圆锥曲线中的离心率值学生学案
谈数学核心素养下解题教学中的一题多解——以求圆锥曲线离心率的范围为例
谈数学核心素养下解题教学中的一题多解——以求圆锥曲线离心率的范围为例发布时间：2023-03-23T16:41:31.663Z 来源：《基础教育参考》2023年2月作者：陈素文[导读] 圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点，因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，能考察考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考察数学抽象，数学建模，数学运算等数学核心素养，灵活多变，综合性强.在此以一题多解从多方面求出离心率为例，体现数学核心素养。
陈素文湖北省襄阳东风中学【摘要】圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点，因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，能考察考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考察数学抽象，数学建模，数学运算等数学核心素养，灵活多变，综合性强.在此以一题多解从多方面求出离心率为例，体现数学核心素养。
【关键词】数学解题；核心素养；一题多解；圆锥曲线中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128（2023）2-115-01例：设P为双曲线C：上的一点，分别为C的左，右焦点，若的内切圆直径为 ,则双曲线C的离心率的取值范围（）A. B. C. D.解法1：如图，不妨设点在第一象限，设的内切圆与三边长分别切与点M,N,T则有，由双曲线定义有，所以，所以点T在双曲线上，即点T为双曲线的右顶点，所以内切圆圆心横坐标为，所以的内切圆圆心坐标为，当趋向无穷大时，几乎与渐近线平行.设渐近线的倾斜角为，切线的倾斜角为，则 .因为，且，因为，由得到，解得，因为，所以所以，所以，解得，故选A.分析：题目涉及焦点三角形，我们经常运用圆锥曲线的第一定义，比如说双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为定值，然后再结合图形借助平面几何知识寻求不等关系，解法1就是利用角度之间的关系，又利用了三角恒等变换，得到a,c之间的不等式关系，体现了数形结合思想与方程思想，对学生的综合能力要求比较高.在此考察学生的数学运算，逻辑思维，直观想象。
圆锥曲线教案
圆锥曲线教案圆锥曲线教案一、教学目标：1. 理解什么是圆锥曲线，学会在笛卡尔坐标系中表示圆锥曲线。
2. 学会求解圆锥曲线的焦点、直径、离心率等相关性质。
3. 掌握对圆锥曲线进行方程变换、平移、旋转等操作的方法。
二、教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔等教学用具。
2. 学生准备笔记本、书籍等学习用具。
三、教学过程：1. 导入新知识：通过展示一张圆锥曲线的图片，询问学生对这个图形有什么了解，引导学生思考圆锥曲线的定义和性质。
2. 理论讲解：(1) 定义圆锥曲线：对圆锥在一个经过顶点的剖面研究所得到的曲线称为圆锥曲线。
(2) 表示方法：在笛卡尔坐标系中，圆锥曲线可由方程表示，例如椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
(3) 常见圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。
3. 实例演示：以椭圆为例，给出一个椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，引导学生求解椭圆的焦点、直径、离心率等相关性质。
4. 计算练习：给出多个圆锥曲线的方程，让学生进行计算练习，提高其运算能力。
5. 方程变换：介绍如何对圆锥曲线进行方程变换，包括水平方向和垂直方向的方程变换。
6. 平移与旋转：讲解如何对圆锥曲线进行平移和旋转，以及平移和旋转对方程的影响。
7. 总结归纳：对学过的内容进行总结归纳，梳理知识框架。
8. 解答疑问：解答学生对圆锥曲线相关问题的疑惑。
9. 课堂练习：布置一些课堂练习题，让学生巩固所学知识。
四、教学延伸：1. 引导学生进行实际应用：让学生寻找生活中的圆锥曲线，并分析其性质和特点。
2. 继续深入学习：对于学有余力的学生，可以探究更高级的圆锥曲线知识，如圆锥曲线的参数方程、极坐标方程等。
五、教学评价：1. 课堂练习的成绩。
2. 学生对于圆锥曲线相关问题的提问及解答情况。
3. 学生对于课堂知识的掌握和应用情况。
六、课后作业：1. 完成课堂练习题。
离心率学案 (1)
微专题：圆锥曲线离心率的求值及其范围【学习目标】（1）熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。
（2）掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略。
（3）灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想）解决问题。
【学习重、难点】重点：利用圆锥曲线自身性质、平面几何知识、常见结论等建立关于,,a b c 的关系式（等式或不等式）。
难点：平面几何知识在圆锥曲线中的应用。
