湖北艺考生高考数学三角函数讲义

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艺术生高考数学专题讲义：考点17 三角恒等变换

·4·
艺体生文化课百日突围
21. (2013 广东 ) 已知函数 f(x) =
2cosx
-
π 12
,x ∈ R.
(1)
求
f
π 3
的值；
(2)
若 cosθ =
3 5
,θ ∈
3π 2
,2π
,求
fθ -
π 6
.
22.
(2018
浙江
)
已知角
α
的顶点与原点
O
重合,始边与
x
轴的非负半轴重合,它的终边过点
P(
；tanθ
-
π 4
=
.
【题型练5-7】(2012 山东
)
若
θ∈
π 4
,
π 2
,sin2θ
=
37 8
,,则
sinθ
=
A.
3 5
B.
4 5
C.
7 4
D.
3 4
【题型练5-8】(2021
全国乙文
6)cos2
π 12
- cos2
5π 12
=
A.
1 2
B.
3 3
C.
2 2
D.
3 2
真题突围
问渠那得清如许？为有源头活水来
9) 已知
2tanθ
-
tanθ
+
π 4
= 7,则 tanθ =
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 2
（
）
（
）
6.
(2015 江苏 ) 已知 tanα =-2, tanα + β
=

湖北高三数学理科一轮总复习课件4.1三角函数的基本概念、弧度制、任意角的三角函数

基础梳理自我检测
,面积为
.
3�� 4
3 4
1 2
重点难点
题型一
角的集合的表示
例1
点拨提示
迁移训练1
(1)如果 α 是第三象限角,那么-α,2α 的终边落在何处? (2)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; (3)若角 θ 的终边与角的终边相同,求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角. 思路分析：利用终边相同的角的集合表示 .
6�� 7 θ 3
题型一
题型二
题型三
题型四
解题策略
重点难点
题型一
角的集合的表示
例1
α 是第三象限角, 得 π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z)⇒ - -2kπ<-α<-π-2kπ(k∈Z), 即 +2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z).即角-α 的终边在第二象限; 由 π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z)得 2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z). 故角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴.
第四章
三角函数、三角恒等变换及解三角形
第1讲三角函数的基本概念、弧度制、任意角的三角函数
考纲考向
考纲展示 1. 任意角的概念、弧度制 ( 1) 了解任意角的概念 ; ( 2) 了解弧度制的概念 , 能进行弧度与角度的互化 . 2. 三角函数理解任意角的三角函数 ( 正弦、余弦、正切 ) 的定义.
3�� 2 �� 2 3�� 2 3�� 2
题型一
题型二
题型三
题型四

