线性代数B复习题(2012)

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2012-2013线性代数B 期末试卷 4(第二学期版)

队别__________
教学班次___________ 学号___________
姓名____________
…………………………密………………………………封………………………………线………………………………………
武汉大学数学与统计学院 2012‐2013 学年第二学期《线性代数》期末考试试卷
1．设有三个不共面的向量α = (a1, a2 , a3 ) , β = (b1,b2 ,b3 ) ,γ = (c1, c2 , c3 )
…………………………密………………………………封………………………………线………………………………………
姓名____________
教学班次___________ 学号___________
考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______
x4 x4
= =
1 2
⎪⎩ x1 + x2 + 2x3 + x4 = 3
2 1 41
12．计算 D = 3 −1 2 1
1 2 32 5 0 62
队别__________
评卷人
试卷第 1 页（共 2 页）
得分
二、证明（1 小题，共 6 分）
考核人数______ 考核班次_______________ 任课教员_________ 出题教员签名________ 任课教研室主任签名_______日期_______
证明：存在唯一一个向量 x ，使 x ⋅α = 1, x ⋅ β = 2, x ⋅γ = 3.
试卷第 2 页（共 2 页）
2⎞

《线性代数》复习题B

厦门大学网络教育2012-2013学年第一学期《线性代数》课程复习题（ B ）一、选择题1．设行列式 111222333a b c a b c d a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（）。

A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。

1．B 。

解：由行列式的性质可知111111111111222222222222333333333333223223223c b c a b c c b a a b c c b c a b c c b a a b c d c b c a b c c b a a b c ++++++==-=-+++。

2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3A O =，则（）。

A ．A E +不可逆，E A -不可逆；B ．A E -不可逆，A E +可逆；C ．A E +可逆，E A -可逆；D ．AE +不可逆，E A -可逆。

2．C 。

解：由于23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=，因此E A +，E A -均可逆，故选C 。

3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。

A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。

3．C ．解：显然有1223311()1()1()0αααααα-+-+-=，所以12αα-，23αα-，31αα-线性相关，故选C 。

4．若3阶方阵2E A -及E A +，3A E -都不可逆，则A 的特征多项式中常数项为（）。

A ．23； B ．2 ； C ．23-； D ．43。

线性代数B复习资料

一一、选择题1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【】101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）；（C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【】（1）若有唯一解，则仅有零解。

（2）若有非零解，则有无穷多解。

（3）若无解，则仅有零解。

（4）若有无穷多解，则有非零解；（A ）（1）、（3）；（B ）（1）、（4）；（C ）（2）、（3）；（D ）（2）、（4）. 3.设12121010,,,24000021B C P A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦可用矩阵乘法表示为【】（A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==.4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【】111(1)()();(2)()(3)()T T TAB C A BC AB A B AB B A ---===(4)(5)(6)(2)2T A AAB A BA A =-=⋅-=-（A ）(1)、(3)、(5) ；（B ）（2）、（3）、（6）；（C ）（4）（5）（6）；（D ）（2）、（4）、（6）.5.设[]1,0,2Tξ=是线性方程组0Ax =的解，则下列4个矩阵中，A 有可能是【】[]011102201(1)2,1,1;(2);(3);(4)422.011010011⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（A ）（1）、（2）；（B ）（1）、（3）；（C ）（2）、（3）；（D ）（2）、（4）.6.设123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax b =的3个不同解，则123,,ηηη的下列线性组合组合，【】也是Ax b =的解。

中国农业大学2012-2013(秋)《线性代数》期末考试试题解析

2012~2013学年秋季学期线性代数（B）课程考试试题解析一．填空题（本题满分15分，共5道小题，每道小题3分）1．设A 为3阶方阵，且||3A =，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得到B ，则||BA *=27-．解析：||BA *=()2*-3-27==B A A注释本题知识点：1.互换行列式的两行，行列式改变符号。

2.*||=n -1AA 2．A 为n 阶矩阵，且()R A E n -<，则A 的一个特征值为1．解析：由于()R A E n -<，所以||=0A -E ，所以A 的一个特征值为1.注释本题知识点：1.()R A E n -<，知道A -E 不可逆，其行列式值为0.2.特征值的定义。

