yang_经典电动力学教案, Chapter0
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. 矢量代数, 6
以上复习中对于矢量的表达实在笨拙。倘若不加改进就将其应用 于电动力学的学习，相信一定会极大地挫伤诸位的学习热情。 . 如何改进呢? . 矢量 ~ A 在直角坐标系中常表为：~ A “ A1~ e1 ` A2~ e2 ` A3~ e3 . 这一表 述虽然准确，但写法太繁琐。 可以将其简化为：
θ
A
满足交换律 ~ A¨~ B“~ B¨~ A.
3
. 矢量积 不满足交换律，但满足反交换律：
~ Aˆ~ B “ ´~ Bˆ~ A
ù ~ Aˆ~ A “ 0:
其大小定义为：|~ Aˆ~ B| “ AB sin , 方向由 右手法则确定。
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. 矢量代数, 2
若使用坐标系，任意矢量之间的基本代数运算 可以归于坐标系的基矢。 对于正交归一的右 手曲线坐标系而言， 标量积：
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. 学习建议：
. 主要参考书： . . D.J.Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd Edition, 1 Pearson Education Inc., 2005 . C.S.Helrich, e classical eory of Fields, Springer, 2012 2
式中的 ij 称为 Kronecker 符号， "
ij “
百度文库
1; 0;
若i“j 若i‰j
14 / 30
. 矢量代数, 3
X3 A θ P r X2 X1 O B
正交归一的右手曲线坐标系基矢之间的矢量积如下：
~ e1 ˆ ~ e1 “ 0; ~ e3 ˆ ~ e1 “ ~ e2 ; ~ e1 ˆ ~ e2 “ ~ e3 ; ~ e2 ˆ ~ e2 “ 0; ~ e3 ˆ ~ e2 “ ´~ e1 ; ~ e1 ˆ ~ e3 “ ´~ e2 ; ~ e2 ˆ ~ e3 “ ~ e1 ; ~ e3 ˆ ~ e3 “ 0
~ e2 ˆ ~ e1 “ ´~ e3 ;
它们可以简洁地写为：
~ ei ˆ ~ ej “
3 ÿ k“1
ijk~ ek
式中 ijk 称为 Levi-Civita 三秩全反对称张量。
15 / 30
. 矢量代数, 4
Levi-Civita 三秩全反对称张量 ijk 的定义式是： $ 若 pijkq 是 (123) 及其偶排列 & 1; ´1; 若 pijkq 是 (123) 的奇排列 ijk “ % 0; 其他情形 显然，ijk “ ´jik “ ´kji “ ´ikj 但 ijk “ kij “ jki .
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. 矢量运算为什么是困难的？
根据在下几年的教学经验判断，大部分同学对于电动力学三大数 学基础的掌握情况中以“矢量分析”最为薄弱。 “矢量代数与矢量分析”只是大家在微积分课程学习过程中的一 段小插曲。其难度、深度在高端大气上档次的“数理方程”和 “线性代数”面前简直就不值一提。
那么，是什么原因导致矢量分析变 成了公认的电动力学征途上的第 一大拦路“虎” ？
~ A“
3 ÿ i“1
Ai~ ei
然而，求和号仍然很烦人。 进一步略去这烦人的求和号后，上式变为：
~ A “ Ai~ ei
这就是我们在电动力学学习中将使用的矢量表达式。注意： . 重复指标代表求和。 1 . 在方程的任一项中，表示求和的重复指标只能出现两次。 2
1 2 / 30
. 教学特点：
. Self-assessment ： . . 清晰性、启发性和准确性或许可以保证。 1 . 通俗性欠佳，做不到浅入深出。 2 . 语言能力一般，不会讲故事、不风趣。 . 普通话水平低下，许多汉字的发音不准确。声音不够洪亮。 4
3
.
建议以“物理学”作为主修专业的同学选修在下主讲的这门课。 虽然也欢迎其他专业、例如“应用物理专业”的同学赏光，但 诸位的学习过程无疑会伴随些许苦涩味。
3
.
. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, 高等教育出 版社，2004
. 学习方法方面的忠告： . 建议跟老师学 (当然不是建议你们一定要跟我学)。 最好不要自 学。 .
