工程力学11-弯曲应力
工程力学B(二)第11讲第六章弯曲应力-强度条件
τ σ
4 减小应力集中。尽量避免截面尺寸沿梁的急剧变化。尽量 减小应力集中。尽量避免截面尺寸沿梁的急剧变化。 使用圆角过渡。 使用圆角过渡。
局部考虑
1.截面的放置 截面的放置 与 2.同样面积下 最大 同样面积下W最大 同样面积下
〉
〉
〉
为什么？ 为什么？
〉
〉
常见梁截面的 Wz /A 值 Wz /A 的值 大与小，哪个好？为什么？ 大与小，哪个好？为什么？
W ( x) =
M ( x)
[σ ]
二、变截面梁与等强度梁
横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。 横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F
x
F
b
h(x )
z
y
l
h1
hmax
σ max =
M ( x) = [σ ] W ( x)
W ( x) =
M ( x)
[σ ]
bh 2 6 Fx M ( x ) = Fx, h = 常数，由 Wz = 知h ( x ) = 6 b[σ ]
由τ max =
hmax =
6 Fl b[σ ]
3 Fs 3F 知h1 = 2 bh 2b[τ ]
三、梁的合理受力 梁的合理受力
1.支座位置 合理布置支座位置，使 M max 尽可能小 支座位置 合理布置支座位置，
q L
qL2 40
M
2 qL 8
x
q L/5 L/5
M
2 −qL 50
x
2.加载方式 加载方式——合理布置外力作用，使 M max 尽可能小 合理布置外力作用， 加载方式 合理布置外力作用
Fl 当载荷位于梁跨度中间时， 当载荷位于梁跨度中间时，弯矩最大 Wz ≥ = 3.0 × 10 − 4 m 3 4[σ ]
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
弯曲应力计算公式圆柱
弯曲应力计算公式圆柱在工程力学中，弯曲应力是指在受力作用下，材料内部产生的应力状态。
在工程设计和结构分析中，对于圆柱体的弯曲应力计算是非常重要的。
本文将介绍圆柱体的弯曲应力计算公式，并对其进行详细解析。
首先，我们来看一下圆柱体的弯曲应力计算公式。
对于圆柱体的弯曲应力，其计算公式为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为圆柱体在受力作用下的弯曲应力，M为作用力矩，c为圆柱体截面内部的距离，I为截面惯性矩。
在这个公式中，作用力矩M是指作用在圆柱体上的力矩，它是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
圆柱体截面内部的距离c是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
而截面惯性矩I则是描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
接下来，我们将对圆柱体弯曲应力计算公式进行详细解析。
首先，我们来看一下作用力矩M。
作用力矩M是由外部作用力和圆柱体自身的惯性力共同作用而产生的。
在实际工程中，作用力矩可以通过外部作用力乘以作用点到圆柱体重心的距离来计算。
作用力矩的大小和方向对于圆柱体的弯曲应力具有重要影响。
其次，我们来看一下截面内部的距离c。
对于圆柱体截面内部的距离c，它是指作用力矩M的作用点到截面内部某一点的距离。
在实际计算中，我们需要根据具体的受力情况来确定截面内部的距离c。
通常情况下，我们可以通过几何分析或者实验测量来确定截面内部的距离c。
最后，我们来看一下截面惯性矩I。
截面惯性矩I描述了圆柱体截面形状和大小对于其抗弯刚度的影响。
在实际计算中，我们可以通过几何分析或者使用相关的公式来计算圆柱体截面的惯性矩。
在工程设计和结构分析中，截面惯性矩是一个非常重要的参数，它直接影响着圆柱体的弯曲应力大小。
综上所述，圆柱体的弯曲应力计算公式是一个非常重要的工程力学公式。
通过对该公式的详细解析，我们可以更好地理解圆柱体在受力作用下的弯曲应力状态，并且可以在工程设计和结构分析中更好地应用该公式。
