中考压轴题中的存在性问题及答案

（山东青岛）已知：如图（1），在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ BC ∥？

（2）设AQP △的面积为y （2

cm ），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；

（4）如图（2），连接PC ，并把PQC △沿QC 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理

由．

图（1） 图（2）

【思路点拨】（1）设BP 为t ，则AQ = 2t ，证△APQ ∽△ABC ；（2）过点P 作PH ⊥AC

于H ．

（3）构建方程模型，求t ；（4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′ C 是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t 的值。

（山东青岛）（1）在Rt△ABC 中，522=+=AC BC AB ，

由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ， 若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ， ∴=AC AQ AB AP ，∴5542t t -=，∴7

10

=t ． （2）过点P 作PH ⊥AC 于H ． ∵△APH ∽△ABC ， ∴

=BC PH AB AP ，∴=3PH 55t -，∴t PH 5

3

3-=，

∴t t t t PH AQ y 35

3

)533(221212+-=-??=??=

． （3）若PQ 把△ABC 周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ ． ∴)24(32)5(t t t t -++=+-， 解得：1=t ．

A

Q

C

P

B

A Q P

B

若PQ 把△ABC 面积平分，则ABC APQ S S ??=2

1， 即－25

3t ＋3t =3．

∵ t =1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt△ACB 的周长和面积同时平分． （4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，

若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ，∴QM=CM ．

∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ． ∴

AB

BP

AC PN =， ∴54t PN =， ∴5

4t PN =

， ∴54t

CM QM ==，

∴425454=++t t t ，解得：9

10=t ． ∴当910

=t 时，四边形PQP ′ C 是菱形．

此时375

33=

-=t PM ， 9

854==t CM ， 在Rt△PMC 中，9

505816494922=+=

+=CM PM PC ， ∴菱形PQP ′ C 边长为

9

505

． （山东德州）（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．

∴ AM AN AB AC

=，即43x AN

=．

∴ AN ＝4

3

x ．

∴ S =2133

248

MNP AMN S S x x x ??==

??=．（0＜x ＜4） （2）如图（2），设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =2

1

MN ． 在Rt △ABC 中，BC ＝2

2

AB AC +=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．

∴ AM MN AB BC

=，即45x MN

=．

P ′

B A Q

P

C

图②

M

N

A

B

C

M

N

D 图（ 2）

O

∴ 54

MN x =

， ∴ 58OD x =

．过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58

MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM QM BC AC

=．

∴ 5

5258324

x

BM x ?=

=，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝

49

96

时，⊙O 与直线BC 相切． （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点． ∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ． ∴ △AMO ∽ △ABP ．

∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜x ≤2时，2Δ8

3

x S y PMN ==．

∴ 当x ＝2时，2332.82

y =

?=最大 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ． ∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，

∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．

∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ．

A

B

C

M

N

P

图 （ 4）

O

E F

A

B

C

M

N P

图 （3）

O A

B

C

M N

P

图 （1）

O

∴ 2

PEF ABC

S PF AB S ????

= ?

??．∴ ()2322PEF S x ?=-． MNP PEF y S S ??=-＝

()2

22339266828

x x x x --=-+-． 当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-2

98283x ??

=--+ ???

．

∴ 当8

3

x =

时，满足2＜x ＜4，2y =最大． 综上所述，当8

3

x =

时，y 值最大，最大值是2． 【学力训练】

1、（山东威海） 如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点

M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN∥AB ，ME⊥AB ，NF⊥AB ，垂足分别为E ，F ．

（1）求梯形ABCD 的面积； （2）求四边形MEFN 面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．

1、（山东威海）（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ．

∵ AB ∥CD ，

∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．

∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1． ∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，

∴ △AGD ≌△BHC （HL ）． ∴ AG ＝BH ＝

2

1

72-=

-GH AB ＝3． ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．

∴ ()174162

ABCD S +?=

=梯形．

（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ， ∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ． ∴ 四边形MEFN 为矩形．

C D

A

B

E

F

N

M C D

A

B

E F

N

M G H C D A

B

E F N

M

G H

∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．

∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）． ∴ AE ＝BF ． 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ．

∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ． ∴

DG ME AG AE =

．∴ ME ＝x 3

4

． ∴ 6

49

4738)2(7342

+

??? ??--=-=?=x x x EF ME S MEFN 矩形． 当x ＝

47时，ME ＝37

＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为6

49． （3）能．

由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 3

4

．

若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ． 即

=34x 7－2x ．解，得 10

21=x ． ∴ EF ＝2114

7272105

x -=-?