【课前热身】1.已知椭圆的左焦点为1F ，有一小球A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为2.已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ， 1PF 与双曲线相交于点Q ，且12PQ QF =，则该双曲线的离心率为3.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，圆2222x y a b +=+与该双曲线相交于点P ，若21122PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为4. 已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，，以线段12F F 为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是5.已知,,P A B 是双曲线22221x y a b -=上不同的三点,且,A B 关于原点对称,若直线,PA PB 的斜率乘积34PA PB k k =,则该双曲线的离心率是 6.已知斜率为1的直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于B,D 两点，且BD 的中点为M （1,3），则双曲线的离心率为7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为F 1，F 2，若该椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝90°，则椭圆离心率的取值范围是 .8.如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2经验之谈：【类型专练】一、圆锥曲线离心率的值 1、代数法例1.（1）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆交于A,B 两点，直线l的倾斜角为60°，若2AF FB =，则椭圆的离心率为（2）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为12B B ，右顶点为A ，直线1AB 与21B F 交于点D .若1123AB B D =，则C 的离心率等于__________．（3）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、,过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B 、两点,直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ,若23ABC BCF S S ∆∆=,则椭圆的离心率为__________．2.平面几何性质应用 例 2.（1）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，两渐近线上分别有A,B 两点，AB OB ⊥，//AF x BF OA ⊥轴，，则双曲线离心率为 （曹人仁提供）（2）已知F 为双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线作垂线，垂足为A ,交另一条渐近线于点B 。
求离心率——学案
一、例题精讲题型一 求离心率的值1. 定义法：对于求解离心率的值这类问题来说， 根据圆锥曲线离心率 e =2ca ， 可以直接求解出 a 和 c .【例1】在 Rt ΔABC 中， A = 90°， AB =AC = 1， 如果一个椭圆过 A ， B 两点， 它的一个焦点为 C ， 另一个焦点在 AB 上， 则椭圆的离心率为【例2】已知1F 、2F 是椭圆22x k ++21y k +=1的左右焦点，弦AB 过F 1，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为2. 方程法：从高考题型来看， 有两类问题， 一类是根据条件直接列出关于 a ， b ， c 的方程， 即直接法;另一类是要根据条件设出与之相关的曲线方程， 再进一步得到关于 a ， b ， c 的方程， 即间接法.（1）直接法：设出相关未知量 → 根据条件列出关于 a ，b ，c 的方程 →化简并求解方程 → 得到离心率【例3】)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为 F 1， F 2 . P 是准线上一点， 且PF 1⊥PF 2， | PF 1 | | PF 2 | =4ab ， 求双曲线的离心率.当堂训练：1. 双曲线12222=-by a x 的左顶点和右焦点分别是A 、F ，点B 的坐标是（0，b ），若,90︒=∠ABF 则双曲线的离心率是________2. 设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰过点F ，则双曲线的离心率为_________3. 已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A 、B ，这条准线的相应焦点为F ，如果△ABF 是等边三角形，则双曲线的离心率为 _________（2）间接法设出相关未知量→设出相关曲线方程联立→化简→求解出圆锥曲线上的相关点坐标圆锥曲线方程代入圆锥曲线方程，化简求出e 韦达定理得到关于a ,b,c 的方程，化简求出e【例4】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为 F ，过 F 且斜率为的直线交 C 于 A ， B 两点， 若AF = 4 FB ， 则双曲线 C 的离心率为 .反思：这道题虽然是一道填空题， 但是已经达到了一道综合题的难度. 事实上， 将 代入之后的化简过程运算量是很大的，对于绝大部分考生来说， 采用这种方法之后，很容易陷入计算的泥潭. 倘若将A ， B 坐标算出代入计算量会更大.【例5】在平面直角坐标系 xoy 中， A 1， A 2， B 1， B 2 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的 4 个顶点，F 为右焦点， 直线A 1 B 2 与直线B 1 F 相交于点T ， 线段OT 与椭圆的交点M 为线段OT 的中点， 求椭圆的离心率.3. 以平面几何特征为突破口这类问题要充分注意几何关系， 将几何关系分析清楚之后， 再找关于 e 的关系式. 如 果几何关系不能看清， 那么在实施解题策略时会带来不必要的计算上的麻烦.【例6】F 1， F 2 分别是22221(0)x y a b a b-=>>的两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心， 以 c 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点， 且2ABF ∆是等边三角形， 求双曲线的离心率.小结：要充分注意平面几何关系在解题中的作用， 若能发现问题的本质， 则可事半功倍。
