2016年中考第一轮复习第19讲《矩形、菱形和正方形》专题训练

第19讲矩形、菱形和正方形知识梳理一、矩形的性质与判定1．定义有一个角是直角的____________是矩形．2．性质(1)矩形的四个角都是________．(2)矩形的对角线________．(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是__________．3．判定(1)有三个角是________的四边形是矩形．(2)对角线________的平行四边形是矩形．二、菱形的性质与判定1．定义一组邻边相等的__________叫做菱形．2．性质(1)菱形的四条边都________．(2)菱形的对角线__________，并且每一条对角线平分一组对角．3．判定(1)对角线互相垂直的________是菱形．(2)四条边都相等的________是菱形．三、正方形的性质与判定 1．定义一组邻边相等的________叫做正方形． 2．性质(1)正方形的四条边都________，四个角都是______．(2)正方形的对角线______，且互相________；每条对角线平分一组对角．(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的__________是正方形． (2)一组邻边相等的________是正方形． (3)对角线互相垂直的________是正方形． (4)有一个角是直角的________是正方形． (5)对角线相等的________是正方形． 自主测试1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝5，则AD 的长是( )A ．5 2B ．53C ．5D ．10 2．在菱形ABCD 中，AB ＝5 cm ，则此菱形的周长为( ) A ．5 cm B ．15 cm C ．20 cm D ．25 cm3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为( )A ．1B ．C ．32 D ．24．下列命题中是真命题的是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．两条对角线相等的平行四边形是矩形D．两边相等的平行四边形是菱形5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF ＝90°.求证：BE＝CF.考点一、矩形的性质与判定【例1】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．解：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO.同理，FO＝CO，∴EO＝FO.又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，即∠ECF＝90°.∴四边形AECF是矩形．方法总结 矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.触类旁通1 如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连接AE .求证：(1)BF ＝DF ； (2)AE ∥BD .考点二、菱形的性质与判定【例2】如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD .(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若∠ACB ＝30°，菱形OCED 的面积为83，求AC 的长．分析：(1)先证明四边形OCED 是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；(2)因为△DOC 是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出AC 的长．解：(1)证明：∵DE ∥OC ，CE ∥OD ，∴四边形OCED 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝OC ＝BO ＝OD . ∴四边形OCED 是菱形．(2)∵∠ACB ＝30°，∴∠DCO ＝90°－30°＝60°.又∵OD ＝OC ，∴△OCD 是等边三角形． 过D 作DF ⊥OC 于F ，则CF ＝12OC ，设CF ＝x ，则OC ＝2x ，AC ＝4x .在Rt △DFC 中，tan 60°＝DFFC ，∴DF ＝FC ·tan 60°＝3x .由已知菱形OCED 的面积为83得OC ·DF ＝83，即2x ·3x ＝8 3.解得x ＝2.∴AC ＝4×2＝8.方法总结 菱形的定义既可作为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形．触类旁通2 如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD ，BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．考点三、正方形的性质与判定【例3】如图①，在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，HA ＝EB ＝FC ＝GD ，连接EG ，FH ，交点为O .(1)如图②，连接EF ，FG ，GH ，HE ，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD 沿线段EG ，HF 剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3 cm ，HA ＝EB ＝FC ＝GD ＝1 cm ，则图③中阴影部分的面积为__________cm 2.分析：根据题目的条件可先证△AEH ，△BFE ，△CGF ，△DHG 四个三角形全等，证得四边形EFGH 的四边相等，然后由全等再证一个角是直角．解：(1)四边形EFGH 是正方形． 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA . ∵HA ＝EB ＝FC ＝GD ， ∴AE ＝BF ＝CG ＝DH .∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG . ∴EF ＝FG ＝GH ＝HE . ∴四边形EFGH 是菱形．由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH是正方形．(2)1方法总结证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：(1)“平行四边形”＋“一组邻边相等”＋“一个角为直角”(定义法)；(2)“矩形”＋“一组邻边相等”；(3)“矩形”＋“对角线互相垂直”；(4)“菱形”＋“一个角为直角”；(5)“菱形”＋“对角线－相等”．1．(2012四川成都)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是()A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC2．(2012山东滨州)若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角的度数比为() A．3:1 B．4:1 C．5:1 D．6:13．(2012江苏泰州)下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有() A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2012江苏苏州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是()A．4B．6C．8D．105．(2012贵州铜仁)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB的最小值是__________．6．