艺术生高考数学专题讲义：考点20 正弦定理、余弦定理及解三角形

考点二十正弦定理、余弦定理及解三角形知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab2.三角形面积公式：S△ABC＝12ah(h表示边a上的高)；S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B；S△ABC＝abc 4R；S△ABC＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．三角形解的判断在△ABC中，已知a、b和A时，三角形解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解典例剖析题型一利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝________.答案 59解析在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.变式训练在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．答案 23解析在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinBsinA＝32×2232＝2 3.解题要点如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理．题型二利用余弦定理解题例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________. 答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.变式训练在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ .答案 4或5解析设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5.解题要点如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理．题型三综合利用正余弦定理解题例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知(b －2a )cos C ＋c cos B ＝0. (1)求C ；(2)若c ＝7，b ＝3a ，求△ABC 的面积．解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin B －2sin A )cos C ＋sin C cos B ＝0，sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos C ，sin(B ＋C )＝2sin A cos C ，∴sin A ＝2sin A cos C . 又sin A ≠0，得cos C ＝12.又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝7，b ＝3a ，解得a ＝1，b ＝3.故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334.变式训练在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解析 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.解题要点解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．当堂练习1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________. 答案332解析由c 2＝(a －b )2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6.① 由余弦定理及C ＝π3，可得a 2＋b 2－c 2＝ab .②所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝30°，C ＝15°，则a 等于________. 答案 2 2解析 A ＝180°－30°－15°＝135°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 22＝212，即a ＝2 2. 3. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________.答案 3＋1解析 A ＝π－(B ＋C )＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝7π12，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，则a ＝b sin Asin B ＝2sin7π12sin π6＝6＋2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×(6＋2)×22＝3＋1.4．(2015重庆理)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 答案6解析由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2AB cos 30°＝ 6. 5．(2015江苏)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 课后作业一、填空题1． (2015广东文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于________. 答案 2解析由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2.2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c ＝________. 答案 25或 5解析 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于________. 答案 5解析由题意知，23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，即cos 2A ＝125，又因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15.在△ABC 中，由余弦定理知72＝b 2＋62－2b ×6×15，即b 2－125b －13＝0，即b ＝5或b ＝－135(舍去).4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________. 答案直角三角形解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A . 又∵sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．5．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为________. 答案 19解析 ∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC ＝19.6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________. 答案 2解析由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：1sin A ＝3sin B ，又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A ，∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°， ∴∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴c ＝12＋(3)2＝2.7．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.答案31010解析在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝2＋9－2×2×3×22＝5，即得AC ＝ 5.由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，即522＝3sin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝31010.8．(2014年江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________. 答案332解析因为c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，所以由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即－2ab ＋6＝－ab ，ab＝6，因此△ABC 的面积为12ab sin C ＝3×32＝332.9．(2015福建文)在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________. 答案2解析 ∵A ＝45°，C ＝75°，∴B ＝60°. 由正弦定理AC sin B ＝BCsin A. ∴BC ＝AC sin B ·sin A ＝332×22＝ 2.10． (2015重庆文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sinB ，则c ＝________.答案 4解析由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝32×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，解得c ＝4. 11． (2015北京文)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.答案 π4解析由正弦定理得sin B ＝b sin Aa＝6sin 2π33＝22，因为A 为钝角，所以B ＝π4. 二、解答题12． (2015天津文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．解析 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 13．(2015新课标Ⅰ文)(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.。

（word完整版）高中数学专题系列三角函数讲义

（word完整版）⾼中数学专题系列三⾓函数讲义§1.1.1、任意⾓1、正⾓、负⾓、零⾓、象限⾓的概念.2、与⾓α终边相同的⾓的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆⼼⾓叫做1弧度的⾓.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形⾯积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意⾓的三⾓函数1、设α是⼀个任意⾓，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、设点(),A x y为⾓α终边上任意⼀点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=，cot x y α=3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三⾓函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、特殊⾓0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三⾓函数值.§1.2.21、平⽅关系：1cos sin 22=+αα 2、商数关系：αααcos sin tan =. 3、倒数关系：tan cot 1αα=§1.3、三⾓函数的诱导公式（概括为Z k ∈）§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最⼤最⼩值、对称轴、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.3、会⽤五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx 3π2ππ22π-π-π2o yx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 RR},2|{Z k k x x ∈+≠ππ值域[-1,1][-1,1]R最值max min 2,122,12x k k Z y x k k Z y ππππ=+∈==-∈=-时，时，max min 2,12,1x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，⽆周期性π2=T π2=Tπ=T奇偶性奇偶奇单调性Z k ∈在[2,2]22k k ππππ-+上单调递增在3[2,2]22k k ππππ++上单调递减在[2,2]k k πππ-上单调递增在[2,2]k k πππ+上单调递减在(,)22k k ππππ-+上单调递增对称性 Z k ∈对称轴⽅程：2x k ππ=+对称中⼼(,0)k π对称轴⽅程：x k π= 对称中⼼(,0)2k ππ+⽆对称轴对称中⼼,0)(2k π§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中⼼、奇偶性、单调性、周期性.§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变换关系.3、三⾓函数的周期，对称轴和对称中⼼函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2|| T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ω?=+和cos()y A x ω?=+来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中⼼，只需令()2x k k Z πω?π+=+∈与()x k k Z ω?π+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类⽐可得.4、由图像确定三⾓函数的解析式利⽤图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,?要⽤图像的关键点来求.§1.6、三⾓函数模型的简单应⽤（要求熟悉课本例题.）§3.1.1、两⾓差的余弦公式§3.1.2、两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式1、αααcos sin 22sin =，2、ααα22sin cos 2cos -=变形： 12sin cos sin 2ααα=. 1cos 22-=αα2sin 21-=.升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα+=-= 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-3、ααα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三⾓恒等变换1、注意正切化弦、平⽅降次.2、辅助⾓公式)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y （其中辅助⾓?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a=).解三⾓形1、正弦定理：R CcB A 2sin sin sin ===. （其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ?=⽤途：⑴已知三⾓形两⾓和任⼀边，求其它元素；⑵已知三⾓形两边和其中⼀边的对⾓，求其它元素。

