2015高考数学一轮复习必考解答题——基础满分练2

合集下载

2015高考数学(文)基础训练2(含答案)

2015高考数学基础训练2（韶关摸底）一、选择题1．函数y = ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．复数2i i-（i 为虚数单位）等于（） A. 12i -- B. 12i -+C. 12i -D. 12i + 3．已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则（）A ．2:,210p x R x ⌝∃∈+≤B ．2:,210p x R x ⌝∀∈+≤ C ．2:,210p x R x ⌝∃∈+< D ．2:,210p x R x ⌝∀∈+< 4．圆1)3()1(22=++-y x 的一条切线方程是（）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x =D ．0y =5．不等式32x x -+＜0的解集为（） A ．{}23x x -<< B ．{}2x x <- C ．{}23x x x <->或 D ．{}3x x >6．若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是180°，且||=b b 等于( )A ．(6,3)-B ．(3,6)-C ．(6,3)-D ．(3,6)- 7．设变量x 、y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为（）.A 6 .B 7 .C 8 .D 238．一个几何体的三视图如图1所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（）A ．43πB ．πC ．23πD ．3π 9．执行图2中的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（）A ．2B ．3C ．4D ． 510．对函数()sin f x x x =，现有下列命题：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的最小正周期是2π； ③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减。

2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练2-10《导数的概念及运算》

1. [2014·山东济宁]已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2014)＋2014ln x ，则f ′(2014)＝( ) A. 2015B. －2015C. 2014D. －2014解析：f ′(x )＝x ＋2f ′(2014)＋2014x ，所以f ′(2014)＝2014＋2f ′(2014)＋20142014，即f ′(2014)＝－(2014＋1)＝－2015.答案：B2. [2014·辽宁模拟]曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为( ) A. y ＝x －2B. y ＝－3x ＋2C. y ＝2x －3D. y ＝－2x ＋1 解析：由题意得y ＝1＋2x －2，所以y ′＝－2x －2，所以所求曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为－2，故由直线的点斜式方程得所求切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.答案：D3. [2014·济南模拟]已知曲线y 1＝2－1x与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0的值为( )A. －2B. 2C. 12D. 1解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1. 答案：D4. [2013·江西高考]设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2. 答案：25. [2014·广东四校联考]已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________．解析：因为y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，所以f ′(2)＝2，f (2)＝3.由g (x )＝x 2＋f (x )得g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，所以g (2)＝22＋f (2)＝7，即点(2，g (2))为(2,7)，g′(2)＝4＋f′(2)＝6，所以g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0.答案：6x－y－5＝0。

2015届高三数学理通用版一轮复习检测试题23word版含解析

一．单项选择题。

（本部分共5道选择题）1．设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．4 解析由a >0，b >0,2a ＋3b ＝6得a 3＋b 2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )(a 3＋b 2)＝23＋32＋b a ＋ab≥136＋2 b a ·a b ＝136＋2＝256.当且仅当b a ＝a b 且2a ＋3b ＝6，即a ＝b ＝65时等号成立．即2a ＋3b 的最小值为256.答案 A2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b . ∴a ∥b ；若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立．答案 A3. 设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x +3y 的最大值为( )A. 20B.35C. 45D. 55解析画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大，最大值为55，故选D. 答案 D4．已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )． A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎪⎫1－14n .答案 C二．填空题。

（本部分共2道填空题）1．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案232．已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是________．解析方法1：将直线方程代入圆的方程得2x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝4m 2－8(m 2－2)>0得m 2<4，即－2<m <2.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－22，|OA →＋OB →|≥|AB →|即|OA →＋OB →|≥|OB →－OA →|，平方得OA →·OB →≥0，即x 1x 2＋y 1y 2≥0，即x 1x 2＋(m ＋x 1)(m ＋x 2)≥0，即2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2≥0，即2×m 2－22＋m (－m )＋m 2≥0，即m 2≥2，即m ≥2或m ≤－ 2.综合知－2<m ≤－2或2≤m <2.方法2：根据向量加减法的几何意义|OA →＋OB →|≥|AB →|等价于向量OA →，OB →的夹角为锐角或者直角，由于点A ，B 是直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m 满足1≤|m |2<2，即－2<m ≤－2或者2≤m <2.答案 (－2，－2]∪[2，2) 二．填空题。