(2012山东临沂)如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD 的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是()A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是()A．BA＝BC B．AC，BD互相平分C．AC＝BD D．AB∥CD3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD4．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于()A．4 3 B．33C．4 2 D．85．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5千米，村庄C到公路l1的距离为4千米，则村庄C到公路l2的距离是()(第5题图)A．3千米B．4千米C．5千米D．6千米6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__________．(第6题图)7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的__________．(第7题图)8．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP＋NP的最小值是__________．(第8题图)9．如图(1)所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N.(1)求证：MD＝MN.(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案导学必备知识 自主测试 1．B 2．C3．C ∵设AG ＝A ′G ＝x ，∴x 2＋22＝(4－x )2，解得x ＝32，故选C.4．C5．证明：如题图，∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°. ∴∠EAB ＋∠AEB ＝90°. ∵∠EOB ＝∠AOF ＝90°， ∴∠FBC ＋∠AEB ＝90°. ∴∠EAB ＝∠FBC .∴△ABE ≌△BCF .∴BE ＝CF . 探究考点方法 触类旁通1．证明：(1)在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴BF ＝DF . (2)∵AD ＝BC ＝BE ，BF ＝DF ， ∴AF ＝EF ， ∴∠AEB ＝∠EAF .∵∠AFE ＝∠BFD ，∠1＝∠3， ∴∠AEB ＝∠3，∴AE ∥BD .触类旁通2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，∠OED ＝∠OFB ， ∴△OED ≌△OFB ，∴DE ＝BF .又∵DE ∥BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形． ∵EF ⊥BD ，∴四边形BEDF 是菱形． 品鉴经典考题1．B 因为菱形的对边平行且相等，所以A 正确；对角线互相平分且垂直，但不一定相等，所以C ，D 正确，B 错误．2．C 根据已知可得到菱形的边长为2 cm ，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5:1.故选C.3．B ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形是假命题；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形是真命题；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形是假命题．故选B.4．C ∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形CODE 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝4，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OD ＝OC ＝12AC ＝2，∴四边形CODE 是菱形，∴四边形CODE 的周长为4OC ＝4×2＝8. 故选C. 5．2 如图：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD .∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°，∴∠COA ＝∠DOB .∵在△COA 和△DOB 中，有⎩⎪⎨⎪⎧ ∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB ，∴OA ＝OB .∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只需OA 取最小值即可． 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小．此时OA ＝12CF ＝1，即AB ＝ 2. 6．解：(1)证明：∵AF ＝DC ，∴AF ＋FC ＝DC ＋FC ，即AC ＝DF .又∵∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∴△ABC ≌△DEF .∴BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE .∴BC ∥EF .∴四边形BCEF 是平行四边形．(2)若四边形BCEF 是菱形，连接BE ，交CF 于点G ，∴BE ⊥CF ，FG ＝CG .∵∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴AC ＝AB 2＋BC 2 ＝42＋32＝5.∵∠BGC ＝∠ABC ＝90°，∠ACB ＝∠BCG ，∴△ABC ∽△BGC .∴BC AC ＝CG BC ，即35＝CG 3.∴CG ＝95.∴FC ＝2CG ＝185. ∴AF ＝AC －FC ＝5－185＝75. 因此，当AF ＝75时，四边形BCEF 是菱形． 研习预测试题1．A 2．B 3．D4．A ∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ＝12CD ＝3. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝6.由折叠性质可知，AE ＝AB ＝6，BF ＝EF ，在Rt △ADE 中，AD ＝AE 2－DE 2＝33，∴BC ＝3 3.设CF ＝x ，BF ＝EF ＝33－x ，在Rt △CEF 中，(33－x )2＝x 2＋32，∴x ＝ 3.∴BF ＝2 3.在Rt △ABF 中，AF ＝4 3.5．B 6．22.5° 7．148．1 在DC 上找N 点关于AC 的对称点N ′，连接MN ′，则MN ′的长即为MP ＋NP 的最小值，此时MN ′＝AD ＝1.9．分析：(1)证MD ＝MN ，可证它们所在的三角形全等，易知MN 在钝角△MBN 中，而MD 在直角△AMD 中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN 的特征想到可在AD 上取AD 的中点F ，构造△MDF ≌△NMB ；(2)可参照第(1)题的方法．(1)证明：取AD 的中点F ，连接MF .∵M 是AB 的中点，F 是AD 的中点，∴MB ＝AM ＝12AB ，DF ＝AF ＝12AD . ∵AB ＝AD ，∴AF ＝AM ＝DF ＝MB ，∴∠1＝45°，∴∠DFM ＝135°.∵BN 平分∠CBE ，∴∠CBN ＝45°.∴∠MBN ＝135°.∴∠MBN ＝∠DFM .∵∠DMN ＝90°，∴∠NMB ＋∠DMA ＝90°.∵∠A＝90°，∴∠ADM＋∠DMA＝90°.∴∠NMB＝∠ADM.∴△DFM≌△MBN.∴MD＝MN.(2)解：结论MD＝MN仍成立．证明：在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF.由(1)中证法可得：DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，∴△DFM≌△MBN，∴MD＝MN.。