备战2019高考数学大二轮复习第一部分思想方法研析指导思想方法训练2分类讨论思想理
备战2019高考数学大二轮复习-第一部分 思想方法研析指导 一 函数与方程思想课件 理
������+1
因此,对任意 x>0,f'(x)<e������-22++���1��� 恒成立.
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
函数与方程思想在数列中的应用
【思考】 求等差(或等比)数列中的通项及前n项和的最值的基
本方法有哪些?
例3设fn(x)是等比数列1,x,x2,…,xn的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.
若 x>1,h'(x)<xn-1+2xn-1+…+nxn-1-������(������2+1)xn-1=������(������2+1)xn-1-������(������2+1)xn-1=0.
所以h(x)在(0,1)内递增,在(1,+∞)内递减,
所以h(x)<h(1)=0,即fn(x)<gn(x). 综上所述,当x=1时,fn(x)=gn(x); 当x≠1时,fn(x)<gn(x).
������0-log2x0=0,由 0<a<x0,得
f(a)>f(x0)=0.
C
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答案
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
函数与方程思想在不等式中的应用
【思考】 如何用函数与方程思想解决不等式恒成立问题? 例2设函数f(x)=x2-1,对任意x∈32 , + ∞ ,f-4������m������ 2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒 成立,求实数m的取值范围.
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
对点训练2已知函数f(x)=
ln������ + e������
(新课标)天津市2019年高考数学二轮复习 思想方法训练2 分类讨论思想 理
思想方法训练2 分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-∞,4)C.[2,4]D.(2,+∞)2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c23.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=λ,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.若x>0,且x≠1,则函数y=lg x+log x10的值域为()A.RB.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2a m,则m等于()A.6B.7C.8D.108.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为()A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°9.已知函数y=a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是.10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.11.已知函数f(x)=2a sin2x-2a sin x cos x+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值.12.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.二、思维提升训练13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=014.已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)()A.(-1,0]B.C.(-1,0]∪D.15.已知a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.16.已知函数f(x)=a ln x+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.17.设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明|f'(x)|≤2A.思想方法训练2分类讨论思想一、能力突破训练1.B解析当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.2.B解析在△ABC中,由余弦定理得cos A=,则A=又b=a,由正弦定理,得sin B=sin A=,则B=或B=当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.C解析当0<a<1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,∴a3+1<a2+1.∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.C解析焦点在x轴上时,,此时离心率e=;焦点在y轴上时,,此时离心率e=,故选C.5.C解析不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.6.D解析当x>1时,y=lg x+log x10=lg x+2=2;当0<x<1时,y=lg x+log x10=--2=-2.故函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).7.C解析∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而2,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).∵a2+a5=2a M,∴a2(1+q3-2q m-2)=0,1+q3-2q m-2=0,∴q m-2=,∴m=8.8.C解析球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.9解析当a>1时,y=a x在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0<a<1时,y=a x在区间[1,2]上递减,故a-a2=,得a=故a=或a=10.4解析f(x)=g(x)=(1)当0<x≤1时,方程化为|-ln x+0|=1,解得x=或x=e(舍去).所以此时方程只有1个实根(2)当1<x<2时,方程可化为|ln x+2-x2|=1.设h(x)=ln x+2-x2,则h'(x)=-2x=因为1<x<2,所以h'(x)=<0,即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)=ln 1+2-12=1,h(2)=ln 2+2-22=ln 2-2,所以h(x)∈(ln 2-2,1).