梁弯曲时的正应力 知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力
纯弯曲梁横截面上的正应力
11.74 MPa
内max
Mmax Iz
h 2
1.44130Nm81 02m
731 6 08m4
2
78.3 MPa
例7-2 一受集中载荷的简支梁，由18号槽钢制成，如图7-7(a)所示。已知 梁的跨度 l=2 m，F=5 kN。求此梁的最大拉应力和最大压应力。 解：1、作弯矩图
h
b
d
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]
若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉、压应力并不相等，这时 应分别进行计算。
思考题1：
梁发生平面弯曲时，其横截面绕______旋转。 A.梁的轴线 B.中性轴 C.截面的对称轴 D.截面的上（或下）边缘
答案 B.
扭转时横截面才绕轴线旋转，A不对。弯曲时横截面是绕中性轴旋转。 中性轴不一定是对称轴，中性轴过形心，不会在上、下边缘，所以C、D不 对。
抗弯截面模量
max
M Wz
四、截面惯性矩与抗弯截面模量
1、矩形截面
Iz
1b3h, 12
Wz 1 6b2h
c
z
h
y b
2、圆形截面
Iz
d4,
64
Wz 32d3
d
c
3、圆环形截面
d
d
z
D
Iz
D4(14),
64
Wz 32D3(14)
y
D
思考： Wz ?
Z
各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到若梁的横截面对中性轴不对称其最大拉压应力并不相等这时应分别进行计算
一、纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“FQ” 切应力“τ”； 弯矩“M” 正应力“σ”
１、纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应
材料力学梁的应力知识点总结
材料力学梁的应力知识点总结梁是一种常见的结构元件，在工程中广泛应用。
了解梁的应力知识点对于工程设计和分析非常重要，本文将对材料力学梁的应力知识点进行总结。
1. 弯曲应力在弯曲载荷下，梁会发生弯曲变形，产生弯曲应力。
弯曲应力分为正应力和剪应力两部分。
梁的顶端受拉产生正应力，底端受压产生正应力。
横截面上由于剪力的存在，产生剪应力。
弯曲应力与梁的几何形状、材料性质和载荷有关。
2. 矩形截面的弯曲应力分布对于矩形截面的梁，弯曲应力的分布是不均匀的。
顶部和底部的纤维受到最大应力，处于拉伸或压缩状态。
靠近中性轴的纤维受到较小的应力。
弯曲应力的分布可用弯矩与惯性矩的比值来表示。
3. 剪应力和剪力流在梁的截面上，由于剪力的存在，产生剪应力。
剪应力的分布是沿纵横两个方向呈对称分布的。
剪应力在截面上的变化呈线性分布，最大值出现在截面的边缘。
剪力流是指单位深度上的剪力大小，剪应力和剪力流之间存在直接的线性关系。
4. 应力分量的变换在梁的应力分析中，常常需要对应力分量进行变换。
常用的应力分量变换公式有平面应力变换公式和平面应变变换公式。
5. 横截面形状的影响梁的横截面形状对其应力分布和强度有显著影响。
常见的梁截面形状有矩形、圆形和I型等。
圆形截面具有均匀的应力分布特点，适用于承受压力的情况。
I型截面具有较高的抗弯强度，适用于悬挑梁和跨大距离的情况。
6. 梁的断裂当梁受力达到其强度极限时，可能会发生断裂。
断裂形式可以是横断面的剪断、疲劳断裂或脆性断裂等。
设计中需要考虑梁的强度和刚度，以避免出现断裂。
总结：材料力学梁的应力知识点对于工程领域非常重要。
弯曲应力、剪应力和剪力流是梁应力分析的关键内容；矩形截面的弯曲应力分布是不均匀的，可以用弯矩与惯性矩的比值表示；横截面形状对梁的应力分布和强度有重要影响。
通过深入理解和应用这些知识点，可以对梁的行为和性能进行合理评估和设计。
梁变形与梁应力部分小结
梁变形与梁应力部分小结一、梁的应力与变形公式1、平面弯曲的正应力σ公式 y Ey I M Zρσσ==研究方法：平面弯曲、纯弯曲平面假设、单向受力假设①变形几何关系（条件、方程）ρεy=（应变沿截面高度的分布规律）y ——截面上某点到中性轴的距离 ②物理关系（条件、方程）ρσyE εE ⋅=⋅= （应力沿截面高度的分布规律）③静力学关系（条件、方程）dAy Ey σdA M0ydA EσdA F A2AZAAN ⎰⎰⎰⎰=⋅====⊗ρρ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰中性轴—Z dA y I A 2Z ()4m()⎰=⋅=→AZ Z 0dA y S S 3m 静矩 （中性轴Z 轴通过形心）2、弯曲变形基本公式（方程）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±==22Zdx y d EIM ρρ1（ρ1曲率）3、任一点处弯曲正应力的表达式（对同一截面而言）y I M Z=σ ZI ——截面对中性轴的惯性M ——该截面上的弯矩值 y ——该截面上某点至中性轴之矩 4、平面弯曲剪应力公式 ①基本公式：bI S Fs Z Z *=τ 式中：b ——横截面上要计算剪应力之点处的宽度Z I ——整个截面对中性（形心）轴的惯性矩*ZS ——横截面上距中性轴为y 的横线以外部分截面对中性轴Z 的静矩②横截面上最大剪应力（危险点在中性轴上各点）记忆⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====2maxmax 3ππ16Fs A Fs 34τbh Fs 1.5A Fs23τ查表Z I ：m ax Z S 值（应用）二、平面弯曲强度条件与刚度条件1、弯曲正应力强度条件 []σσ≤=ZW M m ax （对称）[][][][])() ( 2m ax m ax σy y I M y I M Zl 1Z 压拉压拉σσσσσ≤=≤=（不对称）2、弯曲剪应力强度条件 []ττ≤=bI S Fs Z Zmaxmax m ax 危险点均在危险截面的中性轴各点处应力沿截面高度的成抛物线分布规律3、刚度条件（用叠加法求出梁中最大转角与挠度）转角[]θθ≤m ax 、()角度弧度⇒⋅πθ180m ax rad挠度[] max max ωω≤(m) 满足刚度条件三、提高弯曲强度与弯曲刚度的措施1、选择合理的截面（考虑材料力学性质） ①AW Z一般情况该比值越大越合理 工＞＞②铸铁[]压σ＞[]拉 σ，中性轴偏于受拉边 Z (中性轴) 2、合理布置梁的支座和载荷①合理布置梁的支座 ②合理布置梁的载荷 ③等强度梁（变截面梁）m ax m ax τ矩形梁 圆截面梁 工字梁危险点均在危险截面的上、下边缘点处应力沿截面高度成线性分布四、用变形比较法求解超静定（静不定）梁1、确定静定基。
梁的应力
384 MPa
t max 178 MPa , c max 384 MPa
5. C 截面曲率半径ρ
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
M C 60kN m
z y
FBY
I Z 5.832 10 m
1 M EI
9
5
4
FS 90kN
x 90kN
C
EI Z MC
200 10 5.832 10 60 10
3
5
q=60kN/m
180
3. C 截面最大正应力
120
A
1m
FAY
B C
l = 3m
30
C 截面弯矩
M C 60kN m
x
K
z y
Cmax
FBY
I Z 5.832 10 m
M C ymax IZ
3
5
4
FS 90kN
x 90kN x
60 10
180
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。 1、观察实验：
2、变形规律： ⑴、横向线：仍为直线， 只是相对转动了一个角度 且仍与纵向线正交。
⑵、纵向线：由直线变为 曲线，且靠近上部的纤维 缩短，靠近下部的纤维伸 长。 3、假设： M
a
c
b
a
§ 梁横截面的正应力和正应力强度条件
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“Fs”——切应力“τ”； 弯矩“M”——正应力“σ”
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
梁弯曲知识点总结
梁弯曲知识点总结一、弯曲概念在物理学和工程力学中，弯曲是指在材料受到外力作用下，产生一种曲率变化的变形形式。
在梁的情况下，当梁受到外部载荷作用时，梁将发生一种曲率变化，即梁的一部分受到压力而另一部分受到拉力，使得梁产生一种弯曲的变形形式。
梁的弯曲是梁理论研究的重要内容之一。
二、弯曲的原理梁的弯曲原理是由梁的弯矩和弯曲应力来描述的。
梁在弯曲时，横截面上的各个点受到的弯矩不同，由于弯矩的不平衡，在梁的上表面产生的张力，下表面产生的压力，产生了一种称为弯曲应力的内力形式。
弯曲应力的作用下，梁在弯曲的过程中产生了曲率变化，弯曲原理是用来描述梁在弯曲时的变形和内力情况的。
三、梁的弯曲方程梁的弯曲方程是用来描述梁在弯曲时的曲率和弯矩之间的关系的。
梁的弯曲方程可以通过力学原理和材料力学原理来推导出来。
梁的弯曲方程可以用来计算梁在受载时的弯曲变形和各个截面上的应力情况，对于工程结构的设计和分析具有非常重要的意义。
梁的弯曲方程通常包括以下几个方面：1.梁的弯曲变形方程：描述梁在弯曲时产生的曲率变化和曲线形状；2.梁的弯矩方程：描述梁在受力状况下产生的弯矩大小和分布情况；3.梁的弯曲应力方程：描述梁在弯曲状况下产生的应力大小和分布情况。
梁的弯曲方程是梁理论的核心内容，对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。
四、梁的弯曲理论梁的弯曲理论是研究梁在受载时的弯曲变形和内力情况的理论。
梁的弯曲理论是以弹性理论和材料力学为基础的，通过对梁在弯曲时的力学原理和材料力学原理进行分析和推导，得出了梁在弯曲时的各种数学模型。
梁的弯曲理论可以应用于工程结构的设计和分析中，能够比较准确地描述梁在受载时的变形和内力情况，为工程结构的安全和稳定性提供理论依据。
梁的弯曲理论包括以下几个方面：1.梁的弯曲变形分析：描述梁在受载时产生的形状和曲率变化；2.梁的弯曲应力分析：描述梁在受载时产生的应力大小和分布情况；3.梁的弯曲挠度分析：描述梁在受载时产生的挠度大小和分布情况；4.梁的弯曲裂缝分析：描述梁在受载时产生的裂缝情况。
第八讲 弯曲正应力
)
/(h0
/
2)
5.8.1 弯曲正应力
7、常见截面的IZ和WZ
IZ = y2dA
A
Wz
=
IZ ymax
Ip =
ρ2dA
A
Wt
=
Ip ρmax
圆截面
IZ
=
d 4
64
Wz
=
d3
32
πd 4 Ip = 32
πd 3 Wt = 16
空心圆截面
IZ
=
D 4
64
(1 −
4)
Wz
=
D3
32
(1− 4 )
yzdA=0
A
y
M
z
My
y z dA
5.8.1 弯曲正应力
惯性矩的定义
y
z
dA
ρ y
O
I y =
z 2 dA
A
Iz =
y2dA
A
I yz =
yzdA
A
z
IP =
2dA
A
5.8.1 弯曲正应力
惯性矩的性质
➢ 惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯性矩，是 对点定义的。
➢ 任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂 直的轴的惯性积为零。
5.8.1 弯曲正应力
3、几何关系
变形观察
