2011届高三数学下册单元测验试题7
高2011级下期半期考试数学参考答案

成都七中2008-2009学年下期 高2011级期中考试数学试卷参考答案及评分标准命题人:邱旭 审题人:魏华一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.{x|2k π+2π<x<2k π+23π,其中k ∈Z}; 14.2; 15.[-23,3]; 16.①③④.三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.解:(1)由已知,得311=+-tan αtan α,…………………………………………(2分)解得tan α=-2; …………………………………………………(4分)(2)原式=)(22cos αsin αsin ααcos αsin --…………………………………………(6分)=sin αcos αsin α+ ………………………………………………(8分)=1+tan α1……………………………………………………(10分)=21.…………………………………………………………(12分) 18.解:(1)由已知,得cosA(cosAcosB+sinAsinB)=cosB, …………………(1分)即(1-cos 2A)cosB=sinAcosAsinB, ………………………………(2分) 亦即sin 2AcosB=sinAcosAsinB.…………………………………(3分) 因为sinA>0,所以sinAcosB=cosAsinB, ………………………(4分) 于是sin(A-B)=0.…………………………………………………(5分) 又-π<A-B<π,从而A=B.故ΔABC 是等腰三角形.………………(6分) (2)在ΔABC 中,有C=π-(A+B)=π-2A,………………………………(7分) 所以tanC=tan(π-2A)=-tan2A.…………………………………(9分)由tanA=2得tan2A=Atan tanA 212-=-34.……………………………(11分)所以tanC 的值为34. ……………………………………………(12分)19.解:(1)由tan α=21,且0<α<π得:0<α<2π, …………………………(1分) 且sin α=55,cos α=552. ……………………………………(2分) 又0<β<π,所以0<α+β<23π. …………………………………(3分) 又由sin(α+β)=102-<0得: π<α+β<23π,且cos(α+β)=1027-.…………………………(4分) 故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=1027-•552102-•55=10103-.…………………………(6分) (2)由cos β=10103-<0且0<β<π得,2π<β<π,且sin β=1010. (8分)所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=552•(10103-)+55•1010=22-.…………(10分)又由0<α<2π,2π<β<π,得-π<α-β<0.…………………………(11分) 所以α-β=43π-.……………………………………………………(12分)20.解:连结BD,由已知得AD=2cos θ,BD=2sin θ(其中4π<θ<2π).………(2分)在ΔBCD 中,由弦切角定理得∠BDC=θ,又DC=AB=2,∴ΔBCD 面积为2sin 2θ; ……………………………………………(4分) 又Rt ΔABD 的面积为2sin θ•cos θ. ………………………………(5分) ∴四边形ABCD 的面积为S=2sin θ•cos θ+2sin 2θ. ………………(6分) 因为S=sin2θ+(1-cos2θ) …………………………………………(8分)=2sin(2θ-4π)+1 …………………………………………(10分)所以当θ=83π时,四边形ABCD 面积取得最大值2+1. …………(12分)21.解:(1)由已知得g(α)=cos α•sin αsin α+-11+sin α•cos αcos α+-11…………(1分)=cos α•αcos sin α22)1(-+sin α•αsin cos α22)1(- …(2分) =cos α•cos αsin α-1+sin α•sin αcos α-1 ……………(3分) 由α为第二象限角,得sin α>0,cos α<0.…………………………(4分)所以g(α)=-(1-sin α)+(1-cos α) ………………………………(5分)=sin α-cos α……………………………………………(6分)(2)由已知,得g(α)=sin α-cos α=57. ……………………………(7分)平方,得sin α•cos α=-2512.① …………………………………(8分) 又由α∈(43π,π),得sin α+cos α<0.…………………………(9分)所以sin α+cos α=-cos αsin α⋅+21=-51.② ………………(10分)又sin 3α+cos 3α=(sin α+cos α)(sin 2α-sin αcos α+cos 3α)=(sin α+cos α)(1-sin αcos α) …………(11分)结合①②,得sin 3α+cos 3α=-12537.……………………………(12分) 22.解:(1)由f(x)=cos(ωx+φ)是R 上的奇函数,得f(0)=cos φ=0.又-π≤φ≤0,所以φ=-2π.………………………………………(1分)所以f(x)=cos(ωx-2π)=sin ωx. ………………………………(2分)由y=f(x)的图象关于直线x=4π对称,且ω>0,得ω•4π=k π+2π(k ∈N),解得ω=4k+2(k ∈N). ① ………………(3分)又f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π上是单调函数,所以0≤ω•x ≤ω•6π≤2π,解得ω≤3.② ……………………………………………………(4分)由①②,得ω=2.所以f(x)=sin2x. ………………………………(5分)(2)g(x)=f(x-4π)=sin(2x-2π)=-cos2x.……………………………(6分) ①原式=2044040140401sin cos sin cos sin +++-+ =204)2020(202)2020202sin cos sin cos sin (cos sin +++ =2042020sin cos sin + …………………………………………(7分) =20202042020cos cos sin cos sin ⋅+=2040sin 220cos sin + …………………………………………(8分) =20)2060(220cos sin sin -+ …………………………………(9分)=202020320cos sin cos sin -+ =3. ………………………………………………………(10分) ②m=f(x)-g(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+4π).…………………(11分) 易知函数y=2sin(2x+4π)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,0π上单调递增,在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,8ππ上单调递减.…………………………………………………………………(12分)又当x=0时,f(x)-g(x)=1; 当x=8π时,f(x)-g(x)=2;当x=6π时,f(x)-g(x)=213+. ………………………………(13分) 故所求实数m 的取值范围是m=2或1≤m<213+.……………(14分)。
2011高三7模数学试题

