2016-2017朝阳高三第一学期期末数学(理)试题及答案

北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类） 2017．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}12<=xx A ，{}20B x x =-<，则()U A B = ðA ． {|2}x x >B ．{}02x x ≤<C ． {|02}x x <≤D ． {|2}x x ≤ 2．在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是A ．cos y x =B ．2y x =-C ． 1()2xy = D ． |sin |y x =4．若0a >，且1a ≠，则“函数x y a =在R 上是减函数”是“函数3(2)y a x =- 在R 上是增函数 ”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A ．6B ．8C ．10D ．12 6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为A．3B ．43 CD ．4正视图侧视图7．在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 是边BC 上的动点，且3AB =，4AC = ,AD AB AC λμ=+(0,0λμ>>)，则当λμ取得最大值时,AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1258．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A ．23 B ． 20 C ．21 D ．19 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 ． 10．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =，2S =则2a = ，10S = ．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．12．在△ABC 中，已知45,B AC ∠=︒=，则C ∠=13．设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ，则2x y +的最大值是_______的取值范围是 ．14．若集合M 满足：,x y M ∀∈，都有,x y M xy M +∈∈，则称集合M 是封闭的．显然，整数集Z ，有理数集Q 都是封闭的．对于封闭的集合M （M ⊆R ），f ：M M →是从集合M 到集合M 的一个函数，①如果,x y M ∀∈都有()()()f x y f x f y +=+，就称f 是保加法的；②如果,x y M ∀∈都有()()()f xy f x f y =⋅，就称f 是保乘法的； ③如果f 既是保加法的，又是保乘法的，就称f 在M 上是保运算的． 在上述定义下，集合},n m n +∈Q 封闭的（填“是”或“否”）；若函数()f x在Q 上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数()=f x ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且//,,AF BE AB BE ⊥平面ABCD 平面,ABEF AB =22AB BE AF ===.（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ； （Ⅱ）若二面角D AB E --为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小； （ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ?FAD CBE若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由． 18． （本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P 与其顶点(A ,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．19．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)1f x x ax x =-+++，2()(1)e x g x x ax =-+，R a ∈．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （Ⅲ）证明()()f x g x ≤．20．（本小题满分13分）设(3)m,n m n ≤≤是正整数，数列:m A 12m a ,a ,,a L ，其中(1)i a i m ≤≤是集合{123},,,,n L 中互不相同的元素．若数列m A 满足：只要存在1i,j i j m ≤<≤（）使i j a a n +≤，总存在1kk m ≤≤（）有i j k a a a +=，则称数列m A 是“好数列”． （Ⅰ）当6100m ,n ==时，（ⅰ）若数列6:11789790A ,,x,y,,是一个“好数列”，试写出x,y 的值，并判断数列：11789097,,,x,,y 是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列6:1178A ,,a,b,c,d 是“好数列”，且a b c d <<<，求a,b,c,d 共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列m A 是“好数列”，且m 是偶数，证明：1212m a a a n m ++++≥L ．北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2017．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2()cos 2cos 1f x x x x =+-x x 2cos 2sin 3+=2sin(2)6x π=+．所以)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………………7分（Ⅱ）因为2,2.64663x x πππππ-≤≤≤+≤所以- 当2,626x x πππ+==即时，)(x f 取得最大值2；当2,,()666x x f x πππ+=-=-即时取得最小值1-．…………………………13分16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）作出茎叶图如下：…………………………………4分（Ⅱ）派甲参赛比较合适．理由如下：()170280490289124835858=⨯+⨯+⨯++++++++=甲， ()1x 70180490350035025858=⨯+⨯+⨯++++++++=乙， 甲乙9884215350035025789()()()()()2222221s 788579858185828584858⎡=-+-+-+-+-+⎣甲()()()22288859385958535.5⎤-+-+-=⎦，()()()()()2222221s 758580858085838585858⎡=-+-+-+-+-+⎣乙 ()()()22290859285958541.⎤-+-+-=⎦因为 x =甲x 乙，22s s <乙甲，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． …………………………8分注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分．如 派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的频率为138f =，乙获得85分以上（含85分）的频率为24182f ==． 因为21f f >，所以派乙参赛比较合适．（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， ()63A 84P ==． ……………………………………………………… 9分随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，且3(3,)4ξB ∼．∴()3331C 44kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 0,1,2,3=．所以变量ξ的分布列为：11分19272790123646464644Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （或393.44nP Eξ==⨯=） ………………………………………………13分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连结BD ，设AC BD O = ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则//OG BE ，且12OG BE =． 由已知//AF BE ，且12AF BE =，所以//,AF OG OG AF =． 所以四边形AOGF 为平行四边形． 所以//AO FG ，即//AC FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ．……………………………………………………5分（Ⅱ）由已知，//,AF BE AB BE ⊥，所以AF AB ⊥．因为二面角D AB E --为直二面角， 所以平面ABCD ⊥平面ABEF ． 所以AF ⊥平面ABCD ， 所以,AF AD AF AB ⊥⊥．