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. 自测题：
. 杨 . 氏自学判据： 如图示，二静止点电荷 q1 与 q2 之间的 相互作用静电势能可以表达为如下积 分： ż q1 q2 p~ x ´~ x1 q ¨ p~ x ´~ x2 q Wint “ d3 x 16 2 0 |~ x ´~ x1 |3 |~ x ´~ x2 |3 试证明它可以化为如下简单形式： Wint “ q1 q2 40 |~ x1 ´ ~ x2 | 1
3 / 30
. 为什么要学习电动力学？
我个人以为：电动力学是高级版的电磁学。 在电磁学中，我们从学习 Coulomb 定律出发， 依次学习或了解 了 . 静止电荷分布在空间激发静电场的规律：静电 Gauss 定理、 1 环路定理。 在电荷分布具有很强对称性的前提下能够使用 场强叠加原理和 Gauss 定理求解静电场的分布。 . 稳恒电流在空间激发静磁场的规律：Ampere 环路定理、静 2 磁 Gauss 定理。 在电流分布具有足够对称性的前提下能够用 Biot-Savart 定律或 Ampere 环路定理求解静磁场的分布。 . Faraday 电磁感应定律和Maxwell 位移电流假设，时变的电、 3 磁场相互激发产生电磁波的现象，电磁波的传播速度等于光 速的结论。 . Maxwell 方程组的积分形式和Lorentz 力公式。 4
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对大多数同学而言，原因其实只有两个： 同学们在数学课堂学到的矢量表达方法效率不高。要准确地 表达一个矢量，数学家告诉我们需要将其写为三项之和，例 如： ~ A “ A1~ e1 ` A2~ e2 ` A3~ e3 在曲线坐标系中，基矢 ~ ei (i “ 1; 2; 3) 一般情况下不是常矢量， B~ ei ‰0 Bt 鉴于此，某些同学误以为欲学好矢量分析必须事先学好微分 几何 (大多数同学没有学过)，无形中形成了对于矢量分析的 恐惧心理。1 找到原因后自然要对症下药。今天先给大家介绍物理学中矢量的 高效表达方式。
S C S
它们可以等价地表达为： B “ 0; H¨~ E “ {0 ; H ˆ ~ E ` Bt ~ J: E “ 0~ H¨~ B “ 0; H ˆ ~ B ´ 0 0 Bt~
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. 梯度算符：
H
X3 A θ P r X2 X1 O B
式中的符号 是所谓“梯度”算符。 在 Cartesian 直角坐标系里，
x x2 q2 P q1 O x1
若能独立做出证明，据我判断你就具备了自学电动力学的能力。
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. 矢量分析的重要性：
. 本课程第一个问题： . 在“电动力学”课程的学习中，为什么矢量分析是重要的？ . 电磁现象的基本规律是 Maxwell 方程组。 例如，真空中的 Maxwell 方程组写为： £ ¿ ij d ~ ~ ~ ~ E ¨ dl ` B ¨ d~ “ 0; E ¨ d~ “ Q{0 ; dt S S £ ¿ C ij d ~ ~ ~ ~ B ¨ d~ “ 0; B¨d l ´ 0 0 E ¨ d~ “ 0 I: dt
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. 电动力学的特色：
. 电 . 动力学针对上述电磁学课程设置的漏洞打了补丁。 一是强化了如下数学工具的使用： . 矢量分析 1 . 数理方程 2 . 线性代数 3 从而强化了电磁现象基本规律的描写逻辑和解决问题的能力。 二是通过规范势的引入揭示了电磁场的规范场本性和电磁相互作 用传播速度的有限性。 三是直面 Maxwell 方程组和 Lorentz 力公式的参考系问题，系统 地介绍了 Einstein 所创立的狭义相对论和相对论的时空观。 因此，电动力学是一门理论物理课程。 . 学习电动力学难免要动用若干较高级的数学工具。 . 任何企图将电动力学当成电磁学来学的态度都会导致学习失败。
ijk 可以利用 ij 表达为： ijk
“ i1 j2 k3 ` i2 j3 k1 ` i3 j1 k2 ´ i1 j3 k2 ´ i3 j2 k1 ´ i2 j1 k3
或者写为如下行列式：
ijk
ˇ ˇ i1 i2 i3 ˇ “ˇ ˇ j1 j2 j3 ˇ k1 k2 k3
X3 A θ P r X2 X1 O B
~ e1 ¨ ~ e1 “ 1; ~ e2 ¨ ~ e2 “ 1; ~ e3 ¨ ~ e3 “ 1; ~ e1 ¨ ~ e2 “ 0; ~ e1 ¨ ~ e3 “ 0; ~ e2 ¨ ~ e3 “ 0
基矢之间的标量积可以简洁地归纳为：
~ ei ¨ ~ ej “ ij
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
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. 矢量代数, 5
假设 ~ A、~ B 二矢量在某右旋正交曲线坐标系中的分量表达式为：
~ A “ A1~ e1 ` A2~ e2 ` A3~ e3 ; ~ B “ B1~ e1 ` B2~ e2 ` B3~ e3 :
则有：
~ A`~ B ~ A¨~ B
“ pA1 ` B1 q~ e1 ` pA2 ` B2 q~ e2 ` pA3 ` B3 q~ e3 “ pA1~ e1 ` A2~ e2 ` A3~ e3 q ¨ pB1~ e1 ` B2~ e2 ` B3~ e3 q
.