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第七章弯曲应力7.1预备知识一、基本概念 1、二、重点与难点 1、 2、 3、三、解题方法要点 1、 2、7.2典型题解一、计算题长为l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知h=0.18m ，b=0.12m,y=0.06m,a =2m,F=1.5kN ，求C 截面上K 点的正应力。
解：先算出C 截面上的弯矩m N m N Fa M C ⋅⨯-=⨯⨯-=-=331032105.1截面对中性轴（即水平对称轴）的惯性矩为4433310583.01218.012.012m m m bh I z -⨯=⨯==将C M 、z I 及y 代入正应力公式（7—7）。
代入时，C M 、y 均不考虑正负号而以绝对值代入，则MPa Pa m mm N y I M z C K09.31009.306.010583.01036443=⨯=⨯⨯⋅⨯=⋅=-σ C 截面的弯矩为负，K 点位于中性轴上边，所以K 点的应力为拉应力。
在我国法定计量单位制中，应力的单位为Pa 在计算梁的正应力时，弯矩用N.m 、y 用m 、惯性矩用m 4，则算得的应力单位即为Pa 。
二、计算题一矩形珙面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知：l =4m ，b=140mm,h=210mm,q=2kN/m ，弯曲时木木材的许用正应力[]σ=10MPa ，试校核该梁的强度。
解：梁中的最大正应力发生在跨中弯矩最大的截面上，最大弯矩为m N m m N ql M ⋅⨯=⨯⨯⨯==32232m ax 1044/1028181弯曲截面系数为3222210103.021.014.0616m m m bh W z -⨯=⨯⨯==最大正应力为[]σσ<=⨯=⨯⋅⨯==-MPa Pa m m N W M z 88.31088.310103.01046323max max所以满足强度要求。
二、计算题就计算题一，求梁能承受的最大荷载（即求m ax q ）。
解：根据强度条件，梁能承受的最大弯矩为[]σz W M =m ax 跨中最大弯矩与荷载q 的关系为2m ax 81ql M = 所以[]281ql W z =σ 从而得[]m kN m N mPam lW q z /15.5/51504101010103.088226322==⨯⨯⨯⨯==-σ即梁能承受的最大荷载为m kN q /15.5m ax =。
工程力学弯曲应力PPT资料94页
ycmax yt max
M
z
σ tm ax y
σtmax Mytmax Iz
σcmax Mycmax Iz
3.横力弯曲时梁横截面上的正应力
平面假设不再成立
当：L 5
h
纯弯曲的正应力计算公式 计算横力弯曲梁横截面上的正应力
误差不超过1%。
My
IZ
Mxy
IZ
总结
假设 平面假设，单向受力假设
空心圆截面
z
z
y
y
WIz πd4/64 πd3 d/2 d/2 32
WIz b3 h/12b2 h h/2 h/2 6
WπD3(14)
32
αd D
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面
Wz
Iz ymax
分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax 和 ytmax 直接代入公式
σcmax
σ My Iz
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的纵向坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度
中性层 受拉区
受压区 中性轴
纵向纤维既不伸长也不缩短的层—中性层 中性层与横截面的交线—中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴 ❖横截面间绕中性轴相对转动
拉压、扭转时横截面上应力分析过程
变形
平面假定
应变分布
物理关系
弯曲应力练习题
弯曲应力练习题弯曲应力是工程力学中的重要概念，涉及到物体在受到弯曲力作用时的应力分布和变化。
掌握弯曲应力的计算方法对于力学领域的学习至关重要。
在本文中，我们将介绍一些常见的弯曲应力练习题，旨在帮助读者加深对弯曲应力的理解和运用。
1. 长方形截面材料的弯曲应力考虑一块长度为L、宽度为b、高度为h的长方形截面材料，在其最大弯曲力矩为M的作用下，我们希望计算其截面处的最大弯曲应力σ。