2011届高三第七次模拟考试数学试题卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{12}{}aA B a b ==,,,,若1{}2A B ⋂=,则A B ⋃=( )A .1{,1,}2b B .1{1,}2- C .1{1,}2D .1{1,,1}2-2、i 是虚数单位,即21i =-,则1+16C i +226C i +336C i +446C i +556C i +666C i =( )A .8iB .8i -C .8D .1616i -+3、定义行列式运算:12142334.a a a a a a a a =-若将函数3sin ()1cos xf x x=的图象向左平移(0)m m >个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则m 的最小值是( ) A .8πB .3π C .56π D .23π 4、一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知12,F F成120 角,且12,F F 的大小分别为1和2,则有 ( )A .13,F F 成90角B .13,F F 成150角C .23,F F 成90角D .23,F F 成60角 5、已知函数32122331()lg(1),0,0,0f x x x x x x x x x x =++++>+>+>且,则123()()()f x f x f x ++的值( ) A .小于0B .大于0C .等于0D .以上都有可能6、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .33π+B .323π+C .23π+D .3π+7、已知命题:p :函数()sin cos f x x x =的最小正周期为π;q :函数()sin()2g x x π=+ 的图象关于原点对称,则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧B .p q ∨C .p ⌝D .()p q ⌝∨8、已知三条直线,,a b c 和平面β,则下列推论中正确的是( )A .若ββ//,,//a b b a 则⊂B .若a ,b 与β所成角相等,则//a bC .若,//,//a b a b a b ββ⊂,共面,则D .若b a c b c a //,,则⊥⊥9、设实数,x y 满足条件4100280,(0,0)0,0x y x y z ax by a b x y --≤⎧⎪-+≥=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12,则23a b+的最小值为 ( ) A .4B .83C .113D .25610、已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+,若()2f α=,则()12f πα+的值为( )A .3B .3±C .1D .与ϕ和α有关11、用数字2,3,5,6,7组成没有重复数字的五位数,使得每个五位数中的相邻的两个数都互质,则得到这样的五位数的概率为( ) A .25 B .720 C .310 D .1412、已知双曲线)0(222>=-a a y x 的左、右顶点分别为A 、B ,双曲线在第一象限的 图象上有一点P ,γβα=∠=∠=∠APB PBA PAB ,,,则( )A .tan tan 10αβ⋅+=B .tan tan 10βγ⋅+=C .tan tan 10αγ⋅+=D .tan tan 10αβ⋅-= 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
安徽省省级示范高中2011届高三数学下学期联考 理

安徽省2011年省级示范高中名校高三联考数 学 试 题(理)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两闰。
2.答第I 卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第II 卷时,必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,..............在试题卷、草稿纸上答题无效。
..............4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式:球的半径为R ,它的体积343V R π=,表面积24S R π=第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数32ii -+=的实部为( )A .iB .-iC .1D .-12.设集合{|2011},{|01}M x x N x x =<=<<,则下列关系中正确的是 ( ) A .MN R =B .{|01}M N x x =<<C .N N ∈D .MN φ=3.已知平面向量a ,b 满足||1,||2,a b ==a 与b 的夹角为60︒,则“m=1”是“()a mb a -⊥”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.已知抛物线22y px =上一点M (1,m )到其焦点的距离为5,则该抛物线的准线方程为( ) A .x=8B .x=-8C .x=4D .x=-45.若a 为实数,且9()ax x +的展开式中3x 的系数为94,则a=( )A .14 B .12C .2D .46.已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 的轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是143x ty t=-+⎧⎨=⎩(t 为参数),则直线l 与曲线C 相交所截的弦长为( )A .45B .85C .2D .37.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球的表面积 为 ( ) A .4π B .5πC .8πD .10π 8.函数2log ||x y x=的图象大致是 ( )9.从221x y m n-=(其中,{1,2,3}m n ∈-)所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个,则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为 ( )A .12B .47C .23D .3410.2010年,我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害,为防洪抗旱,某地区大面积种植树造林,如图,在区域{(,)|0,0}x y x y ≥≥ 内植树,第一棵树在1(0,1)A 点,第二棵树在1(1,1)B 点,第三棵 树在C 1(1,0)点,第四棵树2(2,0)C 点,接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树,那么第2011棵树所在的点的坐标是( ) A .(13,44) B .(12,44) C .(13,43) D .(14,43)第II 卷(非选择题,共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
北京市十一学校2011届高三数学周练七(理)