又ln 2-2<-1,故当1<x<2时方程只有1解.(3)当x≥2时,方程可化为|ln x+x2-6|=1.记函数p(x)=ln x+x2-6,显然p(x)在区间[2,+∞)上单调递增.故p(x)≥p(2)=ln 2+22-6=ln 2-2<-1.又p(3)=ln 3+32-6=ln 3+3>1,所以方程|p(x)|=1有2个解,即方程|ln x+x2-6|=1有2个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.11.解f(x)=a(1-cos 2x)-a sin 2x+a+b=-2a sin+2a+b.∵x,∴2x+,∴-sin1.因此,由f(x)的值域为[-5,1],可得或解得12.解 (1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+①当0<a<1时,若x∈(0,a),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+a ln a,极小值是f(1)=-②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+a ln a.综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-a2+a ln a,极小值是-;当a=1时,f(x)无极值;当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+a ln a.二、思维提升训练13.D解析若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.C解析因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a 表示直线y=ax的斜率.当a>0,x>1时,y'=设切点为(x0,y0),k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e2,k=,所以切线l1的斜率为设过原点与y=x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a的取值范围是当a<0时,设过原点与点(1,-1)的直线为l3,其斜率为-1,则在l3的位置以O为中心逆时针旋转一直转到水平位置都符合题意,此时实数a的取值范围是(-1,0].综上所述,实数a的取值范围是(-1,0],故选C.15.2-2解析当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0<a<1时,f(x)=在区间内递增,在区间上递减,在区间(a,1]上递增,且f,f(1)=1-a,-(1-a)=(a2+4a-4),∴当0<a<2-2时,<1-a.当2-2≤a<1时,1-a;当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax在区间上递增,在区间上递减,当x=时,f(x)取得最大值f;当a≥2时,f(x)=-x2+ax在区间[0,1]上递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=在区间(-∞,2-2)上递减,在区间[2-2,+∞)上递增,即当a=2-2时,g(a)有最小值.16.解 (1)f(x)=a ln x+x2的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x=当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2].若a≥-2,则f'(x)在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2<a<-2,令f'(x)<0,解得1≤x<,此时f(x)单调递减;令f'(x)>0,解得<x≤e,此时f(x)单调递增,所以f(x)min=f ln;若a≤-2e2,f'(x)在区间[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2<a<-2时,f(x)min=ln,相应的x=;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-ln x)≥x2-2x.由x∈[1,e],知ln x≤1≤x且等号不能同时成立,得ln x<x,即x-ln x>0,因而a,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,2019年当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,所以实数a的取值范围是[-1,+∞).17.(1)解f'(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.(2)解 (分类讨论)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g=--1=-令-1<<1,解得α<-(舍去),α>当0<时,g(t)在区间(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α.当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g又-|g(-1)|=>0,所以A=综上,A=2019年(3)证明由(1)得|f'(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.当0<时,|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当<α<1时,A=1,所以|f'(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f'(x)|≤2A.。
备战2019高考数学(理科)大二轮复习练习：第一部分思想方法研析指导思想方法训练1含答案
备战2019高考数学（理科）大二轮复习练习：第一部分思想方法研析指导思想方法训练1含答案一、能力突破训练1.已知椭圆+y2=1的两个焦点为F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一个交点为P,则|PF2|=(A. B. C. D.42.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )A.-2B.-1C.0D.13.已知函数f(x)=x2+ex- (x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a)A.C.4.已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8的值为( )A.16B.32C.64D.625.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .6.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为.7.