(1.7) 第七节 无穷小的比较(少学时简约版)
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无穷小的比较精选全文
可编辑修改精选全文完整版无穷小的比较1. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x xx x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2). 2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？ 解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 3. 证明: 当x →0时, 有:(1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y y xx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x , 所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:(1)xx x 23tan lim 0→; (2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数); (3)xx x x 30sin sin tan lim -→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x m n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .。
7无穷小比较
1 + tan x x3 例3 求lim( ) . x→0 1 + sin x 1 1 + tan x x3 − 1)] 原式 = lim[1 + ( x→0 1 + sin x 1 tan x − sin x x3 ] = lim[1 + x→0 1 + sin x
1
tan x − sin x 1 sin x(1 − cos x) 1 ∵lim ⋅ 3 = lim ⋅ 3 x→0 x→0 (1 + sin x) cos x x 1 + sin x x
β −α = o(α ) , 即 β = α + o(α )
例如, 例如 x → 0 时,
～
tan x～ x , 故
x → 0 时,
tan x = x + o( x)
机动
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定理2 定理 . 设
且
存在 , 则
β lim α
证:
β β ′ α′ β lim = lim α β ′ α′ α β β′ β′ α′ = lim lim lim = lim β′ α′ α′ α
第八节 目录 上页 下页 返回 结束
如
但 α ~ β 时此结论未必成立 (可能成立也可能不成立 . ）
tan x − sin x . 如求 lim 3 x→0 x
解: 原式 注意使用此方法时， 注意使用此方法时， 应该尽可能用整个分 子或整个分母的等价 子或整个分母的等价 无穷小去作替代 替代， 无穷小去作替代，否 则会发生错误。 则会发生错误。
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结束
说明: 说明 设对同一变化过程 , α , β 为无穷小 , 由等价 无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则. 无穷小的性质 可得简化某些极限运算的下述规则 (1) 和差取大规则 若 β = o(α) , 则α ± β ~ α 和差取大规则: x 1 sin x = = lim 例如, 例如 lim 3 3 x→0 3x x→0 x + 3x (2) 和差代替规则: 若α ~ α ′, β ~ β ′ 且 β 与α 不等价, 和差代替规则 α −β α′ − β ′ = lim , 则α − β ~ α ′ − β ′, 且 lim
无穷小的比较
原式 lim x x
x0 (பைடு நூலகம் x)3
0.
不符合和差代替规则
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 x3 2
1
.
x0 (2 x)3 16
2
符合因式代替规则
10
例7 求 lim tan 5x cos x 1 .
2
原式
lim x0
(2 1
x)2 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
注意 不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中
各无穷小不能随意替换.
6
说明: 设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,由等价
无穷小的性质,可得下述简化某些极限运算的规则.
(1)和差取大规则: 若 = o() , 则 ~
例4
1 x
不存在.
不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
1
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1)
如果
lim
0, 就说是高阶的无穷小;
记作
o( );
如果
lim
, 是 低阶的无穷小 ;
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
arcsin x ~ x,
n
1
x
1 ~
x ,
n
arctan x ~ x, a x 1 ~ x ln a,
ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
定理1 与 是等价无穷小
无穷小的比较
arc sin x x o(x)； 1 cos x 1 x2 o(1 x2 ).
2
2
8
二、等价无穷小替换
定理 (等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在，则 lim lim .
证
lim
lim( )
lim lim lim
1 x3 原式 lim 2
x0 (2 x)3
1. 16
2
12
例 7 lim ( 5 x5 7x4 2 x) x
lim x( 5 1 7 2 1)
x
x x5
1 t x
5 1 7t 2t5 1
lim
t 0
t
lim
1 (7t 5
2t5)
7
t0
t
5
13
(4) 若 lim 1, 则称 与 是等价的无穷小, 记作 ~ ;
(5)
若
lim
k
C(C 0, k
0),
就说
是 的k 阶的无穷小.
3
如： 3x3 o(x2 ) (x 0);
在 x 3 时，x2 9 和x 3是同阶无穷小；
在 x 0 时， sin x 和x 是等价无穷小；
证： ()若 ，即lim 1，则
lim lim( 1) lim 1 0，
于是， o( )，即 o( ).