北京市十一学校2011届高三数学周练七(理)2010-11-9一、选填题(6954''⨯=)1.函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示,则ω =( D ) A. 41 B.21 C.4πD.2π2.已知160sin ,3log ,222===c b a ,则a ,A .c b a <<B .b c a <<C . b a c <<D . a b c <<3. 已知321,,a a a 为一等差数列,321,,b b b 为一等比数列,且这6个数都为实数,则下面四个结论中正确的是( B )①21a a <与32a a >可能同时成立; ②21b b <与32b b >可能同时成立; ③若021<+a a ,则032<+a a ; ④若021<⋅b b ,则032<⋅b b A .①③ B .②④ C .①④ D .②③ 5.若存在负实数使得方程 112-=-x a x成立,则实数a 的取值范围是( C )A .),2(+∞ B. ),0(+∞ C. )2,0( D. )1,0(6.已知角α的终边经过点)1,1(-, 则αsin 的值是____________.227. 在锐角ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知,47sin ,6,5===A c b 则==a A ______,cos __________.34,48.已知直线ex y =与函数x e x f =)(的图象相切,则切点坐标为 . ),1(e9.在矩形A B C D 中,,12== 且点F E ,分别是边CD BC ,的中点,则=⋅+AC AF AE )(_________.215二、解答题10.(15分)已知在等比数列}{n a 中,11=a ,且2a 是1a 和13-a 的等差中项. (I )求数列}{n a 的通项公式;(II )若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=,求}{n b 的前n 项和n S .解:(I )设等比数列}{n a 的公比为 q2a 是1a 和13-a 的等差中项 3312)1(2a a a a =-+=∴ 223==∴a a q )(2*111N n qa a n n n ∈==∴--(II )n n a n b +-=12)212()25()23()11(12-+-+++++++=∴n n n S)2221()]12(531[12-+++++-+++=n n21212)12(1--+⋅-+=nn n 122-+=nn11. (15分)已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.(I )若1)(=θf ,求θθcos sin ⋅的值; (II )求函数)(x f 的单调增区间. 解:(I )22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ212sin 23+=x由1)(=θf ,可得332sin =θ所以θθθ2sin 21cos sin =⋅63=(Ⅱ)当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ,即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时,)(x f 单调递增.所以,函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ12.(16分)已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且0≥x 时,x x f )21()(=.(I )求)1(-f 的值; (II )求函数)(x f 的值域A ; (III )设a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合B ,若B A ⊆,求实数a 的取值范围.解:(I ) 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数)1()1(f f =-∴又 0≥x 时,xx f )21()(=21)1(=∴f ,21)1(=-f(II )由函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,可得函数)(x f 的值域A 即为0≥x 时,)(x f 的取值范围.当0≥x 时,1)21(0≤<x故函数)(x f 的值域A =]1,0((III )a x a x x g +-+-=)1()(2 ∴定义域}0)1({2≥+-+-=a x a x x B方法一 :由0)1(2≥+-+-a x a x 得0)1(2≤---a x a x , 即 0)1)((≤+-x a x B A ⊆ ],,1[a B -=∴且1≥a ∴实数a 的取值范围是}1{≥a a 方法二:设a x a x x h ---=)1()(2B A ⊆当且仅当⎩⎨⎧≤≤0)1(0)0(h h 即⎩⎨⎧≤---≤-0)1(10a a a∴实数a 的取值范围是}1{≥a a。
2011年高考数学模拟试题及答案(七)

2011年高三备考数学“好题速递”系列一、选择题:1.设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤,则A B = ( )A .{12}x x -≤<B .1{|1}2x x -<≤C .{|2}x x <D .{|12}x x ≤<2.若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为( )A .-540B .-162C .162D .5403.已知函数[]2,1,log 2)(2∈+=x x x f ,则函数)()(2x f x f y +=的值域为 ( )A .[]5,4B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡211,4 C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡213,4 D .[]7,4 4.将1,2,…,9这9个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为 ( )A .561B .701C .3361D .4201 5.双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的两个焦点为F 1.F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线的离心率的取值范围为 (A .(1,3)B .(1,3]C .(3,+∞)D .[3,+∞)6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M .N 分别为A 1B 1和BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为(A .23B .1010C .53D .52二.填空题:7.求值=++++)240(cos )120(cos cos 222a a a 。
8.已知实如图,点P 在正方形ABCD 所在的平面外,PD ⊥ABCD ,PD=AD ,则PA 与BD所成角的度数为 .三、解答题:9.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且3π,sin 4C A ==. (1)求sin B 的值;(2)若5c a -=ABC ∆的面积.10.设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =kn 2+n ,n ∈N *,其中k 是常数.(1)求a 1及a n ;(2)若对于任意的m ∈N *,a m ,a 2m ,a 4m 成等比数列,求k 的值.11.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,4PA AD ==,2AB =.以AC 的中点O 为球心.AC 为直径的球面交PD 于点M ,交PC 于点N . (1)求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值; (2)求点N 到平面ACM 的距离.参考答案一、选择题 1.【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识.基本运算的考查. ∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤,∴ {12}A B x x =-≤< ,故选A .2.解:若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为2n =64,6n =,则展开式的常数项为3336(C ⋅=-540,选 A .3.B 由x x x x f x f y 22222log 34log 2log 2)()(+=+++=+=,注意到为使得)()(2x f x f y +=有意义必有212≤≤x 得21≤≤x ,从而2114≤≤y . 