高等数学(同济第六版)第三章第5节

y
−1
1
x
7
第二章第五节
定理3 判别法的推广 判别法的推广) 定理 (判别法的推广 数,且 为偶数时 为偶数时, 则: 1) 当 n 为极值点 , 且 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n 为奇数时 为奇数时, 证: 利用 在 不是极值点 . 点的泰勒公式 , 可得
f (n)( x0) ≠ 0,
9
第二章第五节
二、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
则其最值只能 极值点或端点处达到 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值 M =m { ax 最小值
} f (a), f (b)
10
第二章第五节
特别: 特别 •当 在 内只有一个极值可疑点时 内只有一个极值可疑点时 一个极值可疑点时,
21
第二章第五节
3. 设
的一个解, y = f (x) 是方程 y′′ − 2 y′ + 4 y = 0 的一个解
若 f ( x0) > 0, 且 f ′( x0) = 0, 则 f (x) 在 x0 ( (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示: 提示
2 2 2 f ′( π ) = acos( π ) + cos 3( π ) = 0 3 3 3 ∴ a=2
备用题 1. 试问 a 为何值时, f ( x) = asin x + 1sin3x 为何值时
又 ∵ f ′′(x) =− 2sin x − 3sin3x,
第三章
第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
1
第二章第五节
一、函数的极值及其求法
定义: 定义 在其中当 (1) 则称 称 (2) 则称 称 为 为 时, 的极大点 , 为函数的极大值 ; 为函数的极大值 的极小点 , 为函数的极小值 为函数的极小值 .
3 2
在闭区间 且
− (2x3 − 9x2 +12x), − 1 ≤ x ≤ 0 4 2x − 9x +12x,
2
0<
−1 x≤5 4 2
1
2
5 2
f (x) = x(2x2 −9x +12)
2
1 = − 6x +18x −12 −6( x −1)( x − 2), − 4 ≤ x < 0 f ′(x) = 2 0< x ≤ 5 6x −18x + 12= 6( x −1)( x − 2), 2
A
)
f ′′( x0) = −4 f ( x0) < 0
22
第二章第五节
作业
P160 1 (5), (9); 10; 14;
2; 3; 5 ; 15
23
第二章第五节
3 2 在 x = π 时取得极值 , 求出该极值 并指出它是极大 求出该极值, 3 还是极小. 还是极小 解: ∵ f ′(x) = a cos x + cos 3 x , 由题意应有
提示: 提示 利用极限的保号性 .
(L. P500 题4)
20
第二章第五节
2. 设 f (x)在 x = 0 的某邻域内连续 且 f (0) = 0, 的某邻域内连续, f ( x) lim = 2,则在点 x = 0 处 f (x) ( D ). x→01− cos x (A) 不可导 ; (B) 可导 且 f ′(0) ≠ 0; 可导, (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 提示 利用极限的保号性 .
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 . 小 小 •当 在 上单调时, 最值必在端点处达到 单调时 最值必在端点处达到.
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 有时可根据实际意义 实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
11
第二章第五节
例3. 求函数 上的最大值和最小值 . 解: 显然
在闭区间
由于 ϕ(x) 与 f (x)最值点相同 , 因此也可通过 ϕ(x) 求最值点. 求最值点 ( 自己练习 )
13
段的距离为100 km , 工厂 距 A 处20 工厂C 例4. 铁路上 AB 段的距离为 Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 ⊥ 公路, 公路 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 物从B 运到工厂C 的运费最省, 物从 运到工厂 的运费最省 问 D 点应如何选取 点应如何选取?
极大点与极小点统称为极值点 极大点与极小点统称为极值点 .
2
例如 (P146例4) 例 3 2 f ( x) = 2x − 9x + 12x − 3 是极大值 为极大点 ,
第二章第五节
y
2 1
o 1 2 x 是极小值 为极小点 , 注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质 注意 函数的极值是函数的局部性质 局部性质. 2) 对常见函数 极值可能出现在导数为 0 或 对常见函数, 极值可能出现在导数为 不存在的点. 不存在的点 y x1 , x4为极大点
. 则f ( x)在x0 取极大值 ; 则f ( x)在x0 取极小值
(自证 自证) 自证
4
第二章第五节
例1. 求函数
解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 2 令 f ′( x) = 0 , 得 x1 = 5; 令 f ′( x) = ∞ , 得 x2 = 0 3) 列表判别
2 −2 − 1 5 x−5 f ′( x) = x3 +( x −1) ⋅ 2 x 3= 3 ⋅ 3 3 x
δ
6
第二章第五节
例2. 求函数 解: 1) 求导数 f ′( x) = 6x( x2 −1)2,
的极值 .
f ′′( x) = 6( x2 −1)(5x2 −1)
2) 求驻点 令 f ′( x) = 0, 得驻点x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1 3) 判别 因 f ′′(0) = 6 > 0, 故 为极小值 ; 故需用第一判别法判别. 又 f ′′(−1) = f ′′(1) = 0, 故需用第一判别法判别
α 为多少时才可使力
正压力
的大小最小? 的大小最小
解: 克服摩擦的水平分力
α
P
F
∴
即 令
F cosα = µ(5g − F sinα)
5µ g F= , α ∈[0, π ] 2 cosα + µsinα ϕ(α) = cosα + µsinα
则问题转化为求 ϕ(α) 的最大值问题 .
16
第二章第五节
5x
400
14
第二章第五节
例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 令 得 从而有 即
1 b(d2 − b2), =6 2 2
1d 3 2
b∈(0,d) ∈
所以 不是极值点 .
−1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 定理3 都是充分的. 说明 极值的判别法 定理 ~ 定理 ) 都是充分的 当这些充分条件不满足时, 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: 例如
f (0) = 2为极大值 , 但不满足定理 但不满足定理1 ~ 定理 的条件 定理3 的条件.
− +
f ′( x) f ′( x) − f ′( x0) 证: (1) f ′′( x0) = lim = lim x − x0 x→x0 x − x0 x→x0
由f ′′( x0) < 0知, 存在 δ > 0,当 < x − x0 < δ 时 0 , f 故当x0 −δ < x < x0时，′( x) > 0; + − f 当x0 < x < x0 + δ 时，′( x) < 0, − x0 x0 x0+δ . 由第一判别法知 f ( x)在x0 取极大值 (2) 类似可证 .
1.4
θ
1.8
x 1.4 + 1.8 1.8 θ = arctan − arctan , x ∈(0, + ∞) x x 1.8 − 3.2 −1.4( x2 − 5.76) + 2 = 2 θ′ = 2 2 2 x + 3.2 x + 1.8 ( x + 3.22)( x2 + 1.82) 令 θ′ = 0, 得驻点 x = 2.4∈(0, + ∞)
Ax D
20
C
100
第二章第五节
B
) = 解: 设 AD= x (km , 则 CD = 202 + x2 , 总运费
y′ =k (
令 得 极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
y′′ = 5 ) ( − 3), k 为某一常数k 3 2 2 2 400 + x (400 + x ) 所以 x =15为唯一的 又
w′ = 1(d − 3b ) 6
b=
h = d − b2 =
2d 3
d h
d : h: b = 3 : 2 : 1 由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个 故所求 驻点只一个,
结果就是最好的选择 .
15
b
第二章第五节
例6. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作 问力 与水平面夹角 用开始移动, 用开始移动 设摩擦系数