()若 o( )，则
lim lim o( ) 1 lim o( ) 1，
于是， .
当x 0时, sin x x o(x)； tan x x o(x)；
x4 x ln 2 2 例 5 lim ( x1
x 1)( 3 x 1) ( n x 1) (x 1)n1
令 x 1t
0107无穷小的比较
3x
− 3x e ~ _____,
x sin x 3
x . − 1 ~ ___
4
练习2
1 + x 是等价无穷小 ; − 1 时, ln( 2 + x )与 _____ x → ____
5 x 与1 − e − 5 x 是等价无穷小 . 0 时, ______ x → ____
n n1+ x −1 比如 : 当x → 0时, = 证明 lim 1 1 x →0 1 + x − 1 ~ x, x 2 n 1 5 1 + x − 1 ~ x. n −1 n n− 2 5 n (1 + x )x n [ + ( 1 + x ) + + 1] ( 1 + x − 1) ⋅ lim = 1, 1 n (1 + x )n −1 + n (1 + x )n − 2 + + 1] x →0 [ x⋅ n 1 n ∴当x → 0时, 1 + x − 1 ~ x . n
定义: 设 α , β 是同一过程中的两个无 穷小 , 且 α ≠ 0.
β (1) 如果 lim = 0, 就说 β 是α的高阶无穷小 , α 记作 β = o(α );
β ( 2) 如果 lim = C (C ≠ 0), 就说 β 与α是同阶无穷小 , α
记作 β = O (α );
β ( 3) 如果 lim = 1, 则称 β 与α是等价无穷小 , 记作 α ~ β ; α
2 − x 3 1 − 2x − 1 2 3 = lim lim =− , x x →0 3 x →0 x ( 5 1 + 3 x − 1) − ( 3 1 − 2 x − 1) 3 2 19 ∴ 原式 = lim = − (− ) = . x 5 3 15 x →0
07第一章 第7节 无穷小的比较
2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( );
(2) 如 果lim , 就 说是 比低 阶 的 无 穷 小 ；
(4) 如 果lim 1, 则 称与是 等 价 的 无 穷 小 ; 记 作 ~ ;
3
(3) 如果 lim C (C 0), 就说与是同阶的无穷小;
(5) 如 果lim k C (C 0, k 0), 就 说是的k阶 的
无穷小 .
如 ： x 3 o( x 2 ) ( x 0); 3
在x 3时，x 2 9和x 3是同阶无穷小；
15
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
16
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x
故当 x 时 f x ) 和 g( x ) 不能比较.
3 6 2 3 6 2
12
例8 xlim( x 7 x 2 x )
5 5 4
7 2 lim x(5 1 5 1) x x x
t
1 7 t 2t 1 lim t 0 0 t 1 5 (7t 2t ) 7 lim 5 t 0 0 t 5
故当x 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例2 当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
2
定义:设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( );
(2) 如 果lim , 就 说是 比低 阶 的 无 穷 小 ；
(4) 如 果lim 1, 则 称与是 等 价 的 无 穷 小 ; 记 作 ~ ;
3
(3) 如果 lim C (C 0), 就说与是同阶的无穷小;
(5) 如 果lim k C (C 0, k 0), 就 说是的k阶 的
无穷小 .
如 ： x 3 o( x 2 ) ( x 0); 3
在x 3时，x 2 9和x 3是同阶无穷小；
15
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
16
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大 但 lim x f ( x ) x
故当 x 时 f x ) 和 g( x ) 不能比较.
