1.3 自然坐标系及运用
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坐标系的认识与运用
坐标系的认识与运用一、引言在数学和物理学中，坐标系是一种重要的概念，它用于描述和定位空间中的点或物体。
了解和掌握坐标系的基本知识对于解决各种问题是至关重要的。
本文将介绍坐标系的认识与运用。
二、二维坐标系二维坐标系是最基本且常见的坐标系形式。
它由两条互相垂直的数轴组成，分别称为x轴和y轴。
x轴和y轴的交点被称为原点，通常表示为O。
在二维坐标系中，每个点可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
三、三维坐标系三维坐标系是在二维坐标系的基础上引入了第三个轴，通常称为z 轴。
在三维坐标系中，每个点可以用一个有序数对(x, y, z)来表示，其中x、y和z分别表示点在x轴、y轴和z轴上的位置。
四、直角坐标系直角坐标系是指坐标轴两两垂直的坐标系。
二维直角坐标系由x轴和y轴组成，而三维直角坐标系则由x轴、y轴和z轴组成。
直角坐标系在几何学、物理学和工程学等领域中广泛应用，可以用于描述和解决各种空间问题。
五、极坐标系极坐标系是一种用极径和极角来表示点的坐标系。
在极坐标系中，每个点用一个有序数对(r, θ)来表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与x轴之间的夹角。
极坐标系常用于描述圆形、旋转和周期性变化等问题。
六、坐标系的应用坐标系在各种领域中都有广泛的应用。
在数学中，坐标系可以用于解决代数和几何问题，如求解方程、计算距离和求解图形的面积等。
在物理学中，坐标系可以用于描述物体的位置、运动和力的作用方向等。
在工程学中，坐标系可以用于设计和建模，如绘制平面图和三维模型等。
七、小结通过本文的讲解，我们了解了坐标系的基本概念和应用。
无论是二维坐标系还是三维坐标系，无论是直角坐标系还是极坐标系，掌握坐标系的知识和技巧对于解决各种问题都具有重要意义。
希望读者通过学习和实践，能够更好地认识和运用坐标系，提高自己的数学和物理素养。
自然坐标圆周运动相对运动
《关于两门新科学的对话和数学证明对话集》 一书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学 方面的研究成果。
伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学 的新纪元。
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
3、绝对运动、牵连运动、相对运动
（1）位矢的关系
r
r'
质点P在相对作匀速直线运动
的两个坐标系中的移动 y y' u
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
2、相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）
伽利略杰出的意大利物理学家和 天文学家，实验物理学的先驱者。
他提出著名的相对性原理、惯性 原理、抛体的运动定律、摆振动的等 时性等。
2
1 x2g
y 2
v02
y
an
a
g
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
(2)
o v0
x
vx v0, vy gt
an
a
y
v
vx2 vy2
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
a
dv dt
g2t v02 g2t2
an g2 a 2
g
v0 g v02 g2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
总结：自然坐标
v v
a a an a ann
a
a
an
切向加速度
法向加速度
反映速度大小变 化的快慢
反映速度方向变 化的快慢程度
dv a dt
an
v2
aa
a 2 an 2
伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学 的新纪元。
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
3、绝对运动、牵连运动、相对运动
（1）位矢的关系
r
r'
质点P在相对作匀速直线运动
的两个坐标系中的移动 y y' u
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
2、相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）
伽利略杰出的意大利物理学家和 天文学家，实验物理学的先驱者。
他提出著名的相对性原理、惯性 原理、抛体的运动定律、摆振动的等 时性等。
2
1 x2g
y 2
v02
y
an
a
g
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
(2)
o v0
x
vx v0, vy gt
an
a
y
v
vx2 vy2
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
a
dv dt
g2t v02 g2t2
an g2 a 2
g
v0 g v02 g2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
总结：自然坐标
v v
a a an a ann
a
a
an
切向加速度
法向加速度
反映速度大小变 化的快慢
反映速度方向变 化的快慢程度
dv a dt
an
v2
aa
a 2 an 2
自然坐标系
2 ω 2 − ω0 = 2 β (θ − θ 0 )
1 2 βt 2
****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动 θ = θ 0 + ωt x = x0 + Vt 匀变速圆周运动 匀加速直线运动 ω = ω 0 + βt V = V0 + at 1 1 θ − θ 0 = ω 0t + βt 2 x − x0 = V0 t + at 2 2 2 2 2 2 2 ω − ω 0 = 2 β (θ − θ 0 ) V − V0 = 2 a ( x − x 0 ) ******************************************************
4