mn aa bb m x n
m´ n a´ a´ b´ b´ m´ n´
（1）平面假设： 变形前为平面的横截面变 形后仍保持为平面，且垂 直于变形后的梁轴线，只 是绕截面内某一轴线偏转 了一个角度。
5.8.1 弯曲正应力
3、几何关系
变形观察
mn aa bb m x n
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
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中性轴：中性层与横截面的交线。
线应变的公式：
cd cd y d d y d cd
注：对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常 数，因此上式说明同一截面处任一点纵向纤维的线 应变与该点到中性层的距离成正比
图（8.2）
gzdy
Hale Waihona Puke jxlxz工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
3、适当布置载荷和支座位置 在梁的内力一章中知道，梁的弯矩图与载荷作用 的位置和梁的支承位置有关。在可能的情况下，如查 适当地调整载荷或支承的位置，可以减小梁的最大弯 矩，增大梁的抗弯能力。 对于梁上的集中载荷，如要能适当地将它分散， 也可提高梁的抗弯强度。
h 2
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力强度条件
max
M max WZ
对于脆性材料，其抗拉和抗压强度不同，宜选用中性 轴不是截面对称轴梁，并分别对抗拉和抗压应力建立 强度条件
max
max
gzdy
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
提高梁抗弯能力的措施 1、采用变截面梁 在工程实际中不少构件都采用了变截面 梁的形式 1）在厂房建筑中经常采用的鱼腹梁。 2）桥式起重机的大梁 3）汽车以及其他车辆上经常使用的叠 板弹簧等等 2、选用合理截面 可以用比值Wz /A来衡量截面的经济程 度。这个比值愈大，所采用的截面愈经 济合理。
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
例1 图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝ 30MPa，许用压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截 面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校 核梁的强度。
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
B
最大压应力（下边缘）：
M B y2 4 10 6 88 46.13MPa 4 Iz 763 10
B
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
3、求出C截面最大应力 最大拉应力（下边缘）：
M C y2 2.5 10 6 88 28.83MPa 4 Iz 763 10
C
最大压应力（上边缘）：
M C y1 2.5 10 6 52 17 .04 MPa Iz 763 10 4
C
由计算可见： 最大拉应力在C点且σCmax=28.83MPa<[σ]＋ =30MPa 最大压应力在B点且σBmax=46.13MPa<[σ]－ ＝60MPa 故梁强度足够
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
梁弯曲时的正应力
知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力平衡关系
4、强度条件 5、提高梁抗弯能力的措施
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
平截面规律：纯弯曲梁变形后名横截面仍保持为一平面。这个变
形规律称为。
中性层：由于变形的连续性，在伸长纤维与缩短纤维之间，必然存
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力公式: 当正应力不超过材料的比例极限 时可应用虎克定律，可得cd处的正 应力为： σ=Eε=Ey/ρ。 由上式可知，横截面上任一点的 弯曲正应力与该点到中性轴的距离 成正比，即正应力沿截面高度呈线 性变化，在中性轴处，y=0，所以正 应力也为零。
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
小结： 1、强度条件： 1）塑性材料
max
M max WZ
2）脆性材料 max
max
2、提高梁抗弯能力的措施
gzdy
jxlxz
图（8.1)
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力的计算公式： σ=My/Iz。 其中：Iz为截面对z轴的惯性矩 最大正应力公式
max
M ymax Iz
max
M Wz
惯性矩计算
bh3 I z y 2 dA h y 2 (bdy) A 2 12 Iz I z bh2 Wz h ymax 2 6
解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，画出弯矩 图如 b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即：C点 为上压下拉，而B点为上拉下压 2、求出B截面最大应力 最大拉应力（上边缘）：
M B y1 4 10 6 52 27.26MPa 4 Iz 763 10