拉普拉斯变换副本
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拉普拉斯变换及反变换.ppt
机械工程控制基础
一、拉普拉斯变换 1. 定义 Laplace 正变换 F (s)
拉普拉斯变换及反变换
1 j st F ( s ) e ds Laplace 反变换 f (t ) j 2j ( t 0)
0
0
— —
表示为：
f (t )e dt
st
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
拉普拉斯变换及反变换
d2 d d r ( t ) a r ( t ) a r ( t ) b e (t ) b0 e (t ) 1 0 1 2 dt dt dt
0
1 sa
机械工程控制基础
3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t)
拉普拉斯变换及反变换
(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]
0
( t )e st dt 0 (t )dt
u(t) t
F(s)=
1 st 0 e dt e 0 s
st
0
1 s
机械工程控制基础
2. f (t ) eat u(t ) (指数函数)
0 （t 0） f (t ) t e （t 0）
拉普拉斯积分变换省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
时间 τ。从它们旳图象来讲，f (t τ ) 旳图象是由f(t)旳
图象沿t 轴向右平移距离而得。
这个性质表白，时间函数延迟 τ 旳拉氏变换等于它旳
象函数乘以指数因子 e s 。
30
例
求函数 u(t τ
)
0, t τ 1, t τ
旳拉氏变换。
解 因为
Lu(t) 1
s
根据延迟性质，有
Lu(t τ ) 1 esτ
35
定理
若 s1, s2 , sn 是函数 F (s) 旳全部奇点（合适选
用 使这些奇点全在 Re(s) 旳范围内），
且当 s 时，F (s) 0 ，则有
1 j
n
F (s) est ds Re s F (s) est
2 j j
k 1 ssk
即
n
f (t) Re sF (s)est ,t 0 k 1 ssk
L
f
(t) t
F (s)ds
s
或
f
(t)
tL1
s
F
(s)ds
一般地，有
L
f (t) t n
ds
ds
s s
F (s)ds
s
n次
21
例 求函数 f (t) sinh t 旳拉氏变换。
t
解 因为
Lsinh t 1
s2 1
据象函数旳积分性质可知
L
sinh t
t
Lsinh tds
2
令 j s ，有
f (t) 1
j
F (s)est ds, t 0
2 j j
这就是从象函数F(s)求它旳象原函数f(t)旳一般公式， 右端旳积分称为拉氏反演积分。
图象沿t 轴向右平移距离而得。
这个性质表白，时间函数延迟 τ 旳拉氏变换等于它旳
象函数乘以指数因子 e s 。
30
例
求函数 u(t τ
)
0, t τ 1, t τ
旳拉氏变换。
解 因为
Lu(t) 1
s
根据延迟性质，有
Lu(t τ ) 1 esτ
35
定理
若 s1, s2 , sn 是函数 F (s) 旳全部奇点（合适选
用 使这些奇点全在 Re(s) 旳范围内），
且当 s 时，F (s) 0 ，则有
1 j
n
F (s) est ds Re s F (s) est
2 j j
k 1 ssk
即
n
f (t) Re sF (s)est ,t 0 k 1 ssk
L
f
(t) t
F (s)ds
s
或
f
(t)
tL1
s
F
(s)ds
一般地，有
L
f (t) t n
ds
ds
s s
F (s)ds
s
n次
21
例 求函数 f (t) sinh t 旳拉氏变换。
t
解 因为
Lsinh t 1
s2 1
据象函数旳积分性质可知
L
sinh t
t
Lsinh tds
2
令 j s ，有
f (t) 1
j
F (s)est ds, t 0
2 j j
这就是从象函数F(s)求它旳象原函数f(t)旳一般公式， 右端旳积分称为拉氏反演积分。
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
拉普拉斯变换LAPLACETRANSFORM资料
证：L[ f (t)] f (t) estdt 0 令 est u du sestdt
udv uv vdu
f (t) dt dv v f (t)
积分
0
f (t) estdt uv vdu
est f (t) f (t) (sest )dt
0
0
f
(0 ) s
0
f
(t) estdt
sF (s) f (0 )
7
二、微分性质： L[ f (t)] sF(s) f (0 )
例13-3 求象函数：
（1）f (t) cost
解： d sint cost
dt
L[cost] L[ 1 d sint] 1 L[ d sint]
dt
dt
1
[s
LAPLACE TRANSFORM
1
历史的回顾
—— 小结线性电路分析
一、电阻电路的直流分析：
二、低阶动态电路的时域分析：
列、解微分方程：较难。1、列；2、解：定动态元件的初态 状态 [ uC(0+)、iL(0+) ] 和定积分常数。 优点：物理概念明确。 三、正弦稳态分析： 频域分析：相量法。
四、非正弦周期函数的谐波分析： 五、非周期函数电路的傅立叶积分：
s pn
Ki为待定之系数。
①将上式两边乘以(s-p1)，先约分，后代数。
(s
p1)
F(s)
K1
(s
p1 )(
s
K2 p2
s
Kn pn
)
令s=p1，代入上式，
K1 [( s p1 ) F (s)]s p1 ②同理可得：
Ki [( s pi ) F (s)]s pi
udv uv vdu
f (t) dt dv v f (t)
积分
0
f (t) estdt uv vdu
est f (t) f (t) (sest )dt
0
0
f
(0 ) s
0
f
(t) estdt
sF (s) f (0 )
7
二、微分性质： L[ f (t)] sF(s) f (0 )
例13-3 求象函数：
（1）f (t) cost
解： d sint cost
dt
L[cost] L[ 1 d sint] 1 L[ d sint]
dt
dt
1
[s
LAPLACE TRANSFORM
1
历史的回顾
—— 小结线性电路分析
一、电阻电路的直流分析：
二、低阶动态电路的时域分析：
列、解微分方程：较难。1、列；2、解：定动态元件的初态 状态 [ uC(0+)、iL(0+) ] 和定积分常数。 优点：物理概念明确。 三、正弦稳态分析： 频域分析：相量法。
四、非正弦周期函数的谐波分析： 五、非周期函数电路的傅立叶积分：
s pn
Ki为待定之系数。
①将上式两边乘以(s-p1)，先约分，后代数。
(s
p1)
F(s)
K1
(s
p1 )(
s
K2 p2
s
Kn pn
)
令s=p1，代入上式，
K1 [( s p1 ) F (s)]s p1 ②同理可得：
Ki [( s pi ) F (s)]s pi
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
青海大学 化工应用数学 拉普拉斯变换资料
pa
F (p)
七 周期函数的象函数
若（ f t）是一个周期为a的周期函数，即f(t+a)=f(t)
L[f(t)] f (t) e
0 pt
dt
n 0
( n 1) a
na
f (t) e pt dt
e
n 0
pna
a
0
e pt f (t)dt
e
式中，ai为B(p)的实零点或虚零点，
ni为ai的零点个数，i为待定系数。
L [
1
i
(p a i )
] ni
i
(n i 1)!