=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142

=??

?

??=MEFN

S 正方形．

2、（浙江温州市）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．

（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

（浙江温州市）（1）

Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．

点D 为AB 中点，1

32

BD AB ∴=

=． A B

C

D E

R P

H Q

90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．

BHD BAC ∴△∽△，

DH BD AC BC ∴

=，312

8105

BD DH AC BC ∴==?=． （2）

QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．

C C ∠=∠，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴

=，10610

y x

-∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：3

65

y x =-+． （3）存在，分三种情况：

①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．

1290∠+∠=，290C ∠+∠=，

1C ∴∠=∠．

84cos 1cos 105

C ∴∠==

=，4

5QM QP ∴

=， 1364251255

x ??

-+ ???∴

=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655

x -

+=， 6x ∴=．

③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，

11

224

CR CE AC ∴===．

A

B

C

D E

R

P H Q

M 2 1 A B

C

D E R

P H

A B

C

D E R P

H

tan QR BA

C CR CA

=

=， 3

6

6

528

x -+∴=，152x ∴=．

综上所述，当x 为

185或6或152

时，PQR △为等腰三角形． 【例1】（山西太原）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与3

34

y x =-

+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A B C ，，的坐标．

（2）当CBD △为等腰三角形时，求点D 的坐标．

（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边

形？如果存在，直接写出BE

CD 的值；如果不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）注意直线方程的解与坐标关系；

（2）当CBD △为等腰三角形时，分三种情况讨论，． （3）以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形

三种情形。

【例1】（山西太原）（1）在1y x =+中，当0y =时，10x +=，

1x ∴=-，

点B 的坐标为(10)-，．在334y x =-+中，当0y =时，3

3044

x x -+=∴=，，点C 的坐标为（4，0）．由题意，得13

34y x y x =+???=-+??，．解得87

157x y ?

=????=??

，． ∴点A 的坐标为81577??

???

，．

（2）当CBD △为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D 的坐标为()x y ，．

A

y

x D

C O

B A y

x y x

D 2

图（1）

图（2） D

1 C

D 4

D 3 M 2 M 1 O B B O

C

A D 1

D 2

E 1

E 2

M 4

由（1），得(1

0)(40)B C -，，，，5BC ∴=． ①当11BD D C =时，过点1D 作11D M x ⊥轴，垂足为点1M ，则111

2

BM M C BC ==

． 115533

12222BM OM x ∴==-==，，．

33153428y ∴=-?+=，点1D 的坐标为31528??

???

，．

②当2BC BD =时，过点2D 作22D M x ⊥轴，垂足为点2M ，则2

2

2

2222D M M B D B +=．

21M B x =--，2223

354

D M x D B =-+=，，

2

2

23(1)354x x ??

∴--+-+= ???

．

解，得1212

45

x x =-

=，（舍去）．此时，312243455y ??=-?-+= ???．

∴点2D 的坐标为122455??

- ???，．③当3CD BC =，或4CD BC =时，同理可得

34(03)(83)D D -，，，．由此可得点D 的坐标分别为

12343151224(03)(83)2855D D D D ????

-- ? ?????

，，，，，，，． （3）存在．以点E D O A ，，，为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形，如图（2）． ①当四边形11AE OD 为平行四边形时，

1132

BE CD =

． ②当四边形21AD E O 为平行四边形时，

122

10BE CD =

． ③当四边形12AOD E 为平行四边形时，

21272

20

BE CD =

． 【例2】（浙江湖州）已知：在矩形AOBC 中，

4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和

y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合）

，过F 点的反比例函数(0)k

y k x

=>的图象与AC 边交于点E ．

（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；

（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）用k 的代数式表示AOE △与FOB △的面积； （2）写出E F ，两点坐标（含k 的代数式表示），利用三角形面积公式解之；（3）设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．证ENM MBF ∴△∽△．

【例2】（浙江湖州）（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11

k y x =

，22k

y x =．

1111122S x y k ∴=

=，22211

22

S x y k ==． 12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．

（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k

E ?? ???，

，44k F ?? ???

，， 1111432234ECF S EC CF k k ????

