高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立， 当a ＝0时，－3≠0成立； 当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷
高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷（第一轮考试时间100分钟，满分100分）一．选择题：(每题6分，共36分)1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分）(A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（）A．1 B．2 C．3 D．63．已知有理数x、y、z两两不等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.0个或2个4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘A．1 B.2 C.3 D.45．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4那么有（）种栽种方案.A.60B.68C. 78D.846.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必胜的策略A ．10 B.9 C.8 D.6二．填空题：（每小题6分，共42分）1．当整数m ＝_________时，代数式13m 6-的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004＝_________.3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张.6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表：则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2-3x-a 2+2=0｝的子集的个数是三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程）1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.参考解答一、选择题1．B 2.D 3. B 4.B 5.D 6. D二、填空题1．0或1 2.0 3.4 4. 由原不等式分解可得（|x|-3）(x 2+|x|-1)<0，由此得所求不等式的解集为5. 20 6.58 7. 4三、解答题：1、解：设每人购买了n 件商品，两人共购买了单价为8元的x 件，单价为9元的有y 件．则 ⎩⎨⎧=+=+.17298,2y x n y x 解之，得⎩⎨⎧-=-=.16172,17218n y n x 因为0,0≥≥y x ，所以4310959≤≤n ． 所以整数10=n ．故⎩⎨⎧==.12,8y x2．解: 设长方形的边长为xcm 、ycm ，则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y ）=11（99x+x+y ） ∵N 是一个完全平方数，11为质数，∴x+y 能被11整除，又∵1≤x ≤9，1≤y ≤9 ∴2 ≤x+y ≤18，得x+y=11∴N=11（99x+x+y ）=112（9x+1） ∴9x+1是一个完全平方数， 经试算知当x=7时满足条件，故y=4，从而长方形的面积=7×4=28cm 2.。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。
4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。
三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。
6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。
四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。
五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。
如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。
10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。
答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。
高一竞赛数学试卷1
高一竞赛数学试卷一、选择题(每小题5分，共30分)1）A 、2B 、3C 、4D 、52、已知设函数，则的最大值为（ ）A 、1B 、2C 、D 、4 3、设[]x 是不超过x 的最大整数，则[][][]=+++500log 2log 1log 333 （ ） A 、2014 B 、2026 C 、2032 D 、21424、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,,x x x x ∈+∞≠均有()()()()12120f x f x x x --<，则满足：()1213f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A 、12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、12,23⎛⎫⎪⎝⎭ D 、12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦5、一个三棱锥的四个面所在的平面把空间分成的部分数为（ ） A 、 9 B 、 11 C 、13 D 、156、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点有（ ）A 、1个B 、3个C 、4个D 、无穷多个二、填空题（每小题5分，共40分）7、设集合{[]}{}22,2A x x x B x =-==<，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B = 。
8、函数2log ()341xf x x -=--的值域是 。
9、若直线y x b =+与曲线y =有且只有1个公共点， 则b 的取值范围是____________。
10、正方体的截平面不可能是 ：⑴钝角三角形；⑵直角三角形；⑶菱形；⑷正五边形；⑸正六变形。
11、设方程310x x ++=与10x =的根分别是,αβ， 则αβ+=__________。
12、方程1112011x y +=有 组正整数解。
()sin 1θ-()1,()2,()6,xf x xg xh x x =+==-+()min{(),(),()}F x f x g x h x =()F x 7214、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是面对角线1BC 上的一动点，Q 是底面ABCD 上的一动点，则1D P PQ +的最小值等于 。
