家教专用初中数学
北师大版九年级上册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)
新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习菱形（基础）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ），∴∠CBO=∠CDO=50°．【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下：∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形．∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2∵ DF ∥BC ，∴ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3．∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．【变式】如图所示，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ．(1)求证：DE ∥BF ；(2)若∠G ＝90°，求证四边形DEBF 是菱形．【答案】证明：(1)ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD∵ E 、F 分别为AB 、CD 的中点∴ DF ＝12DC ，BE ＝12AB ∴ DF ∥BE ．DF ＝BE∴ 四边形DEBF 为平行四边形∴ DE ∥BF(2)证明：∵ AG ∥BD∴ ∠G ＝∠DBC ＝90°∴ △DBC 为直角三角形又∵ F 为边CD 的中点．∴ BF ＝12DC ＝DF 又∵ 四边形DEBF 为平行四边形∴ 四边形DEBF 是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m ，宽0.2m 的矩形瓷砖，E 、F 、G 、H 分别为矩形四边BC 、CD 、DA 、AB 的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m ，宽2.8m 的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m ，宽2.8m ，矩形瓷砖长0.3m ，宽0.2m ，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形2．（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )A.1B. 2C. 2D. 3二.填空题7．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为.9. 已知菱形ABCD两对角线AC ＝ 8cm, BD ＝ 6cm, 则菱形的高为________.10.（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE 的最小值是3，求AB的值．14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．15（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C 作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；2.【答案】D【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．3.【答案】D；【解析】BC＝2EF＝4，周长等于4BC＝16.4.【答案】B；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD是菱形，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角形，故可得△ABC的周长=3AB=15．5.【答案】C；【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝12∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝100°，∵CB∥AD，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°－100°＝80°．6.【答案】D；【解析】∠DAF＝∠FAO＝∠OAE＝30°，所以2BE＝CE＝AE，3BE＝3，BC＝3.二.填空题7.【答案】【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为=8．【答案】1：；【解析】如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB==（cm），∴BD=2OB=2cm，∴AC：BD=1：．9.【答案】245cm；【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯=，则高为245cm.10.【答案】.【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE ⊥BC ， ∴OE •BC=OB •OC ，∴OE==． 故答案为． 11.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB 中利用勾股定理求出OB ＝12，BD ＝2OB ＝24，DE ＝2OC ＝10，BE ＝2BC ＝26，△BDE 的周长为60．12.【答案】（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝x ，AD ＝8－x ，()22284x x =-+，解得5x =，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C 点坐标为（3,4）.三.解答题13.【解析】解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°；∵菱形ABCD 中， AB ＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ；DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3；设AE ＝x ，AD ＝2x ，DE ==1x =，AB ＝22x =.14.【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边， ∵E 为AB 的中点，∴DE＝12AB ＝BE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点， ∴DF＝12DC ，BE ＝12AB ， ∴DF＝BE ，DF∥BE，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形．15.【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习矩形（基础）【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、（2016•济宁一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【答案与解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE（1分）∵E是AD的中点，∴AE=DE．（2分）∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．（3分）∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；（4分）（2）四边形AFBD是矩形，（5分）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，（6分）∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）∴四边形AFBD是矩形．【总结升华】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD∵D为BC的中点，∴CD＝BD∴CD∥AE，CD＝AE∴四边形ADCE是平行四边形∵AB＝AC∴AC＝DE∴平行四边形ADCE是矩形.3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC ，AD 平分∠BAC，BC ＝8，∴AD⊥BC，CD ＝BD ＝12BC ＝4， ∵点E 为AC 的中点，∴DE＝CE ＝12AC ＝5， ∴△CDE 的周长＝CD ＋DE ＋CE ＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，P 是平行四边形ABCD 外一点，且∠APC ＝∠BPD ＝90°．求证：平行四边形ABCD 是矩形．【答案】解：连接OP ．∵ 四边形ABCD 是平行四边形．∴ AO ＝CO ，BO ＝DO ，∵ ∠APC ＝∠BPD ＝90°，∴ OP ＝12AC ，OP ＝12BD ， ∴ AC ＝BD ．∴ 四边形ABCD 是矩形．新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1．（2015春•宜兴市校级期中）下列说法中正确的是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm ，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm ，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm 4．（2016•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三角形是否都为直角6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A. B. C.4 D.二.填空题7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．9. （2016•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．10.（2015•重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED=90°，AD=10，则AB的长为．11.如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______.12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是______.三.解答题13.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.14.如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.15.（2015•通州区一模）已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG．求证：四边形ECGD是矩形．