2015高考数学一轮方法测评练：必考解答题——模板成形练

必考解答题——模板成形练(一) (对应学生用书P409)三角函数、平面向量及解三角形(建议用时：60分钟)1．在△ABC 中，cos A ＝63，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边． (1)求sin 2A ；(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B ＝－223，c ＝22，求△ABC 的面积．解 (1)因为cos A ＝63，A ∈(0，π)，∴sin A ＝33. ∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝223.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B ＝－223，得cos B ＝223，由于B ∈(0，π)，∴sin B ＝13.则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63. 由正弦定理，得a ＝c sin Asin C ＝2， ∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝223.2．设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C 2，m 与n 的夹角为π3.(1)求角C 的大小；(2)已知c ＝72，△ABC 的面积S ＝332，求a ＋b 的值．解 (1)由条件得m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C ，又m ·n ＝|m ||n |cos π3＝12，∴cos C ＝12，0＜C ＜π，因此C ＝π3. (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，得出(a ＋b )2＝1214，∴a ＋b ＝112.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2C ＝1－8b 2a 2. (1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)若tan B ＝815，求tan A 及tan C 的值．解 (1)∵cos 2C ＝1－8b 2a 2，∴sin 2C ＝4b 2a 2. ∵C 为三角形内角，∴sin C ＞0，∴sin C ＝2ba . ∵a sin A ＝b sin B ，∴b a ＝sin B sin A ∴2sin B ＝sin A sin C . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C . ∴2sin A cos C ＋2cos A sin C ＝sin A sin C . ∵sin A ·sin C ≠0，∴1tan A ＋1tan C ＝12. (2)∵1tan A ＋1tan C ＝12， ∴tan A ＝2tan Ctan C －2.∵A ＋B ＋C ＝π， ∴tan B ＝－tan(A ＋C ) ＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C＝tan 2C2tan 2C －tan C ＋2. ∴815＝tan 2C 2tan 2C －tan C ＋2整理得tan 2C －8tan C ＋16＝0 解得，tan C ＝4，tan A ＝4.4．已知向量m ＝(3sin x －cos x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，12，若f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π12＝32(C 为锐角)，2sin A ＝sin B ，求C ，a ，b 的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (x )的最小正周期为π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π12＝sin C ＝32，∵0＜C ＜π2，∴C ＝π3， ∵2sin A ＝sin B ，由正弦定理得b ＝2a .①∵c ＝3，由余弦定理，得9＝a 2＋b 2－2ab cos π3，② 解①②组成的方程组，得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2 3.∴C ＝π3，a ＝3，b ＝2 3.必考解答题——模板成形练(二) (对应学生用书P411)立体几何(建议用时：60分钟)1．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB ＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.(1)求证：BD⊥AA1；(2)若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.证明(1)在四边形ABCD中，因为BA＝BC，DA＝DC，所以BD⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，又因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中，因为AB＝AC，且E为BC中点，所以AE⊥BC，又因为在四边形ABCD中，AB＝BC＝CA＝3，DA＝DC＝1，所以∠ACB＝60°，∠ACD＝30°，所以DC⊥BC，所以AE∥DC，因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，BC⊥平面P AB，∠APB＝90°，PB＝BC，N为PC的中点．(1)若M为AB的中点，求证：MN∥平面ADP；(2)求证：平面BDN⊥平面ACP.证明(1)设AC∩BD＝G，连接NG，MG，易知G是AC，BD的中点，又N 是PC 的中点，M 为AB 的中点， ∴NG ∥P A ，MG ∥AD ，∴平面GMN ∥平面APD .又MN ⊂平面GMN ，∴MN ∥平面APD . (2)∵BC ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，∴BC ⊥P A ， ∵∠APB ＝90°，∴BP ⊥P A .∵BC ∩BP ＝B ，∴P A ⊥平面PBC ，∴BN ⊥P A . ∵PB ＝BC ，点N 为PC 的中点，∴BN ⊥PC . ∵PC ∩P A ＝P ，∴BN ⊥平面ACP .又BN ⊂平面BDN ，∴平面BDN ⊥平面ACP . 3.如图，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，E ，F 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：EF ⊥CD ；证明 (1)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .因为FG 为△PCD 的中位线，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD ，又AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以AE ∥FG ，且AE ＝FG ，故四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG . 又AG ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A⊥CD.在矩形ABCD中，AD⊥CD，又P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.因为AG⊂平面P AD，所以CD⊥AG.又EF∥AG，所以EF⊥CD.4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，连接A′C，A′B，F为A′C 的中点，A′C＝4.(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；(2)求证：FB∥平面A′DE.证明(1)由题意得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成，∴△A′DE≌△ADE.∵∠ABC＝120°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝60°.又∵AD＝AE＝2，∴△A′DE和△ADE都是等边三角形．连接A′M，MC.∵M是DE的中点，∴A′M⊥DE，A′M＝ 3.在△DMC中，MC2＝DC2＋DM2－2DC·DM·cos 60°＝42＋12－2×4×1·cos 60°，∴MC＝13.在△A′MC中，A′M2＋MC2＝(3)2＋(13)2＝42＝A′C2.∴△A′MC是直角三角形，∴A′M⊥MC.又∵A′M⊥DE，MC∩DE＝M，∴A′M⊥平面BCD.又∵A′M⊂平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面BCD.(2)取DC的中点N，连接FN，NB.∵A′C＝DC＝4，F，N分别是A′C，DC的中点，∴FN∥A′D.又∵N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，∴BN∥DE.又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N，∴平面A′DE∥平面FNB.∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A′DE.必考解答题——模板成形练(三)(对应学生用书P413)直线与圆及圆锥曲线(建议用时：60分钟)1．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C 交于M、N两点．(1)求k的取值范围：(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n表示为m的函数．解(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4，得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0(*)，由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0得k2＞3.所以k的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2＝(1＋k2)x21，|ON|2＝(1＋k2)x22，又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2得，2(1＋k2)m2＝1(1＋k2)x21＋1(1＋k2)x22，所以2m2＝1x21＋1x22＝(x1＋x2)2－2x1x2x21x22由(*)知x1＋x2＝8k1＋k2，x1x2＝121＋k2，所以m2＝365k2－3，因为点Q在直线l上，所以k＝nm，代入m2＝365k2－3可得5n2－3m2＝36，由m2＝365k2－3及k2＞3得0＜m2＜3，即m∈(－3，0)∪(0，3)．依题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n＝36＋3m25＝15m2＋1805，综上，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3)．2．已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程．解 (1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4＞23，所以轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线AB 的斜率不可能为0，而直线x ＝1也不满足条件，故可设AB 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0，所以y 1＝－m ＋23＋m 24＋m 2，y 2＝－m －23＋m 24＋m 2.S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4.由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1. 故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求．3．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4，联立⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴y 1＝8＋p ＋p 2＋16p 4，y 2＝8＋p －p 2＋6p 4由已知AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，∴可得p 2＋16p －36＝0∵p ＞0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ＞0得k ＜－4或k ＞0，x ＝2k ±2k 2＋4k .∴x B ＋x C ＝2k∴x 0＝x B ＋x C2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， ∴b ＝2(k ＋1)2，∴b ＞2.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于A ，M ，N (A 点在椭圆右顶点的右侧)，且∠NF 2F 1＝∠MF 2A .求证直线l 过定点(2,0)，并求出斜率k 的取值范围．解 (1)由题意知e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又∵b ＝21＋1＝1，∴a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝2得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 由Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＞0，得m 2＜2k 2＋1， ∵x 1＝－2km ＋4k 2－2m 2＋12k 2＋1，x 2－2km －4k 2－2m 2＋22k 2＋1则有x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.∵∠NF 2F 1＝∠MF 2A ，且∠MF 2A ≠90°，kMF 2＋kNF 2＝0. 又F 2(1,0)，则y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝0，即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋m x 2－1＝0，化简得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0.将x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1代入上式得m ＝－2k ，∴直线l 的方程为y ＝kx －2k ，即直线过定点(2,0)．将m ＝－2k 代入m 2＜2k 2＋1，得4k 2＜2k 2＋1，即k 2＜12，又∵k ≠0，∴直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，22.必考解答题——模板成形练(四) (对应学生用书P415)实际应用题(建议用时：60分钟)1．在边长为a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解 (1)设箱底边长为x ，则箱高为h ＝33×a －x2(0＜x ＜a )，箱子的容积为V (x )＝12x 2×sin 60°×h ＝18ax 2－18x 3(0＜x ＜a )．由V ′(x )＝14ax －38x 2＝0解得x 1＝0(舍)，x 2＝23a ，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a 时，V ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 时，V ′(x )＜0，所以函数V (x )在x ＝23a 处取得极大值．这个极大值就是函数V (x )的最大值：V ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝18a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2－18×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3＝154a 3. 所以当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为154a 3.2．如图，某小区有一边长为2(单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳地，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分，现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数y ＝－x 2＋2(0≤x ≤2)的图象，且点M 到边OA 距离为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23≤t ≤43.