∴=

=-- ???????

△， 11

121222

EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形

11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ????

∴=-=--=--?-- ???????

△△△

2

112

S k k ∴=-

+． 当161212k =-

=???- ???

时，S 有最大值．

1

31412S -=

=???- ???

最大值． （3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．

由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，1

34

MF CF k ==-

， 90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠．

又

90ENM MBF ∠=∠=，

ENM MBF ∴△∽△．

EN EM MB MF

∴=，11414312311331412k k MB k k ??-- ???∴

==??-- ???

， 9

4

MB ∴=

． 222MB BF MF +=，2

2

2

913444k k ??????

∴+=- ? ? ???????，解得218k =．

21

432

k BF ∴=

=． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432??

???

，．

【学力训练】

1、(07台州市) 如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知折叠55CE =，且3

tan 4

EDA ∠=

． （1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；

（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；

O

x

y

C

B E

D

如果不存在，请说明理由．

【学力训练】

1. (07台州市)（1）OCD △与ADE △相似． 理由如下：由折叠知，90CDE B ∠=∠=°，

1290∠+∠=∴°，13902 3.∠+∠=∴∠=∠，

又90COD DAE ∠=∠=∵°，

OCD ADE ∴△∽△． （2）3

tan 4

AE EDA AD ∠=

=∵，∴设3AE t =， 则4AD t =．

由勾股定理得5DE t =．

358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=∴．

由（1）OCD ADE △∽△，得

OC CD

AD DE

=， 845t CD t t

=∴

， 10CD t =∴．

在DCE △中，2

2

2

CD DE CE +=∵，

222(10)(5)t t +=∴，解得1t =．

83OC AE ==∴，，点C 的坐标为(08)，， 点E 的坐标为(103)，

， 设直线CE 的解析式为y kx b =+，

1038k b b +=??=?，∴，解得128k b ?

=-???=?，

，

1

82

y x =-+∴，则点P 的坐标为(160)，．

（3）满足条件的直线l 有2条：212y x =-+，212y x =-． 画出两条直线（图略）．

3、（江苏盐城）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形,点A

的坐标是（0，4），点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把△AOP 绕着点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与AB 重合，得到△ABD . （1）求直线AB 的解析式；

（2）当点P 运动到点（3,0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标； （3）是否存在点P ,使△OPD 的面积等于3

4

,若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

3、（江苏盐城）（1）如图，过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，作BF ⊥x 轴于点F.由已知得 BF=OE=2, OF=

2242-= 23

∴点B 的坐标是(23 ，2)

设直线AB 的解析式是y=kx+b ，则有4223b

k b

=???=+?? 解得

3

34k b ?=-???=?

∴直线AB 的解析式是y= 3

3

-

x +4 (2) 如图，∵△ABD 由△AOP 旋转得到，

∴△ABD ≌△AOP ， ∴AP=AD ， ∠DAB=∠PAO ，∴∠DAP=∠BAO=600，

∴△ADP 是等边三角形，

∴DP=AP=224(3)19+= . ……（2分）

如图，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，延长EB 交DH 于点G, 则BG ⊥DH. 方法（一）

在Rt △BDG 中，∠BGD=900, ∠DBG=600.

∴BG=BD ?cos600=3×

12=32. DG=BD ?sin600=3×32=3

2

.

∴OH=EG=532, DH=72

∴点D 的坐标为(532 , 7

2

) 图1

x

y

B

A

O D P

图2

x

y

B

A

O

H G

F E

x

y B A

O D P

(3)假设存在点P, 在它的运动过程中,使△OPD 的面积等于3

4

. 设点P 为（t ，0），下面分三种情况讨论:

①当t ＞0时，如图，BD=OP=t, DG=3

2t,

∴DH=2+32t. ∵△OPD 的面积等于3

4

， ∴ 133

(2)224

t t +=，

解得12123

3

t -= , 221233t --= ( 舍去) .

∴点P 1的坐标为 (2123

3

-, 0 )

②当433-＜t ≤0时，如图，BD=OP=－t, BG=－32

t,

∴DH=GF=2－（－32t ）=2+32t. ∵△OPD 的面积等于34， ∴ 133(2)224

t t -+=，

解得 13

3

t =-, 23t =-.

∴点P 2的坐标为(3

3

-, 0)，点P 3的坐标为(3-, 0).