3 6 2 3 6 2
12
例8 xlim( x 7 x 2 x )
5 5 4
7 2 lim x(5 1 5 1) x x x
t
1 7 t 2t 1 lim t 0 0 t 1 5 (7t 2t ) 7 lim 5 t 0 0 t 5
故当x 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例2 当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x
1.7 无穷小的比较
2
注 3： 要注意两个无穷小 与 的位置 ，比方说， 是比 高阶的无穷小表明
lim
x x0
0 ，反过来， 是比 高阶的无穷小表明 lim 0 x x 0
x2 例 1： 因为 lim x 0 ， lim x 0 ， 即 x 与 x 都是当 x 0 时的无穷小， 且 lim 0 ， x 0 x0 x 0 x
x0
tan x sin x ，因为 tan x x ， sin x x ，所以 x3 tan x sin x x x 1 lim lim 3 lim 3 x0 x 0 x 0 x x x tan x sin x ，虽然 tan x x ， sin x x ，但是 x0 x3
x x0 x x0
若 lim
c 0 ，其中 c 为非零常数，则称 与 是同阶无穷小。 x x0
注： 与 是同阶无穷小表明 0 与 0 快慢相仿。
例 1：因为 lim( x 1) 0 ， lim( x 2 1) 0 ，即 x 1 与 x 2 1 都是当 x 1 时的无穷
注 2： 是比 高阶的无穷小表明 0 比 0 快。比方说，对于 x 2 与 x ，当
x 0 时，即 | x | 1 时，总有 | x | | x 2 | ，也就是说， x 2 比 x 更快到达极限 0 ，即
x2 x 0 比 x 0 快；另一方面，可验证 lim 0 ，即 x 2 是比 x 高阶的无穷小。 x 0 x
x 0
x0
x0
x ， x2
所以当 x 0 时， x 是比 x 2 低阶的无穷小
1 1 1 1 0 ， lim 2 0 ，即 与 2 都是当 x 时的无穷小， 且 x x x x x x
注 3： 要注意两个无穷小 与 的位置 ，比方说， 是比 高阶的无穷小表明
lim
x x0
0 ，反过来， 是比 高阶的无穷小表明 lim 0 x x 0
x2 例 1： 因为 lim x 0 ， lim x 0 ， 即 x 与 x 都是当 x 0 时的无穷小， 且 lim 0 ， x 0 x0 x 0 x
x0
tan x sin x ，因为 tan x x ， sin x x ，所以 x3 tan x sin x x x 1 lim lim 3 lim 3 x0 x 0 x 0 x x x tan x sin x ，虽然 tan x x ， sin x x ，但是 x0 x3
x x0 x x0
若 lim
c 0 ，其中 c 为非零常数，则称 与 是同阶无穷小。 x x0
注： 与 是同阶无穷小表明 0 与 0 快慢相仿。
例 1：因为 lim( x 1) 0 ， lim( x 2 1) 0 ，即 x 1 与 x 2 1 都是当 x 1 时的无穷
注 2： 是比 高阶的无穷小表明 0 比 0 快。比方说，对于 x 2 与 x ，当
x 0 时，即 | x | 1 时，总有 | x | | x 2 | ，也就是说， x 2 比 x 更快到达极限 0 ，即
x2 x 0 比 x 0 快；另一方面，可验证 lim 0 ，即 x 2 是比 x 高阶的无穷小。 x 0 x
x 0
x0
x0
x ， x2
所以当 x 0 时， x 是比 x 2 低阶的无穷小
1 1 1 1 0 ， lim 2 0 ，即 与 2 都是当 x 时的无穷小， 且 x x x x x x
1-7无穷小比较
第一章
第七节 无穷小的比较
都是无穷小, x →0时, 3x, x2 , sin x 都是无穷小 但 引例 .
sin x 1 x2 lim = , lim = 0, x→0 3x 3 x→0 3x sin x lim 2 = ∞, x→0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
是自变量同一变化过程中的无穷小, 定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小
3 5 lim ln(1 + 2 ) ⋅ ln(1 + ) 3ln 2 x → +∞ x
x
是无穷小， 三、证明：若α , β 是无穷小，则α ~ β ⇔ α − β = 0(α ) . 证明： 四、设 f(x)= lim
2 n→ ∞ x 2n + 1 求：1、 f ( x ) 的表达式 . 的值, 2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x ) = f (1) ，
x 1 + x sin x − 1 ∞ 4、lim =________. 2 x→0 x arctan x x n x 5、lim 2 sin n =________. n→ ∞ 2
1 n
x→0
a (1 + ax ) − 1 6、lim =_________. x→0 x n
7、当 x → 0 时， a + x 3 − a (a > 0) _______阶无穷小 对于 x 是_______阶无穷小 . 3 0 等价， 8、当 x →1 时，无穷小 1 − cos x 与 mx n 等价，则 m = _______, n _______ . 2 ： 2 求下列各极限： 二、求下列各极限 1 tan x − sin x ； 1、lim 3 x→0 sin x 2 eα − e β 2、 lim ； eβ α →β α − β sin αx − sin βx α − β ； 3、lim x→0 x tan x − tan a 4、lim ；sec2 α x→a x−a
第七节 无穷小的比较
都是无穷小, x →0时, 3x, x2 , sin x 都是无穷小 但 引例 .