3．设A 为34⨯矩阵，()3R A =，且已知非齐次线性方程组Ax b =的两个解为121211,0124ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为1112()0122k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解析：由于()3R A =，对应的齐次线性方程组的基础解系有一个解向量，2112-=-12ηη⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭就是对应的齐次线性方程组的基础解系。

1η是非齐次线性方程组的特解。

所以非齐次线性方程组Ax b =的通解为k k R 1112()0122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注释本题知识点：1.基础解系的概念2.非齐次线性方程组解的构成。

4.若2221231231223(,,)2+2f x x x x x x x x tx x =+++为正定二次型，则t．解析：正定二次型对应的矩阵为t2t 22101101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的各阶顺序主子大于零，所以t 2t 22101101>21102t->，所以t 注释本题知识点：1.二次型对应的矩阵是对称矩阵。

2012年10月线性代数(经管类)试题答案

2012年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设行列式12211=b a b a ，12211-=--c a c a ，则行列式=--222111c b a c b a （ B ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且O E A =-，则必有（ C ） A ．E A =B ．E A -=C ．1-=A AD ．1||=A3．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101c b A 为反对称矩阵，则必有（ B ）A ．0,1=-==c b aB ．0,1=-==b c aC ．1,0-===b c aD ．0,1=-==a c b4．设)0,0,2(1=α，)1,0,0(2-=α，则下列向量中可以由21,αα线性表示的是（ D ） A ．T )1,1,1(---B ．T )1,1,0(--C ．T )0,1,1(--D ．T )1,0,1(--5．已知34⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则=)(A r （ C ） A ．1B ．2C ．3D ．421A ．21αα-B ．21αα+C ．2121αα+D ．212121αα+7．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-02432431x x x 的基础解系所含解向量的个数为（B ）A ．1B ．2C ．3D ．48．若矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11D 相似，则=2A （ A ） A ．EB ．AC ．E -D ．E 29．设3阶矩阵A 的一个特征值为3-，则A -必有一个特征值为（ A ） A ．9-B ．3-C ．3D ．910．二次型323121321321222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=的规范形为（ C ） A ．2221z z -B ．2221z z +C ．21zD ．232221z z z ++二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．行列式123111321的值为____________．12．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1234A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P ，则=2PAP ____________．13．设向量)1,2,1(=α，)3,2,1(---=β，则=-βα23____________．14．若A 为3阶矩阵，且9||=A ，则=-|)3(|1A ____________． 15．设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵，1)(=B r ，则分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-B BO E的秩为____________．16．向量组k )2,2,(1-=α, )8,8,4(2-=α线性相关，则数=k ____________．17．若线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=++λλ332321)1(2212x x x x x x 无解，则数=λ____________．18．已知A 为3阶矩阵，21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则=||A __________．19．设A 为3阶实对称矩阵，)1,1,0(1=α，x ),2,1(2=α分别为A 的对应于不同特征值的特征向量，则数=x ____________．20．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211110A ，则对应的二次型=),,(321x x x f ____________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式b a bab b a a b a ba D +++=的值．解：ba bb ba b a b a ba b b a b b a b a b a b a ba b ab b a a b a ba D +++=+++++=+++=111)(2)(2)(2)(2)(20)(20001)(2b a ab aa b b b a aa b bba b a +=-+=-+=．22．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222012001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=640220211B ，求满足方程T B AX =的矩阵X ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102012001220010001100010001222012001),(E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→126012001200010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→2/113012001100010001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-126024002212/1130120011A ，==-T B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1134230012268460022162242100112602400221． 23．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1121,3642,4011,43214321αααα，求该向量组的秩和一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=35004030403012111344160324121211),,,(4321αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→3500000040301211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→0000350040301211，该向量组的秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组．24．求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+++=--+634421432143214321x x x x x x x x x x x x （要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=233102331011111611344111211111),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→000002331011111 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→000002331011111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000002331032201，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=--=4433432431332223x x x x x x x x x x ，方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10320132002321k k ，21,k k 为任意实数．25．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A 的全部特征值和特征向量．解： =-||A E λ3001001λλλλ=--，A 的全部特征值为0321===λλλ；对于0321===λλλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000100010000100010，⎪⎩⎪⎨⎧===003211x x x x ，线性无关的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001，全部特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001k ，k 为任意非零实数．26．确定b a ,的值，使二次型31232221321222),,(x bx x x ax x x x f +-+=的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200200b b a A ，由A 的特征值之和为122=-+a ，得1=a ；由A 的特征值之积为1224)2(22122002001||22-=--=--=-=-=b b b bb b A ，得42=b ，2±=b ．四、证明题（本题6分）27．设A ，B 均为n 阶（2≥n ）可逆矩阵，证明***=A B AB )(．证：由*-=A A A ||11，可得1||-*=A A A ；同理可得1||-*=B B B ．所以 ====-----*)|)(||(|||||)(||)(11111A A B B A B B A AB AB AB **A B ．。