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x+2)<5的解集是.8.设函数已知不等式1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,求a的取值范围9.在△ABC中,内角A,B,C所对边的边长分别是a,b,c.已知(1)若△ABC的面积等于,求a,b的值(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积.10.某地区要在如图所示的一块不规则用地上规划建成一个矩形商业楼区,余下的作为休闲区,已知AB⊥BC,OA∥BC,且|AB|=|BC|=2|OA|=4,曲线OC是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段,如果矩形的两边分别落在AB,BC 上,且一个顶点在曲线OC段上,应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大?并求出最大的用地面积.二、思维提升训练11.已知数列{an}是等差数列,a1=1,a2+a3+…+a10=144.(1)求数列{an}的通项an;(2)设数列{bn}的通项bn=,{bn}的前n项和,若n≥3时,有Sn≥m恒成立,求m的最大值12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积为时,求k的值13.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.思想方法训练1 函数与方程思想一、能力突破训练1.C 解析如图,令则化简得解得2.D 解析因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为f(x+2)是偶函数,则f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,所以f(8)=0;同理f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5),而f(5)=f(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故选D.3.B 解析由已知得,与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为h(x)=x2+e-x- (x>0).令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-,作函数M(x)=e-x-,显然当a≤0时,函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象一定有交点当a>0时,若函数的图象与M(x)的图象有交点,则ln a<,则0<a<综上a<故选4.C 解析因为a1,a2,a5成等比数列,则=a1·a5,即1)×2=2n-5.- 解析 f(x)=ax+b是单调函数,当a>1时,f(x)是增函数,无解当0<a<1时,f(x),综上6.[1,+∞)解析以AB为直径的圆的方程为由得y2+(1-2a)y+a2-a=0.即(y-a)[y-(a-1)]=0,则由题意得解得a≥1.7.{x|-7<x<3} 解析令x<0,则-x>0,∵当x≥0时,f(x)=x2-4x,∴f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴当x<0时,f(x)=x2+4x,故有f(x)=再求f(x)<5的解,由得0≤x<5;由得-5<x<0,即f(x)<5的解集为(-5,5).由于f(x)的图象向左平移两个单位即得8.解 f(x)=cos2x+sin x+a-1=1-sin2x+sin x+a-1=-+a+-1≤sin x≤1,所以当sin x=时,函数有最大值当sin x=-1时,函数有最小值f(x)min=a-2.因为,所以f(x)max,且f(x)min≥1,即解得故a的取值范围是[3,4].9.解 (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.因为△ABC的面积等于解得a=2,b=2.(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,即当cos A=0时当cos A≠0时,得sin B=2sin A,解得故△ABC的面积S=absin C=10.解以点O为原点,OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(-2,4),C(2,4),设抛物线的方程为x2=2py,把C(2,4)p=,所以曲线段OC的方程为设P(x,x2)(x∈[0,2])在OC上,过点P作PQ⊥AB于点Q,PN⊥BC于点N,故|PQ|=2+x,|PN|=4-x2,则矩形商业楼区的面积S=(2+x)(4-x2)(x∈[0,2]).整理,得S=-x3-2x2+4x+8,得x=或x=-2(舍去),当x时,S'>0,S是关于x的增函数当x时,S'<0,S是关于x的减函数,所以当x=时,S取得最大值此时|PQ|=2+x=,|PN|=4-x2=,Smax=,宽为时,二、思维提升训练11.解(1)∵{an}是等差数d=3.∴an=3n-2(n∈N*).(2)由(1)知∴Sn=b1+b2+…+bn=,∴∵Sn+1-Sn=>0,∴数列{Sn}是递增数列.当n≥3时依题意,得m,故m的最大值为12.解 (1)由题意得解得b=所以椭圆C的方程为=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点M,N的坐标分别为则x1+x2=,x1x2=因为点A(2,0)到直线的距离d=,所以△AMN的面积为由,解得k=±1.所以k的值为1或-1.13.解由(x≤-1)消去得(k2-1)x2+2kx+2=0. ①∵直线m与双曲线的左支有两个交点,∴方程①有两个不相等的负实设M(x0,y0),则由P(-2,0),M,Q(0,b)三点共线,得出设f(k)=-2k2+k+2=-2,则f(k)在(1,)上为减函数,∴f()<f(k)<f(1),且f(k)≠0.∴∴b<--2或b>2.∴b的取值范围是(-∞,--2)∪(2,+∞).。
2019届新课标高考数学二轮专题复习第一部分论方法专题3分类讨论思想讲义理
【典例 4】 求函数 f(x)＝－x(x－a)在 x∈[－1,1]上的最大值． 【答题模板】
【解析】 函数 f(x)＝－(x－a2)2＋a42的图像的对称轴为 x＝a2， 应分2a<－1，－1≤a2≤1，a2>1，即 a<－2，－2≤a≤2 和 a>2 三种 情形讨论．
(1)当 a<－2 时，由下图(1)可知 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(－ 1)＝－1－a＝－(a＋1)；
∴b2＝a2＋c2，∴B＝π2，∵C＝π3，∴A＝π6. 综上所述，A＝π2或 A＝π6.
【对点练 7】 (2014·安徽)设△ABC 的内角 A，B，C 所对边 的长分别是 a，b，c，且 b＝3，c＝1，△ABC 的面积为 2，求 cosA 与 a 的值．
【答题模板】 根据已知条件用三角形面积公式求出 sinA， 再利用同角三角函数关系式求出 cosA，利用余弦定理求 a.