(1)当t ＝23时，求直路l 所在的直线方程；(2)当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？解 (1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，149，l ：12x ＋9y －22＝0(2)M (t ，－t 2＋2)，过切点M 的切线l ：y －(－t 2＋2)＝－2t (x －t ) 即y ＝－2tx ＋t 2＋2，令y ＝2得x ＝t 2，故切线l 与AB 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，2；令y ＝0，得x ＝t 2＋1t ，又x ＝t 2＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43递减，所以x ＝t 2＋1t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1712，116故切线l 与OC 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t ，0.∴地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 2－1t ＋2－t 2·2＝4－t －1t ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ≤2，t ＝1时取到等号，S max ＝2.3．济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k (k ＞0)．现已知相距36 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)． (1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1时，y 在x ＝6处取得最小值，试求b 的值．解 (1)设点C 受A 污染源污染指数为ka x ，点C 受B 污染源污染指数为kb36－x ，其中k 为比例系数，且k ＞0.从而点C 处污染指数y ＝ka x ＋kb36－x (0＜x ＜36)．(2)因为a ＝1，所以，y ＝k x ＋kb36－x，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1x 2＋b (36－x )2，令y ′＝0，得x ＝361＋b ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，361＋b 时，函数单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫361＋b ，＋∞时，函数单调递增；∴当x ＝361＋b时，函数取得最小值．又此时x ＝6，解得b ＝25，经验证符合题意．所以，污染源B 的污染强度b 的值为25.4．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ，∠C ＝90°，AB ＝200米，BC ＝100米．(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF ∥AB ，EF ⊥ED ，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值； (2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．解 (1)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝200米，BC ＝100米． ∴cos B ＝BC AB ＝12，可得B ＝60° ∵EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠B ＝60°设CECB ＝λ(0＜λ＜1)，则CE ＝λCB ＝100λ米， Rt △CEF 中，EF ＝2CE ＝200λ米， C 到FE 的距离d ＝32CE ＝503λ米， ∵C 到AB 的距离为32BC ＝503米， ∴点D 到EF 的距离为h ＝503－503λ＝503(1－λ)米可得S △DEF ＝12EF ·h ＝5 0003λ(1－λ)米2∵λ(1－λ)≤14[λ＋(1－λ)]2＝14，当且仅当λ＝12时等号成立，∴当λ＝12时，即E 为AB 中点时，S △DEF 的最大值为 1 2503米2(2)设正△DEF 的边长为a ，∠CEF ＝α，则CF ＝a ·sin α，AF ＝3－a ·sin α. 设∠EDB ＝∠1，可得∠1＝180°－∠B －∠DEB ＝120°－∠DEB ，α＝180°－60°－∠DEB ＝120°－∠DEB∴∠ADF ＝180°－60°－∠1＝120°－α 在△ADF 中，a sin 30°＝3－a sin αsin ∠ADF即a12＝3－a sin αsin (120°－α)，化简得a [2sin(120°－α)＋sin α]＝ 3 ∴a ＝32sin α－3cos α＝37sin (α－φ)≥37＝217(其中φ是满足tan φ＝32的锐角)．∴△DEF 边长最小值为217米．必考解答题——模板成形练(五) (对应学生用书P417)数列(建议用时：60分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝1－a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 13a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证∑k ＝1n 1T k＜2.解 (1)当n ＝1时，2S 1＝1－a 1,2a 1＝1－a 1，∴a 1＝13；当n ≥2时，⎩⎨⎧2S n ＝1－a n ，2S n －1＝1－a n －1，两式相减得2a n ＝a n －1－a n (n ≥2)，即3a n ＝a n －1(n ≥2)，又a n －1≠0，∴a n a n －1＝13(n ≥2)，∴数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)由(1)知b n ＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝n ，∴T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n2，∑k ＝1n1T k ＝21×2＋22×3＋…＋2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＜2. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)． (1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立，即a n ＝2n 对n ≥2成立，又a 1＝2·1. 所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n ＝a 1＋a n 2·n ＝n 2＋n ，n ∈N *. (2)存在．由(1)，得a n ＝2n ，n ∈N *成立，所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，则b 2b 1＝b 3b 2＝3.所以存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.3．已知数列{a n }是首项a 1＝1的等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是首项b 1＝2的等比数列，且b 2S 2＝16，b 1b 3＝b 4. (1)求a n 和b n ；(2)令c 1＝1，c 2k ＝a 2k －1，c 2k ＋1＝a 2k ＋kb k (k ＝1,2,3，…)，求数列{c n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝2q n －1. 由b 1b 3＝b 4，得q ＝b 4b 3＝b 1＝2，由b 2S 2＝2q (2＋d )＝16，解得d ＝2. ∴a n ＝2n －1，b n ＝2n .(2)∵T 2n ＋1＝c 1＋a 1＋(a 2＋b 1)＋a 3＋(a 4＋2·b 2)＋…＋a 2n －1＋(a 2n ＋nb n )＝1＋S 2n ＋(b 1＋2b 2＋…＋nb n )．令A ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ，则A ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，∴2A ＝22＋2·23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1， ∴－A ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1， ∴A ＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2. 又S 2n ＝2n (1＋a 2n )2＝4n 2，∴T 2n ＋1＝1＋4n 2＋n ·2n ＋1－2n ＋1＋2 ＝3＋4n 2＋(n －1)2n ＋1.4．已知数列{a n }满足：a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，c n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ∈N *)．(1)证明数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }、{c n }的通项公式．(2)是否存在数列{c n }的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )使之成为等差数列？若存在，请求出这样的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )；若不存在，请说明理由．(3)是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *都有(n －2)c n ＜M 恒成立？若存在，求出M 的值，若不存在，说明理由．(1)证明因为a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，所以b n ＋1b n ＝1－a 2n ＋11－a 2n ＝23(n ∈N *)，b 1＝1－a 21＝34，所以{b n}是以34为首项，23为公比的等比数列，所以b n ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，所以a 2n ＝1－b n ＝1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)所以c n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *) (2)解假设存在c j ，c j ，c k (i ＜j ＜k )满足题意，则有2c j ＝c i ＋c k 代入得 2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23j －1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23i －1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1化简得2j －i ＋1＝3j －1＋2k ＋j －i ，即2j －i ＋1－2k ＋j －i ＝3j －1，左边为偶数，右边为奇数不可能相等．所以假设不成立，这样的三项不存在． (3)∵(n －2)c n －(n －1)c n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1×n －43，∴(1－2)c 1＜(2－2)c 2＜(3－2)c 3＜(4－2)c 4，(4－2)c 4＝(5－2)c 5，(5－2)c 5＞(6－2)c 6＞(7－2)c 7＞……即在数列{(n －2)c n }中，第4项和第5项是最大项，当n ＝4时(n －2)c n ＝2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427，所以存在最小自然数M ＝1符合题意．必考解答题——模板成形练(六) (对应学生用书P419)函数与导数(建议用时：60分钟)1．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 3.当a ＝0时，f ′(x )≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜2a3. 故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ；当a ＜0时，令f ′(x )＞0，得2a3＜x ＜0. 故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0.综上所述，当a ＝0时，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0.(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，单调递减区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，＋∞，所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝b ，函数f (x )在x ＝2a 3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝4a327＋b ，由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，4a 327＋b ＞0，解得－4a 327＜b ＜0，因为对任意a ∈[3,4]，b ＞－4a 327恒成立，所以b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 327max ＝－4×3327＝－4，所以实数b 的取值范围是(－4,0)． 2．已知函数f (x )＝ax ＋ln x －1，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，y 0)处的切线平行于直线y ＝－x ＋1，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a ＞0，且对x ∈(0,2e]时，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)直线y ＝－x ＋1的斜率k ＝－1，函数y ＝f (x )的导数为f ′(x )＝－a x 2＋1x ， f ′(1)＝－a ＋1＝－1，即a ＝2.∴f (x )＝2x ＋ln x －1，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2. ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )＞0，得x ＞2；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2.∴函数f (x )的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(0,2)． (2)∵a ＞0，f (x )＞0对x ∈(0,2e]恒成立，即ax ＋ln x －1＞0对x ∈(0,2e]恒成立．即a ＞x (1－ln x )对x ∈(0,2e]恒成立，设g (x )＝x (1－ln x )＝x －x ln x ，x ∈(0,2e]． g ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，当1＜x ≤2e 时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，所以当x ＝1时，函数g (x )在x ∈(0,2e]上取到最大值． ∴g (x )≤g (1)＝1－ln 1＝1，∴a 的取值范围是(1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx －3，y ＝f ′(x )为f (x )的导函数，满足f ′(2－x )＝f ′(x )；f ′(x )＝0有解，但解却不是函数f (x )的极值点． (1)求f (x )；(2)设g (x )＝x f ′(x )，m ＞0，求函数g (x )在[0，m ]上的最大值；(3)设h (x )＝ln f ′(x )，若对于一切x ∈[0,1]，不等式h (x ＋1－t )＜h (2x ＋2)恒成立，求实数t 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ，∵f ′(2－x )＝f ′(x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，b ＝－1. 由题意，f ′(x )＝x 2－2x ＋c ＝0中Δ＝4－4c ＝0，故c ＝1.所以f (x )＝13x 3－x 2＋x －3.(2)∵f ′(x )＝x 2－2bx ＋1 ＝(x －1)2， ∴g (x )＝x |x －1|＝⎩⎨⎧x 2－x ，x ≥1，x －x 2，x ＜1.