆心,∵cos ∠ASB=78,∴sin ∠ASB=√1-(78)2=√158.∴S △ASB =12×|AS|·|BS|·√158=5√15. ∴SA 2=80.∴SA=4√5.∵SA 与圆锥底面所成的角为45°,∠SOA=90°, ∴SO=OA=√22SA=2√10.∴S 圆锥侧=πrl=4√5×2√10×π=40√2π.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.a=c. (10分)(2018山东青岛三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b cos A+√33(1)求cos B;(2)如图,D为△ABC外一点,在平面四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,BC=√6,求AB的长.sin A=sin C.在△ABC中,由正弦定理,得sin B cos A+√33又C=π-(A+B),sin A=sin(A+B),所以sin B cos A+√33即sin B cos A+√3sin A=sin A cos B+cos A sin B,3sin A.所以sin A cos B=√33.又A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos B=√33.(2)∵∠D=2∠B,∴cos D=2cos2B-1=-13在△ACD中,AD=1,CD=3,)=12,则AC=2√3.由余弦定理,得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos D=1+9-2×1×3×(-13在△ABC中,BC=√6,AC=2√3,cos B=√3,3由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,,即12=AB2+6-2·AB×√6×√33化简得AB2-2√2AB-6=0,解得AB=3√2(负值舍去).故AB的长为3√2.18.(12分)如图,已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,且AB=BE=12AF=1,BE ∥AF ,AB ⊥AF ,∠CBA=π4,BC=√2,P 为DF 的中点.(1)求证:PE ∥平面ABCD ; (2)求三棱锥A-BCE 的体积.AD 的中点M ,连接MP ,MB ,∵P 为DF 的中点,∴MP x 12AF.又BE x 12AF ,∴BE x MP.∴四边形BEPM 是平行四边形.∴PE ∥BM.又PE ⊄平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD ,∴PE ∥平面ABCD.ABC 中,由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC =1+(√2)2-2×1×√2×cos π4=1, ∴AC=1.∴AC 2+AB 2=BC 2. ∴AC ⊥AB.∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF=AB ,∴AC ⊥平面ABEF. ∵S △ABE =12BE ·AB=12×1×1=12, ∴V A-BCE =V C-ABE =13S △ABE ·AC=13×12×1=16.19.(12分)(2018山东烟台高考诊断性测试)已知动圆C 与圆E :x 2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切. (1)求动圆圆心C 的轨迹Γ;(2)若从点P (m ,-4)作曲线Γ的两条切线,切点分别为A ,B ,求证:直线AB 恒过定点.,圆E 的圆心E (0,1),半径为12.设动圆圆心C (x ,y ),半径为r. 因为圆C 与直线y=-12相切, 所以d=r ,即y+12=r.①因为圆C 与圆E 外切,所以|CE|=12+r ,即√x 2+(x -1)2=12+r.②联立①②,消去r ,可得x 2=4y.所以动圆圆心C 的轨迹Γ是以E (0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线.AB 的斜率一定存在.不妨设直线AB 的方程为y=kx+b.联立{x 2=4x ,x =xx +x ,整理,得x 2-4kx-4b=0,其中Δ=16(k 2+b )>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4b.③由抛物线的方程可得,y=14x 2,∴y'=12x.∴过点A (x 1,y 1)的抛物线的切线方程为y-y 1=12x 1(x-x 1),又y 1=14x 12,代入切线方程整理得,y=12x 1x-14x 12.∵切线过P (m ,-4),代入整理得,x 12-2mx 1-16=0,同理可得x 22-2mx 2-16=0.∴x 1,x 2为关于x 的方程x 2-2mx-16=0的两个根, ∴x 1+x 2=2m ,x 1x 2=-16.④由③④可得,x 1x 2=-4b=-16,x 1+x 2=4k=2m.∴b=4,k=x 2,直线AB 的方程为y=x2x+4.∴直线AB 恒过定点(0,4).20.(12分)已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的通项公式b n ={x ,x 为偶数,x +1,x 为奇数(n ∈N *),若S 3=b 5+1,b 4是a 2和a 4的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .∵数列{b n }的通项公式b n ={x ,x为偶数,x +1,x 为奇数(n ∈N *),∴b 5=6,b 4=4.设各项为正数的等比数列{a n }的公比为q ,q>0,∵S 3=b 5+1=7,∴a 1+a 1q+a 1q 2=7.① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项,∴x 42=a 2·a 4=x 32=16,解得a 3=a 1q 2=4,② 由①②得3q 2-4q-4=0,解得q=2或q=-23(舍去),∴a 1=1,∴a n =2n-1.(2)当n 为偶数时,T n =(1+1)·20+2·2+(3+1)·22+4·23+(5+1)·24+…+[(n-1)+1]·2n-2+n ·2n-1=(20+2·2+3·22+4·23+…+n ·2n-1)+(20+22+…+2n-2),设H n =20+2·2+3·22+4·23+…+n ·2n-1,①2H n =2+2·22+3·23+4·24+…+n ·2n ,②①-②,得-H n =20+2+22+23+…+2n-1-n ·2n=1-2x1-2-n ·2n =(1-n )·2n -1,∴H n =(n-1)·2n +1,∴T n =(n-1)·2n +1+1-4x21-4=(x -23)·2n +23.当n 为奇数,且n ≥3时,T n =x x -1+(n+1)·2n-1=(x -53)·2n-1+23+(n+1)·2n-1=(2x -23)·2n-1+23, 经检验,T 1=2符合上式,∴T n ={(2x -23)·2x -1+23,x 为奇数,(x -23)·2x +23,x 为偶数.21.(12分)已知椭圆C :x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2√2.(1)求椭圆C 的方程;(2)过动点M (0,m )(m>0)的直线交x 轴于点N ,交C 于点A ,P (P 在第一象限),且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ,延长QM 交C 于点B.①设直线PM ,QM 的斜率分别为k ,k',证明x 'x 为定值;②求直线AB 的斜率的最小值.c.由题意知2a=4,2c=2√2,所以a=2,b=√x 2-x 2=√2.所以椭圆C 的方程为x 24+x 22=1.(2)P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0).由M (0,m ),可得P (x 0,2m ),Q (x 0,-2m ).所以直线PM 的斜率k=2x -x x 0=x x 0, 直线QM 的斜率k'=-2x -x x 0=-3x x 0. 此时x 'x =-3.所以x 'x 为定值-3.A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).直线PA 的方程为y=kx+m ,直线QB 的方程为y=-3kx+m.联立{x =xx +x ,x 24+x 22=1,整理得(2k 2+1)x 2+4mkx+2m 2-4=0.由x 0x 1=2x 2-42x 2+1,可得x 1=2(x 2-2)(2x 2+1)x 0,所以y 1=kx 1+m=2x (x 2-2)(2x 2+1)x 0+m ,同理x 2=2(x 2-2)(18x 2+1)x 0,y 2=-6x (x 2-2)(18x 2+1)x 0+m.所以x 2-x 1=2(x 2-2)(18x 2+1)x 0−2(x 2-2)(2x 2+1)x 0=-32x 2(x 2-2)(18x 2+1)(2x 2+1)x 0,y 2-y 1=-6x (x 2-2)(18x 2+1)x 0+m-2x (x 2-2)(2x 2+1)x 0-m=-8x (6x 2+1)(x 2-2)(18x 2+1)(2x 2+1)x 0,所以k AB =x 2-x 1x 2-x 1=6x 2+14x =14(6x +1x ).由m>0,x 0>0,可知k>0,所以6k+1x ≥2√6,等号当且仅当k=√66时取得.此时√=√66,即m=√147,符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为√62.22.(12分)已知函数f (x )=x-1x -a ln x ,(1)若f (x )无极值点,求a 的取值范围;(2)设g (x )=x+1x -(ln x )2,当a 取(1)中的最大值时,求g (x )的最小值;(3)证明:∑x =x √2i (2i +1)>ln 2n +12n +1(n ∈N *).,可得f'(x )=x 2-xx +1x 2. ∵函数f (x )无极值点,∴方程x 2-ax+1=0在(0,+∞)内无根或有唯一根, ∴方程a=x+1x 在(0,+∞)内无根或有唯一根,又x+1x ≥2(当且仅当x=1时取等号), ∴(x +1x )min =2,∴a ≤2.故a 的取值范围是(-∞,2].a=2时,f (x )=x-1x -2ln x ,g (x )=x+1x -(ln x )2,由(1)知,f (x )在(0,+∞)内是增函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=x-1x -2ln x<f (1)=0,即x-1x <2ln x<0; 当x ∈(1,+∞)时,f (x )=x-1x -2ln x>f (1)=0, 即x-1x >2ln x>0; ∴当x>0时,|x -1x |≥|2ln x|=|ln x 2|,令x 2=t>0,∴|√x -x |≥|ln t|, 两边平方,得t+1x -2≥(ln t )2,∴当t>0时,t+1x -2≥(ln t )2成立,当且仅当t=1时取等号,∴当x=1时,函数g (x )取最小值2.,当x>1时,x+1x -(ln x )2>2, ∴当x>1时,√x √x >ln x 成立, 令x=2x +12x ,得√2x +12x −√2x 2x +1>ln 2x +12x ,即x x >ln 2x +12x , ∴不等式:∑x =x √2i (2i +1)>ln 21+121+…+ln 2n +12n>ln 21+221+1+…+ln 2n +22n +1 =ln (2n ·20+121+1·…·2n -1+12n +1)=ln 2n +12n +1.即∑i =n x x >ln 2x +12x +1(n ∈N *).。