《线性代数B》复习题

一、填空题：1.行列式 843591712-中元素21a 的代数余子式等于_________.2. 若,8=d c b a ,2=c f ae 则=++f d c e b a ___________.3. 交换行列式中两行的位置行列式 .4.行列式 00 (00)0...10 02 (001)0...00n n -= .5.设A 为3阶方阵，5A =，则2A = .6. =00000000a b b a b a ab ______________.7.设2113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2324B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =__________.8.设32,43A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则1A -=______________.9. 设,,A B C 均为n 阶方阵，B 可逆，则矩阵方程A BX C +=的解为 .10. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=412321111A 的秩＝____________.11.单独一个向量α线性无关的充分必要条件是_____________.《线性代数B 》复习题12. 单个向量α线性相关的充要条件是__________.13.设向量组1α=(1,2,3) , 2α=(2,1,0), 3α=(3,0,-2), 则向量32123αααβ-+=等于____________.14.若()()()1231,2,3,4,5,6,0,0,0ααα===,则321,,ααα线性 .15．n 维向量组{}123,,ααα线性相关，则{}1234,,,αααα ．（填线性相关，线性无关或不能确定）16.向量组123(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)ααα===、、的秩是______.17.设η是非齐次线性方程组Ax =b 的解，ξ是方程组0=Ax 的解，则ξη2+为方程组________________的解.18.齐次线性方程组自由未知量的个数与基础解系所含解向量的个数_____________.19.非齐次线性方程组AX b =有解的充要条件是 .20.若非齐次线性方程组Ax =b 有唯一解，则方程组0=Ax ___________.21.齐次线性方程组0AX =一定有解.22. 设12143314A t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，以A 为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解，则t = .23．线性方程组AX =B ，其增广矩阵经初等行变换化为100101020013A ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，此方程组的解为．24.设1x=η及2x=η都是方程Ax =b 的解，则12x =ηη-为线性方程组______的解.25.设A 为6阶方阵，()3=A R ，则齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含有_______个线性无关的解向量.26.λ是A 的特征值，则___________是kA 的特征值.27.设可逆方阵A 的特征值为λ，则1-A 的特征值为___________.28. n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 的特征值___________.29.若矩阵120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值121,2,λλ=-=则A 的第3个特征值3λ= .30.设n 阶方阵()ij A a =的全部特征值为12,,,n λλλ ，则有12n λλλ= .二、单项选择题：1.若行列式a a a a a =222112110≠，则行列式222112115522a a a a=（）.A ．10aB ．2aC ．5aD ．7a2.若,8=d c b a ,2=a e cf 则=++f d c eb a （）.A ．10 B. 6 C. -6 D. -103. 设A 是6阶方阵，则=A 3( ).A ．63AB ．A 3C ．A 63D ．6A4. 二阶行列式θθθθcos sin sin cos -的值为（）A ．-1B ．1C ．θ2sin 2D ．θ2cos 25. 111334211=---k 时，k 的取值是( ).A ．2=kB ．1=kC ．1-=kD ．3=k6.矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵*A =( ).A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--11117．下列说法正确的是( )A. A 和B 为两个任意矩阵，则A-B 一定有意义.B ．任何矩阵都有行列式.C ．设AB 、BA 均有意义，则AB=BA.D ．矩阵A 的行秩=A 的列秩=A 的秩.8.设A 与B 是等价矩阵，则下列说法错误的是（）.A ．齐次线性方程组AX=0与BX ＝0同解 B. 秩)()(B r A r =C. 非齐次线性方程组AX=b 与BX ＝b 同解D. A 经有限次初等变换得到B9.下列矩阵为初等矩阵的是（）.A.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210010001 B. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 C.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛132321213 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10000000110.若矩阵A =1131422711⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，则矩阵A 的秩是（）.A . 3B ．2C ．1D ．011.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a a aa A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y a x a 2111B ，且2,3==A B ，则=+BA （）. A ．4 B ．5 C ．10 D ． 612.设A ,B 是n 阶可逆矩阵，那么（）不正确.A ．111()AB B A ---= B ．T A A =C ． 112)2(--=A AD ．AB BA =13.对n 阶可逆方阵,A B ，数0λ≠，下列说法正确的是（）.A. AB BA =B. 111)(---=B A ABC. 11()A A --=D. 11()A A λλ--=14. 对任意同阶方阵A,B ，下列说法正确的是（）.A ．T T T AB AB =)( B. |A+B|=|A|+|B| C. 111)(---=B A AB D. BA AB =15.