当0＜m ≤12时，g (x )max ＝g (m )＝m －m 2 当12＜m ≤1＋22时，g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，当m ＞1＋22时，g (x )max ＝g (m )＝m 2－m ，综上g (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧m －m 2 (0＜m ≤12)14 (12＜m ≤1＋22)m 2－m (m ＞1＋22)(3)h (x )＝2ln|x －1|，h (x ＋1－t )＝2ln|x －t |，h (2x ＋2)＝2ln|2x ＋1|当x ∈[0,1]时，|2x ＋1|＝2x ＋1，所以不等式等价于0＜|x －t |＜2x ＋1恒成立，解得－x －1＜t ＜3x ＋1，且x ≠t ，由x ∈[0,1]，得－x －1∈[－2，－1]，3x ＋1∈[1,4]，所以－1＜t ＜1，又x ≠t ，∴t ∈[0,1]，∴所求的实数t 的取值范围是(－1,0)． 4．已知函数f (x )＝k [(log a x )2＋(log x a )2]－(log a x )3－(log x a )3， g (x )＝(3－k 2)(log a x ＋log x a )， (其中a ＞1)，设t ＝log a x ＋log x a .(1)当x ∈(1，a )∪(a ，＋∞)时，试将f (x )表示成t 的函数h (t )，并探究函数h (t )是否有极值；(2)当∈(1，＋∞)时，若存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立，试求k 的范围．解 (1)∵(log a x )2＋(log x a )2＝(log a x ＋log x a )2－2 ＝t 2－2，(log a x )3＋(log x a )3＝(log a x ＋log x a )[(log a x ＋log x a )2－3]＝t 3－3t ， ∴h (t )＝－t 3＋kt 2＋3t －2k ，(t ＞2)． ∴h ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋3设t 1，t 2是h ′(t )＝0的两根，则t 1t 2＜0，∴h ′(t )＝0在定义域内至多有一解，欲使h (t )在定义域内有极值，只需h ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋3＝0在(2，＋∞)内有解，且h ′(t )的值在根的左右两侧异号，∴h ′(2)＞0得k ＞94.综上：当k ＞94时h (t )在定义域内有且仅有一个极植，当k ≤94时h (t )在定义域内无极值．(2)∵存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立等价于f (x )－g (x )的最大值大于0. ∵t ＝log a x ＋log x a ，∴m (t )＝－t 3＋kt 2＋k 2t －2k ，(t ≥2)， ∴m ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋k 2＝0得t 1＝k ，t 2＝－k3.当k ＞2时，m (t )max ＝m (k )＞0得k ＞2；当0＜k ≤2时，m (t )max ＝m (2)＞0得17－12＜k ≤2；当k ＝0时，m (t )max ＝m (2)＜0不成立．当－6≤k ＜0时，m (t )max ＝m (2)＞0得－6≤k ＜－17－12；当k ＜－6时，m (t )max ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＞0得k ＜－6.综上得：k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－17－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫17－12，＋∞. 必考附加题——模板成形练(一)1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝6，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1. (1)求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2)求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值．解 (1)建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0,0)，E (2,0,2)，A 1(0,0,6)，F (0,2,4)，从而AE →＝(2,0,2)，A 1F →＝(0,2，－2)．记AE →与A 1F →的夹角为θ，则有cos θ＝AE →·A 1F →|AE →|·|A 1F →|＝－48·8＝－12.又由异面直线AE 与A 1F 所成角的范围为(0，π)，可得异面直线AE 与A 1F 所成的角为60°.(2)记平面AEF 和平面ABC 的法向量分别为n 和m ，则由题设可令n ＝(1，y ，z )，且有平面ABC 的法向量为m ＝AA 1→＝(0,0,6)，AF →＝(0,2,4)，AE→＝(2,0,2)．由n ·AF →＝0，得2y ＋4z ＝0；由n ·AE →＝0，得2＋2z ＝0. 所以z ＝－1，y ＝2，即n ＝(1,2，－1)．记平面AEF 与平面ABC 所成的角为β，有cos β＝n ·m |n |·|m |＝－66·6＝－66.由图形可知β为锐角，所以cos β＝66.2．已知数列{b n }满足b 1＝12，1b n＋b n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求b 2，b 3，猜想数列{b n }的通项公式，并用数学归纳法证明；(2)设x ＝b n n ，y ＝b n ＋1n ，比较x x 与y y的大小．解 (1)当n ＝2时，1b 2＋12＝2，解得b 2＝23；当n ＝3时，1b 3＋23＝2，解得b 3＝34.猜想b n ＝nn ＋1.证明：①当n ＝1时，b 1＝12.②假设当n ＝k (k ∈N *)时，即b k ＝kk ＋1，则当n ＝k ＋1时，1b k ＋1＋b k ＝2，即1b k ＋1＋kk ＋1＝2， ∴1b k ＋1＝2－kk ＋1＝k ＋2k ＋1，b k ＋1＝k ＋1k ＋2也成立．由①②得b n ＝n n ＋1.(2)x ＝b n n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋1n， x x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1ny ＝b n ＋1n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1， y y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1(n ＋1)n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n∴x x ＝y y .3．三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝3.D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的大小的正弦值．解 (1)由题意，A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3).A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)．设平面A 1C 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0. ∴x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ， ∵DB 1→＝(1，－2,3)， ∴sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3×1＋0×(－2)＋1×3|10×14＝33535. (2)设平面A 1B 1D 的法向量为m ＝(a ，b ，c )． A 1B 1→＝(2,0,0)，∵m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0. ∴a ＝0,2b ＝3c .令c ＝2，得b ＝3.m ＝(0,3,2)．设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， ∴|cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n | ＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565， ∴二面角B 1－A 1D －C 1的大小的正弦值为345565.4．已知整数n ≥4，集合M ＝{1,2,3，…，n }的所有3个元素的子集记为A 1，A 2，…，A C (C ∈N *)．(1)当n ＝5时，求集合A 1，A 2，…，A C 中所有元素之和；(2)设m i 为A i 中的最小元素，设P n ＝m 1＋m 2＋…＋m C ，试求P n (用n 表示)．解 (1)当n ＝5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有C 24＝6个，所以含有数字1的集合有6个．同时含2,3,4,5的子集也各有6个．于是所求元素之和为(1＋2＋3＋4＋5)×C 24＝15×6＝90.(2)证明不难得到1≤m i ≤n －2，m i ∈Z ，并且以1为最小元素的子集有C 2n －1个，以2为最小元素的子集有C 2n －2个，以3为最小元素的子集有C 2n －3个，…，以n －2为最小元素的子集有C 22个，则P n ＝m 1＋m 2＋…＋m C 3n ＝1×C 2n －1＋2C 2n －2＋3C 2n －3＋…＋(n －2)C 22 ＝(n －2)C 22＋(n －3)C 23＋(n －4)C 2n ＋…＋C 2n －1 ＝C 22＋(n －3)(C 22＋C 23)＋(n －4)C 24＋…＋C 2n －1 ＝C 22＋(n －3)(C 33＋C 23)＋(n －4)C 24＋…＋C 2n －1 ＝C 22＋(n －3)C 34＋(n －4)C 24＋…＋C 2n －1 ＝C 22＋C 34＋(n －4)(C 34＋C 24)＋…＋C 2n －1 ＝C 22＋C 34＋(n －4)C 35＋…＋C 2n －1＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 3n ＝C 4n ＋1.必考附加题——模板成形练(二) (对应学生用书P423)1．如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF ⊥DE . (1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2)求二面角O －DF －E 的余弦值．解 (1)以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,2,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0，1,2)．设F (x 0，y 0,0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0,1,0)， ∵EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴F (3，1,0)，EF→＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2,2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2)设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥OD →，n ⊥OF →，即⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，32.设二面角O －DF －E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77，∴sin β＝427.2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n －(n ＋1)．(1)证明：a n >n (n ≥3)；(2)证明：2＋33＋44＋…＋nn <2.证明 (1)因为a 1＝2，a 2＝2，所以a 3＝a 32－3＝5>3. 假设当n ＝k 时，a k >k (k ≥3)，则a k ＋1k >kk ＋1>k 2·k ≥9k >2k ＋2，那么，当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝a k ＋1k －(k ＋1)>2k ＋2－(k ＋1)＝k ＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．所以当n ≥3时，a n >n .(2)当n ＝2时，2<2显然成立，由(1)知，当n ≥3时，a n ＝a n n －1－n >0，得a n n －1>n ，所以a n －1>n n ，所以a n －1n －2－(n －1)>n n ，即a n －1n －2>(n －1)＋n n ，所以a n －2>n －1n －1＋nn ，以此类推，得2＝a 1>2＋33＋44＋…＋nn ，问题得证．3．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，DC 的中点．(1)求直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值；(2)设直线BC 1上一点P 满足平面P AC ∥平面EFD 1，求PB 的长．解 (1)建立以D 点为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴的空间直角坐标系． D 1(0,0,2)，A (2,0,0)，B (2,2,0)， E (1,0,0)，C 1(0,2,2)，F (0,1,0)，BC 1→＝(－2,0,2)，D 1E →＝(1,0，－2)，EF →＝(－1,1,0)．设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →＝0，n ·EF →＝0⇒⎩⎨⎧x 1－2z 1＝0，－x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则n ＝(2,2,1)， cos 〈n ，BC 1→〉＝－222×3＝－26，∴直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值为26. (2)BP →＝λBC 1→＝(－2λ，0,2λ)， AP→＝AB →＋BP →＝(－2λ，2,2λ)， n ·AP→＝－4λ＋4＋2λ＝0，∴λ＝2. ∵AP 不在平面EFD 1内，AP ∥平面EFD 1，又AC ∥EF ，EF ⊆平面EFD 1， ∴AC ∥平面EFD 1. 又AP 与AC 相交于点A ， ∴平面P AC ∥平面EFD 1，BP →＝(－4,0,4)，|BP →|＝4 2.4．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }，其中0≤a 1<a 2<…<a n ，且n ≥3，若∀i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P .(1)分别判断数集{0,1,3}与数集{0,2,4,6}是否具有性质P ，说明理由；(2)已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }具有性质P ，判断数列a 1，a 2，…，a 8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．解 (1)由于3－1和3＋1都不属于集合{0,1,3}，所以该数集不具有性质P ；由于2＋0,4＋0,6＋0,4＋2,6－2,6－4,0－0,2－2,4－4,6－6都属于集合{0,2,4,6}，所以该数集具有性质P .(2)∵A ＝{a 1，a 2，…，a 8}具有性质P ，所以a 8＋a 8与a 8－a 8中至少有一个属于A ，由0≤a 1<a 2<…<a 8，有a 8＋a 8>a 8，故a 8＋a 8∉A ，∴0＝a 8－a 8∈A ，故a 1＝0. ∵0＝a 1<a 2<…<a 8， ∴k ≥2时，a 8＋a k >a 8，故a 8＋a k ∉A (k ＝2,3，…，8)．由A 具有性质P 知，a 8－a k ∈A (k ＝2,3，…，8)，又∵a 8－a 8<a 8－a 7<…<a 8－a 2<a 8－a 1，∴a 8－a 8＝a 1，a 8－a 7＝a 2，…，a 8－a 2＝a 7，a 8－a 1＝a 8，即a i ＋a 9－i ＝a 8(i ＝1,2，…，8)．①由a 2＋a 7＝a 8知，a 3＋a 7，a 4＋a 7，…，a 7＋a 7均不属于A ，由A 具有性质P ，a 7－a 3，a 7－a 4，…，a 7－a 7均属于A ， ∴a 7－a 7<a 7－a 6<…<a 7－a 4<a 7－a 3<a 8－a 3，而a 8－a 3＝a 6，∴a 7－a 7＝a 1，a 7－a 6＝a 2，a 7－a 5＝a 3，…，a 7－a 3＝a 5，即a i ＋a 8－i ＝a 7(i ＝1,2，…，7)．②由①②可知a i ＝a 8－a 9－i ＝a 8－(a 7－a i －1)(i ＝2,3，…，8)，即a i－a i＝a8－a7＝a2(i＝2,3，…，8)．－1故a1，a2，…，a8构成等差数列．。