根据工程力学的理论，我们可以使用以下公式进行计算：σ = (M * y) / (I * c)其中，y表示距离截面中性轴的距离，I是截面的惯性矩，c是截面最大应力面的最大距离。
2. 悬臂梁的最大弯曲应力考虑一个长度为L、所受力矩为M的悬臂梁，我们希望计算其截面处的最大弯曲应力σ。
对于悬臂梁而言，最大弯曲应力出现在悬臂梁固定端。
根据工程力学的理论，我们可以使用以下公式进行计算：σ = (M * L) / (I * c)其中，M是所受力矩，L是悬臂梁的长度，I是截面的惯性矩，c是截面最大应力面的最大距离。
3. 圆柱体的弯曲应力考虑一个半径为r、所受力矩为M的圆柱体，我们希望计算其截面处的最大弯曲应力σ。
根据工程力学的理论，我们可以使用以下公式进行计算：σ = (M * r) / (I * c)其中，M是所受力矩，r是圆柱体的半径，I是截面的惯性矩，c是截面最大应力面的最大距离。
以上是三个常见的弯曲应力计算问题的解决方法。
在实际的工程应用中，我们需要根据具体情况选择合适的公式并进行计算。
同时，为了准确评估材料的弯曲性能，我们还需要了解材料的力学性质，如弹性模量、截面惯性矩等。
通过练习和实践，我们可以逐渐提高对弯曲应力问题的解决能力。
总结：本文简要介绍了弯曲应力的概念和计算方法，并提供了三个常见的弯曲应力练习题。
这些题目涉及到了不同结构的材料，如长方形截面材料、悬臂梁和圆柱体。
通过解决这些练习题，读者可以深入理解弯曲应力的计算过程，进一步掌握工程力学的基础知识。
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案引言：工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其中弯曲应力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。
本文将探讨弯曲应力和弯曲变形问题的原因、计算方法以及解决方案，旨在帮助读者更好地理解和应对这一问题。
一、弯曲应力的原因在工程实践中，当梁、梁柱等结构承受外力作用时，由于结构的几何形状和材料的力学性质不同，会导致结构发生弯曲变形。
弯曲应力的产生主要有以下几个原因：1. 外力作用：外力作用是导致结构弯曲的主要原因之一。
例如，悬臂梁受到集中力的作用，会导致梁的一侧拉伸，另一侧压缩，从而产生弯曲应力。
2. 结构几何形状：结构的几何形状对弯曲应力有直接影响。
例如，梁的截面形状不均匀或不对称，会导致弯曲应力的分布不均匀，从而引起结构的弯曲变形。
3. 材料力学性质：材料的力学性质也是导致弯曲应力的重要因素。
不同材料的弹性模量、屈服强度等参数不同，会导致结构在受力时产生不同的弯曲应力。
二、弯曲应力的计算方法为了准确计算弯曲应力，工程力学中提出了一系列的计算方法。
其中最常用的方法是梁的弯曲方程和梁的截面应力分析。
1. 梁的弯曲方程：梁的弯曲方程是描述梁在弯曲过程中受力和变形的重要方程。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到梁的弯曲方程，并通过求解该方程，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
2. 梁的截面应力分析：梁的截面应力分析是通过分析梁截面上的应力分布情况，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
该方法根据梁的几何形状和材料的力学性质，采用静力学平衡和弹性力学理论，计算出梁截面上的应力分布，并进一步得到梁的弯曲应力。
三、弯曲变形问题的解决方案针对弯曲变形问题，工程力学提出了一系列的解决方案，包括结构改进、材料选择和加固措施等。
1. 结构改进：对于存在弯曲变形问题的结构，可以通过改进结构的几何形状，增加结构的刚度，从而减小结构的弯曲变形。
例如，在梁的设计中，可以增加梁的截面尺寸或改变梁的截面形状，以增加梁的抗弯刚度。
弯曲应力计算
弯曲梁的内力
采用截面法
剪力FQ
FQ ΣF
弯矩M
MΣMFc)(
梁内力的正负号规定
从梁的变形角度
剪力：顺时针为正，逆时针为负 弯矩：上凹为正，下凹为负
例题1—求弯曲内力
已知简支梁受均 布载荷q作用，梁 的跨度为L，求梁 的1-1、2-2截面的 内力。