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴B不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D正确；2.【答案】B；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.3.【答案】B ；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm 和8cm ，则周长为28cm .4.【答案】C ．【解析】过点D 作DE ∥a ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a ∥b ，∴DE ∥a ∥b ，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C ．5.【答案】D ；6.【答案】A ；【解析】先证△ADF ≌△BEF ，则DF 为△ABC 中位线，再证明四边形BCDE 是矩形，BE ，可求面积.二.填空题7．【答案】5，53；【解析】可证△AOB 为等边三角形，AB ＝AO ＝CO ＝BO.8．【解析】由勾股定理算得斜边AB CD ＝12AB 9.【答案】15.【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BE ，AC=BD ，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE ，又∵BD=CE ，∴CE=CA ，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．10.【答案】5；【解析】∵矩形ABCD中，E是BC的中点，∴AB=CD，BE=CE，∠B=∠C=90°，可证得△ABE≌△DCE（SAS），∴AE=DE，∵∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠BAE=90°﹣∠DAE=45°，∴∠BEA=∠BAE=45°，∴AB=BE=AD=×10=5．11.【答案】3；【解析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，DC＝AB，证△ADC≌△CBA，推出△ABC的面积是3，求出AC×AE＝6，即可求出阴影部分的面积．12.【答案】12；【解析】推出四边形FCGE是矩形，得出FC＝EG，FE＝CG，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG ＝∠B，推出EG＝BG，同理AF＝EF，求出矩形CFEG的周长是CF＋EF＋EG＋CG＝AC＋BC，代入求出即可．三.解答题13.【解析】解：由矩形的性质可知OD＝OC.又由OE∶BE＝1∶3可知E是OD的中点.又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC＝CD，即OC＝CD＝OD，即△OCD是等边三角形，故∠CDB＝60°.所以∠ADB＝30°.又因为CD＝2OF＝8，即BD＝2OD＝2CD＝16.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DC＝AB.∴∠DAE＝∠AFB.∵DE＝DC，∴DE＝AB.∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠ABF＝90°.∴△ABF≌△DEA.15.【解析】证明：∵CF=BC，∴C点是BF中点，∵点G是DF中点，∴CG是△DBF中位线，∴CG∥BD，CG=，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DE=，∴∠DEC=90°，CG=DE，∵CG∥BD，∴四边形ECGD是矩形．新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2016•台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【思路点拨】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【答案】C．【解析】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C ．【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D 的度数是解决问题的关键．举一反三：【变式1】已知：如图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，F 是CD 边上一点，且 CE ＝CF ，连接DE ，BF ．求证：DE ＝BF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90°∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°【答案】B ；提示：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD ，∠BAF=45°，∵△ADE 是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE ，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE ， ∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B．2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2AD=∴A F∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，1【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AO C交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AO C多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．。
北师大版七年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)
北师大版七年级下册数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+． 【答案与解析】 解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）； （3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）． 【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-． （2）原式22122151()p p p p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【答案与解析】 解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -． 【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【答案与解析】解：（1）2()m a 2ma=．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a -2(3)62m ma a --==． 【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、（2016春•湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x+2y 的值．【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案． 【答案与解析】 解：∵a x =3，a y =2， ∴a x+2y =a x ×a 2y =3×22=12．【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键． 举一反三：【变式1】已知2ax =，3bx =．求32a bx+的值．【答案】 解：32323232()()238972a b a b a b x x x x x +===⨯=⨯=． 【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n.类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-． 【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=． 【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555． 【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】 一.选择题1.（2015•杭州模拟）计算的x 3×x 2结果是（ ） A ．x 6 B ．6xC ． x 5D ． 5x2．2nn a a+⋅的值是( )．A. 3n a + B. ()2n n a + C. 22n a+D. 8a3．（2016•淮安）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．（ab ）2=a 2b 2C ．（a 2）3=a 5D ．a 2+a 2=a 44．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310 B. 1000×1010＝3010 C. 100×310＝510 D. 100×1000＝4105．下列计算正确的是( )． A.()33xy xy =B.()222455xyx y -=- C.()22439xx -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b=成立，则( )． A. m ＝6，n ＝12 B. m ＝3，n ＝12 C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题 7.（2016•大庆）若a m =2，a n =8，则a m+n = ．8. 若()319x aa a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35na=，那么6n a =______． 10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______． 11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210na =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13.（2015春•莱芜校级期中）计算：（﹣x ）3•x 2n ﹣1+x 2n •（﹣x ）2．14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-； （2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335nn x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n ma b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】解：原式=x 3+2=x 5，故选C ． 