③当t ≤433- 时，如图，BD=OP=－t, DG=－3

2t,

∴DH=－3

2

t －2. ∵△OPD 的面积等于3

4

，

∴133

(2)224t t += ，

解得12123

3

t -= (舍去), 221233t --=

∴点P 4的坐标为(2123

3--, 0)

综上所述,点P 的坐标分别为P 1 (

21233-, 0)、P 2 (3

3

- , 0)、P 3 (3- , 0) 、 x

y

B A

O

D P H

G E

x

y B

A

O D P H G F

E

H G F E

x

y B A O D

P

P 4 (2123

-- , 0)

【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二 次函数的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ，

？请你作出判断，并说明理由；

（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=，求抛物线F

对应的二次函数的解析式。

【思路点拨】（1）由关系式来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论

t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

【例1】 (浙江杭州)（1）∵ 平移的图象得到的抛物线的顶点为, ∴ 抛物线对应的解析式为:. ∵ 抛物线与x 轴有两个交点，∴.

令, 得，, ∴ )( )| , 即, 所以当时, 存在抛物线使得.-- 2分

(2) ∵, ∴ , 得: ,

解得. 在中,

1) 当时,由 , 得, 当时, 由, 解得, 2

tx y -=OC OB OA ?=2

2

3

OC OB OA ?=2

2

tx y -=F Q F b t x t y +--=2)(0>b t 0=y -

=t OB t b

+=t OC t

b -

=?t OC OB (|||||t

b

+t t b -=2

|t 22|OA t t

b ==22t t t

b ±=-

32t b =F ||||||2OC OB OA ?=BC AQ //b t =F t t x t y +--=2

)(1,121+=-=t x t x ?Rt AOB 0>t ||||OC OB <)0,1(-t B 01>-t =

∠ABO tan 23=||||OB OA =1

-t t 3=t

此时, 二次函数解析式为; 当时, 由

, 解得, 此时，二次函数解析式为 +

+. 2) 当时, 由 , 将代, 可得, , （也可由代，代得到） 所以二次函数解析式为 +

–或. 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2

x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点

P ，顶点M 到A 点时停止移动．

（1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,

①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；

（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的

坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线O A 的下方时、当点Q 落在直线O A 的上方时讨论。

【例3】（浙江丽水）（1）设O A 所在直线的函数解析式为kx y =，

∵A （2，4），

∴42=k , 2=∴

k , ∴O A 所在直线的函数解析式为2y x =

（2）①∵顶点M 的横坐标为m ，且在线段O A 上移动， ∴2y m =（0≤m ≤2）.

∴顶点M 的坐标为(m ,2m ).

∴抛物线函数解析式为2

()2y x m m =-+. ∴当2=x 时，

241832

-+-=x x y 01<-t =

∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t =t 53-

=y 532x 2518x 125

48

0

3

-3-=t x -x y -y =

y 532x 2518

x 125

48241832++=x x y B

O

A P M

B

O

A

P

M

2

(2)2y m m =-+224

m m =-+（0≤m ≤2）. ∴点P 的坐标是（2，2

24m m -+）.

② ∵PB =2

24m m -+=2

(1)3

m -+， 又∵0≤m ≤2， ∴当1m =时，PB 最短

（3）当线段PB 最短时，此时抛物线的解析式为()212

+-=x y .

假设在抛物线上存在点Q ，使Q M A P M A

S S =. 设点Q 的坐标为（x ，2

23

x x -+）. ①当点Q 落在直线O A 的下方时，过P 作直线PC //AO ，交y 轴于点C ，

∵3P B =，4A

B =， ∴1A P =，∴1O

C =，∴C 点的坐标是（0，1-）. ∵点P 的坐标是（2，3），∴直线PC 的函数解析式为1

2-=x y . ∵Q M A P M A

S S =，∴点Q 落在直线12-=x y 上. ∴2

23

x x -+=21x -. 解得122,2x x ==，即点Q （2，3）. ∴点Q 与点P 重合.

∴此时抛物线上不存在点Q ，使△QMA 与△A P M 的面积相等.

