自然坐标系
直角坐标系和自然坐标系的转化
直角坐标系和自然坐标系的转化直角坐标系和自然坐标系是我们在数学和物理学中经常接触到的两种坐标系。
它们在表达平面或空间中的点的位置和运动方向时具有重要作用。
两种坐标系结合使用，可以更加准确地描述物理现象和解答数学问题。
直角坐标系直角坐标系是我们最为熟悉的坐标系，通常在平面直角坐标系中，我们将平面分成了四个象限，以原点为中心，横轴为X轴，竖轴为Y轴。
其中X轴和Y轴互相垂直，它们所形成的角度是90度。
在直角坐标系中，我们用一个有序数对(x, y)来表示平面上一个点的坐标位置，其中x是该点在X轴上的投影长度，y 是该点在Y轴上的投影长度。
按照惯例，在平面直角坐标系中选取X轴向右为正方向，Y 轴向上为正方向。
自然坐标系自然坐标系是一种身体坐标系，也称为物体坐标系，通常是将一个物体或者人体作为基准，以该物体或人体的中心点作为坐标系的原点。
人类自然坐标系起源于解剖学，我们通常用xyz三轴表示人体（或动物）在三维空间中的位置。
x轴代表从前往后方向，y轴代表从左到右方向，z轴代表从上到下方向。
同样的，自然坐标系也可以用有序数对(x,y,z)来表示三维空间中一个点的坐标位置。
不同于平面直角坐标系，自然坐标系是三维的，它可以很方便地描述三维物理现象。
此外，自然坐标系还有其他一些特点，例如坐标值可以为负数，和三个坐标轴可以任意排列。
由于自然坐标系和直角坐标系都有各自的优点和适用范围，因此在实际应用中，我们常常需要将自然坐标系转换为直角坐标系，或者将直角坐标系转换为自然坐标系，以便更加准确地描述和解决问题。
当我们需要将自然坐标系转换为直角坐标系时，需要判断当前自然坐标系的x、y、z 轴分别对应直角坐标系中的哪个轴。
为此，我们需要测量该物体或人体的朝向和方向，通常使用惯性导航仪或者静电陀螺仪等设备进行测量。
拿人体为例，可以根据人体的面朝方向，将自然坐标系中的x、y、z轴重组成一个新的坐标系。
假设x轴对应人体的前后方向，y轴对应人体左右方向，z轴对应人体的上下方向，则人体的中心点就是该新坐标系的原点。
1-3 坐标系的运用
r r
r
ω
r
r
υ
r
ω
r
r r υ = ω×r
d ω d 2θ 角加速度： 角加速度： β = = 2 dt dt
r
P
3、 角加速度 (Angular Acceleration ) 、
14
1.3 坐标系的运用
圆周运动的角量与线量的关系： 圆周运动的角量与线量的关系： 的关系
第1章 质点运动学
ds r dθ υ= = = rω dt dt dυ dω aτ = =r = rβ dt dt
8
1.3 坐标系的运用
曲线运动的 加速度小结： 加速度小结：
第1章 质点运动学
2
r dυ υ ˆ ˆ ˆ a = aττ + ann = n τˆ + dt ρ
r υ2 法向加速度： 法向加速度： a = ˆ n n
大小： 大小：
切向加速度： r 切向加速度：a = dυ τ ˆ τ dt dυ 大小： 大小： aτ = dt
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
1.3 坐标系的运用
1
1.3 坐标系的运用
一、自然坐标系
第1章 质点运动学 S为弧坐标。 为弧坐标。
在已知运动轨道上任取一参照点 O，由质点 已知运动轨道上任取一参照点 ， 来表示质点的位置 质点的位置。 与参考点之间轨迹的长度 s 来表示质点的位置。 速度方向为切向坐标方向；指向曲率中心的 速度方向为切向坐标方向； 切向坐标方向 方向为法向坐标方向 与速度的方向垂直） 法向坐标方向（ 方向为法向坐标方向（与速度的方向垂直）。
ds = v0 − bt 解：1） v = ） dt dv = −b 2） at = ） dt 2 2 v (v0 − bt ) an = = R R
直角坐标系和自然坐标系的转化
直角坐标系和自然坐标系的转化
直角坐标系和自然坐标系都是用来描述点在平面上的位置的工具。
直角坐标系是通过将平面分成水平和垂直的两个轴(x轴和y 轴)，来表示点的位置。
而自然坐标系则是通过将平面上的点与它周围的物体（如墙角、街道等）的位置联系起来，来表示点的位置。
转换直角坐标系和自然坐标系之间的关系可以很有用，特别是在导航、地图制作和建筑设计方面。
转换的方法通常是通过观察平面上的物体，确定它们在直角坐标系中的坐标，然后将这些坐标用于转换其他点的位置。
在实际应用中，转换直角坐标系和自然坐标系的准确性非常重要，因为它涉及到测量、位置精度和方向。
因此，需要使用专门的工具和软件来进行这种转换，并根据具体情况进行调整和校正，以确保准确性和可靠性。
- 1 -。
7自然坐标系
University ຫໍສະໝຸດ hysics三. 角加速度（描述质点转动角速度变化快
慢的物理量）
o
t : t t :
r
P
lim
(t t ) (t )
dt