4.解析:9个数分成三组,共有33333639A C C C 组,其中每组的三个数均成等差数列,有{(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)}.{(1,2,3),(4,6,8),(5,7,9)}.{(1,3,5),(2,4,6),(7,8,9)}.{(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)}.{(1,5,9),(2,3,4),(6,7,8)},共5组. ∴所求概率为5615785=⨯⨯.答案:A5.解析:如图,设|PF 2|=m,∠F 1PF 2=θ(0<θ≤π),当P 在右顶点处,θ=π,ac e 22==m m m m θcos 4)2(222-+=θcos 45-.∵-1<cosθ≤1,∴e ∈(1,3]. 答案:B6.解析:如图建立空间直角坐标系,把D 点视作原点O ,分别沿DA .DC .1DD 方向为x 轴.y 轴.z 轴的正方向,则A (1,0,0),M (1,21,1),C (0,1,0),N (1,1,21),∴AM=(1,21,1)-(1,0,0)=(0,21,1),CN=(1,1,21)-(0,1,0)=(1,0,21).故AM ·CN =0×1+21×0+1×21=21.又||=251)21(0222=++,|CN|=25)21(01222=++, 设α为直线AM 与CN 所成的角,∴cosα=52252521||||=∙=∙CN AM . 答案:D二、填空题7.分析:题目中“求值”二字提供了这样信息:答案为一定值,于是不妨令0=a ,得结果为23。
2011届高三数学《排列与组合》单元检测题

2010届高三数学单元检测:统计一、选择题1.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g 的概率为0.3,质量小于4.85g 的概率为0.32,那么质量在[)85.4,8.4( g )范围内的概率是( )A .0.62B .0.38C .0.02D .0.682.某产品分为甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为03.0,出现丙级品的概率为01.0,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( ) A .09.0 B .98.0 C .97.0 D .96.03.某企业有职工150人,其中高级职称15人,中级职称45人,一般职员90人,现抽取30人进行分层抽样,则各职称人数分别为( )A .5,10,15B .3,9,18C .3,10,17D .5,9,16 4.在画两个变量的散点图时,下面哪个叙述是正确的( ) (A)预报变量在x 轴上,解释变量在y 轴上 (B)解释变量在x 轴上,预报变量在y 轴上 (C)可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 (D)可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上5.一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下:[25,25.3),6;[25.3,25.6),4;[25.6,25.9),10;[25.9,26.2),8;[26.2,26.5),8;[26.5,26.8),4;则样本在[25,25.9)上的频率为( )A .203B .101C .21D .416.A .14和0.14B .0.14和14C .141和0.14 D . 31和141 7.对于两个变量之间的相关系数,下列说法中正确的是( ) A .r 越大,相关程度越大B .()0,r ∈+∞,r 越大,相关程度越小,r 越小,相关程度越大C .1r ≤且r 越接近于1,相关程度越大;r 越接近于0,相关程度越小D .以上说法都不对8.三维柱形图中柱的高度表示的是( )A .各分类变量的频数B .分类变量的百分比C .分类变量的样本数D .分类变量的具体值 9.下列关于三维柱形图和二维条形图的叙述正确的是: ( ) A .从三维柱形图可以精确地看出两个分类变量是否有关系B .从二维条形图中可以看出两个变量频数的相对大小,从三维柱形图中无法看出相对频数的大小C .从三维柱形图和二维条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D .以上说法都不对10.设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ,,已知( 1.96)0.025Φ-=,则(|| 1.96)P ξ<=A .0.025B .0.050C .0.950D .0.975二、填空题( 5 小题,每小题 5 分)11.实施简单抽样的方法有________、____________12.采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,个体 a 前两次未被抽到,第三次被抽到的概率为____________________13.为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为40的样考虑用系统抽样,则分段的间隔k 为_______________ 14.若一组观测值(x 1,y 1)(x 2,y 2)…(x n ,y n )之间满足y i =bx i +a+e i (i=1、2. …n)若e i 恒为0,则R 2为_____15.统计推断,当______时,有95 %的把握说事件A 与B 有关;当______时,认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的. 三、解答题( 6 小题,共 75 分)16.(12分)一个总体中含有4个个体,从中抽取一个容量为2的样本,说明为什么在抽取过程中每个个体被抽取的概率都相等.17.(12分)在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了124人,其中女性70人,男性54人。
湖南省长沙市一中2011届高三月考(七)数学文

湖南省长沙市一中2011届高三月考(七)2011 届 高 三 月 考(七)数 学 试 题(文)(考试范围:高考文科内容(不含优选法应用))本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数z =11+2i (i 为虚数单位)所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2.设集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12,m =sin20°,则下列关系中正确的是( )A .m ⊆AB .m ∉AC .{}m ∈AD . {}A m ⊂≠3.设命题p :∀x ∈R ,|x |≥x ;q :∃x ∈R ,1x=0.则下列判断正确的是( )A .p 假q 真B .p 真q 假C .p 真q 真D .p 假q 假4.下列函数中,既是周期为π的周期函数又是偶函数的是 ( ) A .y =10x B .y =tan x C .y =sin2x D .y =|cosx|5.某公司2005~2010年的年利润x (单位:百万元)与年广告支出y (单位:百万元)的统计资料如下表所示:( )A .利润中位数是16,x 与y 有正线性相关关系B .利润中位数是18,x 与y 有负线性相关关系C .利润中位数是17,x 与y 有正线性相关关系D .利润中位数是17,x 与y 有负线性相关关系6.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b>0)的渐近线与圆(x -3)2+y 2=3相切,则双曲线的离心率为( )A .62B . 3C .2 3D .67.设函数()221log ()x f x a x+=-在区间()0,+∞内有零点,则实数a 的取值范围是( )A .(0,+∞)B .(-∞,1]C .[1,+∞)D .[2,+∞)8.