续例1
解：求解约束反力 由于载荷支座均 对称， 所以
q(x)>0,抛物线，上凹 q(x)<0,抛物线，下凹 FQ =0,抛物线有极值
斜率由突变 图形成折线
有突变 突变量=M
例题2—画剪力图和弯矩图
已知外伸梁，M=3kN.m，q=3kN/m，a=2m
解： 求A、B处支反力
M B(F)0， FAy3aM 3qaa/20
FAy=3.5kN；
Fy础教研室
冯迎辉
本节内容
➢ 平面弯曲的概念 ➢ 弯曲的内力及符号规定 ➢ 弯曲内力图 ➢ 本节小结
弯曲的概念
❖ 弯曲变形是指杆的轴线 由直线变成曲线，以弯 曲变形为主的杆件称为 梁。
❖ 梁的受力特点是在轴线 平面内受到力偶矩或垂 直于轴线方向的外力的 作用。
弯曲变形
平面弯曲
FBy=14.5KN
续例2—剪力图
如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN
续例2—弯矩图
AC：q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M CB：q<0,抛物
线,FQ=0,MB=6.04KN.m BD：q<0,开口向下，MB=-6kN.m
弯矩图画法
弯矩方程 M (x ) F A x qx 2 x q 2x L q 2 x 2
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工程力学
32kN
16kN
10
y2
y 10
sC
200
M
C
y1 y2
22 MPa 40 . 50 MPa
Iz M
B
A 1m
FA FQ
C 1m
B 0.5m
FB
D
s
zO
O
y1
B
Iz
M
C
12kN
+ －
16kN
+
s
160
x
z
C
40
y2
60 . 74 MP
20kN M 12kN· m
工程力学
3、纯弯曲时正应力分布关系
s ( y)
My Iz
压应力
由公式可知，某一截面的最大正应力发生在 距离中性轴最远处。
s max
M Iz y max Iz y max
弯矩M
截面
取 Wz
拉应力
s max
M Wz
工程力学
s
My z
s——横截面上的正应力，（Pa或MPa） M——横截面上的弯矩，（N· m） y——横截面上任一点到中性轴的距离，（m） Iz——截面对Z轴的惯性矩， 与截面的形状和尺寸有关，（m4)
剪力图Fs
弯矩图M
工程力学
剪力图Fs
弯矩图M
梁段CD上，剪力Fs＝0，弯矩M0
梁段AC和BD上，剪力Fs0，弯矩M0
－－纯弯曲 －－横力弯曲
工程力学
2、实验观察
M M
变形前
a b a b
变形后 mm’ nn’ 仍为直线，且垂 直于aa,bb 根据实验结果，可假设，变形 前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持平面，且仍然垂直于变形后的 梁轴线，这就是弯曲变形的平面假 设。
15kN 1
A 90 90
A 150
B C D 30
B 50 C
150
z
1 4m 1m
y
D 工程力学
解：(1) 画出梁的弯矩图
3m
20kNm
15kN 1
A
B C
D
4m
1m 1
+ 20
M (kNm)
25
工程力学
(2) 计算A、B、C、D四点的正应力。
M 1 1 20 kN m
Iz bh 12
6
Iz
M
C
2 . 9 10
7
C
12 10 146 . 8
6
Iz
2 . 9 10
7
60 . 74 MPa
工程力学
32kN
16kN
10
y2
y 10
4、应力计算
200
A 1m
FA FQ
C 1m
B 0.5m
FB
D
考察B截面，弯矩为负
zO
O
40
y1
M
z
M
12kN
+ －
工程力学
32kN
16kN
10
y2
y 10
4、应力计算
200
A 1m
FA FQ
C 1m
B 0.5m
FB
D
考察C截面，弯矩为正
zO
O
40
y1
12kN
+ －
16kN
+
M
z
M
x
160
C
22 MPa
20kN M 12kN· m
+ －
C截面下边受拉上边受压
x 8kN· m
s
s
C
M
C
y1
y2
12 10 53 . 2
工程力学
矩形截面和圆形截面的惯性矩
矩形截面
圆形截面
Iz
bh 12
，W z
4
h 2 Iz
d 2
4
6
h
3
Iz
bh
2
Iz
d
64
，W z
d
32
