无穷小量的比较
合集下载
无穷小的比较【可编辑全文】
1
.
解 当 x 0 时，
(1
x2
)1
3
1
~
1 3
x2,
cos
x
1
~
1 2
x2
,
故
lim
x0
(1 x2 )1 3 1 cos x 1
lim
x0
1 3
x
2
1 2
x
2
2 3
.
完
例 9 计算 lim 1 tan x 1 tan x .
x0
1 2x 1
解 由于 x 0 时， 1 2x 1 ~ x, tan x ~ x,
然成立.
常用等价无穷小
注: 当 x 0时, x为无穷小,在常用等价无穷小
中, 用任意一个无穷小 ( x) 代替 x, 等价关系依
然成立.
例如, x 1 时,有 ( x 1)2 0,从而 sin( x 1)2 ~ ( x 1)2 ( x 1).
完
例 4 证明：e x 1 ~ x( x 0).
原式
lim
x0
x x (2 x )3
0.
正解 当 x 0 时，sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 , 2
故
lim
x0
tan x sin sin3 2x
x
lim
x0
1 2
x
3
(2 x )3
1 16
.
完
例8
求
lim
x0
(1
x cos
2 )1 3 x1
2
(1 x) 1 ~ x ( R)
ex 1~ x
a x 1 ~ x ln a (a 0)
2_7 无穷小量的比较
( x − 1) 2 x −1 解：1） ∵ lim = lim = 0, 2 x →1 x − 1 x →1 x + 1 1 − cos 2 x + x 3 1 − cos 2 x x3 α 2) lim = lim = lim + lim 2 2 2 x→0 β x→0 x→0 x→0 x x x 2sin 2 x = lim + lim x = 2 − 0 = 2 ≠ 1 2 x→0 x→0 x
x
x
ln(1 + x ) x ∴ lim = lim = 1 x→0 x →0 x sin x
解: ∵ x → 0 时 , e − 1 ~ x
ex −1 x ∴ lim = lim =2 x→0 1 + x − 1 x →0 1 x 2
1 1+ x −1 ~ x 2
微积分二 微积分二⑥
14/38
( x + 1)sin2x 例3 lim x→0 arcsin x 解：当x → 0时, sin2 x ~ 2 x, arcsin x ~ x.
1 1 1 2 − (cos x − 1) ⋅ x 1 2 2 2 = = lim = lim 1 1 2 x → 0+ x → 0+ 2 2 x x ( x) 2 2
微积分二 微积分二⑥
19/38
0 lim ( 型) + x→0 x(1 − cos x ) 0 (1 − cos x )(1 + cos x ) 解2：原极限= lim 原极限= x → 0+ x (1 − cos x )(1 + cos x ) 1 − cos x = lim x → 0+ x ((1 − cos x ))(1 + cos x ) 1 2 x 1 2 = lim = 2 1 x → 0+ 2 x x (1 + cos x ) 2
无穷小量的比较(4)全
2、若 lim f (x) c, (c 0)则称f (x)与g(x)为同阶无穷小。 xx0 g(x)
3、若 lim f (x) 1,则称f (x)与g(x)为等价无穷小。 xx0 g(x)
记为 f (x) ~ g(x)
2024/10/27
2
1、当 x 0时, 1 cos x是sin x的_______无穷小。
x 1
x sin sin
xx
当x→0时不是有界量
故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。
2024/10/27
4
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2024/10/27
9
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
二、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理：设 (x) ~ (x), (x) ~ (x) , 且 lim '(x) 存在（或为无穷 '(x)
大）, 则lim (x) 也存在（或为无穷大），并且 (x)
lim (x) lim '(x) lim '(x) '(x) '(x) (x)
lim '(x)
2024/10/27
'(x)
6
例1. 求 lim tan2x . x0 sin 5x
解: 由于当x0, tanx ~ x, 从而tan2x ~ 2x.
3、若 lim f (x) 1,则称f (x)与g(x)为等价无穷小。 xx0 g(x)
记为 f (x) ~ g(x)
2024/10/27
2
1、当 x 0时, 1 cos x是sin x的_______无穷小。
x 1
x sin sin
xx
当x→0时不是有界量
故当x→0时，x sin 1/x和x2不能比较。
2024/10/27
4
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2024/10/27
9
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
二、等价无穷小量在求极限问题中的作用
定理：设 (x) ~ (x), (x) ~ (x) , 且 lim '(x) 存在（或为无穷 '(x)
大）, 则lim (x) 也存在（或为无穷大），并且 (x)
lim (x) lim '(x) lim '(x) '(x) '(x) (x)
lim '(x)
2024/10/27
'(x)
6
例1. 求 lim tan2x . x0 sin 5x
解: 由于当x0, tanx ~ x, 从而tan2x ~ 2x.
高数无穷小量的比较
sin x ~ x , arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
1 2 1 − cos x ~ x , 2
α2
2
x2
ln(1 + x ) ~ x ,
x log a (1 + x) ~ , ln a
e − 1 ~ x,
x
n
a − 1 ~ x ln a
x
1 1 + x - 1 ~ x, n
β 阶无穷小. （4）若 lim k = C ≠ 0 , (k > 0) 则称 β 是 α 的k阶无穷小. α
例如 , 当 x → 0 时
x 3 = o( 6x 2 ) ; sin x ～ x ; tan x ～ x arcsin x ～x
又如 ，
1 − cos x lim = 2 x →0 x
故 时
β′ = lim α′
.