V2
V2 ⇒ρ= ：计算曲率半径 （4） a n = ρ an 例： R =800m 的圆形轨道，汽车，静止开始，
速率均匀增加， t =3（分） ， V =20m/s r ， a ， at ， a n 求： t =2（分） 解：设 V = kt ，t=3（分）=180s， V =20m/s
k =20/180=1/9， V = t /9 dV at = = 1 / 9 = 0.111(m / s 2 ) dt t =2（分）=120s， V =120/9(m/s) V2 = 0.222m / s 2 an = R
at
α
an R
O
r a
2 a = at2 + a n = 0.248m / s 2 ， tgα = a n / at =2， α = 63.4 o
第5节
P
相对运动
S ′ 相对于 S 作平动运动 r r r r = r ′ + r0 r r r ∆r = ∆r ′ + ∆r0 r r r dr dr ′ dr0 = + dt dt dt
1 2 βt 2
****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动 θ = θ 0 + ωt x = x0 + Vt 匀变速圆周运动 匀加速直线运动 ω = ω 0 + βt V = V0 + at 1 1 θ − θ 0 = ω 0t + βt 2 x − x0 = V0 t + at 2 2 2 2 2 2 2 ω − ω 0 = 2 β (θ − θ 0 ) V − V0 = 2 a ( x − x 0 ) ******************************************************
4
V2
V2 ⇒ρ= ：计算曲率半径 （4） a n = ρ an 例： R =800m 的圆形轨道，汽车，静止开始，
速率均匀增加， t =3（分） ， V =20m/s r ， a ， at ， a n 求： t =2（分） 解：设 V = kt ，t=3（分）=180s， V =20m/s
k =20/180=1/9， V = t /9 dV at = = 1 / 9 = 0.111(m / s 2 ) dt t =2（分）=120s， V =120/9(m/s) V2 = 0.222m / s 2 an = R
at
α
an R
O
r a
2 a = at2 + a n = 0.248m / s 2 ， tgα = a n / at =2， α = 63.4 o
第5节
P
相对运动
S ′ 相对于 S 作平动运动 r r r r = r ′ + r0 r r r ∆r = ∆r ′ + ∆r0 r r r dr dr ′ dr0 = + dt dt dt
自然坐标系
2. a C , an 0
3. a 0 , an C 4. a 0 , an 0
匀变速直线运动；
匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
切向加速度、法向加速度/二、a、an
三、圆周运动的角量描述
（1）角位置
质点所在位置的矢径与x轴 的夹角θ。
Y
B
R
A
O
X
（2）角位移
A点，角位置为 t t t时刻：B点，角位置为 t t 在t时间内，矢径转过角度 ，称为质点 对O点的角位移。 t时刻：
t t t
大小：dθ
方向规定： 逆时针方向
顺自然坐标系 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系
自然坐标系
•问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看 出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。
2
2
r 为运动轨迹的曲率半径。
大小
a a a
2
2 n
dv v dt r
dv dv a dt dt
2
2
对于平面曲线运动
切向加速度、法向加速度/二、a、an
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速 率满足 v kRt ， k为常数，求：切向 加速度、法向加速度和加速度的大小。
（3）角速度
d lim t 0 t dt
d 大小： dt
方向：如图
自然坐标系
系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim a
t 0
t
t 0
AB .
t R
en
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度
ds dt
e
3、自然坐标系下的加速度：a
anen
a e
v2 R
en
dv dt
e
a a n 为法向加速度 为切向加速度
vA
a
d
dt
切向加速度的方向为切线方向 它反映了速度大小的变化, 作用是改变质点的速度大小.
an a
a
a
an2 a2
2
R
2
d
dt
2
a
tg a
an
arctg a ,
an
a an2 a2
an
例题：汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹
车开始阶段的运动方程为 s 20t 0.2t3（单位：m,s）
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
小结本节内容：
1、自然坐标系下的运动方程及其单位矢量：
S=s(t) en e
2、自然坐标系下的速度：
v
分析方法
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim a
t 0
t
t 0
AB .
t R
en
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度
ds dt
e
3、自然坐标系下的加速度：a
anen
a e
v2 R
en
dv dt
e
a a n 为法向加速度 为切向加速度
vA
a
d
dt
切向加速度的方向为切线方向 它反映了速度大小的变化, 作用是改变质点的速度大小.