圆锥曲线中的离心率的问题(含解析)
圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。
圆锥曲线离心率的求法教案
圆锥曲线离心率的求法教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题二、教学内容1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题四、教学方法1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度五、教学过程1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识教案首页：圆锥曲线离心率的求法教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解圆锥曲线的概念及性质2. 掌握圆锥曲线离心率的定义和求法3. 能够运用离心率公式解决实际问题教学内容：1. 圆锥曲线的概念及性质2. 圆锥曲线离心率的定义3. 离心率的求法4. 离心率在实际问题中的应用教学重点与难点：1. 圆锥曲线离心率的定义和求法2. 运用离心率公式解决实际问题教学方法：1. 讲授法：讲解圆锥曲线的概念及性质，离心率的定义和求法2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生思考，提高学生参与度教学过程：1. 导入：回顾椭圆、双曲线、抛物线的概念及性质2. 新课导入：介绍圆锥曲线的概念及性质3. 讲解离心率的定义：引导学生理解离心率的概念，公式4. 讲解离心率的求法：通过实例演示离心率的求法5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用离心率公式解决实际问题6. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对圆锥曲线概念及性质的理解程度，以及对离心率定义和求法的掌握情况。
圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)
分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐
2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等 关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2
人教版数学高二年级《离心率在解题中的应用》教学设计[1]
![人教版数学高二年级《离心率在解题中的应用》教学设计[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/77e7e6d376eeaeaad1f3301f.png)
离心率在解题中的应用离心率是圆锥曲线中的一个基本量，它可以用来统一定义圆锥曲线，解析几何中的许多习题都跟它有直接联系．对于某些习题，若能将题设中的有关条件跟离心率巧妙地联系起来，常常会起到简化解题过程、迅速求解的功效．一、轨迹方程或曲线类型问题例１ 方程143)1(22--=+-y x yx 对应的点Ｐ（x ,y ）表示的轨迹为（ ）Ａ．抛物线 Ｂ．双曲线 Ｃ．椭圆 Ｄ．两条直线分析：如果按一般方法：两边平方后再化简方程进行判断，不但计算较繁杂，右边还会出现xy 这样的二次项．由于现行的教材中没有坐标轴旋转的内容，因而用这样的方法学生很难得到正确的结论．但如果把方程变形为51435)1(22--⋅=+-y x yx ，左端就是Ｐ（x ,y ）到Ｍ（１，０）的距离，右端显然是Ｐ（x ,y ）到直线0143:=--y x l 的距离，上式即表示Ｐ（x ,y ）到Ｍ点的距离是直线l 的距离的５倍，因Ｍ不在直线l 上，根据圆锥曲线的定义，它的离心率e ＝５＞１，故选Ｂ．如用此法判别以下轨迹方程表示何种曲线就很容易了． （１）14351)1(22--=+-y x y x ；（抛物线） （２）143101)1(22--=+-y x yx ．（椭圆）例２ 以圆锥曲线焦点弦为直径的圆若与相应的准线的位置关系分别为①相交，②相切，③相离，那么此圆锥曲线一定分别是①＿＿＿，②＿＿＿，③＿＿＿．分析：判定为何种圆锥曲线的关系是求得相应条件下的离心率的范围．设圆锥曲线的焦点为Ｆ，焦点弦为ＭＮ，圆心为Ｐ，ＭM ′，ＰＰ′，ＮＮ′分别与准线l 垂直于Ｍ′，Ｐ′，Ｎ′（图１），则离心率P P PM P P MN N N M M NF MF N N NF M M MF e '='='+'+='='=2．①相交时，PM P P '，此时e ＞１，曲线为双曲线．同样可得出②抛物线，③椭圆．例３ 已知抛物线Ｃ：y ２＝４x ．若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线Ｃ的焦点Ｆ及准线l 分别重合，试求椭圆的短轴端点Ｂ与焦点Ｆ连线的中点Ｐ的轨迹方程．（图２）分析：由于可以求得焦点坐标和准线方程，因而假设Ｐ点为（x ，y ）后即可根据圆锥曲线的两个不同的定义，分别得出离心率的不同表达式，从而得到轨迹方程．解 由y ２＝４x 得焦点Ｆ（１，０），准线l ：x ＝－１．