2. 【答案】C ； 【解析】2222nn n n n a a a a ++++⋅==.3. 【答案】B ；【解析】解：A 、a 2•a 3=a 2+3=a 5，故本选项错误；B 、（ab ）2=a 2b 2，故本选项正确；C 、（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项错误；D 、a 2+a 2=2a 2，故本选项错误．故选B ．4. 【答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xyx y -=；()22439x x -=.6. 【答案】C ； 【解析】()333915288,39,315m n m n a b a b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5.二.填空题7. 【答案】16；【解析】解：∵a m =2，a n =8，∴a m+n =a m •a n =16，故答案为：16. 8. 【答案】6；【解析】3119,3119,6x a a x x +=+==. 9. 【答案】25； 【解析】()2632525nn aa ===.10.【答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==. 11.【答案】64；9n -；103-； 12.【答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n nn n a a a a --=-=-=.三.解答题 13.【解析】解：（﹣x ）3•x 2n ﹣1+x 2n •（﹣x ）2 =﹣x 2n+2+x 2n+2 =0． 14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x x x ⋅-⋅-=-⋅⋅=-；（2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+；（3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--；（5）()()236331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-.15.【解析】 解：（1）∵3335nn x x x +⋅= ∴ 4335n xx +=∴4n ＋3＝35 ∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n ma b ba b ⋅⋅=∴ 333333915nmnm a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15 ∴n ＝3且m ＝4北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习同底数幂的除法【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 3．掌握科学记数法． 【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nnaa -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0n a a -≠是na 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】 解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a a a --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=-（3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知32m=，34n=，求129m n+-的值．【答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======． 当32m =，34n=时，原式224239464⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m，3n 的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】（2015春•苏州）已知以ma =2，na =4，ka =32．则32m n ka +-的值为 ．【答案】解：3ma=32=8，2n a =24=16，32m n k a +-=3m a •2n a ÷k a =8×16÷32=4，故答案为：4．类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】计算：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m=，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________．【答案与解析】 解： ∵ 331133273m-===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-．∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122nn -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ． 举一反三：【变式】计算：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；【答案】解：（1）原式424626b a b c a c--==．（2）原式8236981212888b b c b c b cc---=⨯==． 类型三、科学记数法6、（2014秋•福州）观察下列计算过程：（1）∵33÷53=332231333=⨯，33÷53=353-=23-，∴23-=（2）当a≠0时，∵2a ÷7a =27a a=225a a a ⨯=51a ，2a ÷7a =27a -=5a -，5a -=51a ,由此可归纳出规律是：pa -=1p a（a≠0，P 为正整数）请运用上述规律解决下列问题： （1）填空：103-= ；259x x x ⨯÷= ．（2）用科学记数法：3×410-= ．（写成小数形式）（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法10na ⨯的形式是： ． 【答案与解析】 解：（1）103-=1013； 259x x x ⨯÷ =259x +-=221x x -=； （2）3×410-=0.0003， （3）0.00000002=2×810-．【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na ⨯，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1. （2015•桂林）下列计算正确的是（ ）A ．()25a=10a B ．16x ÷4x =4x C ．22a +23a =46a D ．3b •3b =32b2.下列计算中正确的是( )．A.212a a xx x ++÷=B.()()6322xy xy x y ÷= C.()12529x x x x ÷÷=D.()42332n nn n x xx x +÷= 3．近似数0.33万表示为（ ）A ．3.3×210-B ．3.3000×310C ．3.3×310D ．0.33×410 4．020122012(1)(0.125)8π-+⨯的结果是（ ）A ．3B ．23-C ．2D ．05.．将201)3(,)2(,)61(---这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．21)3()61()2(-<<-- B ．201)3()2()61(-<-<-C ．12)61()2()3(-<-<- D ．12)61()3()2(-<-<-6.下列各式中正确的有（ ）①21()9;3-=②224-=-；③01a =；④()111--=；⑤()2336-=．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个二.填空题7. =-+-01)π()21(______，()011 3.142--++＝______．8. ()()532aa -÷-=__________,201079273÷÷=__________,02139⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.9． ()3223a b-＝______，()22a b---＝______．10．一种细菌的半径为0.0004m ，用科学记数法表示为______m .11．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．12（2015春•江西）若m a =-2, na =-12-，则23m na -= ． 三.解答题13．（2015春•吉州）已知2x=3，2y=5．求：（1）2x y+的值；（2）32x的值； （3）212x y +-的值．14．用小数表示下列各数：（1）8.5×310-（2）2.25×810-（3）9.03×510-15. 先化简，后求值：()()23424211212a b a b a b ----⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭，其中23a b ==-，.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ； 【解析】A 、()25a=10a ，正确； B 、16x ÷4x =12x ，错误；C 、22a +23a =25a ，错误；D 、3b •3b =6b b 3•b 3=b 6，错误；故选A.2. 【答案】C ； 【解析】21a a xx x ++÷=；()()6333xy xy x y ÷= ；()4235n n n n x x x x ÷= .3. 【答案】C ；【解析】0.33万＝3300＝3.3×310. 4. 【答案】C ；【解析】2012020*******(1)(0.125)8181128π⎛⎫-+⨯=+⨯=+= ⎪⎝⎭.5. 【答案】A ； 【解析】1021()6,(2)1,(3)96-=-=-=，所以210)3()61()2(-<<--.6. 【答案】D ；【解析】只有①正确；2124-=；()010a a =≠；()111--=-；()239-=. 二.填空题 7. 【答案】3；12； 【解析】()01111 3.1421122--++=-++=. 8. 【答案】7;27;10a ；【解析】201074030739273333327÷÷=÷÷==.9.【答案】6627a b ；42a b【解析】()632266627327a a ba b b --==；()422422a a b a b b----==.10.【答案】4410-⨯； 11.【答案】113.8410⨯；12.【答案】-32； 【解析】解：()224mm a a ,==()3318n n a a ==-，23m n a -=4=﹣32.三.解答题 13.【解析】 解：（1）2x y+=2x•2y=3×5=15；（2）32x=()32x =33=27；（3）212x y +-=()22x •2y÷2=23×5÷2=．14.