电动力学
.
开场白与数学准备之一：矢量分析
杨焕雄
中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn
January 31, 2014
1 / 30
. 几句说在课前的话
. 任课教师信息： . 姓名：杨焕雄 电话：18949882795 邮箱：hyang@ustc.edu.cn 教学经历：已主讲过五次本科生的电动力学。本次是第六次。 . . 作 . 业与考试的计划： . 每次课将布置 3 道左右习题 (有例外)。整个学期按计划将布 置教材所附习题约 70%. . 2 作业将作为平时成绩的一部分评分。评分标准着重是否独立 完成，习题答案的正确与否不作过分强调。 . 3 平时成绩也包括对课堂提问的参与。 平时成绩比重为 20%. . 考试分期中考试和期终考试两次，皆闭卷 (期终可能会包含 4 教学组其他老师所命试题)，比重分别为 20% 和 60%.
5
. 介质在电磁场中极化、磁化现象。
4 / 30
. 电磁学课程的不足：
电磁学作为本科低年级的入门课程，主要是通过介绍实验规律和 使用矢量代数、微积分等初等数学工具展开的。 因此， . 所学的求解静电场、静磁场的方法对于电荷、电流分布的对 1 称性依赖性太强。 . 不了解电磁场是一种规范场、电磁相互作用是一种规范相互 2 作用。 . 对电磁波的基本属性和传播规律知之甚少，不了解电磁波的 3 波动方程及其推迟解。 . 没有涉及 Maxwell 方程组和 Lorentz 力公式的参考系问题， 4 刻意回避了时间和空间不可分割的时空基本属性。
“ A1 B1 ` A2 B2 ` A3 B3 ˇ ˇ ˇ ~ e2 ~ e3 ˇ ˇ e1 ~ ˇ ˇ ~ A A A Aˆ~ B “ˇ 1 2 3 ˇ ˇ ˇ B1 B2 B3 ˇ “~ e1 pA2 B3 ´ A3 B2 q ` ~ e2 pA3 B1 ´ A1 B3 q ` ~ e3 pA1 B2 ´ A2 B1 q . Question: . 矢量及其运算的表达方式可否大幅改进？
微分几何这种高级货对于掌握电动力学所需的矢量分析而言并不是必需 的。
12 / 30 1
. 矢量代数, 1
先对矢量代数作一简单复习。矢量之间的基本 代数运算是： . 矢量加法 服从平行四边形法则, 满足交 1 换律： ~ A`~ B“~ B`~ A . 标量积：
B
2
~ A¨~ B “ AB cos
H
H
B B B “~ e1 `~ e2 `~ e3 B x1 B x2 B x3
在直角坐标系中，场点的位置矢量 ~ r 可以表达为：
~ r “ x1~ e1 ` x2~ e2 ` x3~ e3
而其他矢量则可以写作：
~ A “ A1~ e1 ` A2~ e2 ` A3~ e3 ; ~ B “ B1~ e1 ` B2~ e2 ` B3~ e3 :
. 矢量代数, 6
以上复习中对于矢量的表达实在笨拙。倘若不加改进就将其应用 于电动力学的学习，相信一定会极大地挫伤诸位的学习热情。 . 如何改进呢? . 矢量 ~ A 在直角坐标系中常表为：~ A “ A1~ e1 ` A2~ e2 ` A3~ e3 . 这一表 述虽然准确，但写法太繁琐。 可以将其简化为：
θ
A
满足交换律 ~ A¨~ B“~ B¨~ A.