【答题模板】 函数 f(x)存在单调递减区间，就是不等式 f′(x)≤0 有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题 就是要求 f′(x)≤0 在(0，＋∞)上有实数解．
【解析】 由题知，f′(x)＝1x－ax－2＝－ax2＋x2x－1，因为 函数 f(x)存在单调递减区间，所以 f′(x)＝－ax2＋x2x－1≤0 有 解．又因为函数的定义域为(0，＋∞)，则应有 ax2＋2x－1≥0 在 (0，＋∞)上有实数解．
(2)f(x)＝|3x－1|＋ax＋3＝3a＋ －a3xx＋ ＋24， ，xx≥ <3113，， 函数 f(x)有最小值的充要条件为aa＋ －33≥ ≤00， ， 即－3≤a≤3.
类型四 数列中的分类讨论
【典例 6】 (2015·湖南长沙月考)已知数列{an}是公比不为 1 的等比数列，a1＝1，且 a1，a3，a2 成等差数列．
2019年高考数学(文科,广西)大二轮复习课件：第1部分 第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想(共
二、转化与化归思想
突破训练2若关于x的不等式(a-2)x2+2(a-2)·x-4<0对一切x∈R恒 成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.[-2,2]
C.(-2,2] D.(-∞,-2)
答案 C
解析 当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,满足题意,所以a=2;
当a-2≠0,则a满足
当 a≤0 时,f'(x)≤0 恒成立,函数 f(x)在 R 上单调,不可能有两个
零点;当 a>0 时,令 f'(x)=0,得 x=ln1������,函数在
-∞,ln
1 ������
内单调递减,在
ln1������,+∞ 内单调递增,
所以 f(x)的最小值为 f
ln
1 ������
=1-ln1������-2a=1+ln a-2a.
1.转化与化归思想的含义 转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采 用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方 法. 2.转化与化归的原则 (1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原 则;(5)等价性原则. 3.常见的转化与化归的方法 (1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6) 类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法.
的最大值为
.
答案 16
解析 (法一)∵函数 f(x)的图象关于直线 x=-2 对称, ∴f(-1)=f(-3),f(1)=f(-5),
即 0 = -8(9-3������ + ������), 解得 ������ = 8, 0 = -24(25-5������ + ������), ������ = 15.
推荐-备战2019高考数学(理科)大二轮复习课件第一部分 思想方法研析指导 三
数形结合在解析几何中的应用
【思考】 数形结合思想在解析几何中有哪些方面的应用?
例4已知函数y=f(x)(x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)),在其图象上任取一点
P(x,y)都满足方程x2-4y2=4.
关闭
由函①数函的数图y=象f(是x)一双定曲具线有的奇一偶部性分;,易知①②不成立.③④可转化为双
曲线②的函渐数近y=线f(的x)在斜(率-∞问,-2题)内,③是④单都调满函足数条; 件.正确的是③④.
考情分析
-4-
高考命题聚焦 思想方法诠释
2.数形结合思想在解题中的应用 (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围、研究方程根 的范围、研究量与量之间的大小关系. (2)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明 不等式. (3)构建立体几何模型研究代数问题. (4)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (5)构建方程模型,求根的个数.
������ ≥ ������-1,
关闭
画������出≥可1行-������,域则(如p是图q所的示( ),可)知命题 q 中不等式组表示的平面区域
△���A���B≤C1在, 命题 p 中不等式表示的圆盘内,即 p q,q⇒p,所以 p 是 q 的
必A要.必不要充不分充条分件条.故件选 A.