角加速度的方向与 dω 的方向相同
t 0
d d 2 k k 2 k dt dt
aτ
aτ
思考 求抛体运动过程中的曲率半径？ 对B 点
a
y
2 2 2
aτ 0, an g , v B v 0cos
vo
B
vB (v 0cos ) xm ρ B an g 8 ym
o
C x
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
法向加速度
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
2 2 v d v d s ds 2 1 a an n aτ τ n τ 2 τ ( ) n dt dt dt 2 v 对匀速率圆周运动 a 0 an an n n r 加速度的正交分解 a an n aτ τ Pv • a an a aτ 2 an 2 , tg n
两类问题（圆周运动的角量描述） 1. 第一类问题 已知运动学方程， (t ) 求 ,
P
aτ v
d ω k dt
d d d 2 k 2 k dt dt dt
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
自然坐标圆周运动相对运动
伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学 的新纪元。
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
3、绝对运动、牵连运动、相对运动
（1）位矢的关系
r
r'
质点P在相对作匀速直线运动
的两个坐标系中的移动 y y' u
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
2、相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）
伽利略杰出的意大利物理学家和 天文学家，实验物理学的先驱者。
他提出著名的相对性原理、惯性 原理、抛体的运动定律、摆振动的等 时性等。
2
1 x2g
y 2
v02
y
an
a
g
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
(2)
o v0
x
vx v0, vy gt
an
a
y
v
vx2 vy2
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
a
dv dt
g2t v02 g2t2
an g2 a 2
g
v0 g v02 g2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
总结：自然坐标
v v
a a an a ann
a
a
an
切向加速度
法向加速度
反映速度大小变 化的快慢
反映速度方向变 化的快慢程度
dv a dt
an
v2
aa
a 2 an 2
有限元,自然坐标系的物理意义
有限元，自然坐标系的物理意义
有限元自然坐标系就是沿质点的运动轨道建立的坐标系。
在质点运动轨道上任取一点作为坐标原点O，质点在任意时刻的位置，都可用它到坐标原点O的轨迹的长度来表示。
在有限元自然坐标系中，两个单位矢量是这样定义的:切向单位矢量，沿质点所在点的轨道切线方向，法向单位矢量，垂直于在同一点的切向单位矢量而指向曲线的凹侧。
可见这两个单位矢量的方向，也是随质点位置的不同而不同的。
在有限元自然坐标系中表示质点速度，是非常简单的，因为无论质点处在什么位置上速度都只有切向分量，而没有法向分量。
有限元自然坐标系不仅适用于平面运动，也可以用于三维空间的运动。
不过在三维情况下，应该引入两个法向单位矢量。
自然坐标系
1 2 βt 2
****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动 θ = θ 0 + ωt x = x0 + Vt 匀变速圆周运动 匀加速直线运动 ω = ω 0 + βt V = V0 + at 1 1 θ − θ 0 = ω 0t + βt 2 x − x0 = V0 t + at 2 2 2 2 2 2 2 ω − ω 0 = 2 β (θ − θ 0 ) V − V0 = 2 a ( x − x 0 ) ******************************************************
4
V2
V2 ⇒ρ= ：计算曲率半径 （4） a n = ρ an 例： R =800m 的圆形轨道，汽车，静止开始，
速率均匀增加， t =3（分） ， V =20m/s r ， a ， at ， a n 求： t =2（分） 解：设 V = kt ，t=3（分）=180s， V =20m/s