2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)中档题目强化练概率专项基础训练

中档题目强化练——概率A 组专项基础训练一、选择题1．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案 C解析记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 的概率的和，即P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35.故选C.2．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34B.310C.25D ．以上都不对答案 B解析在40根纤维中，有12根的长度越过30 mm ，即基本事件总数为40，所求事件包含12个基本事件，且它们是等可能发生的，因此所求事件的概率为P ＝1240＝310，故选B.3．设集合P ＝{b,1}，Q ＝{c,1,2}，P ⊆Q ，b 、c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，则b ＝c 的概率为( )A.18B.14C.12D.34 答案 C解析因为P ⊆Q ，所以当b ＝2时，c 可以取3,4,5,6,7,8,9中任意一个数，共7种情况，当b ＝c 时，c 可以取3,4,5,6,7,8,9中任意一个数，共7种情况．所以所求概率为77＋7＝12.4. 如图所示，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( ) A.35 B.125 C.65 D.185 答案 B解析豆子落在阴影区域内的概率是120200＝35，设阴影部分的面积为S ，则S S 正方形＝35，解得S＝125，故选B. 5．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B.13C.12D.512答案 A 二、填空题6．在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为________．答案 13解析 ∵－π2≤x ≤π2，而0≤cos x ≤12，故－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，∴根据几何概型的概率公式得所求概率为13.7．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤20≤y ≤2表示的平面区域为W ，从W 中随机取点M (x ，y )．若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 位于第二象限的概率为________．答案 16解析画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P ＝16.8．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为________．答案 710解析用a i 表示男性，其中i ＝1,2,3，b j 表示女性，其中j ＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A ，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B ，“选出的2名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3个基本事件，事件B 包含(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6个基本事件，事件C 包含(b 1，b 2)，共1个基本事件．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B 和C ，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.三、解答题9．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解方法一 (利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}， A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112，根据题意知，事件A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为 P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝512＋412＋212＝1112. 方法二 (利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为 P (A 1∪A 2)＝1－P (A 3∪A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－212－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4，所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.10．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )共9种．从中选出的两名教师性别相同的结果有(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )共4种．故选出的两名教师性别相同的概率为P 1＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共15种．从中选出的两名教师来自同一学校的结果有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )共6种．故选出的两名教师来自同一学校的概率为P 2＝615＝25.B 组专项能力提升1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.110答案 C解析从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A )包含8个基本事件，所以所求的概率为P (A )＝810＝45.故选C.2．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8D ．1－π8答案 B解析对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于或等于1时，其区域是以O 为圆心，半径为1的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么所求的概率为1－12π2＝1－π4，故选B. 3．已知x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0内的概率为________．答案 38解析不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×3×2－12×3×1＝32，则所求概率为38. 4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于 S4的概率为________．答案 34解析如图，当BM ＝14BA 时，△MBC 的面积为S 4，而当P 在M 、A 之间运动时，△PBC 的面积大于S4，而MA ＝34AB ，则△PBC 的面积大于S 4的概率P ＝34AB AB ＝34.5．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．解(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝0.35－b－c＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝410＝0.4.。