B.充分不必要条件
2
2
-∞,
1 2
关闭
解析 答案
高频考点
-11-
关闭
∵命题2热������2点+一2������ <2命-a题x⇔热点x二2+ax命+题2b热<点0三,依题命题意热点x2四+ax+2b<0 只有唯一的整数
高考专题--- 分类讨论思想备战2019年高考数学二轮复习热点---精校解析Word版
高考专题16 分类讨论思想专题点拨(1)分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．分类讨论思想的特点是：①分类讨论思想具有明显的逻辑特点；②分类讨论问题一般覆盖的知识点较多，有利于考查知识掌握的熟练程度和解决问题的能力；③解答分类讨论问题需要一定的分析技巧和分析问题的能力；④分类讨论思想在生活、工作实践中应用广泛，与高等数学紧密相关．(2)与分类讨论有关的知识点是：①由数学概念引起的分类讨论：a．绝对值的意义：|a|分a≥0和a＜0两种情况讨论可以去掉绝对值号；b．直线的斜率：分为存在和不存在两种情形；c．指数函数与对数函数的底数a分为0＜a＜1和a＞1两种情形；d．多项式ax2＋bx＋c分为a≠0(二次函数)和a＝0(不是二次函数)两种情形；e．三角函数：按角所在的不同的区域进行分类，如按象限分类；f．平面向量的有关概念，如共线分为同向和反向；g．等比数列的公比q：例如q分为q＝1和q≠1.②由数学运算引起的讨论：a．分母不为0；b ．开偶次方根时，被开方式为非负值；c ．不等式性质：两边乘以或除以一个正数或一个负数的不同；d ．各类函数的定义域，如正切函数的定义域．(1)若对一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】 (1)当m ＝0时，f (x )＝－1＜0恒成立， 当m ≠0时，若f (x )＜0恒成立， 则⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0， 解得－4＜m ＜0，综上所述，实数m 的取值范围为(－4，0]． (2)要x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立， 即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0，x ∈[1，3]恒成立．令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0，x ∈[1，3]．当m ＞0时，g (x )是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0， 解得m ＜67，所以0＜m ＜67.当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )是减函数．所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，解得m ＜6. 所以m ＜0.综上所述，实数m 的取值范围为(－∞，67)．五、由图形引起的分类讨论【例6】已知方程mx2＋2y2＝m＋1(m∈R)，对于不同范围的m值，请分别指出方程所表示的图形．【解析】要对m＝0和m＝－1的情况进行讨论；当m≠0且m≠－1时，方程变形为x2m＋1 m ＋y2m＋12＝1，由m＋12＝m＋1m得m＝2，这样－1，0，2把数轴分成四个区间，所以要分多种情况讨论．(1)当m＝0时，方程为2y2＝1，y＝±22，图形为两条平行直线；(2)当m＝－1时，方程为－x2＋2y2＝0，即y＝±22x，图形为两条相交直线；(3)当m≠0且m≠－1时，方程化为x2m＋1m＋y2m＋12＝1.①m＜－1时，m＋1m＞0，m＋12＜0，图形为焦点在x轴上的双曲线；②当－1＜m＜0时，m＋1m＜0，m＋12＞0，图形为焦点在y轴上的双曲线；③当0＜m＜2时，0＜m＋12＜m＋1m，图形为焦点在x轴上的椭圆；④当m＝2时，方程为x2＋y2＝32，图形为圆心在原点，半径为62的圆；⑤当m＞2时，0＜m＋1m＜m＋12，图形为焦点在y轴上的椭圆．六、由排列组合引起的分类讨论【例7】如图所示，一个地区有5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，若有4种颜色可供选用，则不同的着色方法共有多少种？巩固训练1．已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为________．【答案】0或1或－1【解析】 M ∩N ＝N ⇔N ⊆M .当a ＝0时，N ＝∅，符合要求，当a ≠0时，只要a ＝1a，即a ＝±1.2．若a 是非零实数，则a 2＋2a 的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】 当a >0时，a 2＋2a ≥2a 2·2a＝2，当且仅当a ＝2时等号成立；当a <0时，a 2＋2a ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＝－2，当且仅当a ＝－2时等号成立．3．若直线l 过点(1, 2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为______________．【答案】y ＝2x 或x ＋y －3＝0【解析】 ①当截距为零时，即过原点(0，0)，∴直线方程为y ＝2x ；②当截距不为零时，设直线方程为x a ＋y a＝1，将点(1, 2)代入可得a ＝3，∴直线方程为x ＋y －3＝0.4．已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的__________条件．【答案】充分非必要条件5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5、S 4、S 6成等差数列，则数列{a n }的公比q 的值等于____________． 【答案】－2【解析】 根据题意，S 5、S 4、S 6成等差数列，则2S 4＝S 5＋S 6成等差数列， ①当q ＝1时，S n ＝na 1， 则S 5＝5a 1，S 4＝4a 1，S 6＝6a 1，S 5、S 4、S 6成等差数列不成立，故舍去；②当q ≠1时，有2a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1－q 5）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ，变形可得：2a 5＋a 6＝0，∴a 5(2＋q )＝0，解得q ＝－2.6．已知a ∈R ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x －a ＋a 在区间上的最大值是5，则a 的取值范围是____________．