高一上学期数学竞赛选拔试卷
当 时， ；当 时， 。所以当 时， 。
从而 ，此时 ，经检验 是原方程的解
16.解：如图，设L、N分别是PB、PC的中点，
连结MD，ME，ML，MN，DL和EN
则ML∥PC，且ML＝PC；MN∥PB，且MN＝PB
又由∠PDB＝∠PEC＝90°知DL＝PB，EN＝PC
因此DL＝MN①ML＝EN②
A.m＞-1 B.m≥0 C.-1＜m＜0 D.-1＜m<1
4.下列三数 的大小关系正确的是
A. B.
C. D.
5.设函数 的定义域是 时,a的取值范围为集合M;它的值域是R时,a的取值范围为集合N,则下列表达式中正确的是
A. B. C. D.
6.已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于直线 对称，记 ．若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是
并且PLMN为平行四边形
于是∠PLM＝∠PNM
∠DLP＝2∠PBA＝2∠PCA＝∠ENP
故∠DLM＝∠DLP＋∠PLM＝∠ENP＋∠PNM＝∠ENM③
因而由①②③知△DML≌△MEN
故DM＝EM，从而BC的中点M在DE的垂直平分线上
即DE的垂直平分线必经过BC的中点M.
16、（本题满分20分）
函数 的定义域为 ，且满足：
①对于任意的 ， ；
② 在区间 上单调递增.
（1）求 和 的值；
（2）求不等式 的解集.
参考答案
1.C解： ； 。要使 ，则
，即 。所以数对 共有30
2.C；3. A
4.解：因为 ， 。
令 ，则 。又因为 ，所以 。
再令 ，则 ，而 ，所以 。
综上所述，有 。因此选（C）。
高一数学竞赛班选拔考试试卷
重点中学高一数学竞赛班选拔考试试卷1.{}{}0,1A x x =⊆,用列举法表示集合A=___________。
2.新高一某班的50名学生中，参加数学竞赛辅导的有22人，参加物理竞赛辅导的有20人，参加化学竞赛辅导的有19人，既参加数学又参加物理的有15人，既参加数学又参加化学的有12人，既参加物理又参加化学的有10人，三科都没参加的有20人，则三科都参加的有_____________人。
3．在小于100的正整数n 中，能使分数1(332)(41)n n ++化为有限小数的n 的所有可能值为___________。
4．在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）。
若现在时间恰好是12点整，则经过_______秒后，OAB ∆面积第一次达到最大。
（用分数表示） 5.已知a 、b 、c 为整数，且2006,2005a b c a +=-=，若a b <，则a b c ++的最大值为________. b=2013-a>a 则a<1006.5 a 最大为1006 c=2005+a 所以a+b+c=2006+2005+a=a+4011所以最大值是1006+4011=50176．如果两个一元二次方程20x x m ++=与210mx x ++=都有两个不相等的实数根，并且其中有一个公共的实根0x ，那么0x =_________。
7．如果一个两位数5x 与一个三位数3yz 的积是29400，那么，x y z ++=____。
29400/400>73, 29400/300=98x 只能为7或8或929400/75=392只有这个是整数。
所以x+y+z=7+9+2=18因为29400=75*392所以x=7、y=9,z=2所以x+y+z=7+9+2=188．一名模型赛车手遥控一辆赛车。
先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角0(0180)αα<<，被称为一次操作。
高中数学高一级第一学期数学竞赛试题(word文档有答案)
高中数学高一级第一学期数学竞赛试题班级 姓名 学号 评分一． 选择题（10*4=40）1.设},0)()({,}0)({,}0)({=⋅=Φ≠==Φ≠==x g x f x P x g x N x f x M 则集合P 恒满足的关系为( ) A.N M P ⋃= B.N M P ⋃⊆ C.Φ≠P D.N M P ⋂=2.ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，==-=+B C A b c a 则,3,2π( )A.839arccos B.45 C.60 D.839arcsin3.设⎪⎩⎪⎨⎧=为无理数为有理数x x x f 01)( ，对于所有x 均满足)()(x g x xf ≤的函数)(x g 是( )A.x x g sin )(=B.x x g =)(C.2)(x x g =D.x x g =)(4.已知,都是长度小于1的向量，对于任意非负实数,,b a 下列结论正确的是( )A.b a u a +≤+B.b a u a +≥+C.b a u a +=+D.不能确定b a u a ++的大小关系5.设ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，其外接圆半径为1，且有+-C A sin sin ,22)cos(22=-C A 则此三角形的面积为 ( ) A.433 B.43 C.43或433 D.43或533 6.函数)cos(3)sin()(θθ-++=x x x f 的图象关于y 轴对称，则=θ( )A.)(6Z k k ∈-ππ B.)(3Z k k ∈-ππ C.)(62Z k k ∈-ππ D.)(32Z k k ∈-ππ7.数列}{n a 中，11=a 且411++=+n n n a a a ，则=99a ( ) A.412550 B.2500 C.412450 D.24018.设函数22)(2+-=x ax x f 对于满足41<<x 的一切0)(>x f ，则a 的取值范围是( )A.1>aB.1-<aC.11<<-aD.1-≥a9.设函数xxx y +-+=11arctan arctan ，则它的值域为( ) A.]4,43[ππ-- B.}43,4{ππ- C.)4,43(ππ-- D. )4,43(ππ-10.函数8422)(22+-++-=x x x x x f 的最小值是( )A.23B.15+C.10D.22+二． 填空题（4*5=20）11.ABC ∆中，36=∠A ，F E ,分别在边AC AB ,上，且CF BE =，N M ,分别是线段CE BF ,的中点，则直线MN 与直线AB 所成的较小的角的大小为 。