2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷二

阶段示范性金考卷二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 2＝－1，则复数z ＝i3i －i 2014在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限C ．第三象限解析：z ＝－i i ＋1＝－i (1－i )(1＋i )(1－i )－12)．答案：Dsin(π＋θ)＝3，则cos(π－2θ)＝( )B ．－1225 D.725cos θ＝35，cos(π－2θ)＝－cos2θ，由1＝2×(35)2－1＝－725，所以cos(π－2θ)＝－cos2θ＝725，故选D.答案：D3．已知向量a ＝(3，－1)，向量b ＝(sin α，cos α) ，若a ⊥b ，则sin 2α－2cos 2α的值为( )A.710B ．－1710C.1710 D ．－710解析：由a ⊥b 可得3sin α＝cos α，故tan α＝13；sin 2α－2cos 2α＝sin 2α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan 2α＋1＝－1710. 答案：B4．已知正三角形ABC 的边长为1，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，且AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，则BQ →·CP →的最大值为( )B. －32 D. －38解析：BQ ·CP ＝(BA ＋AQ )·(CA ＋AP →) ＝[BA →＋(1－λ)AC →]·(CA →＋λAB →)＝[AB →·AC →－λAB 2→＋(λ－1)AC 2→＋λ(1－λ)AB →·AC →] ＝(λ－λ2＋1)×1×1×cos60°－λ＋λ－1＝12(－λ2＋λ)－12 ＝－12(λ－12)2－38(λ≤R )．当λ＝12时，则BQ →·CP →的最大值为－38.故选D 项．答案：D5．将函数y ＝sin2x 位，所得函数图象对应的解析式为(A ．y ＝sin(2x －π4)＋1 C ．y ＝2sin 2x解析：函数y ＝sin2x －π4)1个单位，所得函数图象(1－2sin 2x )＋1＝2sin 2x ，故选C.)(ω>0，－π2<φ<π2) 的图象关于直线x φ＝( )．－π3 B ．－π6 C.π6D.π3解析：π3－π12≥14×2πω，解得ω≥2，故当ω取最小值时，f (x )＝sin(2x ＋φ)，根据f (π12)＝0，得sin(π6＋φ)＝0，由于－π2<φ<π2，所以φ＝－π6.答案：B7．已知向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由a ·(a ＋b )＝3得，|a |21.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12.故向量a 答案：C8．若函数f (x )＝sin(2x －π4)＋间为( )B ．[0，π2] D ．[－π2，0]x ＋3π4)＝sin(2x －π4)－cos(2x －π4)＝2sin(2cos x 的一个单调递减区间是[0，π]，，π2]．答案：B9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 C.32解析：由图象可知T ＝2[π3－(x ＋φ)，又f (x )过点(－π6，0)，|φ|<π2，．∵x 1，x 2∈(－π，π)，且f (x 1)＝f 212＝π6，且满足|3AM →－AB →－AC →|＝( )B.14C.13D.12解析：由|3AM →－AB →－AC →|＝0得→＋AC →)．如图，AB →＋AC →＝AD →，由于＝13AD →，所以S △ABM ＝13S △ABD ＝13S △ABC .＝35，则sin(2x ＋π6)的值为( ) B.1325 D.725x cos π6－cos x sin π6＝35，32sin x －12cos x ＝35，两边平方得12sin 2x ＋14－34sin2x ＝925，∴12·1－cos2x 2＋14－34sin2x ＝925，即sin2x ·32＋cos2x ·12＝725，∴sin(2x ＋π6)＝725.答案：D12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3(a cos B＋b cos A )＝2c sin C ，a ＋b ＝4(a ，b 在变化)，且△ABC 的面积最大值为3，则此时△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．正三角形解析：由正弦定理得3(sin A cos B ＋cos A sin B )＝2sin 2C ，即3sin(A ＋B )＝3sin C ＝2sin 2C ，即sin C ＝3，积S ＝12ab sin C ＝34ab ≤34(a ＋b 2)2此时a ＝b ＝2，选择C.答案：C二、填空题(本大题共4在题中的横线上)，x＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8x 2＝16，又∵x >0，∴x ＝4.，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．解析：由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|.由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |，由|OA →|＝|OB →|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a ·b ＝0.所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.答案：115．[2013·海淀区期末练习]函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝________.解析：由图可知，A ＝2，f (π)＝2， )＝1，＝－π6＋2k π(k ∈Z )， π)＝2×(－12)＝－1. |a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝________.解析：依题意得|3a |＝3，|4b |＝4，|5c |＝5，又3a ＋4b ＋5c ＝0，所以向量3a 、4b 、5c 首尾相接构成一个直角三角形，因此有a ·b ＝0，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝a ·c ＝|a |·|c |cos θ＝cos θ＝－35(其中θ为向量a 与c 的夹角)．答案：－35三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)[2014·河北高三质检]已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b .(1)求角A ；(2)若a ＝1，且3c －2b ＝1解：(1)由a cos C ＋32c ＝b ，得∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋∴32sin C ＝cos A sin C ，又sin Cb ＝a ，即3sin C －2sin B ＝sin A . ∴B ＋π6＝π3，即B ＝π6.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x －32，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得函数g (x )的图象，设△ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ；(1)若f (C )＝0，c ＝6,2sin A ＝sin B ，求a ，b 的值．(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围．解：(1)f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x －32＝32sin2x ＋12(1－cos2x )－32＝32sin2x －12cos2x －1＝sin(2x －π6)－1.f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0∵2sin A ＝sin B 由余弦定理知：a 2＋b 2－2由①②解得：a ＝23，b ＝(2)由题意知g (x )＝sin(2x ＋π6)sin(2B ＋π6)＝1，∴B ＝π6，－33cos A )＝12cos A ＋32sin A ＝sin(A ＋π6)A ＋π6∈(π6，π)．＋π6)(0,1]．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(2a ＋b )cos C ＋c cos B ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝4，求使△ABC 面积取得最大值时的a ，b 的值．解：(1)由已知及由正弦定理得(2sin A ＋sin B )cos C ＋sin C cos B ＝0，所以2sin A cos C ＋(sin B cos C ＋sin C cos B )＝0，所以sin(B ＋C )＋2sin A cos C ＝0，即sin A ＋2sin A cos C ＝0.因为0<A <π，sin A >0，所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.(2)因为△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝34ab ，若使得S 取得最大值，只需要ab 取得最大值．由余弦定理可得，c 2＝a 2＋b 2－即16＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，故ab故使得△ABC 20．(本小题满分12分)－12(的图象上两相邻对称轴间的距离为π4.的图象向右平移π8个单位，再将所得图象上各点的)，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋cos2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)，由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．由2k π＋π2≤4x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π2＋π12≤x ≤k π2＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin[4(x －π8)＋π6]＝sin(4x －π3)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π3)．因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，g (当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，g (x )21．(本小题满分12分)[2014·长沙一模]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A 、B 、P 、Q ，欲测量P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现可测得A 、B 两点间的距离为100 m ，如图，同时也能测量出∠P AB ＝75°，∠QAB ＝45°，∠PBA ＝60°，∠QBA ＝90°，则P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离各为多少？解：在△P AB 中，∠APB ＝180°－(75°＋60°)＝45°，由正弦定理得AP sin60°＝100sin45°，解得AP ＝50 6.在△QAB 中，∠ABQ ＝90°，∴AQ ＝100 2.又∠P AQ ＝75°－45°＝30°，由余弦定理得PQ 2＝AP 2＋AQ 2－2AP ·AQ ·cos ∠P AQ ＝(506)2＋(1002)2－2×506×1002×∴PQ ＝5000＝50 2.∴P 、Q 两棵树之间的距离为为50 6 m.22．(本小题满分12分)设角A 知向量m ＝(sin A ＋sin C ，sin B －sin m ⊥n . 2B 2)，求|s ＋t |的取值范围．C )＋(sin 2B －sin A sin B )＝0， a ，b ，c 为内角A ，B ，C ab ，＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵s ＋t ＝(cos A,2cos 2B 2－1)＝(cos A ，cos B )，∴|s ＋t |2＝cos 2A ＋cos 2B＝cos 2A ＋cos 2(2π3－A )＝1＋cos2A 2＋1＋cos (4π3－2A )2＝14cos2A －34sin2A ＋1 ＝－12sin(2A －π6)＋1，∵0<A <2π3，∴－π6<2A －π6<7π6，∴－12<sin(2A －π6)≤1，∴12≤|s ＋t |2<54，∴22≤|s ＋t新课标第一网系列资料。

