高中数学：4.1.2 极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)

π F(6, 4π) 3 π G(7, 5π ) 3
[变式训练 ] 在课本P6的图上描下列点： 变式训练1 的图上描下列点： 变式训练 的图上描下列点
A(3, 0) 4π D (5, ) 3 5π G (6, ) 3
B ( 6 , 2π ) 5π E (3, ) 6
C (3,
π
2
)
F (4,π )
[小结 小结] 小结 由极坐标描点的步骤： 由极坐标描点的步骤： (1) 先按极角找到点所在射线； 先按极角找到点所在射线； 极角找到点所在射线 (2) 在此射线上按极径描点 在此射线上按极径描点. 极径描点
思考: 平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一, 思考 ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一 那有多少种表示方法？ 那有多少种表示方法？ ② 不同的极坐标是否可以写 出统一表达式？ 出统一表达式？ 3、点的极坐标的表达式的研究 、 π 如图： 的长度为4， 如图：OM的长度为 ， = 的长度为 θ 请说出点M的极坐标的其他表达式 请说出点 的极坐标的其他表达式 思考：这些极坐标之间有何异同？ 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同， 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 思考：些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。 这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。 是终边相同的角。 π 2 4， kπ+ 4 本题点M的极坐标统一表达式 的极坐标统一表达式： 本题点 的极坐标统一表达式： O
5、关于负极径 、
在一般情况下，极径都是取正值。 在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的 情况下，也允许取负值 负值( 情况下，也允许取负值 ρ<0): 对应的点的位置？ 时如何规定 θ θ)对应的点的位置？ <0时，点M(ρ (ρ 的位置规定： 当ρ<0时如何规定, ρ,)的位置规定： 时 ρ 点M：在角θ终边的反向延长线上，且|OM|=|ρ| ：在角θ终边的反向延长线上， ρ 5π π 6 ° O π M(-2, 5π) 6 x π • M(-2, 5π) 6 • ρ M (ρ, θ) ° O
情境2：请问到深大附中怎么走？ 情境 ：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米. 从这向南走 米 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？ 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？ 从 这 向 南 走 2 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的 位置。这种用方向 距离表示平面上一点的位置的 方向和 位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。 思想，就是极坐标的基本思想。
二、新知学习
1、极坐标系的建立： 、极坐标系的建立： 极点. 在平面内取一个定点O，叫做极点 在平面内取一个定点 ，叫做极点 引一条射线OX，叫做极轴。 ，叫做极轴。 引一条射线 极轴 再选定一个长度单位和角度单位及它 再选定一个长度单位和角度单位及 角度单位 的正方向（通常取逆时针方向） 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系 极坐标系. 这样就建立了一个极坐标系 X
在极坐标系中, 例2. 在极坐标系中 (1) 已知两点 P 5,π)， (2 4π) 求线段 的长度； 的长度； ( Q , ，求线段PQ的长度 3 3 ρ∈R, (2) 已知点 的极坐标为 ρ, π), ρ∈ 说明满足上述 已知点M的极坐标为 的极坐标为( 4 条件的点M的位置 的位置. 条件的点 的位置
4
ρ θ
M
X
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
M
P (ρ,θ)
[1]给定（ρ,θ）,就可以在极坐标平 [1]给定（ 就可以在极坐标平 给定 极坐标 面内确定唯一的一点M 面内确定唯一的一点M
O
X
[2]给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对应。 [2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 给定平面上一点 原因在于：极角有无数个。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ 0,0≤θ＜ 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 限定 除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应 一一对应了 那么除极点 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
教学目标: 教学目标 1. 理解极坐标的概念 2. 学会用极坐标表示平面上的点 教学重点: 教学重点 1. 理解极坐标的意义 2. 能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
一、问题情境
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 情境 ：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：请问到深大附中怎么走？ 情境 ：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米。 从这向南走 米 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置， 问题 ：为了简便地表示上述问题中点的位置， 应创建怎样的坐标系呢？ 应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 问题 ：如何刻画这些点的位置？
三、小
结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素 [1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向. 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个. 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式 一点的极坐标有否统一的表达式？ [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 。（ρ π+θ） 有。（ρ，2kπ+θ） 四、课后作业 教材P14-15页5，8，9，10，11 教材 页 ， ， ， ， π 思考: 极坐标系中, 的坐标为(-10, ), 则下列各 思考 极坐标系中 点M的坐标为 的坐标为 3 坐标中, 不是M点的坐标的是 坐标中 不是 点的坐标的是( ) 点的坐标的是 π π π) π (A) (10, 4π) (B) (-10, - 5π) (C) (10, - 2π (D)(10, 2π) 3 3 3 3
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 、 对于平面上任意一点M,用 表示线段OM的长度, 对于平面上任意一点M,用ρ表示线段OM的长度, M, OM的长度 表示以射线OX为始边,射线OM OX为始边 OM为终边所成的 用θ表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 叫做点M 极径, 叫做点M 极角, 角,ρ叫做点M的极径, θ叫做点M的极角,有序数对 就叫做M的极坐标。 (ρ,θ)就叫做M的极坐标。 思考: 对比直角坐标系， 思考 对比直角坐标系，比较异同 极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 、 要素： 极点、极轴、长度单位 角度单位和正方向 ； ____________________； ρ 表示. (2) 平面内点的极坐标用 (ρ, θ)表示 平面内点的极坐标用_____表示 可为任意值. 极点的极坐标为 (0, θ), θ可为任意值 极点的极坐标为_________________ 的极坐标为
M ρ θ O X
如图，写出各点的极坐标： 例1. 如图，写出各点的极坐标： π 2 A(4,0) π 4 5π π B(3, π ) 4 6 π D C(2, 2 ) • C • • B 5π π E A D(5, 6 ) 。 • • π x O E(4.5, π) F 4π π 3
•
G
•
5π π 3
•
E
5π π 3 (-ρ, θ+π)
11π π 6
A(-4,0) 5π π B(3, ) 6 π C(-2, 2 ) π D(-1, 5π) 3 E(3,- π ) 6 (-4,- π) F 3
(ρ, 2kπ+θ) ρ θ
[-ρ, θ+(2k+1)π]
都是同一点的 都是同一点的 极坐标. 极坐标
已知点Q ρ 分别按下列条件求出点P的坐标 的坐标： 例3. 已知点 (ρ, θ)，分别按下列条件求出点 的坐标： (1) P是点 关于极点 的对称点； 是点Q关于极点 的对称点； 是点 关于极点O的对称点 π (2) P是点 关于直线θ = 的对称点 是点Q关于直线 的对称点. 是点 2 (3) P是点 关于极轴的对称点。 是点Q关于极轴的对称点 是点 关于极轴的对称点。 ω 注意点M的极坐标具有多值性 注意点 的极坐标具有多值性. 的极坐标具有多值性
θ
x
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 小结： 从比较来看 负极径比正极径多了一个操作 将射线OP“反向延长”. 反向延长” 将射线 反向延长
5π π 6
2π F π 3 • B
π 2
π 4
•
• • πA
D 。 O x
•
5π π 4 [小结 (ρ, θ) 小结] ρ 小结 C 3π π 2