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高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷
（第一轮考试时间100分钟，满分100分）
一．选择题：(每题6分，共36分)
1．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆（A B）成立的所有a的集合是( )（1998年高中数学联赛一试第二题6分）
(A){a|1≤a≤9} (B){a|6≤a≤9} (C){a|a≤9} (D)Φ
2．根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是（）
A．1 B．2 C．3 D．6
3．已知有理数x、y、z两两不等，则,,
x y y z z x
y z z x x y
---
---
中负数的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个或2个
4．有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中统计比赛的盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，则同学E赛了（）盘
A．1 B.2 C.3 D.4
5．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽
种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的
两块种不同的植物，现有4
那么有（）种栽种方案.
A.60
B.68
C. 78
D.84
6.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数，规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（）时有必
胜的策略
A ．10 B.9 C.8 D.6
二．填空题：（每小题6分，共42分）
1．当整数m ＝_________时，代数式
1
3m 6-的值是整数. 2．已知：a 、b 、c 都不等于0，且|abc |abc |c |c |b |b |a |a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 (m+n) 2004＝_________.
3．若n 是正整数，定义n ！=n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,设 m =1！+2！+3！+4！+…+2003！+2004！，则m 的末两位数字之和为
4．不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________
5. 小华、小亮、小红3位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张，如果已知x 、y 、z 的最小公倍数是60；x 、y 的最大公约数是4；y 、z 的最大公约数是3，已知小华至少发出了5张贺卡,那么，小华发出的新年贺卡是 张.
6．小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表：
则7. 已知a 为给定的实数，那么集合M ＝｛x ∈R| x 2
-3x-a 2+2=0｝的子集的个数
是
三．解答题：（每小题各11分,共22分，写出必要的解答过程）
1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？
2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.
参考解答
一、选择题
1．B 2.D 3. B 4.B 5.D 6. D
二、填空题
1．0或1 2.0 3.4 4. 由原不等式分解可得（|x|-3）(x 2+|x|-1)<0，
由此得所求不等式的解集为5. 20 6.58 7. 4
三、解答题：
1、解：设每人购买了n 件商品，两人共购买了单价为8元的x 件，单价为9元的有y 件．则 ⎩⎨⎧=+=+.17298,2y x n y x 解之，得⎩⎨⎧-=-=.
16172,17218n y n x 因为0,0≥≥y x ，所以4
310959≤≤n ． 所以整数10=n ．
故⎩
⎨⎧==.12,8y x
2．解: 设长方形的边长为xcm 、ycm ，
则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y ）=11（99x+x+y ） ∵N 是一个完全平方数，11为质数，∴x+y 能被11整除，
又∵1≤x ≤9，1≤y ≤9 ∴2 ≤x+y ≤18，得x+y=11
∴N=11（99x+x+y ）=112（9x+1） ∴9x+1是一个完全平方数， 经试算知当x=7时满足条件，故y=4，从而长方形的面积=7×4=28cm 2.。