定义{},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩设实数x ,y 满足约束条件2211x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩,则{}min 2,-z x y x y =+的取值范围为( )A .[-2,12]B .[-52,-12]C .[-2,3]D .[-3,32]二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.在极坐标系中,A (1,π6)、B (2,π2)两点的距离为 .10.设平面向量a =(1,2),b =(-2,y ),若a ∥b ,则||3a +b 等于 .11.一空间几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则此几何体的体积是cm 3.12.若{a n }为等差数列,S n 是其前n 项和.且S 11=22π3,则tan a 6的值为 .13.直线l :x -y =0与椭圆x 22+y 2=1相交A 、B 两点,点C 是椭圆上的动点,则△ABC 面积最大值为 .14.直线l :x -3y =0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C (φ为参数,a >0)有两个公共点A ,B ,且||AB =2,则实数a 的值为 ;在此条件下,以直角坐标系的原点为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 .15.对于三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0),定义:设f ″(x )是函数y =f (x )的导数y =f ′(x )的导数,若方程f ″(x )=0有实数解x 0,则称点()x 0,f (x 0)为函数y =f (x )的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心;且“拐点”就是对称中心.”请你根据这一发现,求: (1)函数f (x )=x 3-3x 2+3x 对称中心为 ;(2)若函数g (x )=13x 3-12x 2+3x -512+1x -12,则g (12011)+g (22011)+g (32011)+g (42011)+…+g (20102011)= .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数f (x )=a sin x +b cos (x -π3)的图象经过点(π3,12),(7π6,0).(1)求实数a ,b 的值;(2)求函数f (x )在[0,π]上的单调递增区间.17.(本小题满分12分)如图:在矩形ABCD 中,AB =5,BC =3,沿对角线BD 把△ABD 折起,使A 移到A1点,过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ,垂足O 恰好落在CD 上. (1)求证:BC ⊥A 1D ;(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值. 18.(本小题满分12分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数;(2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率. 19.(本小题满分13分)工厂生产某种产品,次品率p 与日产量x (万件)间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x x p ,320,61,(c 为常数,且0<c <6).已知每生产1件合格产品盈利3元,每出现1件次品亏损1.5元.(1)将日盈利额y (万元)表示为日产量(万件)的函数;(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=次品数产品总数×100%)20.(本小题满分13分)已知f (x )=m x (m 为常数,m >0且m ≠1). 设f (a 1),f (a 2),…,f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2,公比为m 的等比数列. (1)求证:数列{a n }是等差数列; (2)若b n =a n ·f (a n ),且数列{b n }的前n 项和为S n ,当m =2时,求S n ; (3)若c n =f (a n )lg f (a n ),问是否存在m ,使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出m 的范围;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分13分)已知动圆G 过点F (32,0),且与直线l :x =-32相切,动圆圆心G 的轨迹为曲线E .曲线E 上的两个动点A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2).(1)求曲线E 的方程;(2)已知OA ·OB =-9(O 为坐标原点),探究直线AB 是否恒过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过,请说明理由.(3)已知线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ,其中x 1≠x 2且x 1+x 2=4.求△ABC 面积的最大值.参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1—5 DDBDC 6—8 ACD二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.在极坐标系中,A (1,π6)、B (2,π2)两点的距离为.10.设平面向量a =(1,2),b =(-2,y ),若a ∥b ,则||3a +b 等于5. 11.一空间几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则此几何体的体积是4πcm 3. 12.若{a n }为等差数列,S n 是其前n 项和.且S 11=22π3,则tan a 6的值为13.直线l :x -y =0与椭圆x 22+y 2=1相交A 、B 两点,点C 是椭圆上的动点,则△ABC 面14.直线l :x -3y =0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C (φ为参数,a >0)有两个公共点A ,B ,且||AB =2,则实数a 的值为 2 ;在此条件下,以直角坐标系的原点为极点,x 轴正方向为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 ρ2-4ρcos θ+2=0 . 15.(1)函数f (x )=x 3-3x 2+3x 对称中心为 (1,1) ;(2)若函数g (x )=13x 3-12x 2+3x -512+1x -12,则g (12011)+g (22011)+g (32011)+g (42011)+…+g (20102011)= 2010 .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解:(1)∵函数f (x )=a sin x +b cos (x -π3)的图象经过点(π3,12),(7π6,0).∴12102b a +=⎨⎪-=⎪⎩,(4分) 解得:a =3,b =-1.(5分)(2)由(1)知:f (x )=3sin x -cos (x -π3)=32sin x -12cos x =sin (x -π6).(9分)由2k π-π2≤x -π6≤2k π+π2,解得2k π-π3≤x ≤2k π+2π3k ∈Z .∵x ∈[0,π],∴x ∈[0,2π3],∴函数f (x )在[0,π]上的单调递增区间为[0,2π3].(12分)17.