sin x 1 x2 lim = , lim = 0, x→0 3x 3 x→0 3x sin x lim 2 = ∞, x→0 x
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
是自变量同一变化过程中的无穷小, 定义. 定义 设 α , β 是自变量同一变化过程中的无穷小
3 5 lim ln(1 + 2 ) ⋅ ln(1 + ) 3ln 2 x → +∞ x
x
是无穷小， 三、证明：若α , β 是无穷小，则α ~ β ⇔ α − β = 0(α ) . 证明： 四、设 f(x)= lim
2 n→ ∞ x 2n + 1 求：1、 f ( x ) 的表达式 . 的值, 2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x ) = f (1) ，
x 1 + x sin x − 1 ∞ 4、lim =________. 2 x→0 x arctan x x n x 5、lim 2 sin n =________. n→ ∞ 2
1 n
x→0
a (1 + ax ) − 1 6、lim =_________. x→0 x n
7、当 x → 0 时， a + x 3 − a (a > 0) _______阶无穷小 对于 x 是_______阶无穷小 . 3 0 等价， 8、当 x →1 时，无穷小 1 − cos x 与 mx n 等价，则 m = _______, n _______ . 2 ： 2 求下列各极限： 二、求下列各极限 1 tan x − sin x ； 1、lim 3 x→0 sin x 2 eα − e β 2、 lim ； eβ α →β α − β sin αx − sin βx α − β ； 3、lim x→0 x tan x − tan a 4、lim ；sec2 α x→a x−a
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的高阶无穷小。
例如，取 ( x )=( 1 + x )m -1，( x )= x ，则有
l x i m 0 x x l x i m 0 1 x x m 1 1 ,即 x : x .
1 x m 1 x m m 2 1 x 2 L x m
x x
arcsin x x ．因此等价无穷小可认为只是在极限意义下 是“相同的”，这一性质对极限的计算具有重要意义。
两无穷小等价和相等间的一般关系为：
( x ) ( x ) ( x )= ( x )
0 0
(1) 等价无穷小的性质 等价无穷小在极限讨论和计算中有着广泛的应用，
理解等价无穷小的构造，掌握等价无穷小的运算性质对 掌握极限方法是十分重要的。
C. P. U. Math. Dept. ·杨访
例：对“0/0”的不定式极限 xli m0 tanxx3sinx 试比较如下两种解法：
直接通过等价无穷小代换计算
因为当 x → 0 时，sin x x，tan x x，故有
? x li m 0 t a n x x 3 s in x x li m 0x x 3 x x li m 0x 0 3 0 .
即lim lim .
• 定理 2 条件的运算意义
对“0/0”型不定式 lim ( x )/ ( x )，一般总希
望约去分子、分母的公共零因子，但如果分子、分母
无穷小 , 不是同类函数无穷小，则不能进行约简。
定理 2 提供了一种利用等价无穷小代换化简极限
的方法，即将 、 分别换成相应同类函数的等价无 穷小 、 ，使得原不定式转化为同类无穷小之比 lim ( x )/ ( x )再进行计算。从运算角度看，等价
o
线性主部
高阶无穷小Biblioteka 定理 2 等价无穷小代换定理
设在自变量的同一趋向下有
则有 x l: im x x x ,l ix m : x x x .,且 lim x x 存 在 ,
根据等价无穷小的定义证明
由已知 lim 1, lim 1，故有
l i m l i m l i m l i m l i m l i m .
阶的无穷小，记作: = o( ). 若 lim ( x )/ ( x )= ，就说 ( x )是比 ( x )低阶
的无穷小。
若 lim ( x )/ ( x )= C 0， 就说 ( x )与 ( x )是同阶无穷小， 记作: = O( ).
若 lim ( x )/ ( x )= 1， 就说 ( x )与 ( x )是等价无穷小， 记作: .
由条件
lim x x lim x x o lim 1 o x 1 .