【解析】解：（1）8.5×310-＝0.0085 （2）2.25×810-＝0.0000000225（3）9.03×510-＝0.0000903 15.【解析】 解：原式4863482323444a ba b a b a b a b ------=-÷=-=-当23a b ==-，时，原式23412(3)27=-=-.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习整式的乘法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即()m a b c ma mb mc ++=++. 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘1、计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅-⎪⎝⎭； （3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算． 【答案与解析】解： （1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭22132()()3a a a b b b c ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 442a b c =-．（2）121(2)(3)2n nx y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭121(2)(3)()()2n n x x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦413n n x y z ++=-．（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅- 232216()()3m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅- 22321(6)()()[()()]3m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣⎦3352()m n x y =--．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）． 【答案】解：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3） =2m 5n 4．类型二、单项式与多项式相乘2、 计算：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭；（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；【答案与解析】 解：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭212114(2)23223ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 232221233a b a b ab =-+-．（2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222213(6)(6)()(6)32xy xy y xy x xy ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭23432296x y xy x y =-+．（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭42332444235a b a b a b =--+．【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和． 举一反三：【变式1】224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．【答案】解：原式2224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-．【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数． 【答案】解：()()2121n n n n +--＝222223n n n n n +-+=因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）(32)(45)a b a b +-； （2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【答案与解析】 解：（1）(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--．（2）2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-．（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-222222a ab b a ab b =----+2ab =-．（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-322(5105)(2715)x x x x x =++---32251052715x x x x x =++-++ 32581215x x x =+++．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．4、（2016春•长春校级期末）若（x+a ）（x+2）=x 2﹣5x+b ，则a+b 的值是多少？ 【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a 、b 的值，计算即可． 【答案与解析】解：（x+a ）（x+2）=x 2+（a+2）x+2a ， 则a+2=﹣5，2a=b ， 解得，a=﹣7，b=﹣14， 则a+b=﹣21．【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 举一反三：【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解． 【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解． 解：22912689(6)x x x x x -+->+-，229689954x x x x -->+-， 229699854x x x x --->-， 1546x ->-，4615x <．∴ x 取非负整数为0，1，2，3．北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1．下列算式中正确的是( )． A.326326a a a⋅=B.358248x x x ⋅= C.44339x x x ⋅=D.77145510y y y ⋅= 2．（2016•毕节市）下列运算正确的是（ ） A ．﹣2（a+b ）=﹣2a+2b B ．（a 2）3=a 5C ．a 3+4a=a 3D ．3a 2•2a 3=6a 53．（2014秋•白云区期末）下列计算正确的是（ ）A ．x （x 2﹣x ﹣1）=x 3﹣x ﹣1B ．ab （a+b ）=a 2+b 2C ．3x （x 2﹣2x ﹣1）=3x 3﹣6x 2﹣3xD ．﹣2x （x 2﹣x ﹣1）=﹣2x 3﹣2x 2+2x 4．已知()()221323x x x mx +-=--，那么m 的值为( )． A.－2B.2C.－5D.55. 要使()23254x x a x b x x ++-=++成立，则a ，b 的值分别是( )．A. 22a b =-=-，B. 22a b ==，C. 22a b ==-，D. 22a b =-=，6．设M ＝()()37x x --，N ＝()()28x x --，则M 与N 的关系为( )． A.M ＜N B.M ＞N C.M ＝N D.不能确定 二.填空题7. 已知三角形的底边为(62)a b -，高是(26)b a -+，则三角形的面积是_________. 8. 计算：①()()23x x ++＝________；②()()37x x ++＝______；③()()710x x +-＝_______；④()()56x x --＝______．9.（2016•瑶海区一模）计算：x 2y （2x+4y ）= ．10. ()()()_______x y z y x z z x y ---+-=. 11.（2015•江都市模拟）若化简（ax+3y ）（x ﹣y ）的结果中不含xy 项，则a 的值为 ． 12. 若2xy =，3x y +=，则()()11x y ++＝____________.三.解答题13.（2015春•邳州市期末）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b ）（a+b ）=a 2+3ab+2b 2． （1）由图2，可得等式： ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a 2+b 2+c 2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a 2+5ab+2b 2=（2a+b ）（a+2b ）；（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b 的正方形，5 张边长分别为a 、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．14. 解下列各方程．（1）222(1)(32)22y y y y y y +--+=- （2）25(3)4(6)(4)0x x x x x x +--++-+= 15. 化简求值：（1）11112323x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中4x =-．（2）22323(21)(342)x x x x x x x -+--+，其中1x =-．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】B ；【解析】325326a a a ⋅=；45339x x x ⋅=；77145525y y y ⋅=. 2. 【答案】D ；【解析】A 、原式=﹣2a ﹣2b ，错误；B 、原式=a 6，错误；C 、原式不能合并，错误；D 、原式=6a 5，正确.3. 【答案】C ；【解析】解：A 、x （x 2﹣x ﹣1）=x 3﹣x 2﹣x ，故此选项错误；B 、ab （a+b ）=a 2b+ab 2，故此选项错误；C 、3x （x 2﹣2x ﹣1）=3x 3﹣6x 2﹣3x ，故此选项正确；D 、﹣2x （x 2﹣x ﹣1）=﹣2x 3+2x 2+2x ，故此选项错误；故选：C ．4. 【答案】D ；【解析】()()2221325323x x x x x mx +-=--=--，所以5m =. 5. 【答案】C ；【解析】由题意3524a b +=-=，，所以22a b ==-，.6. 【答案】B ；【解析】M ＝21021x x -+，N ＝21016x x -+，所以M ＞N. 二.填空题7. 【答案】2212182-++ab a b ；8. 【答案】222256;1021;370;1130x x x x x x x x ++++---+. 9. 【答案】x 3y+2x 2y 2；10.【答案】0；【解析】原式＝0xy xz xy yz xz yz --++-=. 