线性代数B期末试题
线性代数期末考试试题
线性代数B 期末试题一、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分)1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
（ ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
（ ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。
( )5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。
（ ）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。
（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ）（A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题4分，共20分）1．01210n n -。
同济大学线性代数B期末试卷-含参考答案
同济大学课程考核试卷（B 卷）2009—2010学年第一学期命题教师签名： 审核教师签名：课号：122010 课名：线性代数B 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( √ )试卷（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空题（每空3分，共24分）1．已知4阶方阵为()2131,,,A αααβ=, ()1232,2,,B αααβ=, 且 4A =-，2B =-，则行列式 =+B A 6 。
2. 设行列式1131100021034512D =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则=+2414A A -9 .3. 已知矩阵222222a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 C .(A) 2=a ； （B ） 2=a 或4-=a ； (C) 4-=a ； (D) 2≠a 且4-≠a .4. 向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示， 则以下结论中不能成立的是 B(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α(1)j s ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价. 5. 已知3阶矩阵A 与B 相似且010100001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭, 则201222B A -=300030001⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的特解，12,,,s ξξξ是齐次方程组0Ax =的基础解系，则以下命题中错误的是 B(A) 001020,,,,s ηηξηξηξ---是Ax b =的一组线性无关解向量；(B) 0122s ηξξξ++++是Ax b =的解；(C) Ax b =的每个解均可表为001020,,,,s ηηξηξηξ+++的线性组合.7. 设4阶矩阵A 有一个特征值为2-且满足5T AA E =，||0A >，则其伴随矩阵*A 的一个特征值为 _________8. 已知实二次型2221,231231323(,)2624f x x x x x x ax x x x =++++正定,则常数a 的取值范围为22a -<<.二、（10分）设矩阵A 的伴随矩阵*110011102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且0A >, E BA ABA 311+=--。
复旦大学《线性代数》2019-2020学年第一学期期末试题B卷
共4页第页复旦大学期末考试试卷（B 卷）课程名称线性代数A 考试学期19-20-1得分适用专业非电类专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟题号一二三四五六七得分一.（30%）填空题（E 表示单位矩阵）：1.设03a A b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果10A O =，则参数,a b 满足条件；2.设0k >，向量(,0,)T k k α=，如果矩阵T A E αα=-是1T B E k αα=+的逆矩阵，则参数k =；3.若,A B 都是n 阶可逆矩阵，则分块矩阵O A B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为；4.若向量组(1,2,3),(1,,3),(1,2,)T T T x y 线性相关，则参数,x y 满足条件；5.3R 的子空间{}(,,)|0T V x y z x y z =--=的维数是；6.假设3阶矩阵A 的秩是2，123,,ηηη是线性方程组Ax b =的解，若12(2,2,4)T ηη+=，13(1,0,1)T ηη-=，则Ax b =的通解是；7.如果2阶矩阵A 的特征值是2和3，则A 的伴随矩阵*A 的特征值是；8.若2是1114335x y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的二重特征值，且A 相似于对角阵，则(,)x y =；9.如果二次型2212124x tx tx x ++是正定的，则参数t 满足条件；10.如果线性方程组31222393x y zx ay z x y bz +-=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩有3个线性无关的解向量，则(,)a b =。
共4页第页二.（14%）设112100010,020002201A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵方程2()AB B X B +=的解。
三.（10%）已知向量组12110,213αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组1231110,,120m n βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的秩相同，并且，3β可以由12,αα线性表示。
复旦大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B
《线性代数》期末考试试卷B一、(30分)填空题(E 表示相应的单位矩阵).1. 设3阶矩阵A = (α1, α2, α3)的行列式|A | = 3, 矩阵B = (α2, α3, α1), 则矩阵A − B 的行列式|A − B | =______.解: (法一) |A − B | = |α1−α2, α2−α3, α3−α1| = |α1, α2−α3, α3−α1| + |−α2, α2−α3, α3−α1|= |α1, α2−α3, α3| + |−α2, −α3, α3−α1| = |α1, α2, α3| + |−α2, −α3, −α1| = |α1, α2, α3| − |α2, α3, α1| = |α1, α2, α3| − |α1, α2, α3| = 0.(法二) A − B = (α1−α2, α2−α3, α3−α1) = (α1, α2, α3)101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠= AP ,其中P =101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠, |P | =101110011−−−= 0, 故|A − B | = |AP | = |A ||P | = 0.2. 若矩阵A 满足A 2 = O , 则E +A 的逆矩阵(E +A )−1 = _______.解: A 2 = O ⇒ (E +A )(E −A ) = E 2 −A 2 = E ⇒ (E +A )−1 = E −A .3. 