第11章梁的弯曲应力
第十一章 交变应力
t
z
y r sin t
A点的弯曲正应力为
s s2
O s1
M y M r s sin t I I
s 随时间 t 按正弦曲线变化
s3
s1
t
s4
(Alternating Stress)
三、疲劳破坏（Fatigue failure）
材料在交变应力作用下的破坏习惯上称为疲劳破坏
1.疲劳破坏的特点
下的 应力—疲劳寿命曲线,即 S-N曲线.
(Alternating Stress)
当最大应力降低至某一 smax 值后,S-N 曲线趋一水平,表示 材料可经历无限次应力循环 smax，1 smax，2 而不发生破坏,相应的最大应 力值 smax 称为材料的疲劳极 限或耐劳极限.用 sr 表示.
1 2
§11-4 影响构件持久极限的因素
一、构件外形的影响 二、构件尺寸的影响 三、构件表面状态的影响
§11–1 交变应力与疲劳失效
一、交变应力（Alternating stress )
构件内一点处的应力随时间作周期性变化,这种应力称为交 变应力.
F
A
s
Ｏ
t
(Alternating Stress) 二、产生的原因
1.载荷做周期性变化 2.载荷不变,构件点的位置随时间做周期性的变化
例题1 一简支梁在梁中间部分固接一电动机,由于电动机的重力 作用产生静弯曲变形,当电动机工作时,由于转子的偏心而引起离 心惯性力.由于离心惯性力的垂直分量随时间作周期性的变化,梁 产生交变应力.
(Alternating Stress)
F
F F a Fa
F
a
第一根试件 第二根试件
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
工程力学第17讲 弯曲应力：正应力 惯性矩(完整)
本章主要研究：
单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言 对称弯曲正应力 惯性矩与平行轴定理 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC
i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y
(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引 言
弯曲应力与对称弯曲 本章内容
第十一章北航 材料力学 全部课件 习题答案
(c)
Fcr
π 2 EI 4l 2
11-7
试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。
题 11-7 图 (a)解:相当长度为
5
leq a
临界载荷为
π 2 EI a2 (b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图 11-7b 中的虚线所示。 Fcr
由此得
sin
kl kl kl 4k 2 EI kl [sin (1 )cos ] 0 2 2 2 cl 2
图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与 EI2 。试 证明压杆的临界载荷满足下述方程：
11-11
tank1l tank2l
式中： k1 F /( EI1 ) ; k2 F /( EI 2 ) 。
Fcr， 1
π 2 EI l2
Fcr， 2
显然，压杆的临界载荷为
1.359EI l2
1.359EI l2
Fcr Fcr， 2
11-10
图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的
弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
sin
式中， k F /( EI ) 。
第十一章
压杆稳定问题
11-1
图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c 代表使蝶形弹
簧产生单位转角所需之力偶矩。
题 11-1 图 解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 11-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为 2θ ， 由右段刚杆的力矩平衡方程
l c(2θ ) F (θ ) 0 2
梁的应力计算公式全部解释
梁的应力计算公式全部解释应力是材料受力时产生的内部力，它是描述材料内部抵抗外部力的能力的物理量。
在工程领域中，计算材料的应力是非常重要的，可以帮助工程师设计和选择合适的材料，以确保结构的安全性和稳定性。
梁的应力计算公式是计算梁在受力时产生的应力的公式，它可以帮助工程师了解梁在不同条件下的应力情况，从而进行合理的设计和分析。
梁的应力计算公式是由弹性力学理论推导而来的，它可以根据梁的几何形状、受力情况和材料性质来计算梁的应力。
在工程实践中，梁的应力计算公式通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力三种类型的应力。
下面将分别对这三种类型的应力计算公式进行详细解释。
1. 弯曲应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生弯曲应力。
弯曲应力是由于梁在受力时产生的弯曲变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = M c / I。
其中，σ表示梁的弯曲应力，单位为N/m^2；M表示梁的弯矩，单位为N·m；c表示梁截面内的距离，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4。
弯曲应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的弯曲应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的弯曲应力计算公式进行计算。
2. 剪切应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生剪切应力。
剪切应力是由于梁在受力时产生的剪切变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：τ = V Q / (I b)。