解:(1)因为A 1O ⊥平面BCD ,BC ⊂平面BCD ,∴BC ⊥A 1O ,因为BC ⊥CD ,A 1O ∩CD =O ,∴BC ⊥面A 1C D . 因为A 1D ⊂面A 1CD ,∴BC ⊥A 1 D .(6分)(2)连结BO ,则∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角. 因为A 1D ⊥BC ,A 1D ⊥A 1B ,A 1B ∩BC =B ,∴A 1D ⊥面A 1B C .A 1C ⊂面A 1BC ,∴A 1D ⊥A 1 C .在Rt △DA 1C 中,A 1D =3,CD =5,∴A 1C =4.根据S △A 1CD =12A 1D ·A 1C =12A 1O ·CD ,得到A 1O =125,在Rt △A 1OB 中,sin ∠A 1BO =A 1O A 1B =1255=1225.所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.(12分)18.解:(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10=0.08,(2分)由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为2,所以全班人数为20.08=25,(4分) (2)分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4;(6分) 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10=0.016.(8分)(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4,[90,100]之间的2个分数编号为5,6, 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6), (5,6)共15个,(10分)其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个, 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915=0.6.(12分)19.解:(1)当x >c 时,p =23,y =13·x ·3-23·x ·32=0;(2分)当0<x ≤c 时,p =16-x,∴y =(1-16-x )·x ·3-16-x ·x ·32=32·9x -2x26-x .(4分)∴日盈利额y (万元)与日产量x (万件)的函数关系为23(92)02(6)0 x x x c y x x c ⎧-<≤⎪=-⎨⎪>⎩.(5分)(2)由(1)知,当x >c 时,日盈利额为0. 当0<x ≤c 时,∵y =3(9x -2x 2)2(6-x ),∴y ′=32·(9-4x )(6-x )+(9x -2x 2)(6-x )2=3(x -3)(x -9)(6-x )2,令y ′=0,得x =3或x =9(舍去).∴①当0<c <3时,∵y ′>0,∴y 在区间(0,c ]上单调递增, ∴y 最大值=f (c )=3(9c -2c 2)2(6-c ),此时x =c ;②当3≤c <6时,在(0,3)上,y ′>0,在(3,c )上y ′<0, ∴y 在(0,3)上单调递增,在(3,c )上单调递减. ∴y 最大值=f (3)=92.综上,若0<c <3,则当日产量为c 万件时,日盈利额最大; 若3≤c <6,则当日产量为3万件时,日盈利额最大.(13分)20.解:(1)由题意f (a n )=m 2·m n +1,即ma n ,=m n +1.∴a n =n +1,(2分) ∴a n +1-a n =1,∴数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列.(4分)(2)由题意b n =a n f (a n )=(n +1)·m n +1,当m =2时,b n =(n +1)·2n +1∴S n =2·22+3·23+4·24+…+(n +1)·2n +1 ①(6分) ①式两端同乘以2,得2S n =2·23+3·24+4·25+…+n ·2n +1+(n +1)·2n +2 ② ②-①并整理,得S n =-2·22-23-24-25-…-2n +1+(n +1)·2n +2=-22-(22+23+24+…+2n +1)+(n +1)·2n +2=-22-22(1-2n )1-2+(n +1)·2n +2=-22+22(1-2n )+(n +1)·2n +2=2n +2·n .(9分)(3)由题意c n =f (a n )·lg f (a n )=m n +1·lg m n +1=(n +1)·m n +1·lg m ,要使c n <c n +1对一切n ∈N *成立,即(n +1)·m n +1·lg m <(n +2)·m n +2·lg m ,对一切n ∈N *成立, ①当m >1时,lg m >0,所以n +1<m (n +2)对一切n ∈N *恒成立;(11分) ②当0<m <1时,lg m <0,所以等价使得n +1n +2>m 对一切n ∈N *成立,因为n +1n +2=1-1n +2的最小值为23,所以0<m <23.综上,当0<m <23或m >1时,数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.(13分)21.解:(1)依题意,圆心G 到定点F (32,0)的距离与到直线l :x =-32的距离相等,∴曲线E 是以F (32,0)为焦点,直线l :x =-32为准线的抛物线.∴曲线E 的方程为y 2=6x .(3分)(2)当直线AB 不垂直x 轴时,设直线AB 方程为y =kx +b (k ≠0). 由26y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得ky 2-6y +6b =0,Δ=36-24kb >0. y 1y 2=6b k ,x 1x 2=y 216·y 226=(y 1y 2)236=b 2k2.OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=b 2k 2+6bk=-9,∴b 2+6kb +9k 2=0,(b +3k )2=0,b =-3k ,满足Δ>0.∴直线AB 方程为y =kx -3k ,即y =k (x -3), ∴直线AB 恒过定点(3,0).(7分)当直线AB 垂直x 轴时,可推得直线AB 方程为x =3,也过点(3,0). 综上,直线AB 恒过定点(3,0).(8分) (3)设线段AB 的中点为M (x 0,y 0),则 x 0=x 1+x 22=2,y 0=y 1+y 22,k AB =y 1-y 2x 1-x 2=y 1-y 2y 216-y 226=6y 1+y 2=3y 0. ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y -y 0=-y 03(x -2).令y =0,得x =5,故C (5,0)为定点.又直线AB 的方程为y -y 0=3y 0(x -2),与y 2=6x 联立,消去x 得y 2-2y 0y +2y 20-12=0. 由韦达定理得y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=2y 20-12. ∴|AB |=1+1k 2AB ·|y 1-y 2|=(1+y 209)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]=(1+y 209)[4y 20-4(2y 20-12)]=23(9+y 20)(12-y 20). 又点C 到直线AB 的距离为h =|CM |=9+y 20,∴S △ABC =12|AB |·h =13(9+y 20)2(12-y 20) 令t =9+y 20(t >9),则12-y 20=21-t .设f (t )=(9+y 20)2(12-y 20)=t 2(21-t )=-t 3+21t 2, 则f ′(t )=-3t 2+42t =-3t (t -14).当9<t <14时,f ′(t )>0;当t >14时,f ′(t )<0.∴f (t )在(9,14)上单调递增,在(14,+∞)上单调递减.∴当t =14时,[f (t )]max =142×7.故△ABC 面积的最大值为1437.(13分)注:第(3)问也可由AB 直线方程y =kx +b 及x 1+x 2=4,推出b =3k -2k ,然后转化为求关于k 的函数的最值问题.。