3
b
IZ
(D
4
d )
4
D
64
(1 )
4
D
64
WZ
D
32
3
(1 )
4
d D
s沿横截面宽度方向均匀分布。
变形后
m a b m' n a b n'
M
工程力学
变形前
M M
a b a b
由于弯曲的作用，上部纤维缩短， 下部纤维伸长。 中间必有一层保持原长，这一层称 为: 中性层
变形后
m a b m' n a b n'
M
工程力学
b
B
C
b
B'
C'
b c a
b c
横截面
M
c a
c
A'
中性层
A
a
a
cc 是中性层和横截面的交线，称为中性轴 除平面假设外，我们还假设纵向纤维之间无 挤压，即纵向纤维间无正应力。
53 . 2 mm
2
160
z
Iz
160 200 12
3
(160 200 ) (100 53 . 2 )
3
140 160 12
2 . 9 10
7
(140 160 ) (120 53 . 2 )
2
4
mm
y 2 200 53 . 2 146 . 8 mm
z y
dA
Mz
M
z
E
r
y dA M
2 A
s
1
x
Mz My
FN
A
y dA I z
2
y
E
横截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩 1 / r 为梁轴线变形后的曲率 EI越大 1 / r 越小 EI 梁的抗弯刚度
r
Iz M
r
M EI z
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导
s ( y) E
工程力学
公式导出条件： 1、纯弯曲； 2、正应力不超过材料的比例极限；
工程力学
公式适用条件：
1、纯弯曲；（Fs＝0, M0） 2、满足胡克定律； 3、 适合任何形状截面； 4、对于横力弯曲，细长梁可以近似使用（跨 度与截面高度比大于5）；
工程力学
z轴为横截面的对称轴时 (如图形、矩 形、工字形)
工程力学
组合公式：
IZ = IZ（1）+ IZ（2）+……+ IZ（n）
三、平行轴定理
任一截面面积为A，过形心取yc、zc轴，过任一点O取 与yc 平行且相距为b的y1轴及取与zc轴平行且相距为a的
z1轴，则有： IZ1 = IZc+Aa2
Iy1 = Iyc+Ab2
所以：一组平行轴，对过质心的轴的惯性矩最小。
r
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—物理关系 纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩， 当应力小于某一限值(比例极限)时，由胡克定律: 代入几何关系 得到
s E
( y)
y
r
y
s ( y) E
r
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
FN
s ( y )dA
一般情况下，梁弯曲时横截面上既有正应力也 有切应力，为便于讨论，先研究纯弯曲下的应力分 布规律。
t Fs
M
M
Nc Nt
s M
工程力学
思路：先研究只有M，没有Fs情况下，正应力
分布规律：M-s关系。然后分析Fs的存
在对s分布规律的影响。从而得到既有 M又有Fs时的正应力分布规律。
工程力学
火车轮轴简化
16kN
+
x
160
B
20kN M 12kN· m
+ －
B截面上边受拉下边受压
x 8kN· m
s
B
M
y B 2 Iz
8 10 146 . 8
6
2 . 9 10
6
7
40 . 50 MPa
s
B
M
y B 1 Iz
8 10 53 . 2 2 . 9 10
7
14 . 67 MPa
FN
FN 0
0
M
z
M ( 弯矩 )
s ( y )dA
A
E
r
ydA 0
A
E
r
0
A
ydA S z 0
横截面对 z 轴的静矩等于零 Z轴（中性轴）通过截面形心
工程力学
3、纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系
M
z
s ( y ) y d A M ( 弯矩 )
A
|s
L max
| | s C max |
z轴不是对称轴时(如T字、梯形等)
|s
L max
| | s C max |
工程力学
§11-3 惯性矩与平行轴定理
b
惯性矩：
Iz
y dA
A
2
一、简单截面的惯性矩
1、高为h、宽为b的矩形截面：