设A ，B ，C ，D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位方阵，下列命题正确的是（）.A ．若02=A ，则0=AB ．若0=AB ，则0=A 或0=BC ．若AC AB =，则C B =D ．若BA AB =，则2222)(B AB A B A ++=+16.设向量组s ααα,,,21 线性相关，则一定有（）.A ．121,,,-s ααα 线性相关 B. 121,,,+s ααα 线性相关C ．121,,,-s ααα 线性无关 D. 121,,,+s ααα 线性无关17.向量组),0,0,1(1=α),0,1,0(2=α)1,0,0(2=α的秩为（）.A ．0 B. 1 C. 2 D. 318.设向量组αα1,, m 线性相关,则必可推出（ ) .A ．αα1,, m 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合B ．αα1,, m 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合C ．αα1,, m 中至少有两个向量成比例D ．αα1,, m 中至少有一个向量为零向量19.设321a a a ,,线性相关,则以下结论正确的是（）.A. 12,a a 一定线性相关B. 13,a a 一定线性相关C. 12,a a 一定线性无关D. 存在不全为零的数k 1,k 2,k 3使1122330k a k a k a ++=20.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x （）.A. 无解；B. 只有0解；C. 有唯一解；D. 有无穷多解.21. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kxx 有非零解，则k =( ) .A. -1B. -2C.1D.222. 若()r A r n =<，则n 元齐次线性方程组0=AX （）.A. 有惟一零解B.有非零解C.无解D.不确定23.设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（）.A. 若0Ax =仅有零解，则Ax b =有惟一解B. 若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解，则0Ax =有非零解24.下列关于方程组的解的表述不正确的是（）.A. 若12,x =x =ξξ都是方程0Ax =的解，则12x =ξξ+也是方程0Ax =的解B. 若1x=ξ是方程0Ax =的解，则13x =ξ也是方程0Ax =的解C. 若1x=ξ是方程Ax b =的解，则13x =ξ也是方程Ax b =的解D. 0Ax =的基础解系中的解向量线性无关25.设12,u u 是非齐次线性方程组b AX =的两个解,则以下正确的是( ) .A ．12u u +是b AX =的解B ．12u u -是b AX =的解C ．12u u -是0Ax =的解D ．12u 是b AX =的解26.含有5个未知量的齐次线性方程组0AX =系数矩阵的秩是3, 则此齐次线性方程组0AX =（）.A.无解B.有唯一解C.有非零解D.不确定有什么解27.设n 元齐次线性方程组AX=0有非零解，则必有（）.A ．|A|=0 B. 秩0)(=A r C. 秩n A r =)( D. 秩n A r <)(28.n 元非齐次线性方程组AX=b 有解的充要条件是（）.A ．n A r =)( B. )()(A r A r < C. n A r =)( D. )()(A r A r =29. 设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则其逆1-A 必有一个特征值等于（）.A ．14 B ．12 C ．2 D ．430. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3113A 的特征值为（）.A ．4,221==λλ B. 4,221-==λλ C. 4,221=-=λλ D. 4,221-=-=λλ三、判断正误：1.若行列式中两行元素对应成比例，则此行列式为零．（）2.行列式0111101111011110=-3（）.3.两个n 阶行列式相等，其对应位置的元素也一定相等. （）4.设2阶方阵A 可逆，且1-A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111.（）5.若,AB BA 均有意义，则必有AB BA =.（）6. 矩阵的初等变换改变矩阵的秩. （）7.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中所有3阶子式都为零.（）8.设,A B 是n 阶方阵，则222()2A B A AB B +=++ （）.9.若向量组s ααα,,,21 线性相关，则其中每一个向量可以由其余向量线性表出．（）10.向量组123,,ααα线性无关的充分必要条件是123,,ααα中任二向量线性无关（）.11. 5个4维向量线性相关. （）12.若向量组中有一部分向量线性无关，则整个向量组也线性无关.（）13.若12,ξξ都是Ax b =的解，则()112ξξ+也是Ax b =的解. （）14.若齐次线性方程组0AX =有非零解，则它一定有无数个解.( )15. 若非齐次线性方程组AX b =的导出组有无穷多解，则该非齐次线性方程组未必也有无穷多解. （）16. 若1x =ξ，2x =ξ为Ax b =的解，则1232x =ξ+ξ也是它的解.（）17. 若λ是方阵A 的特征值，则λ也是2A 的特征值．（）18. 设λ是A 的特征值，则2λ是2A 的特征值. （）19. 方阵A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．（） 20. 特征向量可以是零向量.（）四、计算题：1.求4阶行列式 1013112513014112的值.2.求4阶行列式0022110112112110-----的值.3.设矩阵X 满足等式 1212+410T X -⎛⎫= ⎪⎝⎭0117232213-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求X . 4.解矩阵方程，设AX B X -=，求X ，其中A =20133121,2001111B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=311010211A ,求逆矩阵1-A .6. 解齐次线性方程组12341234123412344032023503560x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-+-=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 求通解.7.解方程组124512351234521222225x x x x x x x xx x x x x +++=⎧⎪+-+=⎨⎪-++-+=⎩.8. 当a 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++1432131321321ax x x x x x x x 有无穷多解？此时，求出方程组的通解。