第28讲、三角函数概念及诱导公式(学生版)2025高考数学一轮复习讲义

第28讲三角函数概念及诱导公式知识梳理知识点一：三角函数基本概念1、角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2、弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒，rad 1801π=︒，π︒=180rad 1．（3）扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3、任意角的三角函数（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4、三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A （1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：1cos sin 22=+αα．（2）商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【解题方法总结】1、利用1cos sin 22=+αα可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用αααtan cos sin =可以实现角α的弦切互化．2、“ααααααcos sin cos sin cos sin -+，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=必考题型全归纳题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2024·辽宁·校联考一模）已知角α的终边上一点的坐标为4π4πsin ,cos 55⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α的最小正值为（）A ．π5B ．3π10C ．4π5D ．17π10例2．（2024·全国·高三专题练习）下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是（）A ．()2π45Z k k +∈B ．()9π360Z 4k k ⋅+∈C ．()360315Z k k ⋅-∈D ．()5ππZ 4k k +∈例3．（2024·广东·高三统考学业考试）下列各角中与437︒角的终边相同的是（）A ．67B ．77C ．107D ．137变式1．（2024·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知角α的终边为射线(0)y x x =≤，则下列正确的是（）A ．54πα=B ．cos 2α=C ．tan 12πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解题方法总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知α是锐角，那么2α是（）．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．小于180°的正角D ．第一或第二象限角例5．（2024·全国·高三专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在()A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限例6．（2024·浙江·高三专题练习）若角α满足α＝236k ππ+(k ∈Z)，则α的终边一定在()A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上变式2．（1990·上海·高考真题）设α角属于第二象限，且cos cos 22αα=-，则2α角属于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知角α的终边与53π的终边重合，则3α的终边不可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式4．（2024·全国·高三专题练习）若角α是第一象限角，则2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解题方法总结】先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例7．（2024·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为2π3，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为__________.例8．（2024·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知扇形圆心角60,αα= 所对的弧长6πl =，则该扇形面积为__________.例9．（2024·全国·高三专题练习）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为1S ，圆面剩余部分的面积为2S ，当21S S =扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为____________.变式5．（2024·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____平方米.变式6．（2024·福建厦门·高三福建省厦门第六中学校考阶段练习）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是__.变式7．（2024·江西鹰潭·高三鹰潭一中校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角α=______弧度．【解题方法总结】应用弧度制解决问题的方法（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．题型四：三角函数定义题例10．（2024·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知()3,4P 是角α终边上的一点，则sin α=（）A ．35B ．45C ．34D ．47例11．（2024·全国·高三对口高考）如果点P 在角2π3的终边上，且||2OP =，则点P 的坐标是（）A ．B ．(-C ．(D ．(1)-例12．（2024·北京丰台·北京丰台二中校考三模）已知点A 的坐标为(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OB ，则点B 的纵坐标为（）A ．B ．1-CD ．1变式8．（2024·全国·高三专题练习）设a<0，角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -，，那么sin 2cos αα+=（）A ．25-B ．15-C ．15D ．25变式9．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P ，Q 从点(1,0)A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转6π弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转116π弧度，则P ，Q 两点在第2019次相遇时，点P 的坐标为________.【解题方法总结】（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例13．（2024·全国·高三对口高考）若13π7α=，则（）A ．sin 0α>且cos 0α>B ．sin 0α>且cos 0α<C ．sin 0α<且cos 0α>D ．sin 0α<且cos 0α<例14．