3
. 矢量积 不满足交换律，但满足反交换律：
~ Aˆ~ B “ ´~ Bˆ~ A
ù ~ Aˆ~ A “ 0:
其大小定义为：|~ Aˆ~ B| “ AB sin , 方向由 右手法则确定。
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. 矢量代数, 2
若使用坐标系，任意矢量之间的基本代数运算 可以归于坐标系的基矢。 对于正交归一的右 手曲线坐标系而言， 标量积：
6 / 30
. 学习建议：
. 主要参考书： . . D.J.Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd Edition, 1 Pearson Education Inc., 2005 . C.S.Helrich, e classical eory of Fields, Springer, 2012 2
式中的 ij 称为 Kronecker 符号， "
ij “
百度文库
1; 0;
若i“j 若i‰j
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. 矢量代数, 3
X3 A θ P r X2 X1 O B
正交归一的右手曲线坐标系基矢之间的矢量积如下：
~ e1 ˆ ~ e1 “ 0; ~ e3 ˆ ~ e1 “ ~ e2 ; ~ e1 ˆ ~ e2 “ ~ e3 ; ~ e2 ˆ ~ e2 “ 0; ~ e3 ˆ ~ e2 “ ´~ e1 ; ~ e1 ˆ ~ e3 “ ´~ e2 ; ~ e2 ˆ ~ e3 “ ~ e1 ; ~ e3 ˆ ~ e3 “ 0
~ e2 ˆ ~ e1 “ ´~ e3 ;
它们可以简洁地写为：
~ ei ˆ ~ ej “
3 ÿ k“1
ijk~ ek
式中 ijk 称为 Levi-Civita 三秩全反对称张量。
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. 矢量代数, 4
Levi-Civita 三秩全反对称张量 ijk 的定义式是： $ 若 pijkq 是 (123) 及其偶排列 & 1; ´1; 若 pijkq 是 (123) 的奇排列 ijk “ % 0; 其他情形 显然，ijk “ ´jik “ ´kji “ ´ikj 但 ijk “ kij “ jki .
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. 矢量运算为什么是困难的？
根据在下几年的教学经验判断，大部分同学对于电动力学三大数 学基础的掌握情况中以“矢量分析”最为薄弱。 “矢量代数与矢量分析”只是大家在微积分课程学习过程中的一 段小插曲。其难度、深度在高端大气上档次的“数理方程”和 “线性代数”面前简直就不值一提。
那么，是什么原因导致矢量分析变 成了公认的电动力学征途上的第 一大拦路“虎” ？
~ A“
3 ÿ i“1
Ai~ ei
然而，求和号仍然很烦人。 进一步略去这烦人的求和号后，上式变为：
~ A “ Ai~ ei
这就是我们在电动力学学习中将使用的矢量表达式。注意： . 重复指标代表求和。 1 . 在方程的任一项中，表示求和的重复指标只能出现两次。 2
1 2 / 30
. 教学特点：
. Self-assessment ： . . 清晰性、启发性和准确性或许可以保证。 1 . 通俗性欠佳，做不到浅入深出。 2 . 语言能力一般，不会讲故事、不风趣。 . 普通话水平低下，许多汉字的发音不准确。声音不够洪亮。 4
3
.
建议以“物理学”作为主修专业的同学选修在下主讲的这门课。 虽然也欢迎其他专业、例如“应用物理专业”的同学赏光，但 诸位的学习过程无疑会伴随些许苦涩味。
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. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, 高等教育出 版社，2004
. 学习方法方面的忠告： . 建议跟老师学 (当然不是建议你们一定要跟我学)。 最好不要自 学。 .