线性代数B期末考试题及答案

线性代数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)答案：C2. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(A^2 = I\)，则\(A\) 一定是：A. 正交矩阵B. 斜对称矩阵C. 单位矩阵D. 对角矩阵答案：A3. 线性方程组 \(\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - 4y + 2z = 2 \\ 5x + 6y + 3z = 3 \end{cases}\) 的解的情况是：A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 不能确定答案：B4. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(\det(A) = 0\)，则 \(A\) 的秩：A. 等于3B. 小于3C. 等于0D. 大于等于3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的行列式\(\det(A) = 2\)，则 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\) 的行列式是 _______。

答案：82. 若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的特征值为1，2，3，则 \(A\) 的迹数 \(\text{tr}(A)\) 等于 _______。

线性代数B类试卷

线性代数试卷一单项选择题（每题3分，共18分）1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的（）(A) 充分条件；(B) 必要条件；(C) 充要条件；(D) 无关条件。

2．已知为四维列向量组，且行列式，，则行列式（）(A) 40；(B) －16； (C) －3；(D) －40。

3．设向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是（）(A) 向量组线性无关；(B) 对任一个，向量组线性相关；(C) 存在一个，向量组线性无关；(D) 向量组与向量组等价。

4．已知为阶可逆矩阵（），交换的第1，2列得，为的伴随矩阵，则（）(A) 交换的第1，2行得；(B) 交换的第1，2行得；(C) 交换的第1，2列得；(D) 交换的第1，2列得。

5．设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则（）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。

6．设是方程组的基础解系，下列解向量组中也是的基础解系的是（）(A) ；(B) ；(C) ；(D) 。

二填空题（每题3分，共18分）7. 已知列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量。

则＝，＝，＝。

8．设维列向量，其中。

已知矩阵可逆,且，则___ ______。

9．已知实二次型正定，则常数的取值范围为________________。

10．设矩阵，是中元素的代数余子式。

已知，，且，则。

11．设,，其中是非齐次线性方程组的解，已知为矩阵，且。

则线性方程组的通解为。

12．设，已知相似于对角阵，则= ，= 。

三计算题（每题8分，共48分）13．设，计算阶行列式。

14．设线性方程组为，试问取何值时，此线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？当其有无穷多解时，求其通解。