（2024·全国·高三专题练习）已知点()sin23,cos23A -是角α终边上一点，若0360α<< ，则α=（）A ．113B ．157C ．293D ．337例15．（2024·河南·校联考模拟预测）已知α是第二象限角，则点(cos(sin ),sin(cos ))αα所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式10．（2024·河南·校联考模拟预测）已知α是第二象限角，则点（cos()α-，sin()α-）所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式11．（2024·河南许昌·高三校考期末）在平面直角坐标系中，点()sin 2023tan 2023P ︒︒，位于第（）象限A ．一B ．二C ．三D ．四变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点()cos ,tan P θθ是第二象限的点，则θ的终边位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解题方法总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例16．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知θ是三角形的一个内角，且满足sin cos 5θθ-=，则tan θ=（）A ．2B ．1C ．3D ．12例17．（2024·山西阳泉·统考二模）已知sin cos αα+，0πα<<，则sin cos αα-=（）A ．BC ．D 例18．（2024·全国·高三专题练习）已知1sin cos 5αα+=，且()0,πα∈，sin cos αα-=（）A ．75±B ．75-C ．75D ．4925变式13．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）已知πsin sin 2θθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭tan θ=（）A ．B ．1-C ．1D 变式14．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知sin cos αα､是关于x 的方程2320x x a -+=的两根，则=a __________.变式15．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知sin cos αα-=sin 2α=________．变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知()7sin cos 0π13ααα+=<<，则tan α=______．变式17．（2024·全国·高三专题练习）若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．变式18．（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知tan 2θ=，则1sin 2cos 2θθ+的值是__________．变式19．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知tan x ，则23sin 2sin cos x x x -=__________.变式20．（2024·全国·高三对口高考）若sin cos 2sin cos x xx x-=+，求sin cos x x 的值为__________.【解题方法总结】（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形例19．（2024·山西阳泉·统考三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______．例20．（2024·四川绵阳·统考三模）已知π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin π3θ+=，则tan θ=______.例21．（2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若()1sin 2πα+=-，则cos α的值为（）A ．12±B ．12C ．2D ．2±变式21．（2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）若1sin 3A =，则()sin 6A π-的值为（）A ．13B ．13-C．3-D．3变式22．（2024·广东深圳·统考模拟预测）已知π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．35-B ．35C ．45-D ．45变式23．（2024·陕西西安·长安一中校考二模）已知π5cos 513α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．513-B ．513C ．-1213D ．1213【解题方法总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化题型八：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例22．（2024·河南驻马店·统考三模）已知tan 2θ=，则3πsin sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．12C ．12-D ．25-例23．（2024·全国·高三对口高考）若tan 1tan 1x x =--，求π3πsin cos 22x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.例24．（2024·全国·高三专题练习）已知tan 3α=，求()()πsin 3sin π23πcos cos 5π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值．变式24．（2024·河南周口·高三校考期中）（1）若3sin cos 0αα+=，求2cos 2sin cos ααα+的值；（2）设()222sin(π)cos(π)cos(π)3ππ1sin cos sin 22f ααααααα+--+⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=)12si (n 0α≠＋，求23π6f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.变式25．（2024·江苏扬州·高三校联考期末）在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=(1)求函数()y f θ=的解析式，并求2f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()34f θ=()0,θπ∈，求tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值变式26．（2024·贵州贵阳·高三统考期中）已知角α满足5sin cos 5αα-=(1)若角α是第三象限角，求tan α的值;(2)若sin()tan(5)cos()()3tan(2)cos()2f αππαπααππαα-++=---，求()f α的值.【解题方法总结】（1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．（2）注意角的范围对三角函数符号的影响。

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湖北艺考生高考数学三角函数讲义
说明：在高考中主要考查特殊角的三角函数及最值（★）、二倍角、平移（★）考查，一般
一道选择题、一道解答题，大约20分左右，艺术生主要掌握标注★部分，一般可以考到10分以
上。
（一）选择题