其中，τ表示梁的剪切应力，单位为N/m^2；V表示梁的剪力，单位为N；Q 表示梁的截面偏心距，单位为m；I表示梁的惯性矩，单位为m^4；b表示梁的截面宽度，单位为m。
剪切应力计算公式可以帮助工程师了解梁在受力时产生的剪切应力大小，从而进行合理的设计和分析。
在工程实践中，通常会根据梁的几何形状和受力情况选择合适的剪切应力计算公式进行计算。
3. 轴向应力计算公式。
梁在受到外部力的作用时，会产生轴向应力。
轴向应力是由于梁在受力时产生的轴向变形所引起的，它可以通过以下公式进行计算：σ = N / A。
《弹塑性力学》第十一章 塑性力学基础
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§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y0s
y
M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
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§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
b
N2b EA
(P
s A)b
EA
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§11-2 一维问题弹塑性分析
b
N2b EA
(P s A)b
EA
Pe s A(1 a b) s A Pe (1 a b)
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进
入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变
第11章材料力学弯曲应力练习题
11—5（a） 试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
解： （1）确定形心轴位置
yC A2 C 60 Wz 4Wz
可得：
60 4Wz q 240Wz 2 a
1 2 qa 4
3、计算梁内最大弯曲正应力； 由弯矩图得：
M max 9 qa 2 32
1 2 qa 4
所以梁内最大弯曲正应力：
max
M max 9 240Wz 67.5MPa Wz 32Wz
FN 12103 2、计算应力； N MPa A 5 (40 x)
M
M 6 103 x MPa W 1 5 (40 x) 2 6
3、根据强度条件；
N M
12 103 6 103 x 100 5 (40 x) 1 5 (40 x) 2 6
2、计算最大弯曲正应力； 最大弯矩在固定端。；
M max 7.5 103 103 6 max 176MPa 2 Wz 40 80
3、计算固定端k点处弯曲正应力；
M max yk 7.5 103 103 3012 k 132MPa 3 Iz 40 80
结论:
c=146.9mm
3
A截面的强度足够。
11—17 外伸梁承受载荷F作用，已知载荷F=20 kN，许用应力[σ]＝160 MPa，许用切应力[τ] ＝90 MPa，试选择工字钢型号。
解： 1、绘制剪力图、弯矩图；
第11章 深受弯构件
a)正截面弯曲破坏
b)斜截面弯曲破坏 图11-1 简支深梁的弯曲破坏
c)拉杆拱受力图式
§11-1深受弯构件
（2）剪切破坏 ( 较高) 1) 斜压破坏
2) 劈裂破坏
（a）斜压破坏
（b）劈裂破坏
（3）局部受压和锚固破坏
§11-1深受弯构件
二、短梁的受力性能
（1）弯曲破坏 适筋梁破坏 少筋梁破坏 超筋梁破坏 （2）剪切破坏 斜压破坏 （m＜1） 剪压破坏 （m＝1～2.5） 斜拉破坏 （m>2.5） （3）局部受压和锚固破坏
第11章 深受弯构件
深受弯构件
基本概念和应用
浅梁(普通受弯构件)
P
P h
l / h ＞5 l / h≤5
l 深受弯构件
l / h≤2
（简支梁）
l / h ≤ 2.5 （连续梁） 2 ＜l / h ≤ 5 （简支梁） 2.5 ＜l / h ≤ 5（连续梁）
深梁
深受弯构件
短梁
深受弯构件
基本概念和应用
图11-8 撑杆计算高度 a)盖梁立面示意图 b)盖梁侧面示意图
0Td fsd As
（11-10）
3.抗剪承载力计算
可按一般钢筋混凝土受弯构件计算。
§11-2 深受弯构件的计算
图11-3 柱式墩台示意图 a)正面图 b)侧面图
§11-2 深受弯构件的计算
一、深受弯构件（短梁）的计算
1. 深受弯构件的正截面抗弯承载力计算
fsd As C
0Md Mu fsd As z
l z (0.75 0.05 )( h0 0.5 x) h
深受弯构件
基本概念和应用
深受弯构件
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第11章梁的弯曲应力教学提示：梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力； 梁横力弯曲时横截面 上的切应力；提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。
教学要求：掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程， 理解横力 弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
掌握中性层、中性轴和翘曲 等基本概念和含义。
熟练掌握弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计 算。
了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。
从弯曲强度条件出发， 掌握提高弯曲强度的若干措施。
在外荷载作用下，梁截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有 正应力和剪应力。
弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩； 而剪力是切于横 截面的分布内力的合力。
本章研究正应力C 和剪应力T 的分布规律，从而对平面 弯曲梁的强度进行计算。