设Ｐ点为（x ，y ），因Ｐ为ＢＦ的中点，得Ｂ点为（２x －１，２y ），设椭圆中心为Ｏ′，ＢＢ′⊥l 于Ｂ′，则有,,e BFO F e B B BF ='='因此BFO F B B BF '='，得2222)2()22(112112)2()22(y x x x y x +---=+-+-，化简得1),22(24)22(222-=-=+-x yx x yx 即．又因Ｏ′在Ｆ的右方x x ⇒-⇒022 ＞１．所以Ｐ点的轨迹方程为)1(12 x x y -=．二、最值问题例４ 设Ｐ（５，－１），Ｆ为椭圆112)2(16)6(22=-+-y x 的左焦点，点Ｑ在椭圆上移动．为了使PQ QF 21+有最小值，求Ｑ点的坐标．（图３） 分析：根据题意，按两点间的距离公式列出PQ QF 21+的表达式，然后再按求最小值的常规方法求解，以确定Ｑ的坐标．这样解题过程相当繁杂，也难以求出结果．从题设知QF 即椭圆的焦半径，椭圆中PQ e c b a 又正好为而21,21,2,32,4====前面的系数，由此联想到用离心率、焦点、准线间的关系求解．解 因21,2,4====a c e c a ，左准线为2166-=-x 即x ＝－２，设Ｑ到准线的距离为QN，因此QNQF QNQF e 21,21===，显然PN PQ QN PQ QF 21)(2121≥+=+，所以只有当Ｐ，Ｑ，Ｎ三点共线，且Ｑ在Ｐ，Ｎ之间时，PQ QF 21+的值最小为PN 21，此时Ｑ点和Ｐ点的纵坐标相同．将1-=y 代入椭圆方程得x ＝４或x ＝８，而x =8时Ｑ点在Ｐ点的右侧显然不合题意，舍去，所以Ｑ点的坐标为（４，－１）．解此类题只要观察定点和曲线上的动点连结的线段前面的系数是否为该圆锥曲线的离心率，求动点坐标时只要将过定点和准线垂直的直线方程对应的坐标代入曲线方程即得另一坐标，最小值即该点到相应准线的距离的e 倍．例5 已知a b R b a 4,2=∈且．试求2222)1()1()2(ba b a T +-+-+-=的最小值．分析：由a b 42=联想到),(,42b a M x y =为抛物线上的点，2222)1()1()2(b a b a +--+-和分别是Ｍ（a ,b ）到Ａ（２，１）和Ｆ（１，０）的距离，Ｆ（１，０）又恰为抛物线y ２＝４x 的焦点．此题经过这样变换不就是例６中求MF MA +的最小值吗？因为抛物线离心率e ＝１，很容易得Ｔ最小＝３． 离心率在解题中的应用，远非以上两个方面．但从上面的例子已经可以看出，利用离心率的有关概念及性质会使某些问题的解答变得十分简捷流畅，值得我们进行研究和总结．。
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圆锥曲线的求离心率求值
例 1.椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别是AB 左右焦点分别是12,F F 若
1121,,AF F F F B 成等比数列，则此圆的离心率是？
变式：1.将等比数列换成等差数列结果如何？
2.将椭圆方程换成双曲线方程1112,,,AF F B F F 等比数列结果如何？
例2.已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线
段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线
的离心率是（）
变式：将题干中的双曲线改成椭圆其他条件不变结果如何？
例3.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
221x y a b
+=(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C
的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为？
变式: 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a
＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b
2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，
则该椭圆的离心率是________．
二、高考链接
练习1.（2011全国1）设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直l 与C 交于A 、B 两点，AB 为C 的实轴长得2倍，则C 的离心率为？
练习2.（2017课标3，理10）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，（a >b >0）的左、右顶点分
别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为？
练习3.（2017课标1，理）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为
圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.
练习4.（2013年新课标1改编）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F
的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的离心率为？
三、课堂小结：
1.建立关于a 、b 、c 的等式⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧平面几何知识坐标点代入直接求解.3.2.1（结合曲线的定义）
2.利用222c a b -=（椭圆）2
22a c b -=（双曲线）
3.解出a 、c 的齐次式，若等式；两边次数均为n,则等式两边同除n
a ，解关于e 的方程。
4.题目中有垂直的联想到以下知识
（1）1AC BC
k k =- (2)AC BC
=0
(3)2
2
2
BC AC AB += (4)C 点在以AB 为直径的圆上。