11.【答案】3；【解析】解：（ax+3y ）（x ﹣y ）=ax 2+（3﹣a ）xy ﹣3y 2， 含xy 的项系数是3﹣a ，∵展开式中不含xy 的项， ∴3﹣a=0， 解得a=3． 故答案为：3．12.【答案】6；【解析】原式＝12316xy x y +++=++=. 三.解答题 13.【解析】解：（1）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ； （2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2﹣2（ab+ac+bc ）=121﹣76=45； （3）如图所示：（4）根据题意得：2a 2+5ab+3b 2=（2a+3b ）（a+b ）， 则较长的一边为2a+3b ． 14.【解析】解：（1）2222223222y y y y y y +-++=-．42y =-，12y =-． （2）222551524440x x x x x x +----+=．1515x -=， 1x =-．15.【解析】解：（1）原式2111111111111222332334669x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅+⋅+-=-+- ⎪⎝⎭ 21149x =-． 当4x =-时，原式21118(4)434999=⨯--=-=．（2）原式4324324326333423x x x x x x x x x =-+-+-=++当1x =-时，原式4323(1)(1)(1)3113=⨯-+-+-=-+=．北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++； (3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-； (5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()22a ＝2294b a -．(3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()23b ＝2249a b -．(4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()23b ＝2249a b -．(5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()22a ＝2294b a -．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：【变式】计算：（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．【答案】解：（1）原式2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式222(2)4x x =--=-．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-． 2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1-＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002-＝10000－4＝9996． 【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三： 【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算： （1）1232﹣124×122 （2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ） 【答案】解：（1）1232﹣124×122 =1232﹣（123+1）（123﹣1） =1232﹣（1232﹣1） =1232﹣1232+1 =1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ） =（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2） =（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2） =（4a 2）2﹣（b 2）2 =16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算：(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()223x y --．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) ()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++．(2) ()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+．(3) ()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+ ．(4) ()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22a b a b --=+之间的转化．4、（2015春•吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ． （2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．【答案与解析】解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ； （2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2；方法②：（m+n ）2﹣4mn ；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2﹣4mn ； （4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2﹣4ab ，∵a+b=7，ab=5， ∴（a ﹣b ）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值： (1) 22a ab b -+；(2) 2()a b -．【答案与解析】解：(1)∵ 22a ab b -+＝22a b +－ab ＝()2a b +－3ab ＝27－3×12＝13．(2)∵ ()2a b -＝()2a b +－4ab ＝27－4×12＝1.【总结升华】由乘方公式常见的变形：①()2a b +－()2a b -＝4ab ；②22a b +＝()2a b +－2ab ＝()2a b -＋2ab ．解答本题关键是不求出,a b 的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值． 举一反三：【变式】已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值．【答案】解：由2()7a b +=，得2227a ab b ++=； ①由2()4a b -=，得2224a ab b -+=． ② ①＋②得222()11a b +=，∴ 22112a b +=． ①－②得43ab =，∴ 34ab =． 北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A.))((n m n m +--B.()()3333x yx y -+ C.))((b a b a --- D.()()2222cd d c -+2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )． A.11 B.15 C.30 D.603．下列计算正确的是( )． A.()()55m m -+＝225m -B. ()()1313m m -+＝213m -C.()()24343916n n n ---+=-+D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n -4．下列多项式不是完全平方式的是( )． A.244x x -- B.m m ++241C.2296a ab b ++D.24129t t ++5．（2015春•重庆校级期中）已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（ ） A ．10 B ．±10 C ．﹣20 D ．±20 6．下列等式不能恒成立的是( )．A.()222396x y x xy y -=-+B.()()22a b c c a b +-=--C.22241)21(n m n m n m +-=- D.()()()2244x y x y x y x y -+-=-二.填空题7．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______． 8. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______． 9. 若x y +＝3，xy ＝1，则22x y +＝_______.10.（2015春•陕西校级期末）（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）= ． 11. ()25(2)(2)21x x x -+--=___________.12.若()212x -=，则代数式225x x -+的值为________.三.解答题13.（2015春•兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）． （1）69×71； （2）992．14.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a ，其中3=a ．15.已知：2225,7x y x y +=+=，且,x y >求x y -的值. 【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】A ；【解析】A 中m 和m -符号相反，n 和n -符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2. 【答案】C ；【解析】()()22x y x y x y -=+-＝6×5＝30.3. 【答案】C ；【解析】()()55m m -+＝225m -；()()1313m m -+＝219m -；(2ab n -)(2ab n +)＝2224a b n -.4. 【答案】A ；【解析】2211()42m m m ++=+；22296(3)a ab b a b ++=+；224129(23)t t t ++=+. 5. 【答案】D ；【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式， ∴﹣m =±20，即m=±20． 故选：D ．6. 【答案】D ；【解析】()()()()22222x y x y x yxy-+-=-.二.填空题7. 【答案】±4；【解析】222216244x ax x x ++=±⨯+，所以4a =±. 8. 【答案】12xy -；【解析】2294x y +＝()23212x y xy +-. 9. 【答案】7；【解析】()2222x y x y xy +=++，22927x y +=-=.10.