11.1梁的弯曲正应力11.1.1弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过 试验，观察弯曲变形的现象。
取一具有对 称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上， 画两条垂直于梁轴线的横线 mm 和nn ，再 在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线 ab 和cd ，如图11.2(a)所示。
然后按图 11.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲 状态。
从试验中可以观察到图11.2(b)情况: (1) 梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正 交，只是横线间作相对转动。
平面弯曲情况下，一般梁横截面上既 有弯矩又有剪力，如图11.1所示梁的AC DB 段。
而在CD 段内，梁横截面上剪力等 于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。
下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公 式。
应综合考虑变形几何关系、物理关系 和静力学关系等三个方面。
.c(a)FfI» fln EllCi)nn(2) 纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。
(3) 在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加， 情况与轴向拉、压时的变形相似。
根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面， 且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。
前者称为 弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。
根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上 不存在剪应力。
根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区， 其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图 11.2(c)所示。
中性层与横 截面的交线称为中性轴。
对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷 载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。
综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面， 仍与变弯后的梁轴正交，并 绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。
从梁中截取一微段dx ，取梁横截面的对 称轴为y 轴，且向下为正，如图11.3 (b)所 示，以中性轴为y 轴，但中性轴的确切位置 尚待确定。
根据平面假设，变形前相距为 dx 的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋 转了一个角度d 0，并仍保持为平面。
中性层 的曲率半径为P ，因中性层在梁弯曲后的长 度不变，所以ab =dx =田®变形后为ab = (P + y )d ®故其纵向线应变为(P + y)d 半-P d ® y 8 = -------------- =—屮 P比。
2、物理关系因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单 向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知b = E 呂将(a)式代入上式，得又坐标为y 的纵向纤维ab 变形前的长度 为 (a)可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标 y 成正图/I(b)这就是横截面上正应力变化规律的表达式。
由此可知，横截面上任一点处的 正应力与该点到中性轴的距离成正比， 正应力均相等，这一变化规律可由图 3、静力学关系 以上已得到正应力的分布规律，小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。
这些问题需再从静力学关系来解 决。
(T dA 组成一空间平行力系, 仅存在位于 x-y 平面的弯矩M 因此，(c)而在距中性轴为y 的同一横线上各点处的 11.4来表示。
但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大如图11.5所示，横截面上各点处的法向微内力 而且由于横截面上没有轴力，F NM y =bdA = 0 (d)M z =J yodA =0(e)以式(b)代入式(C)，得肿dA =Ek ydA = 0f)上式中的积分代表截面对 S z 。
静距等于零意味着Z 轴必须通过截面的 形心。
以式(b)代入式(d)，得Z 轴的静矩2dA = Ef yzdA = 0'Ap 'A J(g)式中，积分是横截面对y 和Z 轴的惯性积。
有I yz =0,所示上式是自然满足的。
以式(b)代入式(e)，得由于y 轴是截面的对称轴，必然式中积分 Jy 2dA = l ZA是横截面对Z 轴(中性轴)的惯性矩。
于是，(h)式可以写成(i)(11.1)此式表明，在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩 M 成正比, 与El z 成反比。
在同样的弯矩作用下，El z 愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形， 故El z 称为梁的抗弯刚度。
再将式(11.1)代入式(b),于是得横截面上y 处的正应力为Mc =——yI z此式即为纯弯曲正应力的计算公式。