an a
a
a
an2 a2
2
R
2
d
dt
2
a
tg a
an
arctg a ,
an
a an2 a2
an
例题：汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹
车开始阶段的运动方程为 s 20t 0.2t3（单位：m,s）
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
小结本节内容：
1、自然坐标系下的运动方程及其单位矢量：
S=s(t) en e
2、自然坐标系下的速度：
v
分析方法
自然坐标系
自然坐标系
自然坐标系是指一个基于自然规律和观测事件的坐标系。
在物理学、地理学、
生物学等领域中，自然坐标系被广泛应用于描述和研究自然现象。
自然坐标系的建立通常以某个客观参照物或事件为基准点，以此构建具有一定方向和单位的坐标轴。
在物理学中，自然坐标系常用于描述空间位置、运动和力等物理量。
其中，笛
卡尔坐标系是最常见的一种自然坐标系，由三个垂直的坐标轴构成，分别代表空间中的长度、宽度和高度。
物体在笛卡尔坐标系中的位置可以通过三个坐标值来确定，这种描述方法简单直观。
在地理学中，地球表面的经纬度坐标就是一种自然坐标系。
经线和纬线交叉形
成网格状结构，用于描述地球表面上的位置。
经纬度坐标在导航、地图绘制等方面有着重要的应用，能够准确描述地球上任意点的位置。
生态学中也常常使用自然坐标系来描述生物群落的分布和生态系统的结构。
例如，树种分布图就是利用自然坐标系进行绘制的，通过对树木种类和数量在空间中的分布进行记录和统计，可以帮助研究者了解生态环境的特点和动态变化。
总的来说，自然坐标系是描述和研究自然现象不可或缺的工具之一。
通过建立
合适的坐标系，可以更好地理解和解释自然规律，促进科学研究和技术发展的进步。
对于不同领域的研究者来说，熟练掌握各种自然坐标系的原理和应用方法非常重要，能够帮助他们更准确地进行科学分析和实验推断。
自然坐标极坐标
dt
dt 2
注意：角加速度不是矢量 （参看《教与学参考》Ｐ71）
5.角量与线量的关系 s = Rθ ∆s = R∆θ
P′( t + ∆t )
∆s
R ∆θ
Oθ
P( t )
s
O' 参考
方向
v = ds = R dθ = Rω
dt
dt
aτ
=
dv dt
=
R dω
dt
=
Rβ
an
=
v2
ρ
=
( Rω
R
)2
=
Rω 2
A
B
第一项
r
∆ vτ
lim
∆t→ 0
∆t
=
lim
∆t→ 0
∆v ∆t
τr
=
d v τv
dt
v
v
∆v
v
A
v ∆s
v A
B
A
v
r
v B
rD r
vA ∆vn
∆v
∆v r C
∆ vτ
∆θ
r vB
E
B
第二项
r
lim
∆t→ 0
∆vn ∆t
=
v∆θ
lim
∆t→ 0
∆t
r n
=
vdθ
dt
r n
y
∆s ∆θ
A
x
o
=
练习
教材第44页例6
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方程为
θ = t 3 + 4 t + 3 ( SI )
（1）t =2s 时，该点的角速度和角加速度为多大？
自然坐标系中的描述及相对运动
(2) vx v0 , v y gt
o v0
x
v
vx2
v
2 y
v02 g 2t 2
tan1( gt )
v0
y
an
a
g
切向加速度
at
dv dt
g2t v02 g2t 2
与速度同向
总加速度总是竖直向下的重力加速度 g
法向
an
g2 at2
v0 g 与切向加速度垂直 v02 g2t 2
A v1
n B
C
v2
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
a
a
an
dv dt
v2
n
a
an
a
a a a 2 an 2
dv dt
2
v2
2
tg a
an
加速度总是指向曲线的凹侧，因为正 是加速度的法向分量改变了质点的运动方向。
2-2 圆周运动 角量
1、圆周运动中的切向加速度和法向加速度
曲率半径是恒量 a dv v2 n
dt R
匀速圆周运动v c a v2 n 向心加速度
R
2、圆周运动的角量描述
t A
角位置
t t B 角位移
v2 B v1
R s A
沿逆时针转动，角位移取正值
O
X
沿顺时针转动，角位移取负值
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
例2：手球运动员以初速度v0与水平方向成α0 角抛出一球，如图所示。当球到达M点处，与水 平线夹角为θ，求(1)球在M点速度的大小；(2)球 在M点处的切向加速度和法向加速度大小；(3)M 点处的曲率半径。