【答案】1﹣x 8；【解析】解：（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）=（1﹣x 2）（1+x 2）（1+x 4） =（1﹣x 4）（1+x 4） =1﹣x 8， 故答案为：1﹣x 811.【答案】2421x x +-；【解析】()()()22225(2)(2)2154441421x x x x x x x x -+--=---+=+-.12.【答案】6；【解析】因为()212x -=，所以2221,256x x x x -=-+=.三.解答题 13.【解析】 解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899； （2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801． 14.【解析】解：223(1)5(1)(1)2(1)a a a a +-+-+-()()()22232151221210a a a a a a =++--+-+=+当3,=231016a =⨯+=时原式.15.【解析】解：∵()2222x y x y xy +=++，且2225,7x y x y +=+=∴27252xy =+，∴12xy =，∵()2222252121x y x y xy -=+-=-⨯=∴1x y -=±∵,x y >即0x y -> ∴1x y -=.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习整式的除法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式除以单项式的计算．2. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、计算：（1）342222(4)(2)x y x y ÷；（2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭；（3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-；（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++． 【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算． 【答案与解析】解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=． （2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭。
初中数学家教教案模板
1. 知识与技能目标：- 学生能够掌握本节课的核心知识点。
- 学生能够运用所学知识解决实际问题。
2. 过程与方法目标：- 通过小组讨论、合作学习等方式，培养学生的团队协作能力。
- 通过实际问题解决，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：- 培养学生对数学的兴趣和热爱。
- 增强学生的自信心，培养积极向上的学习态度。
二、教学内容（根据具体课程内容进行调整）1. 课题：[具体课题，如《一元二次方程》]2. 学科：数学3. 适用年级：[具体年级，如八年级]4. 教学时间：[具体时间，如1课时]三、教学重点与难点1. 教学重点：- [具体知识点，如一元二次方程的定义、解法]- [具体知识点，如一元二次方程的应用]2. 教学难点：- [具体难点，如一元二次方程的判别式]- [具体难点，如一元二次方程的实际应用问题]1. 导入新课- 复习上一节课的知识点，引导学生回顾相关概念。
- 通过生活中的实例引入本节课的主题。
2. 新课讲授- 讲解一元二次方程的定义、解法等核心知识点。
- 结合例题，讲解一元二次方程的解题步骤和技巧。
- 鼓励学生提问，及时解答学生的疑惑。
3. 小组讨论与合作学习- 将学生分成小组，讨论一元二次方程的实际应用问题。
- 小组内互相交流，共同解决问题。
4. 练习巩固- 布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
- 对学生的练习情况进行个别辅导，帮助学生解决困难。
5. 课堂小结- 总结本节课的学习内容，强调重点和难点。
- 鼓励学生在课后复习，巩固所学知识。
6. 作业布置- 布置适量的课后作业，巩固所学知识。
- 作业内容应包括基础题和应用题，以提高学生的综合能力。
五、教学反思1. 教学效果评估：- 观察学生在课堂上的参与度，了解学生对知识的掌握程度。
- 收集学生的课后作业，评估学生的学习效果。
2. 教学改进措施：- 根据学生的反馈，调整教学方法和策略。
- 丰富教学内容，提高学生的学习兴趣。
一对一辅导方案初中数学
一对一辅导方案初中数学一、了解学生需求和水平在开始一对一辅导之前，辅导老师应该先了解学生的数学水平、学习习惯以及学习目标。
通过与学生的交流，可以更好地制定适合学生个性化的辅导计划。
二、系统复习基础知识首先，辅导老师应该进行基础知识的系统复习。
这包括对数学公式、概念和重要定理的讲解和演练。
通过帮助学生巩固基础知识，可以为后续学习打下坚实的基础。
三、强化数学思维能力数学思维能力是解决数学问题的关键所在。
辅导老师应该通过培养学生的逻辑思维和数学思维方式，帮助他们理解问题、分析问题和解决问题的方法。
这包括培养学生的推理能力、创造力和问题解决能力。
四、针对性解决学生困难在辅导的过程中，老师要通过与学生的交流和观察，及时发现学生在数学学习中的困惑和难点。
针对性地解决这些问题，可以帮助学生更好地理解和掌握知识点。
辅导老师可以通过示范和演练等方式，帮助学生解决困难，提升他们的学习能力。
五、注重实际应用和数学思考数学知识的应用是数学学习的重要目标之一、辅导老师应该引导学生将数学知识应用于实际问题的解决中，提高他们的应用能力。
同时，辅导老师还应该帮助学生培养数学思考的习惯，鼓励他们思考问题的方法和解决问题的思路。
六、定期组织测试和评估辅导过程中，老师应该定期组织测试和评估，对学生的学习情况进行监测和分析。
根据评估结果，老师可以调整辅导计划和教学方法，帮助学生克服困难，提高学习效果。
七、鼓励学生自主学习和探究通过以上的一对一辅导方案，我们可以帮助初中生提高数学水平，并且更好地应对数学学习中的挑战。
希望这个方案能够对您有所帮助！。
北师大版九年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(提高版)(家教、补习、复习用)
北师大版九年级下册数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， ，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0． 要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°B C a b c45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c =，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==122-．(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+63；Ca bc(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====． 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD＝AB＝5a，由3sin5BCAAB==得BC＝3a，∴22(5)(3)4AC a a a=-=，∴CD＝5a-4a＝a，22(3)10BD a a a=+=，∴10 sadA5BDAD==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—巩固练习【巩固练习】一、选择题1. （2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．2.（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( )A．25°B．55°C．65°D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A．12B．34C3D．45第4题第5题5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )A．5714B．35C．217D．21146．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( ) A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为( )A．303cm B．203cm C．103cm D．53cm第7题第8题8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD 的值为( )A．53B．253C．52D．23二、填空题9．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20°(2)tan18°________tan21°11．在△ABC中，若223sin cos022A B⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为.12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．第12题第15题14．如果方程2430x x-+=的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为112y x=-，则tanA的值是________．16.（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．三、解答题17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．18. 计算下列各式的值．(1) （2015•普陀区一模）；(2) （2015•常州模拟）sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3) （2015•奉贤区一模）﹣cos60°．19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．(参考数据：3sin60=°，3cos30=°，3tan30=°．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C.【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD ⊥BC ， ∴sinB=，sinB=sin ∠DAC=，综上，只有C 不正确 故选：C ． 2.【答案】D ；【解析】如图：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=，∴△ABC 为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D ．3. 【答案】C ；【解析】由互余角的三角函数关系，cos sin(90)αα=-°，∴ sin25°-sin(90°-α)， 即90°-α＝25°，∴ α＝65°．4.