若向量组α1 = (1, t , 1), α2 = (1, 1, t ), α3 = (t , 1, 1)的秩为2, 则参数t 满足条件___________.解: 令A = (α1, α2, α3), 则秩(A ) = 秩(α1, α2, α3) = 2 ⇒111111tt t = |A | = 0 ⇒ (t +2)(t −1)2 = 0 ⇒ t = −2或1.当t = −2时, 秩(A ) = 2; 当t = 1时, 秩(A ) = 1. 故t = −2.4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1, 矩阵B = E −2A *, 其中A *是A 的伴随矩阵, 则B 的行列式|B |= _______.解: 3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1 ⇒存在P 使得P −1AP =100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠记为Λ, 而且|A | = 1×2×(−1) = −2.故P −1A −1P = (P −1AP )−1 = Λ−1 =10001/20001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 由A *A = |A |E 可得A * = |A |A −1 = −2A −1, 于是有|B | = |P |−1⋅|B |⋅|P | = |P −1|⋅|B |⋅|P | = |P −1BP | = |P −1(E −2A *)P | = |P −1EP −2P −1A *P | = |E − 2P −1A *P |= |E + 4P −1A −1P | = |E + 4Λ−1| =500030003−= −45.5. 若矩阵A =10022312x −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与矩阵B =03y ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠相似, 则(x , y ) =________.解: |A | = 2(1−x ), |B | = 0, tr(A ) = 1+x , tr(B ) = 3+y . 因为矩阵A 与B 相似, 所以|A | = |B |, tr(A ) = tr(B ).由此可得x = 1, y = −1. (x , y ) = (1, −1). 6. 设(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量. 若A 不可逆,则A 的另一个特征值为______, 相应的一个特征向量为__________.解: 3阶矩阵A 有非零二重特征值而且A 不可逆 ⇒ A 的另一个特征值为0.设ξ为对应于0的特征向量, 则ξ与(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 正交, 即ξ为12130x x x x −=⎧⎨−=⎩的非零解向量. 由此可得A 的一个对应于0的特征向量为ξ = (1, 1, 1)T .7. 已知3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2, 并且α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量, 其中α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T , 则Ax = b 的通解是_______________.解: 3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2 ⇒ Ax = 0的基础解系中有且仅有1个解向量.α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量 ⇒ A (α2 + α3 − 2α1) = A α2 + A α3 − 2A α1 = b + b − 2b = 0. α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T ⇒ α2 + α3 − 2α1 = (0, 2, 4)T . 可见ξ = (0, 2, 4)T 是Ax = 0的基础解系,因而Ax = b 的通解是x = k (0, 2, 4)T + (1, 1, 1)T , 其中k 为任意实数. 8. 若4阶方阵A , B 的秩都等于1, 则矩阵A +B 的行列式|A +B | = ________.解: 4阶方阵A , B 的秩都等于1 ⇒ 秩(A +B ) ≤ 秩(A )+秩(B ) = 2 < 4 ⇒ |A +B | = 0. 9. 若矩阵A =211x ⎛⎞⎜⎟⎝⎠与矩阵B =1221⎛⎞⎜⎟−⎝⎠合同, 则参数x 满足条件___________.解: 设λ1, λ2为A 的特征值, µ1, µ2为B 的特征值.µ1µ2 = |B | = −5 < 0 ⇒ µ1, µ2异号 ⇒ B 的秩为2, 正惯性指数为1.A 与B 合同 ⇒ A 的秩为2, 正惯性指数为1 ⇒ λ1, λ2异号 ⇒ 2x − 1 = |A | = λ1λ2 < 0 ⇒ x < 1/2.二、(10分)计算下述行列式的值: D =111+11111+11111111x x x x −−. 解: +1111+111111111111x x x x −−=1111+111111111111x x x −−+1111+11000111111x x x x−−=0000001111x x x−−+ x111+111111x x x −− =000000x x x −−+ x 111+111111x x x −−= x 3 + x 2111+00x x x x x −−= x 3 + x 22111+000x x x x x−= x 3 + (x 4 − x 3) = x 4. 三、(15分)设线性方程组1231231233032314x x x x x x x x x λµ++=⎧⎪++=−⎨⎪−++=⎩. 问: 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有唯一解? 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有无穷多组解? 当线性方程组有无穷多组解时, 求出其通解.解: 该方程组的增广矩阵(A , b ) =1310(3)1323114λµ×−×⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→13100701071λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+⎝⎠→131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠. (1) 当λ ≠ −1, µ为任意实数时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 3, 此时线性方程组有唯一解.(2) 当λ = −1, µ = 1时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 2 < 3, 此时线性方程组有无穷多组解,131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠=1713100701()0000⎛⎞⎜⎟−−×−⎜⎟⎝⎠→171310010(3)0000⎛⎞⎜⎟×−⎜⎟⎝⎠→37171010100000−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠由此可得3137127x x x +=−⎧⎨=⎩, 即3137127x x x =−−⎧⎨=⎩. 故通解为x = k (−1, 0, 1)T + (−37,17, 0)T , 其中k 为任意实数.四、(12分)设矩阵A =101012001⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, C =103101⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, 矩阵X 满足A −1X = A *C + 2X , 其中A *是A 的伴随矩阵,求X .