k =20/180=1/9， V = t /9 dV at = = 1 / 9 = 0.111(m / s 2 ) dt t =2（分）=120s， V =120/9(m/s) V2 = 0.222m / s 2 an = R
at
α
an R
O
r a
2 a = at2 + a n = 0.248m / s 2 ， tgα = a n / at =2， α = 63.4 o
第5节
P
相对运动
S ′ 相对于 S 作平动运动 r r r r = r ′ + r0 r r r ∆r = ∆r ′ + ∆r0 r r r dr dr ′ dr0 = + dt dt dt
自然坐标系
v 2 (t ) an R
ˆ v v(t )
3 一般平面曲线运动
dv v 2 a n dt
曲线变化缓慢大 曲线变化急大
详细推导
ˆ v v
ˆ dv dv d ˆ a v dt dt dt
ˆ d的大小为 d 1
• 随质点一起运动，自然变换位置和方向。
举例：圆周运动 1 匀速圆周运动 速度 大小：v=衡量
ˆ n
ˆ
方向：切向
ˆ v v
v ˆ ˆ a an n n R
2
a 加速度 大小： n v / R
2
方向：指向圆心
2 变速率圆周运动 速度 加速度
ˆ ˆ a a an a an n
dv a dt 2 v an
a
a a
a 2 an 2
2 2 2
dv v dt
a tg an
加速度总是指向曲线的凹侧，因为正是加速 度的法向分量改变了质点的运动方向。
1.3 角量描述
v2 B v1
§1.2 自然坐标系
• 自然坐标中的位置、路程和速度
（1）自然坐标
s st
ˆ
s st
ˆ ˆ (2) 自然坐标系n,
P
ˆ n
Q
O
ˆ n
ˆ
ˆ 切向单位矢量
ˆ ˆ n 1
（沿轨道法向并指向轨道凹侧。）
（沿轨道切向并指向质点前进的方向。）
ˆ 法向单位矢量 n
自然坐标的特点
ˆ 方向为n
dˆ d d dr v ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n dt dt dt dt
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r
t
t 0
AB .
t R
ern
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度 分析方法
vB r
v vB vA vrn vr v
vrn 表示速度方向改变量 vr 表示速度大小改变量
lim lim vr
t 0
rr t
t 0
s t
er
ds dt
er
ds dt
三、 自然坐标系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim ar
t 0
则：a an2 a 2 (1.88)2 (1.2)2 2.23(m / s2 )
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
解：根据加速度的定义：
ar
anern
a er
v2 R
ern
dv dt
er
a an2 a 2
v
ds dt
2
R
a
d
dt
1.2t
将R=200m t=1s代入上式得
an 1.88m / s2 a 1.2m / s2
an2 a2
2
R
2
d
dt
2
a
tg a
an
arctg a ,
an
ar an2 a2
an
例题：汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹
车开始阶段的运动方程为 s 20t 0.2t3（单位：m,s）
求汽车在t=1s时的加速度。
a
lim t 0
r
t
lim B A lim v d
t0 t
t0 t dt
vB vt
v vn
vA
a
d
dt
r an
ar
切向加速度的方向为切线方向 它反映了速度大小的变化, 作用是改变质点的速度大小.
r a
ar
自然坐标系 切向与法向加速度
一、自然坐标系 与位置坐标 运动方程
·O s
en
er
en
er
1、运动方程：S=s(t)
2、单位矢量er：n 垂er直沿于切切线向方单向位并矢指量向指坐向标弯增曲加曲的线方的向内侧
二、自然坐标系下的速度
B3
•
B2
•
B1
•
•A
t 0 rr ser
小结本节内容：
1、自然坐标系下的运动方程及其单位矢量：
S=s(t)
r en
r e
2、自然坐标系下的速度：
vr
ds dt
er
3、自然坐标系下的加速度：ar
anern
a er
v2 R
ern
dv dt
er
a a n 为法向加速度 为切向加速度
vB
lim lim lim a
v
vrn
vr
t0 t t0 t t0 t
anern a er
v vn
vA
A
B
vA
OR A
ar
anern
a
r e
an
v2 R
法向加速度的方向指向圆心， 它反映了速度方向的变化, 作用是改变质点的运动方向.