【答案】C ；【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，根据已知可以得到OC ＝5，CD ＝10，∴ 2210553OD =-=，∵ ∠OBC ＝∠ODC ， ∴ 533cos OB cos 102OD C ODC CD ∠=∠===．5.【答案】D ；【解析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°， 又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD ＝3， ∴ BD ＝BA+AD ＝5，在Rt △BCD 中，222827BC BD CD =+==，∴ 321sin 1427CD B BC ===．6.【答案】D ；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7.【答案】C ；【解析】由3tan 3BC BAC AC ∠==，∴ 333010333BC AC ==⨯=8. 【答案】A ； 【解析】 ∵ 223AB AC BC =+=，∴ 5sin sin 3AC ACD B AB ∠=∠==二、填空题 9.【答案】．【解析】过点A 作AB ⊥x 轴于B ， ∵点A （3，t ）在第一象限， ∴AB=t ，OB=3， 又∵tanα===，∴t=． 故答案为：．10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．11．【答案】105°；【解析】∵ 223sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴ 2sin 02A -=3cos 0B = 即2sin A =3cos B =．又∵ ∠A 、∠B 均为锐角，∴ ∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴ ∠C ＝105°． 12．5【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH ．垂足为H ，则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得224225AC +=，∴5sin 525CH A AC ===13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P既可以在边CD 上，也可以在CD 的延长线上，当P 在边CD 上时，tan 2BC BPC PC ∠==；当P 在CD 延长线上时，2tan 3BC BPC PC ∠==．14．【答案】13或24； 【解析】由2430x x -+=得11x =，23x =，①当3为直角边时，最小角A 的正切值为1tan 3A =；②当3为斜边时，另一直角边为223122-=，∴ 最小角A 的正切值为12tan 422A ==. 故应填13或24．15．【答案】13；【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA ＝45°，易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：2y x =+，联立2112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩可求A 点的坐标为(-6，-4)， ∴ 2262AB AD BD =+=，又OC ＝OB ＝2，∴ BC ＝22．在Rt △ABC 中，221tan 362BC A AB ===．16.【答案】 ； 【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得.三、解答题17.【答案与解析】过D作DE∥AC，交BC于点E．∵AD＝BD，∴CE＝EB，∴AC＝2DE．又∵DC⊥AC，DE∥AC，∴DC⊥DE，即∠CDE＝90°．又∵∠BCD＝30°，∴EC＝2DE，DC＝3DE．设DE＝k，则CD＝3k，AC＝2k．在Rt△ACD中，227AD AC CD k=+=．∴227sin77AC kCDAAD k∠===，321cos77CD kCDAAD k∠===．223tan33AC kCDACD k∠===．18.【答案与解析】解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3．(2) 原式=×+1﹣2×=1+1﹣1=1．(3) 原式=﹣×=﹣231-19.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC∴∠DAF＝∠AEB又∵AE＝BC，∴AE＝AD又∵∠B=∠DFA＝90°，∴△EAB≌△ADF．∴AB＝DF．(2)解：在Rt△ABE中，22221068BE AE AB--=∵△EAB≌△ADF，∴DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，∴EF＝AE-AF＝10-8＝2．∴21 tan63EFEDFDF∠===．20.【答案与解析】(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．∵BD是直径，∴BD＝4，∠DCB＝90°．在Rt△DBC中，233 sin42BCBDCBD∠===，∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°．(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中点．连结AB，AC，则AB＝AC，∠BAE12=∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵BE3=BAE＝30°，∴33tan303BEAE===°，∴1233332ABCS=⨯=△答：△ABC面积的最大值是33北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值．举一反三：【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•c osC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△A BC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•A D=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵CD＝10，∴AC＝12CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝52，CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝53 2，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴5553(31)222AB AE BE=+=+=+≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，4sin5A=，则tan B＝( )．A．43B．34C．35D．452．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB 于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A ．B ．C ．D ．3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )． A ．53米 B ．10米 C ．15米 D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点， 则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12 B ．22C ．32D ．1第3题 第4题 第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h α B ．tan h α C ．cos h αD ．sin h α 6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ， 若3cos 5BDC ∠=，则BD 的长是( )． A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距( )． A ．30海里 B ．40海里 C ．50海里 D ．60海里第6题 第7题 第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在N 的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A ．2003mB ．20033m C ．1003m D ．100m 二、填空题9．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD 中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE 的值是 ．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为3即AB:BC＝3，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. （2016•包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）17．（2015•资阳）北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】如图，sin A＝45BCAB=，设BC＝4x．则AB＝5x．根据勾股定理可得AC＝223AC AB BC x=-=，∴33 tan44AC xBBC x===．2.【答案】B．【解析】如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt △AEM 中，cos ∠EAD===；3.【答案】A ；【解析】由tan BCi A BC===1:3知，353AC BC ==(米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==， 设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】 连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里． 8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=，2003PM =． 二、填空题 9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5，∴AE=5﹣2=3， ∴DE==4，∴tan∠DB E===2．故答案为：2．10．【答案】32； 【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ．∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，3sin 602AG AF ==°．11．【答案】40403+；【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝2 402402⨯=．在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt△CDE中，3tan tan603DE DECE xDCE===∠°．