设为4阶方阵，其中为4维列向量，且线性无关，。

已知向量，试求线性方程组的通解。

已知为阶矩阵，且满足，其中。

求矩阵。

已知；都是线性空间的基，，在基和下的坐标分别为和，且，其中：；。

试求：(1) ；(2) 基（用线性表示）。

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线性代数B 复习资料（2012）(一)单项选择题1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2，则下列各式中可能不成立的是（ A ）(A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2)( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B=-1(D ) 不一定4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A)<n , 则( C )(A) A 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合 (B) A 的各行向量中至少有一个为零向量(C )A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．设向量组s ααα,,2,1 线性无关的充分必要条件是( D )(A) s ααα,,2,1 均不为零向量(B) s ααα,,2,1 任意两个向量的对应分量不成比例 (C) s ααα,,2,1 中有一个部分向量组线性无关(D ) s ααα,,2,1 中任意一个向量都不能由其余S-1个向量线性表示6．向量组的秩就是向量组的(C ) (A) 极大无关组中的向量 (B) 线性无关组中的向量(C ) 极大无关组中的向量的个数 (D) 线性无关组中的向量的个数 7．下列说法不正确的是( A ) (A ) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则加入k 个向量k βββ,,2,1 后，仍然线性无关 (B) 如果r 个向量r ααα,,2,1 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关(D)如果r 个向量r ααα,,2,1 线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关8．设n 阶方阵A 的秩r<n ，则在A 的n 个行向量中( A ) (A ) 必有r 个行向量线性无关(B) 任意r 个行向量均可构成极大无关组 (C) 任意r 个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示 9．设方阵A 的行列式0=A ，则A 中( C )(A) 必有一行（列）元素为零 (B) 必有两行（列）成比例(C ) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合 (D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合10．设A 是m ×n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( A ) (A )A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关11．n 元线性方程组AX=b ，r （A ，b ）<n ，那么方程AX=b (D)(A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 (D )不确定 12．设A ，B 均为n 阶非零矩阵，且AB ＝Ｏ，则A 和B 的秩（ D ） (A) 必有一个等于零 (B)一个等于n ，一个小于n (C) 都等于n (D ) 都小于n13．设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性相关的是（ A ） (A ) 133221,,αααααα-++ (B) 3213221,,ααααααα++++ (C) 1332213,32,2αααααα+++(D) 321321321553,222,ααααααααα-++-++14．向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是(C ) (A)s ααα,,,21 均不为零向量(B)s ααα,,,21 中任意两个向量的分量均不成比例(C )s ααα,,,21 中任意一向量均不能由其余s-1个向量线性表示 (D)s ααα,,,21 中有一部分向量线性无关15．当向量组m ααα,,,21 线性相关时, 使等式02211=+++m m k k k ααα 成立的常数m k k k ,,,21 为( C )(A)任意一组常数(B)任意一组不全为零的常数 (C )某些特定的不全为零的常数 (D)唯一一组不全为零的常数 16．下列命题正确的是( D )(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D ) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 17．设向量组s ααα,,,21 的秩为r ，则 ( D) (A) 必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关 (C) 向量组中任意r 个向量线性无关 (D ) 向量组任意r+1个向量线性相关18．若s ααα,,,21 为n 维向量组，且秩(s ααα,,,21 )=r, 则( B ) (A) 任意r 个向量线性无关 (B ) 任意r+1个向量线性相关(C) 该向量组存在唯一极大无关组(D) 该向量组在s>r 时, 由若干个极大无关组19．设()21,,1αα-=⨯n A r n n 是0=AX 的两个不同的解, 则0=AX 的通解是( C ). (A)1αk (B)2αk (C )()21αα-k (D)()21αα+k 20．设A 为n 阶方阵, 且r(A)=r<n, 则中 (A ) (A )必有r 个行向量线性无关 (B)任意r 个行向量线性无关(C)任意r 个行向量构成极大无关组(D)任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示 21．A 是m ×n 矩阵, r(A)=r 则A 中必( B )(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r 阶子式不为零 (B )有不等于零的r 阶子式所有r+1阶子式全为零 (C)有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1阶子式 (D)任何r 阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 22．能表成向量()1,0,0,01=α,()1,1,1,02=α,()1,1,1,13=α的线性组合的向量是（ B ） (A) ()1,1,0,0 (B )()0,1,1,2 (C)()1,0,1,3,2- (D)()0,0,0,0,023．已知()3,2,11=α, ()2,1,32-=α,()x ,3,23=α 则x=（ D ）时321,,ααα线性相关。