【答案】(－∞，92]【解析】 x ∈[1，4]，x ＋4x∈[4，5]，分类讨论：①当a ≥5时，f (x )＝a －x －4x ＋a ＝2a －x －4x ，函数的最大值2a －4＝5，∴a ＝92，舍去；②当a ≤4时，f (x )＝x ＋4x －a ＋a ＝x ＋4x≤5，此时命题成立；③当4<a <5时，[f (x )]max ＝max{||4－a ＋a ，||5－a ＋a }，则：⎩⎪⎨⎪⎧||4－a ＋a ≥||5－a ＋a ||4－a ＋a ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧||4－a ＋a <||5－a ＋a ||5－a ＋a ＝5，解得：a ＝92或a <92，综上可得，实数a 的取值范围是(－∞，92]．故填(－∞，92]．二、选择题7．若函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ). A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【解析】 f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos2x 2＋b sin x ＋c ＝－cos2x2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos2x 2＋c ＋12，此时周期是π；当b ≠0时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B.8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x ，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x2＋a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ).A. 47[,2]16-B. 4739[,]1616-C. [-D. 39[]16-【答案】A【解析】不等式f (x )≥|x 2＋a |可化为－f (x )≤x2＋a ≤f (x )(*)， 当x ≤1时，(*)式即－x 2＋x －3≤x 2＋a ≤x 2－x ＋3，即－x 2＋x 2－3≤a ≤x 2－32x ＋3，又－x 2＋x2－3＝－(x －14)2－4716≤－4716(当x ＝14时取等号)，x 2－32x ＋3＝(x －34)2＋3916≥3916(当x ＝34时取等号)，所以－4716≤a ≤3916， 当x >1时，(*)式为－x －2x ≤x 2＋a ≤x ＋2x ，－32x －2x ≤a ≤x 2＋2x .又－32x －2x ＝－(32x ＋2x )≤－23(当x ＝233时取等号)，x 2＋2x≥2x 2×2x＝2(当x ＝2时取等号)，所以－23≤a ≤2.综上，－4716≤a ≤2.故选A.三、解答题9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．10.已知无穷数列{a n}，满足a n＋2＝|a n＋1－a n|，n∈N*；(1)若a1＝1，a2＝2，求数列前10项和；(2)若a1＝1，a2＝x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；(3)求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1.【解析】(1)数列{a n}满足a n＋2＝|a n＋1－a n|，n∈N*；a1＝1，a2＝2，则a3＝1，a4＝1，a5＝0，a6＝1，a7＝1，a8＝0，a9＝a10＝1.∴数列前10项和S10＝1＋2＋6＝9.(2)当x＝1时，数列{a n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…所以在前2017项中恰好含有672项为0；当x＝2时，数列{a n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x＝3时，数列{a n}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x＝4时，数列{a n}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…所以在前2017项中恰好含有670项为0；当x＝5时，数列{a n}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0，…所以在前2017项中恰好含有670项为0；…由上面可以得到当x＝1144或x＝1145时，在前2017项中恰好含有100项为0；同理可得，当x＝－1141或x＝－1140时，在前2017项中恰好含有100项为0；(3)证明：假设数列{a n}中不存在a k(k∈N*)，使得0≤a k＜1，则a k＜0或a k≥1(k ＝1，2，3，…)．由无穷数列{a n}，满足a n＋2＝|a n＋1－a n|，n∈N*，可得a k≥1，由于无穷数列{a n}，对于给定的a1，a2，总可以相减后得到0，故假设不成立．在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1.。
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1 思想方法训练2 分类讨论思想 一、能力突破训练
1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,2) B.(-∞,4) C.[2,4] D.(2,+∞)
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是( ) A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2 3.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则p,q的大小关系是( ) A.p=q B.pC.p>q D.当a>1时,p>q;当04.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为( ) A. B.
C. D. 5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=λ,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 6.若x>0,且x≠1,则函数y=lg x+logx10的值域为 ( ) A.R B.[2,+∞) C.(-∞,-2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 7.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m等于( ) A.6 B.7 C.8 D.10 8.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为( ) A.30° B.60° C.30°或60° D.45°或60° 9.已知函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是 .