高考数学一轮复习测试卷2-人教版高三全册数学试题

2015届高三一轮复习测试卷二文科数学考查X 围：集合、逻辑、函数、导数、复数、圆锥曲线、概率第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.) 1.复数z=ii++-23 的共轭复数是( ) A ．2+i B ．2-i C ．-1+i D ．-1-i 2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 3.下列命题中，真命题是（）A ．2,x R x x ∀∈≥ B ．命题“若21,1x x ==则”的逆命题C ．2,x R x x ∃∈≥ D ．命题“若,sin sin x y x y ≠≠则”的逆否命题4.函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为（）(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-5.已知()1-x f =x x 62+，则()x f 的表达式是（）A ．542-+x xB ．782++x xC ．322-+x xD ．1062-+x x 6.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )．A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)7．设a ＝log 0.50.8，b ＝log 1.10.8，c ＝1.10.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．a <c <b8．函数()()14214xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩则f (log 23)等于()．A ．1 B.18 C.116D.1249.函数13y x x =-的图象大致为()．10. 与椭圆1422=+y x 共焦点且过点P )1,2(的双曲线方程是：( ) A ．1422=-y x B ．1222=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 11.“a =－1”是“函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分必要条件12.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卷相应位置上.13.已知2x ＝5y＝10，则1x ＋1y＝________.14.设函数()3cos 1f x x x =+,若()11f a =,则()f a -=15.设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在x 轴上，抛物线上的点(2,)P k 与点F 的距离为3，则抛物线方程为。