②当点Q 落在直线O A 的上方时，

作点P 关于点A 的对称称点D ，过D 作直线D E //AO ，交y 轴于点E ，

∵1A P =，∴1E OD A ==，∴E 、D 的坐标分别是（0，1），（2，5），

∴直线D E 函数解析式为1

2+=x y . ∵Q M A P M A

S S =，∴点Q 落在直线12+=x y 上. ∴2

23

x x -+=21x +. 解得：12

2x =+，222x =-.

D

O A

B

P M

C

E

代入12+=x y

，得15y =

+

25y =-

∴此时抛物线上存在点(12

Q ，()225,222--Q 使△QMA 与△P M

A 的面积相等.

综上所述，抛物线上存在点(12

Q ，(

)

225,222--Q 使△QMA 与△P M

A 的面积相等. 【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数

)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，

A 点在原点的左侧，

B 点的坐标为（3，0），OB ＝O

C ，tan ∠ACO ＝3

1

．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ， 使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图2，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上 一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.

【思路点拨】（2）可先以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形时，求F 点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线MN 在x 轴上方时、②当直线MN 在x 轴下方时二种情况。（4）构建S 关于x 的二次函数，求它的最大值。

【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）

将A 、B 、C 三点的坐标代入得??

?

??-==++=+-30390

c c b a c b a

解得：??

?

??-=-==321c b a

所以这个二次函数的表达式为：322

--=x x y （2）存在，F 点的坐标为（2，－3）

易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y

∴E 点的坐标为（－3，0） ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F ，坐标为（2，－3）

（3）如图，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ）， 代入抛物线的表达式，解得2

17

1+=

R ②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0）， 则N （r+1，－r ），

代入抛物线的表达式，解得2

171+-=r

∴圆的半径为

2171+或2

17

1+-． （4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．

设P （x ，322

--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22

++-=x x ．

3)2(2

1

2?++-=

+=???x x S S S GPQ APQ APG 当2

1

=

x 时，△APG 的面积最大 此时P 点的坐标为??? ??-

415,2

1，8

27

的最大值为APG S ?．

2、（广东肇庆）已知点A （a ，）、B （2a ，y ）、C （3a ，y ）都在抛物线上.

（1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；

（3）是否存在含有、y 、y ，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.

2、（广东肇庆）（1）由5=0， （1分）

得，．∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． （3分） （2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有

=S - -

=

--

=5（个单位面积）

（3）如：．

事实上， =45a 2+36a ． 3（）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ∴．

3、（青海西宁）如图，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切

线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2

y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．

（1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式；

（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3、（青海西宁）（1）圆心1O 的坐标为(20)，

，1O 半径为1，(1

0)A ∴，，(30)B ，……1分 二次函数2

y x bx c =-++的图象经过点A B ，，

1y 23x x y 1252

+=1y 23x x 122

+01=x 5122-

=x 5

12

-ABC S ?ADFC 梯形ADEB S 梯形BEFC S 梯形22)8117(?+2

1)4417(?+21

)8144(?+)(3123y y y -=)3(12)3(52

3a a y ?+?=12y y -)(3123y y y -=

y

x

O

A

B M

O 1

∴可得方程组10

930

b c b c -++=??-++=?

解得：4

3

b c =??

=-?∴二次函数解析式为243y x x =-+-

（2）过点M 作MF x ⊥轴，垂足为F ．

OM 是1O 的切线，M 为切点，

1O M OM ∴⊥（圆的切线垂直于经过切点的半径）．

在1Rt OO M △中，

1111

sin 2

O M O OM OO ∠=

= 1O OM ∠为锐角，130O OM ∴∠=

13

cos30232

OM OO ∴==?=，

在Rt MOF △中，33

cos30322

OF OM ==?

=． 13

sin 30322

MF OM ==?

=． ∴点M 坐标为332??

? ???

，

设切线OM 的函数解析式为(0)y kx k =≠，由题意可知

332k =，3

k ∴=∴切线OM 的函数解析式为3

3

y x =

（3）存在．

①过点A 作1AP x ⊥轴，与OM 交于点1P ．可得11Rt Rt APO MO O △∽△（两角对应相等两三角形相似）

113tan tan 30P A OA AOP =∠==，131P ??∴ ? ???

， ②过点A 作2AP OM ⊥，垂足为2P ，过2P 点作2P H OA ⊥，垂足为H ． 可得21Rt Rt AP O O MO △∽△（两角对应相等两三角开相似）

y A H F M

O

P 1

P 2 O 1

x

B