(A) 1 (B)2 (C) 4 (D ) 524．向量组()4,2,1,11-=α,()2,1,3,02=α,()14,7,033=α()0,2,1,14-=α的秩为 (C )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）425．矩阵A 在( D ) 时可能改变其秩(A) 转置 (B) 初等变换(C) 乘一个可逆方阵 (D ) 乘一个不可逆方阵 26．设A 为n 阶方阵,且0=A ，则 ( C )(A) A 中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (B) A 必有两行（列）对应元素乘比例(C ) A 中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 (D) A 中至少有一行（列）向量为零向量27．向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是( C ) (A) s ααα,,,21 中有一零向量(B) s ααα,,,21 中任意两个向量的分量成比例 (C ) s ααα,,,21 中有一向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,,,21 中任意一个向量均是其余向量的线性组合 28．若向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表出,则( C )(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 ,使等式s s k k k αααβ+++= 2211成立 (C )向量s αααβ,,,,21 线性相关 (D) 对β的线性表示不唯一29．设A 是m ×n 矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( D)(A) 若AX=0仅有零解，则AX=b 有唯一解 (B) 若AX=0有非零解，则AX=b 有无穷多个解 (C) 若AX=b 有无穷多个解，则AX=0仅有零解 (D ) 若AX=b 有无穷多个解，则AX=0有非零解30．要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2011ζ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102ζ都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A 为( A)(A ) ()1,1,2- (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110102 (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210201 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---110224110 31．设矩阵n m A ⨯的秩为r(A)=m<n, m I 为m 阶单位矩阵,下述结论正确的是 (C ) (A)A 的任意m 个列向量必线性无关(B)A 的任意个m 阶子式不等于零(C )A 通过初等变换, 必可化为(m I ,0)的形式(D) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =.32．非齐次线性方程组AX=b 中未知数的个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（ A ）(A ) r=m 时, 方程组AX=b 有解 (B) r=n 时, 方程组AX=b 有唯一解 (C) m=n 时, 方程组AX=b 有唯一解 (D) r<n 时, 方程组AX=b 有无穷多解33．设一个n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r(A)=n-3, 且321,,ηηη为此方程组的三个线性无关的解, 则( B )不是此方程组的基础解系 (A)321,,ηηη(B )133221,,ηηηηηη--- (C)321211,,ηηηηηη+++ (D)233121,,ηηηηηη+--34．已知321,,ααα是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（ B ） (A) 332211αααk k k ++ (B ) 133221,,αααααα+++ (C) ,,3221αααα--(D),,,233211αααααα-+-35．向量组r ααα,,,21 线性无关，且可由向量组s βββ,,,21 线性表示，则 (D ) r(r ααα,,,21 )必( )r(s βββ,,,21 )(A)大于等于 (B)大于 (C)小于 (D )小于等于36．设n 元齐次线性方程组AX=0的通解为k （1，2，…，n ）T，那么矩阵A 的秩为（ B ） (A) r(A)=1 (B ) r(A)=n-1 (C) r(A)=n (D)以上都不是37．设矩阵A =111121233λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ=（ D ）A.2B.1C.0D .-138．一个向量组中的极大线性无关组（ C ）(A)个数唯一 (B) 个数不唯一 (C )所含向量个数唯一 (D) 所含向量个数不唯一39．设n 维向量组r ααα,,,21 (Ⅰ)中每一个向量都可由向量组s βββ,,,21 (Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则( D )(A) (Ⅱ)线性无关 (B) (Ⅱ)线性相关 (C) (Ⅰ)线性无关 (D ) (Ⅰ)线性相关 40．