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. 自测题：
. 杨 . 氏自学判据： 如图示，二静止点电荷 q1 与 q2 之间的 相互作用静电势能可以表达为如下积 分： ż q1 q2 p~ x ´~ x1 q ¨ p~ x ´~ x2 q Wint “ d3 x 16 2 0 |~ x ´~ x1 |3 |~ x ´~ x2 |3 试证明它可以化为如下简单形式： Wint “ q1 q2 40 |~ x1 ´ ~ x2 | 1
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. 为什么要学习电动力学？
我个人以为：电动力学是高级版的电磁学。 在电磁学中，我们从学习 Coulomb 定律出发， 依次学习或了解 了 . 静止电荷分布在空间激发静电场的规律：静电 Gauss 定理、 1 环路定理。 在电荷分布具有很强对称性的前提下能够使用 场强叠加原理和 Gauss 定理求解静电场的分布。 . 稳恒电流在空间激发静磁场的规律：Ampere 环路定理、静 2 磁 Gauss 定理。 在电流分布具有足够对称性的前提下能够用 Biot-Savart 定律或 Ampere 环路定理求解静磁场的分布。 . Faraday 电磁感应定律和Maxwell 位移电流假设，时变的电、 3 磁场相互激发产生电磁波的现象，电磁波的传播速度等于光 速的结论。 . Maxwell 方程组的积分形式和Lorentz 力公式。 4
11 / 30
对大多数同学而言，原因其实只有两个： 同学们在数学课堂学到的矢量表达方法效率不高。要准确地 表达一个矢量，数学家告诉我们需要将其写为三项之和，例 如： ~ A “ A1~ e1 ` A2~ e2 ` A3~ e3 在曲线坐标系中，基矢 ~ ei (i “ 1; 2; 3) 一般情况下不是常矢量， B~ ei ‰0 Bt 鉴于此，某些同学误以为欲学好矢量分析必须事先学好微分 几何 (大多数同学没有学过)，无形中形成了对于矢量分析的 恐惧心理。1 找到原因后自然要对症下药。今天先给大家介绍物理学中矢量的 高效表达方式。
S C S
它们可以等价地表达为： B “ 0; H¨~ E “ {0 ; H ˆ ~ E ` Bt ~ J: E “ 0~ H¨~ B “ 0; H ˆ ~ B ´ 0 0 Bt~
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. 梯度算符：
H
X3 A θ P r X2 X1 O B
式中的符号 是所谓“梯度”算符。 在 Cartesian 直角坐标系里，
x x2 q2 P q1 O x1
若能独立做出证明，据我判断你就具备了自学电动力学的能力。
8 / 30
. 矢量分析的重要性：
. 本课程第一个问题： . 在“电动力学”课程的学习中，为什么矢量分析是重要的？ . 电磁现象的基本规律是 Maxwell 方程组。 例如，真空中的 Maxwell 方程组写为： £ ¿ ij d ~ ~ ~ ~ E ¨ dl ` B ¨ d~ “ 0; E ¨ d~ “ Q{0 ; dt S S £ ¿ C ij d ~ ~ ~ ~ B ¨ d~ “ 0; B¨d l ´ 0 0 E ¨ d~ “ 0 I: dt
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. 电动力学的特色：
. 电 . 动力学针对上述电磁学课程设置的漏洞打了补丁。 一是强化了如下数学工具的使用： . 矢量分析 1 . 数理方程 2 . 线性代数 3 从而强化了电磁现象基本规律的描写逻辑和解决问题的能力。 二是通过规范势的引入揭示了电磁场的规范场本性和电磁相互作 用传播速度的有限性。 三是直面 Maxwell 方程组和 Lorentz 力公式的参考系问题，系统 地介绍了 Einstein 所创立的狭义相对论和相对论的时空观。 因此，电动力学是一门理论物理课程。 . 学习电动力学难免要动用若干较高级的数学工具。 . 任何企图将电动力学当成电磁学来学的态度都会导致学习失败。
ijk 可以利用 ij 表达为： ijk
“ i1 j2 k3 ` i2 j3 k1 ` i3 j1 k2 ´ i1 j3 k2 ´ i3 j2 k1 ´ i2 j1 k3
或者写为如下行列式：
ijk
ˇ ˇ i1 i2 i3 ˇ “ˇ ˇ j1 j2 j3 ˇ k1 k2 k3
X3 A θ P r X2 X1 O B
~ e1 ¨ ~ e1 “ 1; ~ e2 ¨ ~ e2 “ 1; ~ e3 ¨ ~ e3 “ 1; ~ e1 ¨ ~ e2 “ 0; ~ e1 ¨ ~ e3 “ 0; ~ e2 ¨ ~ e3 “ 0
基矢之间的标量积可以简洁地归纳为：
~ ei ¨ ~ ej “ ij
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
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. 矢量代数, 5
假设 ~ A、~ B 二矢量在某右旋正交曲线坐标系中的分量表达式为：
~ A “ A1~ e1 ` A2~ e2 ` A3~ e3 ; ~ B “ B1~ e1 ` B2~ e2 ` B3~ e3 :
则有：
~ A`~ B ~ A¨~ B
“ pA1 ` B1 q~ e1 ` pA2 ` B2 q~ e2 ` pA3 ` B3 q~ e3 “ pA1~ e1 ` A2~ e2 ` A3~ e3 q ¨ pB1~ e1 ` B2~ e2 ` B3~ e3 q
.