【步步高】2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)专题一高考中的导数应用问题文档强练文新人

专题一高考中的导数应用问题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 答案 D解析函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值X 围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析 f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，得函数f ′(x )的草图如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，解得0<b <12.故选D.3．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0 答案 A解析因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.4．已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值X 围为__________．答案 [e ，＋∞)解析 f ′(x )＝1x·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e.5．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值X 围是__________．答案 [－2，－1]解析由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1].题型一利用导数研究函数的单调性例1设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值X 围．思维启迪求出f ′(x )，分析函数的单调性，得出结论．解 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )，令g (x )＝e x －1－ax ，g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0. 若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0. 综合得a 的取值X 围为(－∞，1]．思维升华 (1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )>0或f ′(x )<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．(2)若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，某某数c 的取值X 围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1，解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，列表如下： x (－∞，－13)－13 (－13，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )↗ 极大值↘极小值↗所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立．只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值X 围是[11，＋∞)．题型二利用导数研究与不等式有关的问题例2 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．思维启迪 (1)求f ′(x )，讨论参数t 求最小值； (2)分离a ，利用求最值得a 的X 围；(3)寻求所证不等式和题中函数f (x )的联系，充分利用(1)中所求最值．解 (1)由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；②当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1et ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))．由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解． (2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0)．(1)若f (x )≤g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3.(1)解令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)，则h ′(x )＝cos x －a .若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0，则sin x ≤ax (x ≥0)成立．若0<a <1，存在x 0∈(0，π2)，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意，结合f (x )与g (x )的图象可知a ≤0显然不合题意，综上可知，a ≥1.(2)证明当a 取(1)中的最小值1时，g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2，则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0，即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)单调递减．所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0，即x －sin x －16x 3≤0(x ≥0)，即x －sin x ≤16x 3(x ≥0)．所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3.题型三利用导数研究方程解或图象交点问题例3已知f (x )＝ax 2 (a ∈R )，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值X 围．思维启迪 (1)通过讨论a 确定F (x )的符号；(2)将方程f (x )＝g (x )变形为a ＝2ln x x 2，研究φ(x )＝2ln xx 2图象的大致形状．解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a. 由ax 2－1<0，得0<x <1a. 故当a >0时，F (x )在区间⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成立．故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln xx 2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解．∵φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)． ∴φ(x )min ＝φ(e)，如图当f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不等解时有 φ(x )min ＝ln 22，故a 的取值X 围为ln 22≤a <1e.思维升华对于可转化为a ＝f (x )解的个数确定参数a 的X 围问题，都可以通过f (x )的单调性、极值确定f (x )的大致形状，进而求a 的X 围．已知函数f (x )＝|ax －2|＋b ln x (x >0)．(1)若a ＝1，f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值X 围； (2)若a ≥2，b ＝1，求方程f (x )＝1x 在(0,1]上解的个数．解 (1)f (x )＝|x －2|＋b ln x＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋b ln x (0<x <2)，x －2＋b ln x (x ≥2).①当0<x <2时，f (x )＝－x ＋2＋b ln x ，f ′(x )＝－1＋b x .由条件，得－1＋bx ≥0恒成立，即b ≥x 恒成立．∴b ≥2.②当x ≥2时，f (x )＝x －2＋b ln x ，f ′(x )＝1＋bx，由条件，得1＋bx ≥0恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2.综合①，②得b 的取值X 围是{b |b ≥2}． (2)令g (x )＝|ax －2|＋ln x －1x，即g (x )＝⎩⎨⎧－ax ＋2＋ln x －1x (0<x <2a)，ax －2＋ln x －1x (x ≥2a).当0<x <2a 时，g (x )＝－ax ＋2＋ln x －1x ，g ′(x )＝－a ＋1x ＋1x 2.∵0<x <2a ，∴1x >a2.则g ′(x )>－a ＋a 2＋a 24＝a (a －2)4≥0.即g ′(x )>0，∴g (x )在(0，2a )上是递增函数．当x ≥2a 时，g (x )＝ax －2＋ln x －1x ，g ′(x )＝a ＋1x ＋1x2>0.∴g (x )在(2a ，＋∞)上是递增函数．又因为函数g (x )在x ＝2a 有意义，∴g (x )在(0，＋∞)上是递增函数． ∵g (2a )＝ln 2a －a2，而a ≥2，∴ln 2a ≤0，则g (2a )<0.∵a ≥2，∴g (1)＝a －3. 当a ≥3时，g (1)＝a －3≥0， ∴g (x )＝0在(0,1]上解的个数为1. 当2≤a ≤3时，g (1)＝a －3<0，∴g (x )＝0在(0,1]上无解，即解的个数为0.1．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋ (b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－ 2 )，(2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值g (2)＝43.2．已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)某某数a 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值．解 (1)因为f (x )＝ax ＋x ln x ，所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1. 因为函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e 处的切线斜率为3，所以f ′(e)＝3，即a ＋ln e ＋1＝3，所以a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋x ln x ，又k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，即k <x ＋x ln x x －1对任意x >1恒成立．令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2，令h (x )＝x －ln x －2(x >1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因为h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－2ln 2>0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)．当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0，当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3,4)，所以k <[g (x )]min ＝x 0∈(3,4)，故整数k 的最大值为3. 3．设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值X 围．解 (1)若a ＝0，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立，故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)． ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，令e －x (e x －1)(e x －2a )<0得1<e x <2a ，∴0<x <ln 2a .故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln 2a )上单调递减．而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0.不符合要求．综上可得a 的取值X 围为(－∞，12]． 4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ，整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)．令y ＝x 3＋x 2－x －2，求导得y ′＝3x 2＋2x －1，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13，故得极值点分别在－1和13处取得，且极大值、极小值都是负值．故公共点只有一个． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ，整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，令h (x )＝x 3＋x 2－x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，如图，求导h (x )可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图， h (－1)＝1，h (13)＝－527，当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 5．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f ′(x )是偶函数；③f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)设g (x )＝4ln x －m ，若存在x ∈[1，e]，使g (x )<f ′(x )，某某数m 的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，(*)由f ′(x )是偶函数得b ＝0，①又f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，∴f ′(0)＝c ＝－1，②将①②代入(*)得a ＝13， ∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)由已知得，若存在x ∈[1，e]，使4ln x －m <x 2－1，即存在x ∈[1，e]，使m >(4ln x －x 2＋1)min .设M (x )＝4ln x －x 2＋1，x ∈[1，e]，则M ′(x )＝4x －2x ＝4－2x 2x，令M ′(x )＝0，∵x ∈[1，e]，∴x ＝ 2. 当2<x ≤e 时，M ′(x )<0，∴M (x )在(2，e)上为减函数；当1≤x ≤2时，M ′(x )>0，∴M (x )在[1，2]上为增函数，∴M (x )在[1，e]上有最大值且在x ＝2处取到．又M (1)＝0，M (e)＝5－e 2<0，∴M (x )的最小值为5－e 2.∴m >5－e 2.6．(2013·某某)已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a . (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值X 围；若不存在，请说明理由．解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －xx ＋2a ；当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a. 因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a (x ＋2a )2<0， f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a (x ＋2a )2>0， f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a，故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a4＋2a ；当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 4＋2a ，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直．则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.即－3a(x 1＋2a )2·3a (x 2＋2a )2＝－1. 亦即x 1＋2a ＝3a x 2＋2a.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3a x 2＋2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4＋2a ，1. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空．因为3a 4＋2a<3a ，所以当且仅当0<2a <1，即0<a <12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫0，12.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

必考解答题——基础满分练(二)
数列
1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝1－a n .
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝log 13a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证∑k ＝1n 1T k
＜2.
(1)解当n ＝1时，2S 1＝1－a 1,2a 1＝1－a 1，∴a 1＝13；
当n ≥2时，⎩⎨⎧
2S n ＝1－a n ，2S n －1＝1－a n －1，
两式相减得2a n ＝a n －1－a n (n ≥2)，
即3a n ＝a n －1(n ≥2)，又a n －1≠0，∴a n a n －1＝13
(n ≥2)， ∴数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列．
∴a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n . (2)证明由(1)知b n ＝log 13⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n ＝n ， ∴T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n 2， ∑k ＝1n 1T k ＝21×2＋22×3＋…＋2
n (n ＋1) ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1n ＋1＜2. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．
(1)求S n ；
(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．
解 (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，
所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立，
即a n ＝2n 对n ≥2成立，又a 1＝2·1.
所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．
所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立，所以{a n }是等差数列，
所以有S n ＝a 1＋a n 2·n ＝n 2＋n ，n ∈N *.
(2)存在．
由(1)，得a n ＝2n ，n ∈N *成立，
所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2，
所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，则b 2b 1＝b 3b 2
＝3. 所以存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.
3．已知数列{a n }是首项a 1＝1的等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是首项b 1＝2的等比数列，且b 2S 2＝16，b 1b 3＝b 4.
(1)求a n 和b n ；
(2)令c 1＝1，c 2k ＝a 2k －1，c 2k ＋1＝a 2k ＋kb k (k ＝1,2,3，…)，求数列{c n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.
解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝2q n －1.
由b 1b 3＝b 4，得q ＝b 4b 3
＝b 1＝2，由b 2S 2＝2q (2＋d )＝16，解得d ＝2.
∴a n ＝2n －1，b n ＝2n .
(2)∵T 2n ＋1＝c 1＋a 1＋(a 2＋b 1)＋a 3＋(a 4＋2·b 2)＋…＋a 2n －1＋(a 2n ＋nb n )＝1＋S 2n ＋(b 1＋2b 2＋…＋nb n )．
令A ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ，
则A ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，
∴2A ＝22＋2·23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1，
∴－A ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴A ＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2.
又S 2n ＝2n (1＋a 2n )2
＝4n 2， ∴T 2n ＋1＝1＋4n 2＋n ·2n ＋1－2n ＋1＋2
＝3＋4n 2＋(n －1)2n ＋1.
4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{1S n
}的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38. (1)解因为数列{a n }是等差数列，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .
依题意，有⎩⎨⎧ S 5＝70，a 27＝a 2a 22，即⎩⎨⎧ 5a 1＋10d ＝70，(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d )，
解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．
(2)证明由(1)可得S n ＝2n 2＋4n ，
所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n (n ＋2)
＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3
＋…＋1S n －1＋1S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－15＋…＋ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2
＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝38－14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2，因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38，因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列．所以T n ≥T 1＝16，所以16≤T n ＜38.。