设n ααα,,,21 是n 个m 维向量，且n>m, 则此向量组n ααα,,,21 必定(A ) (A ) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等 41．矩阵A 适合条件（ D ）时，它的秩为r(A)A 中任何r+1列线性相关 (B) A 中任何r 列线性相关(C) A 中有r 列线性无关 (D ) A 中线性无关的列向量最多有r 个42．已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛040020001，则R （A ）=（ C ）(A)0 (B)1 (C )2 (D)343．若m ×n 阶矩阵A 中的n 个列线性无关则A 的秩（ C ） (A)大于m (B)大于n (C )等于n (D) 等于m44．若矩阵A 中有一个r 阶子式D ≠0，且A 中有一个含D 的r+1阶子式等于零，则一定有R （A ）（ A ）(A ) ≥r (B)＜r (C)=r (D) =r+1 45．要断言矩阵A 的秩为r ，只须条件（ D ）满足即可 (A) A 中有r 阶子式不等于零 (B) A 中任何r+1阶子式等于零(C) A 中不等于零的子式的阶数小于等于r (D ) A 中不等于零的子式的最高阶数等于r46．设m ×n 阶矩阵A ，B 的秩分别为21,r r ，则分块矩阵（A ，B ）的秩适合关系式（ A ）(A ) 21r r r +≤ (B) 21r r r +≥ (C) 21r r r += (D) 21r r r = 47．R(A)=n 是n 元线性方程组AX=b 有唯一解( C )(A)充分必要条件 (B) 充分条件 (C ) 必要条件 (D) 无关的条件48．矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111的特征值为0,2, 则3A 的特征值为( B )(A) 2,2; (B ) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6; 49．A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111，则222A A I +--的特征值为（ B ） (A) 2,2; (B ) –2,-2; (C) 0,0; (D) –4,-4; 50．AP P B 1-=,0λ是A,B 的一个特征值, α是A 的关于0λ的特征向量, 则B 的关于0λ的特征向量是( C ) (A)α (B) αP (C ) α1-P (D) αP '51．n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是（ B ） (A) 矩阵A 有n 个特征值(B ) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (C) 矩阵A 的行列式0≠A (D) 矩阵A 的特征多项式没有重根52．A 满足关系式O E A A =+-22，则A 的特征值是( C )(A) λ=2 (B) λ= －1 (C ) λ= 1 (D) λ= －2是53．已知－2是A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----b x 2222220的特征值，其中b ≠0的任意常数，则x=（ D ） (A) 2 (B) 4 (C) －2 (D ) －454．已知矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----x 44174147有特征值12,3321===λλλ，则x=（ D ） (A) 2 (B) － 4 (C) －2 (D ) 455．设A 为三阶矩阵，已知0=+E A ，02=+E A ，03=+E A ，则=+E A 4(A) (A ) 6 (B) － 4 (C) －2 (D)456．A 为n 阶矩阵，且I A =2，则 ( C)(A) A 的行列式为1 (B) A 的特征值都是1 (C )A 的秩为n (D)A 一定是对称矩阵57. 设A 为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ D ） (A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D ) 2E+A 58. 已知A 为n 阶可逆阵, 则与A 必有相同特征值的矩阵是( C ) (A) 1-A (B)2A (C ) T A (D) *A 59．已知A 为三阶矩阵，r(A)=1, 则λ=0( B )(A)必是A 的二重特征根 (B ) 至少是A 的二重特征根 (C) 至多是A 的二重特征根 (D)一重,二重,三重特征根都可能（二）计算题与填空题1．0653=+-I A A ，则=-1A （）（()I A 5612--）2．设A 是43⨯矩阵,(),2=A R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120B ,则()=BA R ________3．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101041003A ，则()=--12I A （）（20011102202⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭）4. 已知矩阵21010201A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B 相似，则____________==y x答案：2,3x y ==5.()()(),01,50,31321tTT t tt-=-=-=ααα 当0,2t ≠时, 向量组321,,ααα 线性无关.6．设()()(),112,231,5121TTTk-=-==ααβ=k （）时β可被向量组21,αα线性表出。