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定义角速度(angular velocity)为
d dt
以及角加速度为
d d 2 dt dt
2
在圆周运动中，角速度、角加速度的方向都 沿转轴，因此一般不用矢量表示，而是写成对转 轴ds d (r ) v r dt dt
若a=恒量，则
o 2ax
1 2 x ot at 2 2 2
o at
若恒量,则
o t 1 2 ot t
o 2
2 2
2
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种 是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
质点的加速度
ˆ dv d dv d ˆ ˆ a (v ) v dt dt dt dt
d dt
沿切向 (ˆ) 的速 dv ( )称 率变化率 dt 切向加速度 a dv a ˆ dt d 2s 2 ˆ dt
其中
是 ˆ 的时间变化率,
ˆ 是切向单位矢量,
当质点做圆周运动时， 为圆周运动的半径 R ； 如果 v 为常数，则切向加速度为零，合加速度方 向指向圆心，称为向心加速度；
3 圆周运动的角量描述
一质点A作圆周运动
角坐标 ，其值随时间变化
r
(t )
角位移 ，
(t t ) (t )
有限大角位移 不是 矢量，而无限小角位 移是矢量，用d 表示
将两个相互垂直的切向和法向所组成的平面 ˆ ˆ 坐标系称为自然坐标系 ( , n) 。
速度矢量在自然坐标系中表述为：
ds ˆ ˆ v v dt
2 自然坐标系下 加速度的表达式
ˆ dv d dv d ˆ ˆ a (v ) v dt dt dt dt
0 t
0 0t 1 t 2 2 2 02 2 ( 0 )
圆周运动(circular motion)与直线运动的比较：
直线运动 坐标 x
圆周运动 角坐标
速度 加速度
dx dt d a dt
角速度 角加速度
d dt d dt
ˆ 沿法向(n)，称法向加速度 an ˆ v2 d ˆ an v n dt
v dv ˆ a a an ˆ n dt
dv 2 v 2 大小：a a a ( ) ( ) dt
2 2 n 2
2
当质点做直线运动时 ，因此法向加速度为零；
1.3 自然坐标系及运用
1、自然坐标系 (natural coordinates)
s(t )
利用 t 时刻质点所在处与原点之间轨迹曲线的 s 长度 s(t ) 就可以确定质点的位置， (t ) 称为弧坐 标。弧坐标下的质点运动方程：
s s (t )
质点的速率，为弧坐标对时间的一阶变化率
ds v dt
其大小恒为1（即单位长度） 故
d dt
是指
切线方向的时间变化率
切向变化率
d dt
分析
t 0, 0,
大小 ˆ ＝ ˆ ˆ 方向 n dˆ d d ( ) ˆ ˆ 则 n n dt dt dt 1 ds v ˆ ˆ n n dt
v2
ˆ2
ˆ n2
o
v1
ˆ1
ˆ n1
2
ˆ
ˆ1
ds 曲率半径 . 其中 d
质点的加速度
ˆ dv d dv d ˆ ˆ a (v ) v dt dt dt dt
沿切向 (ˆ) 的速 dv ( )称 率变化率 dt 切向加速度 a dv a ˆ dt d 2s 2 ˆ dt
dv d (r ) a r dt dt
v 2 an r r
2
匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动 ① 匀速率圆周运动：速率 v 和角速度 都为 常量 .
at 0
如
ˆ ˆ a an n r 2n
② 匀变速率圆周运动
t 0 时,
常量 0 , 0
an
2
0 10rad/s
再由 求得
0 t 0 t 5s
例2：质点沿半径R=0.1m作圆周运动，其角坐标与 时间的关系为 2 4t 3 （SI），当切向加速度的 大小恰为总加速度的一半时，则 。
解： 切向加速度大小为总加速度的一半，则 a / an tan 30 30 d 2 v R R 12t R dt 2 a d a R R 2 24tR dt an R 2 144t 4 R a a 24t 3 4 t 3 1/ 2 3 an 144t 3 2 3 3.15rad 2 4t 2 3
（E）若物体的加速度 速率运动 .
a为恒矢量，它一定作匀变
例1： 一飞轮，从静止开始以恒角加速度2 rad s 转动，经过某一段时间后开始计时，在 5s 内飞轮 转过75 rad，问在开始计时以前，飞轮转动了多长时 间？ 1 2 解： 匀角加速运动， 0 t t 2 t 5s 代入 2rad/s 75rad 75 50 25