t ni 1eait
1 例题5-13 求 F (p) 2 的逆变换 p (p 1)
1 A B C 解：设F p 2 + 2 p (p 1) p P P 1
因此原函数为
1 3t 1 3t f (t ) ( e e ) cos 3t sin 3t 2 3
4.海维赛德法
(1) 分母B(p)无重根(互异单零点)
此时，F(p)总可以展成简单的部分分式之和。即
An A1 A2 A( p ) F p ... B ( p ) ( p p1 ) ( p p2 ) ( p pn )
二 位移性质
1
L [ F ( p a)] e f (t )
at
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
三 延迟性质
L [e
1
pa
F (p)]=u(t-a)f(t-a)
四 相似性质
1 p L F (ap ) f ( ) a a
1
拉普拉斯变换-PPT
1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二 原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二 终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上， 除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2） 存在常数 M > 0 和 0，使对 于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0
预备知识 拉普拉斯变换(Laplace Transform)
3 4 Gx ( s)
自动控制原理
1
2010/9/2
提纲
一、复变量和复变函数 二、拉普拉斯变换 三、拉普拉斯变换定理 四、拉普拉斯反变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换（又称为运算微积分，或称为算子微 拉普拉斯变换 （又称为运算微积分，或称为算子微 积分）是在19 积分）是在 19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥 世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥 维赛德 维赛德( (O.Heaviside O.Heaviside) )发明了用运算法解决当时电工计算 中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证．后来由 法国数学家拉普拉斯 法国数学家 拉普拉斯( (place place) )给出了严密的数学定 义，称之为拉普拉斯变换方法．
0 u (t ) 1
t 0 t 0
则可选取 f (t ) (t )u (t ) ，其傅氏变换为
自动控制原理
自动控制原理
2
2010/9/2
傅里叶变换拉普拉斯变换
F [ f ( t ) ] F [ ( t ) u ( t ) ]
傅里叶变换拉普拉斯变换
F [ f ( t ) e t ] F [ ( t ) u ( t ) e t ]
0
A sa
L [ A] Ae st dt
0
A s
阶跃函数可看作指数函数在a=0时的特例。
自动控制原理
自动控制原理
3
2010/9/2
拉普拉斯变换
例：斜坡函数的拉氏变换
0 f (t ) At t 0 t0
st
拉普拉斯变换
例：正弦函数的拉氏变换 式中，A为常数
通过该处理，在t<0 <0区间 区间φ(t)没有定义的问题得到了 解决，但是仍然不能回避 f(t)在[0， [0，+∞)上绝对可积的限 +∞)上绝对可积的限 制。为此，考虑加入 t +∞ +∞时衰减速度很快的函数： 时衰减速度很快的函数：
自动控制原理
1
2010/9/2
提纲
一、复变量和复变函数 二、拉普拉斯变换 三、拉普拉斯变换定理 四、拉普拉斯反变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换（又称为运算微积分，或称为算子微 拉普拉斯变换 （又称为运算微积分，或称为算子微 积分）是在19 积分）是在 19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥 世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥 维赛德 维赛德( (O.Heaviside O.Heaviside) )发明了用运算法解决当时电工计算 中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证．后来由 法国数学家拉普拉斯 法国数学家 拉普拉斯( (place place) )给出了严密的数学定 义，称之为拉普拉斯变换方法．
0 u (t ) 1
t 0 t 0
则可选取 f (t ) (t )u (t ) ，其傅氏变换为
自动控制原理
自动控制原理
2
2010/9/2
傅里叶变换拉普拉斯变换
F [ f ( t ) ] F [ ( t ) u ( t ) ]
傅里叶变换拉普拉斯变换
F [ f ( t ) e t ] F [ ( t ) u ( t ) e t ]
0
A sa
L [ A] Ae st dt
0
A s
阶跃函数可看作指数函数在a=0时的特例。
自动控制原理
自动控制原理
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2010/9/2
拉普拉斯变换
例：斜坡函数的拉氏变换
0 f (t ) At t 0 t0
st
拉普拉斯变换
例：正弦函数的拉氏变换 式中，A为常数
通过该处理，在t<0 <0区间 区间φ(t)没有定义的问题得到了 解决，但是仍然不能回避 f(t)在[0， [0，+∞)上绝对可积的限 +∞)上绝对可积的限 制。为此，考虑加入 t +∞ +∞时衰减速度很快的函数： 时衰减速度很快的函数：