sin x . 例4 求 lim x→0 tan 2 x
解 因为当 x → 0时, sin x ~ x, tan 2 x ~ 2 x, 所以
x 1 sin x lim = lim = . x →0 tan 2 x x →0 2 x 2
tan x . 例5 求 lim 2 x →0 x + 3 x
注意：等价无穷小替换忌“加减” 注意：等价无穷小替换忌“加减”。即对于代数和 无穷小不能分别替换。 各 无穷小不能分别替换。
(1 + −1 例7. 求 lim . x →0 cos x − 1
解:
1 2 3 x )
例9Leabharlann (1 − cos x2)(2x − 1) lim x →0 ln(1 + x 2) ⋅ sin x 3
无穷小量的比较
因此
lim e x 1 x0 x
lim y y0 ln1(y)
yl im0 1y
1 ln1(
y)
lim 1 y0ln1( y)
1 y
1 ln e
1
即有等价关系: ex1~x
目录 上页 下页 返回 结束
2、常用等价无穷小量:
当 x0时 ,
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx 1cosx~1x2
例： 求limtan22x. x0 1coxs
解 当 x 0 时 ,1 cx o ~ 1 x s 2 , ta 2 x ~ n 2 x . 2
原式
(2x)2 lim
x0
1 x2
8.
2
若式子的分子或分母为若干个因子的乘积，则可 对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷 小代换，而不会改变原式的极限．
解 lx im 0tanxx3sinx lx i0(m c1o xs sx ixn 1x c2o x)s lx i0c m 1o xlx s i0s m x ixn lx i01 m x c2o x s 12 ,
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
证明: 当x0时, n1x1～1n x .
x 0
1x21
5
lim
2x2 9 x2 2
x 0
1 2
x
2
例
sin xsina lim
求 xa x a
解: 令uxa 则xua
当 x a时 ， u 0
原 式 ＝ limsin(ua)sina
u 0
u
2cos u 2a sin u
＝lim
7无穷小量的比较
例1
x → 0 时的几个无穷小量的比较：
2
x (1) lim x→0 x 1 − cos x (3) lim x →0 sin 2 x
1 x sin x (5) lim x →0 x
( 2)
sin x + 2 x lim x →0 x
(4)
sin x lim x →0 x
1 − cos x (6) lim 2 x→0 x
备用
1 − cos(1 − cos 2 x) 求 lim . 4 x →0 x
x2 由 1 − cos x ~ ( x → 0), 得 2
等价无穷小替代
解
1 − cos(1 − cos 2 x) (1 − cos 2 x) 2 lim = lim 4 x →0 x →0 x 2 x4
(2 x) 2 = lim x →0 2x4
定理2. 定理 证:
～ ~
β = α + o(α) β lim = 1 α β β −α lim( −1) = 0, 即 lim =0 α α
β −α = o(α) , 即 β = α + o(α)
例如, 例如 x → 0 时 ,
~
tan x~ x , 故
x →0 时 ,
tan x = x + o(x)
= 1−1 = 0 .
例12
当 x → 0 时,
3 2
3
5 x 2 − 5 x 3 是 x 的几阶无穷小量?
2 3
解
5x − 5x = x
3
3
5 − 5x ,
f (x) lim k = C x
由于
lim
x →0
x
2 3
无穷小的比较
无穷小的比较是两个数都是无穷小，可以比较相对大小。
无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数，序列等形式出现，无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。
确切地说，当自变量x无限接近x0或x的绝对值无限增大时，函数值fx与0无限接近，即fx，0或fx等于0，则称fx为当x，x0或x，∞时的无穷小量，特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
无穷小的性质无穷小量不是一个数，它是一个变量，零可以作为无穷小量的唯一一个常量，无穷小量与自变量的趋势相关，若函数在某的空心邻域内有界，则称g 为当时的有界量。
有限个无穷小量之和仍是无穷小量，有限个无穷小量之积仍是无穷小量，有界函数与无穷小量之积为无穷小量，特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量，恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
工具/原料
笔（各种笔均可）纸（各种纸均可）
方法/步骤1 引例无穷小的多样性，如何比较？ 2 回顾无穷小的定义明确多阶无穷小和等价无穷小的定义 3 学习无穷小的定理1 基于等价无穷小 4 学习无穷小的定理2 基于等价无穷小 5 由等价无穷小，简化的极限运算规则。
和差取大规则，和差替代规则 6 由等价无穷小，简化的极限运算规则。
因式替代规则7 学习例题，反复联系。
8 仔细认真，举一反三！。
无穷小量的比较
则当 x 0 时, 有 u 0,
ex 1 u lim lim lim u 0 x 0 u 0 ln(1 u ) x
u 0
1 ln(1 u)
1 u
1 lim ln(1 u)
1 u
1 1. ln e
当x 0时， e x 1 ~ x.
解
令 (1 x) 1 y,于是 ln(1 x) ln(1 y),
第五节 无穷小量的比较
A.
ห้องสมุดไป่ตู้
无穷小量的阶：
高阶、低阶、同阶(等价)、k阶无穷小
B.
利用等价无穷小量计算极限
A.无穷小量的阶
引例：当 x 0时， 3 x , x 2 , sin x 都是无穷小, 但 它们趋于零的速度不同：
x 0, lim x 0 3 x
2
sin x 1 lim , x 0 3 x 3
tan 2 x . 例3 求 lim x 0 1 cos x
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2
例4 解
e 1 求 lim . x 0 x
x
令 e x 1 u, 即 x ln(1 u),
例. 当
时, 比较无穷小
与
的阶.
ln x 解: 因 lim x 1 ( x 1) 2 ln[1 ( x 1)] lim 2 x 1 ( x 1) x 1 lim x 1 ( x 1) 2 1 lim x 1 x 1
故 是比
x 0 时, ln(1 x) ～ x ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。