江苏省常州市四星级重点高中2011届高考冲刺数学复习单元卷:三角与解几 (详细解答)

江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—三角与解几一、填空题:(本题共10个小题,每题4分,共40分)1、已知向量a 与b 的夹角为120°,且5||,2||==,则=⋅-)2( 。
2、函数1312sin)(+-=x x x f π的零点个数为 个。
3、已知函数1()11x f x x -⎧=⎨≥⎩, , <1, 则不等式(1)(1)3x f x x +⋅+≤-的解集为 。
4、设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长,则直线sin 0x A ay c ⋅++= 与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是 。
50y +-=截圆224x y +=得的劣弧所对的圆心角是 。
6、若把函数cos y x x =+的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称,则m 的最小值为 。
7、已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.则椭圆C 的标准方程为 。
8、已知方程abx x x x b a x a x 则且的两根为,10,,01)2(21212<<<=+++++的取值范围 。
9、设曲线()1x y ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ,曲线()1xy x e -=-在点()02,B x y 处的切线为2l ,若存在0302x ≤≤,使得12l l ⊥,则实数a 的取值范围是 。
10、已知函数())2f x x π=≤≤,则()f x 的值域为 。
二、解答题:(本题共4大题,共60分)11、在平面直角坐标系中,点21(,cos )2P θ在角α的终边上,点2(sin ,1)Q θ-在角β的终边上,且12OP OQ ⋅=- . (1)求cos 2θ; (2)求sin()αβ+的值.12、设()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数, ()()f x g x 与图像关于直线1x =对称,且当[]2,3x ∈时,3()3(2)4(2)g x x x =---。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
空间向量一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
) 1.如图,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若b D A a B A ==1111,, c A A =1,则下列向量中与M B 1相等的向量是( )A .c b a ++-2121 B .c b a ++2121C .c b a +-2121D .c b a +--21212.化简(-3,4,1)·[2(5,-2,3)+3(-3,1,0)]·(2,-1,4)的结果是 ( )A .(-4,2,8)B .(2,-1,4)C .(-2,1,-4)D .(4,-2,8) 3.设OA =a ,OB =b ,OC =c ,则使A 、B 、C 三点共线的条件是 ( )A .c =a +b ,B .c =12a +13b C .c =3a -4b D .c =4a -3b 4.若点A(x 2+4,4-y ,1+2z )关于y 轴的对称点是B(-4x ,9,7-z ),则x ,y ,z 的值依次为( )A .1,-4,9B .2,-5,-8C .2,5,8D .-2,-5,85.若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°,则|OA +OB +OC |= ( )A .6B .6C .3D .36.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点,则直线ED 与D 1F 所成角的大小是( )A .51arccosB .31arccosC .3π D .6π7.设a 、b 是平面α内的两个非零向量,则n ·a =0,n ·b =0是n 为平面α的法向量的( )A .充分条件B .充要条件C .必要条件D .既非充分又非必要条件 8.已知a =(2,2,1),b =(4,5,3),而n ·a =n ·b =0,且|n |=1,则n = ( )A .(13,23,-23) B .(13,-23,23) C .(-13,23,-23)D .±(13,-23,23) 9.设A 、B 、C 、D 是空间任意四个点,令u =AD BC +,v =AB CD +,w =AC BD +,则u 、v 、w 三个向量 ( )A .互不相等B .至多有两个相等C .至少有两个相等D .有且只有两个相等10.如图,以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①0≠⋅AC BD ;②∠BAC =60°;③三棱锥D —ABC 是正三棱锥; ④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直.其中正确的是( )D CA 1B 1 A B MD 1C 1A B DC ACB DA .①②B .②③C .③④D .①④ 11.若a 、b 、c 是空间的一个基底,下列各组 ①l a 、m b 、n c (lmn ≠0); ②a +2b 、2b +3c 、3a -9c ; ③a +2b 、b +2c 、c +2a ; ④a +3b 、3b +2c 、-2a +4c中,仍能构成空间基底的是 ( ) A .①② B .②③ C .①③ D .②④12.在空间直角坐标系O —xyz 中,有一个平面多边形,它在x O y 平面的正射影的面积为8,在y O z 平面和z O x平面的正射影的面积都为6,则这个多边形的面积为 ( )A .46B .246C .34D .234二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.)13.若A(-1,2,3)、B(2,-4,1)、C(x ,-1,-3)是直角三角形的三个顶点,则x = . 14.若a =(3x ,-5,4)与b =(x ,2x ,-2)之间夹角为钝角,则x 的取值范围为 . 15.设向量a =(1,-2,2),b =(-3,x ,4),已知a 在b 上的射影是1,则x = .16.设A(1,2,-1),B(0,3,1),C(-2,1,2)是平行四边形的三个顶点,则此平行四边形的面积为 .三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应有证明过程或演算步骤) 17.(本题12分)在四面体ABCD 中,AB ⊥平面BCD ,BC=CD ,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E ,F 分别是AC ,AD 的中点。