四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥． 所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点，,,AD AB AF 分别为,,x y z 轴建立空间直 角坐标系（如图）． 因为22AB BE AF ===，所以(000),(0,2,0),(2,2,0),(200),(0,2,2),(0,0,1)A B C D E F ，，，，，所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2)AC CD CE ==-=-．（i ）设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，FADCB EOG由 0,0CD CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得20, 220. y x z -=⎧⎨-+=⎩即0, 0. y x z =⎧⎨-=⎩ 取1x =，得(1,0,1)=n ．设直线AC 与平面CDE 所成角为θ，则1sin cos ,2AC θ=〈〉==n ，因为090θ≤≤︒，所以30θ=︒．即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒．………………………………9分（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ= ． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．又(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=-- ，所以2(22)20,2(22)20.BP DF BP EF λλλλ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=---=⎪⎩解得 23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =． （另解）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ= ． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．设平面DEF 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则 0,m DF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩由(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=-- ， 得000020,20.x z y z -+=⎧⎨--=⎩取01x =，得(1,1,2)=-m ．由m BP μ=，即(22,22,2)(1,1,2)λλλμ--=-，可得22,22, 22.λμλμλμ-=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．………………………………………………………………14分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为±OM 的方程是y x =，由22236,,3x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =，1y =±．取(2M，则(1)2N -．所以OMN ∆的面积为2②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=． 因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =．所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-． 所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-． 由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)+∞，(221)()1x ax a f x x -+'=-．当1a =时， (2)426f a '=+=，(2)437f a =+=．所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为76(2)y x -=-．即65y x =-． …………………………………4分（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()(e 2)xg x x a '=+．①当0a =时，函数()(1)e xg x x =-只有一个零点；②当0a >，因为e 20xa +>，当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>． 所以函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 又(0)1g =-，(1)g a =，因为0x <，所以10,1x x e -<<，所以(1)1x e x x ->-，所以2()1g x ax x >+-取012x a-=，显然00x <且0()0g x >所以(0)(1)0g g <，0()(0)0g x g <．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ③当0a <时，由()(e 2)0xg x x a '=+=，得0x =，或ln(2)x a =-．ⅰ) 当12a <-，则ln(2)0a ->． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． ⅱ) 当12a =-，则l n (2)0a -=，()g x 在(,)-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意． 若12a >-，则ln(2)0a -≤． 当x 变化时，(),()g x g x '变化情况如下表：注意到当0,0x a <<时，2()(1)e 0x g x x ax =-+<，(0)1g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意．综上，a 的取值范围是(0,).+∞ …………………………………………9分 （Ⅲ）证明：()()(1)e ln(1)1xg x f x x x x -=-----．设()(1)e ln(1)1xh x x x x =-----，其定义域为(1,)+∞，则证明()0h x ≥即可．因为1()e (e )11xxx h x x x x x '=-=---，取311e x -=+，则1311()(e e )0x h x x '=-<，且(2)0h '>．又因为21()(1)e 0(1)xh x x x ''=++>-，所以函数()h x '在(1,)+∞上单增． 所以()0h x '=有唯一的实根0(1,2)x ∈，且001e1x x =-． 当01x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>． 所以函数()h x 的最小值为0()h x ．所以00000()()(1)e ln(1)1xh x h x x x x ≥=-----00110x x =+--=．所以()().f x g x ≤ ……………………………………………………14分20．（本小题13分）解：（Ⅰ）（ⅰ） 89100x ,y ==，或10089x ,y ==；数列：11789097,,,x,,y 也是一个“好数列”． …………………………………3分 （ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含89100,两项，若剩下两项从909199,,,L 中任取，则都符合条件，有21045C =种；若剩下两项从798088,,,L 中任取一个，则另一项必对应909199,,,L 中的一个， 有10种；若取6877a ≤≤，则791188a ≤+≤，902299a ≤+≤，“好数列”必超过6项，不符合；若取67a =，则61178a A +=∈，另一项可从909199,,,L 中任取一个，有10种；若取5667a <<，则671178a <+<，782289a <+<，“好数列”必超过6项，不符合；若取56a =，则67b =，符合条件，若取56a <，则易知“好数列”必超过6项，不符合；综上，a,b,c,d 共有66种不同的取值． ………………………………………7分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”． 又“好数列”12m a ,a ,,a L 各项互不相同，所以，不妨设12m a a a <<<L ． 把数列配对：121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++L ，只要证明每一对和数都不小于1n +即可． 用反证法，假设存在12mj ≤≤，使1j m j a a n +-+≤， 因为数列单调递增，所以111211m j m j m j j m j a a a a a a a n -+-+-+-+<+<+<<+≤L ， 又因为“好数列”，故存在1k m ≤≤，使得1(1)i m j k a a a i j +-+=≤≤，显然1>k m j a a +-，故1k m j >+-，所以k a 只有1j -个不同取值，而1i m j a a +-+有j个不同取值，矛盾．所以，121122m m m m a a ,a a ,,a a -++++L 每一对和数都不小于1n +，故12(1)2m ma a a n +++≥+L ，即1212m a a a n m ++++≥L ．…………………13分。