按等价无穷小的定义 ( x ) ( x ).
定理1的意义为两无穷小等价的充要条件是其中一
个无穷小是另一无穷小的“线性主部”，即可从一个
无穷小中分离出另一个无穷小，余下的则是该无穷小
无穷小比较问题来源于对无穷小商的运算 的讨论。两个无穷小的商对应于“0/0”型不定 式，此类不定式的极限是否存在及其极限值均 取决于分子无穷小与分母无穷小趋于零的速度 之比。所以无穷小的比较就是研究不同无穷小 趋于零的速度，并由此计算不定式极限。
(2) 无穷小的阶的定义
设在自变量同一趋向下 lim ( x )= lim ( x )= 0， 若 lim ( x )/ ( x )= 0，就说 ( x )是比 ( x )高
(3) 关于无穷小阶的概念的两个要点 • 无穷小的高阶与低阶是相对概念
一个无穷小的高阶或低阶是相对于另一无穷小而言
的。一般不能直接说无穷小( x )是高阶或低阶无穷小, 而只能说它是另一无穷小( x )的高阶或低阶无穷小。
另一方面，为应用方便，习惯
上又常以 ( x )= x 作为基准无穷小 去度量其它无穷小，此时说 ( x )
分子化为单项式再作等价无穷小代换
因为当 x → 0 时，sin x x，1 - cos x ½ x2，故有
l x i m 0t a n x x 3 s in x l x i m 0s in x x 3 1 c o s c x o s x
lim x 0
x
1 2
x2
x3cosx
1 2
.
是高阶无穷小的意义就是它是自变
量 x 的高阶无穷小，即 = o( ).
• 无穷小的等价与“相等”的关系
等价无穷小是同阶无穷小当 C = 1 时的特例，它表 示两无穷小趋向于零的速度完全相同，但并不是说这两 个无穷小是一样的。
例如，因为 lxi m0 arc，sxin故x有1arcsin x x ，但
无穷小代换可以将各类无穷小都转换成 x 幂的无穷小 形式，以在各类“0/0”型不定式中约去公共零子。
• 定理 2 条件的分析本质
利用定理2作等价无穷小代换需注意理解其代换的 本质。这种“代换”实际是在极限式中乘上值为1的因
子 lim / =1，lim / = 1 而达到无穷小形式转换
效果的，即
lim lim lim .
因此这种代换只能用于乘积式中分子、分母为单 项式时的乘积因子，而不能代换其和式中的“项”。
例：计算极限 xli m0 ln11co3sxx2 . 对此“0/0”型的不定式，由于其分子、分母
不是同类函数，因而没有公共零因子。为此可考虑通过 等价无穷小代换将分子、分母转化为同类函数无穷小， 再进行化简和计算。
联想到有 l u i m 0 ln 1 u 1 u l u i m 0ln 1 u u ln e 1 ,
即当 u → 0 时，ln( 1 + u ) u，故有
( x )= ln( 1 + 3x 2 ) 3x 2 = ( x )，
于是由等价无穷小的代换性质有
lxi m 0ln1 1co3sxx2lxi m 0 1 2 3xx22 6.
利用等价无穷小代换化简计算
先考虑寻求分子、分母的等价无穷小。
由于当 t → 0 时 sin t t，故有
x 1 c o s x 2 s i n 2 2 x :2 2 x 2 x 2 2 x .
对 ( x )= ln( 1 + 3 x 2 )，由重要极限
lim1u
1 u
e
u0
等价无穷小结构及其在极限计 算中的作用体现于以下等阶无穷 小结构定理和代换定理。
定理1 等阶无穷小结构定理
在自变量的同一趋向下，( x )与 ( x )是等价无 穷小的充要条件为 ( x )= ( x )+ o( ).
根据等价无穷小及高阶无穷小的定义证明 必要性
设 ( x ) ( x )，要证 ( x )= ( x )+ o( ).
因为 ( x ) ( x )，即 limxx 1, 故有
lim x x x lim x x 1 lim x x 1 0 .
由高阶无穷小的定义 ( x )- ( x )= o( )，即有 ( x )= ( x )+ o( ).
充分性
设 ( x )= ( x )+ o( ). 要证 ( x ) ( x ).