电动力学
.
开场白与数学准备之一：矢量分析
杨焕雄
中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn
January 31, 2014
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. 几句说在课前的话
. 任课教师信息： . 姓名：杨焕雄 电话：18949882795 邮箱：hyang@ustc.edu.cn 教学经历：已主讲过五次本科生的电动力学。本次是第六次。 . . 作 . 业与考试的计划： . 每次课将布置 3 道左右习题 (有例外)。整个学期按计划将布 置教材所附习题约 70%. . 2 作业将作为平时成绩的一部分评分。评分标准着重是否独立 完成，习题答案的正确与否不作过分强调。 . 3 平时成绩也包括对课堂提问的参与。 平时成绩比重为 20%. . 考试分期中考试和期终考试两次，皆闭卷 (期终可能会包含 4 教学组其他老师所命试题)，比重分别为 20% 和 60%.
5
. 介质在电磁场中极化、磁化现象。
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. 电磁学课程的不足：
电磁学作为本科低年级的入门课程，主要是通过介绍实验规律和 使用矢量代数、微积分等初等数学工具展开的。 因此， . 所学的求解静电场、静磁场的方法对于电荷、电流分布的对 1 称性依赖性太强。 . 不了解电磁场是一种规范场、电磁相互作用是一种规范相互 2 作用。 . 对电磁波的基本属性和传播规律知之甚少，不了解电磁波的 3 波动方程及其推迟解。 . 没有涉及 Maxwell 方程组和 Lorentz 力公式的参考系问题， 4 刻意回避了时间和空间不可分割的时空基本属性。
“ A1 B1 ` A2 B2 ` A3 B3 ˇ ˇ ˇ ~ e2 ~ e3 ˇ ˇ e1 ~ ˇ ˇ ~ A A A Aˆ~ B “ˇ 1 2 3 ˇ ˇ ˇ B1 B2 B3 ˇ “~ e1 pA2 B3 ´ A3 B2 q ` ~ e2 pA3 B1 ´ A1 B3 q ` ~ e3 pA1 B2 ´ A2 B1 q . Question: . 矢量及其运算的表达方式可否大幅改进？
微分几何这种高级货对于掌握电动力学所需的矢量分析而言并不是必需 的。
12 / 30 1
. 矢量代数, 1
先对矢量代数作一简单复习。矢量之间的基本 代数运算是： . 矢量加法 服从平行四边形法则, 满足交 1 换律： ~ A`~ B“~ B`~ A . 标量积：
B
2
~ A¨~ B “ AB cos
H
H
B B B “~ e1 `~ e2 `~ e3 B x1 B x2 B x3
在直角坐标系中，场点的位置矢量 ~ r 可以表达为：
~ r “ x1~ e1 ` x2~ e2 ` x3~ e3
而其他矢量则可以写作：
~ A “ A1~ e1 ` A2~ e2 ` A3~ e3 ; ~ B “ B1~ e1 ` B2~ e2 ` B3~ e3 :