在Rt△ABC中，∵13ABBC=，AB＝2，∴23BC=．在Rt△AFD中，DF＝DE-EF＝x-2．∴23(2) tan tan30DF xAF xDAF-===-∠°∵AF＝BE＝BC+CE．∴33(2)233x x-=+，解得6x=．答：树DE的高度为6米．16.【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．17.【答案与解析】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x 米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．A．2 B3C2D．12．如图所示，△ABC中，AC＝5，2cos B=，3sin5C=，则△ABC的面积是( )A．212B．12 C．14 D．213．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC B''，则tan B'的值为( )A．12B．13C．14D．24第2题图第3题图第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路l的距离为( )．A．25米B．253米C．10033米D．25253+米5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )．A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度13i=:，则坡角α为( )．A．15°B．20°C．30°D．45°第5题图第6题图第7题图7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A．4 m B．6 m C．42m D．(223)m+8．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，若AC、BD的延长线交于点E，5 11CD AB =，则cos CEB∠= ；tan CEB∠= ．10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为；CD的长为.A BCDEO第9题图 第10题图 第11题图11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为__ ______．13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .第15题图16. （2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sinα•cosβ+c osα•sinβ；sin （α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是 ．三、解答题17．如图所示，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是AE 的中点，OM 交AC 于点D ， ∠BOE ＝60°，cos C ＝12，BC ＝23 (1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求MD 的长度．18. （2015•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．。
初一数学(家教必选)
1.1 正数和负数学习目标：1. 理解什么是相反意义的量2. 知道什么是正数，什么是负数3. 学会用正负数表示相反意义的量1、小学学过的数除了0以外都是正数。
2、正数前面添上一个“-”的数都是负数3 、0既不是负数也不是正数，0除了表示“一个也没有”之外还表示特定的意义，如0℃，并且还表示正数和负数的分界，是唯一的中性数。
◆基础检测1、中，正数有＿＿＿＿＿＿＿，负数有＿＿＿＿＿＿＿。
2、如果水位升高5m时水位变化记作+5m，那么水位下降3m时水位变化记作＿＿＿m，水位不升不降时水位变化记作＿＿＿m。
3、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有＿＿＿的意义。
●拓展提高1、下列说法正确的是（）A、零是正数不是负数B、零既不是正数也不是负数C、零既是正数也是负数D、不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数2、向东行进-30米表示的意义是（）A、向东行进30米B、向东行进-30米C、向西行进30米D、向西行进-30米3、甲、乙两人同时从A地出发，如果向南走48m,记作+48m，则乙向北走32m，记为＿＿这时甲乙两人相距＿＿＿m.4、某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在＿＿℃~＿＿℃范围内保存才合适。
5、如果把一个物体向右移动5m记作移动-5m，那么这个物体又移动+5m是什么意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？6、某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分？7、某地一天中午12时的气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天0时的气温是多少？●体验中考1、零上13℃记作+13℃，零下2℃可记作（）A、2B、-2C、2℃D、-2℃2、（2009年，山东）某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A、-10℃ B、-6℃ C、6℃ D、10℃3、参考答案：基础检测：1、根据是正负数的定义。
数学家教笔试题及答案初中
数学家教笔试题及答案初中一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是正整数？A. -2B. 0C. 3D. -52. 如果\( a \)和\( b \)是相反数，那么\( a + b \)等于：A. 1B. 0C. -1D. 23. 一个数的平方根是它本身的数是：A. 1B. 0C. -1D. 24. 一个数的立方等于它本身的数有：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 下列哪个是完全平方数？A. 23B. 25C. 36D. 49二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______或______。
7. 一个数的相反数是它本身，这个数是______。
8. \( 2 \)的平方根是______。
9. 一个数的立方等于它本身，这个数是1，-1，______。
10. 完全平方数是指一个数等于另一个整数的平方，例如25是5的平方，那么36是______的平方。
三、简答题（每题5分，共15分）11. 解释什么是质数，并给出三个质数的例子。
12. 什么是有理数？请给出两个有理数的例子。
13. 什么是无理数？请给出一个无理数的例子。
四、计算题（每题10分，共20分）14. 计算下列表达式的值：\( (-3)^2 + 4 \times (-2) - 5 \)15. 解下列方程：\( 2x + 5 = 11 \)五、解答题（每题15分，共30分）16. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽增加2米，面积就增加24平方米，求原长方形的长和宽。
17. 一个数列的前三项是1, 2, 3，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求这个数列的第10项。
六、附加题（10分）18. 如果一个圆的半径增加1厘米，那么它的面积增加多少平方厘米？答案：一、选择题1. C2. B3. B4. C5. C二、填空题6. 正数，07. 08. ±√29. 010. 6三、简答题11. 质数是指大于1的自然数，且除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。
初中家教数学教案
初中家教数学教案课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解一元一次方程的概念及其应用。
2. 学会解一元一次方程的方法。
3. 能够运用一元一次方程解决实际问题。
教学内容：1. 一元一次方程的概念。
2. 一元一次方程的解法。
3. 一元一次方程的应用。
教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾小学学过的等式知识，如加减乘除等式。
2. 提问：同学们能想到哪些含有未知数的等式呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解一元一次方程的概念，引导学生理解方程的意义。
2. 通过示例，讲解一元一次方程的解法，如加减法、乘除法等。
3. 引导学生总结解一元一次方程的步骤。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置一些简单的一元一次方程，让学生独立解答。
2. 选几位同学分享自己的解题过程，让大家互相学习。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的一元一次方程的概念和解法。
2. 强调解题步骤的重要性。
第二课时：一、复习导入（5分钟）1. 复习一元一次方程的概念和解法。
2. 提问：同学们能用一元一次方程解决实际问题吗？二、新课讲解（20分钟）1. 通过示例，讲解如何运用一元一次方程解决实际问题。
2. 引导学生学会将实际问题转化为方程，并解答。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置一些实际问题，让学生运用一元一次方程解答。
2. 选几位同学分享自己的解题过程，让大家互相学习。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的一元一次方程在实际问题中的应用。
2. 强调运用方程解决实际问题时，要注意题意的理解。
教学评价：1. 课后作业：布置一些一元一次方程的题目，检验学生掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
3. 学生反馈：收集学生对课堂内容的反馈，了解学生的学习需求。
以上教案旨在帮助学生掌握一元一次方程的概念、解法及其应用，提高学生的数学解题能力。
在实际教学中，教师可根据学生的情况进行调整。
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初中数学公式汇总1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交 d＜r②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d＞r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4144弧长计算公式：L=n兀R／180145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)（还有一些，大家帮补充吧）实用工具:常用数学公式公式分类公式表达式乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h。