10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为 . 11.已知函数f(x)=2asin2x-2asin xcos x+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值. 2
12.设a>0,函数f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x). (1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程; (2)求函数f(x)的极值.
二、思维提升训练 13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为( ) A.3x+4y+15=0 B.x=-3或y=- C.x=-3 D.x=-3或3x+4y+15=0
14.已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)( )
A.(-1,0] B. C.(-1,0]∪ D. 15.已知a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小. 16.已知函数f(x)=aln x+x2(a为实数). (1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值; (2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
17.设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A. (1)求f'(x); (2)求A; 3
(3)证明|f'(x)|≤2A. 4
思想方法训练2 分类讨论思想 一、能力突破训练
1.B 解析 当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B. 2.B 解析 在△ABC中,由余弦定理得cos A=,则A= 又b=a,由正弦定理,得sin B=sin A=,则B=或B= 当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立; 当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B. 3.C 解析 当0∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q. 当a>1时,y=ax和y=logax在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1, ∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q. 综上可得p>q.
4.C 解析 焦点在x轴上时,,此时离心率e=;焦点在y轴上时,,此时离心率e=,故选C. 5.C 解析 不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-
1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.
6.D 解析 当x>1时,y=lg x+logx10=lg x+2=2;当0=--2=-2. 故函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 7.C 解析 ∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而
2,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去). ∵a2+a5=2aM,∴a2(1+q3-2qm-2)=0,1+q3-2qm-2=0,∴qm-2=,∴m=8. 8.C 解析 球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,
三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA与
平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.
9 解析 当a>1时,y=ax在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0递减,故a-a2=,得a=故a=或a=
10.4 解析 f(x)=g(x)= (1)当0
解得x=或x=e(舍去). 所以此时方程只有1个实根 (2)当1
设h(x)=ln x+2-x2,则h'(x)=-2x= 5
因为1即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减. 因为h(1)=ln 1+2-12=1,h(2)=ln 2+2-22=ln 2-2,所以h(x)∈(ln 2-2,1). 又ln 2-2<-1,故当1(3)当x≥2时,方程可化为|ln x+x2-6|=1. 记函数p(x)=ln x+x2-6,显然p(x)在区间[2,+∞)上单调递增. 故p(x)≥p(2)=ln 2+22-6=ln 2-2<-1. 又p(3)=ln 3+32-6=ln 3+3>1, 所以方程|p(x)|=1有2个解,即方程|ln x+x2-6|=1有2个解. 综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.
11.解 f(x)=a(1-cos 2x)-asin 2x+a+b
=-2asin+2a+b. ∵x,∴2x+,
∴-sin1. 因此,由f(x)的值域为[-5,1],
可得 或 解得 12.解 (1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+ 因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,
所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0, 此时f(2)=2-2=0, 故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.
(2)f'(x)=x-(a+1)+ ①当00,函数f(x)单调递增;
若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,
函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+aln a,极小值是f(1)=- ②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函
数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值. ③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极
小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+aln a. 综上,当0当a=1时,f(x)无极值;当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+aln a. 二、思维提升训练 6
13.D 解析 若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的
距离为,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0. 14.C 解析 因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a
表示直线y=ax的斜率.当a>0,x>1时,y'=设切点为(x0,y0),k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e2,k=,所以切线l1的斜率为设过原点与y=x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a的取值范围是当a<0时,设过原点与点(1,-1)的直线为l3,其斜率为-1,则在l3的位置以O为中心逆时针旋转一直转
到水平位置都符合题意,此时实数a的取值范围是(-1,0].综上所述,实数a的取值范围是(-
1,0],故选C.
15.2-2 解析 当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;
当0在区间(a,1]上递增,且f,f(1)=1-a, -(1-a)=(a2+4a-4),
∴当0当2-2≤a<1时,1-a; 当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax在区间上递增,在区间上递减, 当x=时,f(x)取得最大值f; 当a≥2时,f(x)=-x2+ax在区间[0,1]上递增, 当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.
则g(a)=在区间(-∞,2-2)上递减,在区间[2-2,+∞)上递增,
即当a=2-2时,g(a)有最小值.
16.解 (1)f(x)=aln x+x2的定义域为(0,+∞),f'(x)= +2x= 当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2]. 若a≥-2,则f'(x)在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0), 故f(x)在区间[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;