56、化简8sin1的结果是（）考什么？
A、4cos4sin B、4cos4sin C、4sin4cos D、4cos4sin
57、若sincos,24,81cossin则且的值为（）命题重点（必考）

A 23 B -23 C 43 D -43
58、在ABC中，已知,sinsincoscosBABA则ABC是（）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

59、已知，且,1010sin,55sin是锐角，则 （）解题方法

A 45 B 135或 45 C 135 D 60
60、已知)4tan(,41)4tan(,52)tan(则（）注构造法
A 1813 B 223 C 2213 D 183

61、要使mm454cos3sin有意义，则m的取值范围是( )考什么？解答题知识点
A 37m B 1m C 371mm或 D 371m
62、如果,325,51cos则2sin的值为（）

A 510 B 515 C 510 D 515
63、15cos15tan的值为（）
A 2 B 32 C ４ D 334
64、（02年）在)2,0(内，使xxsincos成立x的取值范围是（）方法的选择
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A )45,()2,4( B ),4( C )45,4( D)23,45(),4(
65、在ABC中，ＡA CAsinsin B CAcoscos C CAtantan D CAcotcot

66、函数],,0[),26sin(2xxy为增函数的区间是（）什么解？？必考题目

A ]3,0[ B ]127,12[ C ]65,3[ D ],65[
67、函数)cos(sinsin2xxxy的最大值是（）三角函数最值必考点，化简！
A 21 B 12 C 2 D ２
68、函数xxycossin21的最大值是（）高考常考点

A 221 B 122 C 122 D 122
69、在ABC中，＂30A＂是＂21sinA＂的（）特殊值法
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
70、在ABC中，若CABsinsincos2则ABC的形状一定是（）命题知识点
A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、、等腰三角形 D、等边三角形

71、将函数xysin图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的一半，然后将所得图象沿y

轴正向平移２个单位，再将所得图象沿x轴正向平移6个单位，最后所得图象的函数解析
式是（）回顾普通平移的分析方法
Ａ、22sinxy Ｂ、2)32sin(xy

Ｃ、2)32sin(xy Ｄ、2)62sin(xy
（二）填空题
72、函数)33sin(51xy的定义域是，值域是，周期为
振幅为初象为单调区间为

76、若),(12cos2sin2Zkkxxx，则xxxtan12sincos22的值为（关系）
77、函数6sin4cos2xxy对任意实数x恒有0y，且是三角形的一个内角，则的
范围是（恒成立问题）07年湖北已考
78、若)10(sin2xy，在区间[0，]3上最大值为,2则
（三）温馨提示：
1.利用三角函数线判断三角函数值的大小要熟练掌握.（07湖北）
2.求涉及三角函数的定义域千万不要忘记三角函数本身的定义域.
3.利用三角函数线和图象解三角不等式是否熟练？
4.求三角函数的定义区间

5.求 xysin的周期一定要注意的正负.
6.“五点法”作图你是否准确、熟练的掌握？
7.由 )sin(sinxAyxy的变换你掌握了吗？必考点

8.把 xysin的图象按某个向量平移得到的函数解析式是否熟练掌握? 07湖北已考
9.求xxxxycossin2cossin的函数值域，换元时令 )4sin(2cossinxxxt时，
要注意 ]2,2[t （启发）每年都有此类问题（08年湖北已考，二倍角公式）
10.已知三角函数值求角时，要注意角的范围的挖掘.
11.三角变换过程中要注意“拼角”问题.
12.在解决三角形问题时，要及时应用正、余弦定理进行边角转化.
上的值域，一定要结合图象.
13.求三角函数的单调区间要注意x的系数的正负，最好经过变形使x的系数为正.
（四）参考答案：

56～71 CBCA BDBC CACA BBCC 72、R，]51,51[，

)](18532,1832[,3,23,51,32Zkkk

73、 257 74、 422

75、-4 76、53 77、30 78、 43