式中M 为横截面上的弯矩；I z 为截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中 性轴的距离。
当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应 力；弯矩为负时，则与上相反。
在利用(11.2 )式计算正应力时，可以不考虑式 中弯矩M 和y 的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由 梁的变形来判断。
应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下， 以矩形梁为例建立的，但对于 具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍然可 以使用。
同时，在实际工程中大多数受横向力作用的梁， 横截面上都存在剪力和 弯矩，但对一般细长梁来说，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。
因此， (11.2 )式也适用于非纯弯曲情况。
11.1.2最大弯曲正应力由式(11.2)可知，在y=y max 即横截在由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力 最大，其值为式中，比值I z /y max 仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗 弯截面模量。
用 W 表示。
即为W z = lzymax于是，最大弯曲正应力即为Mb max —W z可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比， 与抗弯截面系数成反比。
抗弯截面系 数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
(11.2 )◎maxM=—ymax1zM y(11.3)(11.4)图11.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为(11.5)而空心圆截面的抗弯截面系数则为式中a=d/D,代表内、外径的比值。
至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录） 。
例11.1图11.7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm y=6cm a=2m F=1.5KN 。
计算A 截面上K 点的弯曲正应力。
zJ A1 1r么b图IL 7先计算截面上的弯矩截面对中性轴的惯性矩兀d 3W-32(11.6)3Wr(i 4(11.7)b=12cm M A =—Fa = —1.5咒 2 = -3kNmbV (a)<NCc图 11.3 3bh 12°"8° =5.832"07mm4 I z12 126M A 3x10 cc cccR 仆贝U b k = - y = ---------- X 60 = 3.09MPaI Z5.832x107A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力。
11.2平面图形的几何性质构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。
反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇 到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、 抗弯截面系数等，统称为截面的几何 性质。
为了计算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质。
现在来讨论截 面的一些主要的几何性质。
11.2.1形心和静矩若截面形心得坐标为y c 和Z C （ C 为截面形心），将面积得每一部分看成平行 力系，即看成等厚、均质薄板的重力，根据合力矩定理可得形心坐标公式•AzdA^ydA静矩又称面积矩。
其定义如下，在图 11.8中任意截面内取一点 M （乙y ）, 围绕M 点取一微面积dA ，微面积对z 轴的静矩为ydA ，对y 轴的静矩为zdA ，则 整个截面对z 和y 轴的静矩分别为：有形心坐标公式J A ydA = Ay eJAzdA = Az e知:S z = f ydA =Aye(c)S y = JA zdA = Az c上式中y e 和Z e 是截面形心e 的坐标，A 是截面面积。
当截面形心的位置已知 时可以用上式来计算截面的静矩。
从上面可知，同一截面对不同轴的静矩不同， 静矩可以是正负或是零；静矩 的单位是长度的立方，用m 3或cm 、mm 等表示；当坐标轴过形心时，截面对该 轴的静矩为零。
当截面由几个规则图形组合而成时， 截面对某轴的静矩，应等于各个图形对(a)S z = J AydAS y = JA zdA(b)该轴静矩的代数和。
其表达式为nS z = W A i yii J nS y = 2 A i zi 丄而截面形心坐标公式也可以写成S Az y C = -----S A i11.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理从上面可以看出，惯性矩总是大于零， 以是正、负和零；惯性矩、惯性积和极惯性矩的单位都是长度的四次方， cm 、mr^等表示。
同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。
同一截面对 二根平行轴的惯性矩和惯性积虽然不同， 但它们之间存在一定的关系。
下面讨论 二根平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。
图11.9所示任意截面对任意轴对z '轴和y '轴的惯性矩、惯性积分别为I z 、丨y ，和2 y ^ 0 过形心C 有平行于z '、y '的两个坐标轴z 和y ， 截面对Z 、y 轴的惯性矩和惯性积为I z 、I y 和 I zy 。
对oz 'y '坐标系形心坐标为C (a,b )。
截面 上选取微面积dA ，dA 的形心坐标为z ，= z +a y ，= y +b图IL 9(d)(e)Z cf) (g)在图11.8中任意截面上选取一微面积 性矩为z 2dA 和VdA 。