⑴求证:平面BEF ⊥平面ABC ; ⑵求平面BEF 和平面BCD 所成的角.18.(本题12分)已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O 、O 1分别是边AC ,A 1C 1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. ⑴求正三棱柱的侧棱长.⑵若M 为BC 1的中点,试用基向量1AA 、AB 、AC 表示向量AM ; ⑶求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值..BB 1OO 1 AC yC 1A 1 xz19.(本题12分)如图,已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,底面边长AB=2,侧棱BB 1的长为4,过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ,交B 1C 于点F. ⑴求证:A 1C ⊥平面BED ;⑵求A 1B 与平面BDE 所成的角的正弦值.20.(本题12分).在60°的二面角的棱上,有A 、B 两点,线段AC 、BD 分别在二面角的两个面内,且都垂直于AB ,已知AB=4,AC=6,BD=8. ⑴求CD 的长度;⑵求CD 与平面α所成的角21.(本题12分)棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中,E 、F 分别为棱AB 、BC 上的动点,且AE=BF=x (0≤x ≤a ).以O 为原点,直线OA 、OC 、OO 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,如图. ⑴求证:A 1F ⊥C 1E ; ⑵当△BEF 的面积取得最大值时,求二面角B 1—EF —B 的大小.22.(本题14分)如图直角梯形OABC 中,∠COA =∠OAB =2π,OC =2,OA =AB =1,SO ⊥平面OABC ,SO=1,以OC 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O-xyz .⑴求SC OB α与的夹角的大小(用反三角函数表示);A B D C A 1B 1D 1 C 1EF CBAO C 1 B 1 O 1 A 1 EF yxzSz⑵设:,),,,1(求平面满足SBC n q p n ⊥= ①;n 的坐标②OA 与平面SBC 的夹角β(用反三角函数表示);③O 到平面SBC 的距离.⑶设:.),,1(填写且满足OB k SC k s r k ⊥⊥= ①的坐标为k .②异面直线SC 、OB 的距离为 .(注:⑶只要求写出答案)CBAO C 1B 1O 1 A 1EFyxz空间向量参考答案一、1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 9.D 10.B 11.C 12.D 二、13.163或-11 14.243x -<< 15.016.52三、17.解:⑴建立如图所示的空间直角坐标系,取A (0,0,a ). 由),0,0,0(),0,23,23(),0,3,0(30B a a C a D ADB 可得 =∠).2,23,0(),2,43,43(a a F a a a E所以)0,23,23(),0,0(),0,43,43(a a BC a BA a a EF ==-=因为 BC EF AB EF BC EF BA EF ⊥⊥=⋅=⋅,,0,0所以所以ABC DEF BEF EF ABC EF 平面所以平面平面又平面⊥≠⊥.,⑵作2163)0,23,0(,)0,43,43(,a S a F F BD F F a a E E BC E E F E B =''⊥'''⊥'''∆于作于EF BE EF BE a a EF a a a BE ⊥=⋅-==所以显然,0)0,43,43(),2,43,43(所以.5151015/163cos ,1615,46||.410||222=====∆a a a S a EF a BE BEF θ所以所以θ=,515arccos 即平面BEF 和平面BCD 所成的角为.515arccos18.解:⑴设正三棱柱的高为h ,由AB=2及正三棱柱的性质知B ),1,3(),,1,0(),0,1,0(),,0,3(),0,0,3(111h AB hC A h B =∴- ),,1,3(1h BC -=又0,1111=⋅∴⊥BC AB BC AB ,即,2,011)3(322==+⨯+-⨯h h 得2,0=∴>h h ,则正三棱柱的侧棱长为2.⑵连结AC 1,∵点M 是BC 1的中点.212121)(21)(2111111AC AA AB C A AA AB AC AB AM ++=++=+=∴⑶),2,1,3(),0,1,3(),10,0(),0,0,3(1=-=∴AB BC C B 又,20211)3(31-=⨯+⨯+-⨯=⋅∴BC AB 2013||,6213||=++==++=BC AB ,而,66262||||,cos 1111-=⨯-=⋅⋅>=<BC AB BC AB BC AB∴异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为.66.DCE ′BF ′ AE F yxz19.解:⑴解法(一)(1)以D 为原点,DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系0-xyz ,则D (0,0,0),A (2,0,0),C (0,2,0),B (2,2,0), A 1(2,0,4),D 1(0,0,4),C 1(0,2,4),B 1(2,2,4), 设E (0,2,t ),则∵),4,0,2(),,0,2(,11--=-=⊥C B t BE C B BE,1,04041=∴=-+=⋅∴t t C B BE404),0,2,2(),4,2,2(),1,0,2(),1,2,0(11=-+=⋅∴=--=-=∴BE C A DB C A BE E 又 且,00441=++-=⋅DB C A,11BE C A DB C A ⊥⊥∴且BDE C A BE C A DB C A 平面且⊥∴⊥⊥∴111,(2)设A 1C ∩平面BDE=K , 设A 1C ∩平面BDE=K ,),4,22,22(),,22,2(),,22,2()1,2,0()0,2,2(1-+-=∴+∴+=+=⋅+⋅=n n m m K A n n m m K n n m m n m DEn DB m DK 设0120)22(2)22(211=-+⇒=++-=⋅⇒⊥n m n m m DB K A DB K A …①同理有045404)22(211=-+⇒=-++=⋅⇒⊥n m n n m DE K A DE K A …②由①,②联立解得),310,35,35(,32,611--=∴==K A n m,52||,365||11==∴B A K A 又易知,63052635||||sin 111===∠∴B A K A BK A 即所求角的正弦值是630解法(二)(1)证明:连AC 交BD 于点O ,由正四棱柱性质可知AA 1⊥底面ABCD ,AC ⊥BD ,∴A 1C ⊥BD又∵A 1B ⊥侧面BC 1且B 1C ⊥BE , ∴A 1C ⊥BE , ∵BD ∩BE=B , ∴A 1C ⊥平面BDE (2)解:设A 1C 交平面BDE 于点K ,连BK , 则∠A 1BK 为A 1B 与平面BDE 所成的角,∵在侧面BC 1中BE ⊥B 1C ,∴△BCE ∽△B 1BC ,1,4,2,11=∴===∴CE BB BC BB BCBC CE 又 ABD CA 1B 1D 1C 1E F K yxzA 1B 1D 1 C 1连结OE ,则OE 为平面ACC 1A 1与平面DBE 的交线,122,12,2,223,126,33OEAC K Rt ECO CO AC AB OE CO EC OE CK EC CO CK ∴=∆===∴=+=⨯⋅=⋅∴==在中又3653662,62121221=-=∴=++=K A AA BC AB C A63042635sin 221111=+==∠∆∴BA KA BK A BK A Rt 中在即为A 1B 与平面BDE 所成的角的正弦值.20.解:⑴因为BD AB CA CD BD CA BD AC ++=>=<>=<又所以.120,,60, ,故有BD CA BD AB AB CA BD AB CA BD AB CA BD AB CA CD CD ⋅+⋅+⋅+++=++++==222))((||22222,因为CA ⊥AB ,BD ⊥AB ,所以.0,0=⋅=⋅BD AB AB CA 所以172||.6821862846||2222==⨯⨯⨯-++=CD CD 所以. (2)过C 作CE ⊥平面α于E ,连接AE 、CE 在△ACE 中,CE=6sin 60°=33,连接DE ,则∠CDE 就是CD 与平面α所成角。