解: |A | = −1, 在A −1X = A *C + 2X 两边同时左乘以A 得X = −C + 2AX . 故(E −2A )X = −C .(E −2A , −C ) =10210(1)0343100101(1)−−−×−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟−−×−⎝⎠→1021003431001014(2)⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟××−⎝⎠→13100120303500101−⎛⎞⎜⎟−×⎜⎟⎝⎠→5312100010100101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 由此可得X =5312101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 五、(10分)已知向量组η1, η2, η3线性无关, 问: 参数a , b , c 满足什么条件时, 向量组a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1线性相关?解: (a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) = (η1, η2, η3)011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 令P =011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则|P | = abc + 1. 由条件可知:a η1+η2,b η2+η3,c η3+η1线性相关 ⇔ 秩(a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) < 3 ⇔ 秩(P ) < 3 ⇔ |P | = 0 ⇔ abc = −1. 六、(15分)已知二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + 2x 22 + x 32 − 2x 1x 3.1. 写出二次型f 的矩阵;2. 求一正交变换x = Qy , 将f 变成其标准形(并写出f 的相应的标准形)；3. 求当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3)的最大值.解: 1. 二次型f 的矩阵A =101020101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.2. |λE −A | =101020101λλλ−−−= (λ−2)2λ, 可见A 的特征值为λ1 = λ2 = 2, λ3 = 0.解(2E −A )x = 0得对应于λ1 = λ2 = 2的两个正交的特征向量ξ1 = (1, 0, −1)T , ξ2 = (0, 1, 0)T ,解(0E −A )x = 0得对应于λ3 = 0的一个特征向量ξ3 = (1, 0, 1)T .令Q = (11||||ξξ,22||||ξξ,33||||ξξ) =1/00101/0⎛⎜⎜⎜−⎝, 则正交变换x = Qy 将f 变成标准形2y 12 + 2y 22.3. x T x = 1 ⇔ (Qy )T (Qy ) = 1 ⇔ y T Q T Qy = 1 ⇔ y T y = 1 ⇔ y 12 + y 22 + y 32 = 1, 此时y 12 + y 22 ≤ 1. 故当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3) = 2y 12 + 2y 22的最大值为2.七、(8分)证明题.1. 设向量组α1, α2, α3, α4中, α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, 证明: α1能由α2, α3, α4线性表示. 证明: 因为α1, α2, α3线性相关, 所以α1, α2, α3, α4线性相关.又因为α2, α3, α4线性无关, 所以α1能由α2, α3, α4线性表示.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: 矩阵A +A −1−E 也是正定矩阵.证明: 设λ1, …, λn 为A 的特征值, Λ =1n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠O . A 是n 阶正定矩阵 ⇒ 存在可逆矩阵P 使得P −1AP = Λ, 其中λ1, …, λn > 0⇒ P −1(A +A −1−E )P = P −1AP + P −1A −1P − P −1EP = Λ + Λ−1 − E =111111n n λλλλ+−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠O, 其中 λ1+11λ−1, …, λn +1n λ−1> 0 ⇒ A +A −1−E 也是正定矩阵.。
2007-2008学年第1学期线性代数B期终考试试卷A
西南交通大学2007－2008 学年第(一)学期考试试卷课程代码 2100024 课程名称 线性代数B 考试时间 120 分钟阅卷教师签名：注意：1．答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名；2．请将填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。
一、填空题（每空4分，共24分）1．设(111),(111)T T αβ==-，则T βα= ； 2．设{}V =X |AX =0，则V （是/不是）向量空间； 3．已知 3 阶方阵A 有特征值 -1，1，2，则2*2A A E +-= ； 4．设矩阵1234(,,,),A =αααα其中234,,ααα线性无关，且12332ααα=-，1234=+++βαααα，则 AX β= 的通解为： ；5．设3250326120531614A ⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，则A 的列向量组的一个最大线性无关组为： ， ()A R = 。
二、选择题（每小题4分，共24分）班 级 学 号 姓 名密封装订线 密封装订线 密封装订线6．行列式 001100010020100003A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭求1A -=（ ）（A ） 100010121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1001002103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ） 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ） 00110021003⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭7．设 21201123()132013x x x f x x x x--=，则()f x 中3x 的系数为( )。
(A) -1 ； (B) 1 ； (C) -17 ； (D) 17 。
8．设 A B 、 均为 n 阶可逆方阵，下列各式正确的是( )。
(A) ||||A A λλ=； (B) 111()AB B A ---=； (C) ()T T T AB A B =； (D)||||||A B A B +=+。
东华大学11级线性代数试题B答案
D. cdf .
3、设 A 为 n 阶矩阵（n≥2） ，则( A. A* = A
n −1
;
B. A* = A ;
D. A* = A−1 .
⎛1 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 2⎞ ⎛1 2 3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ C = 2 5 4、设 A = ⎜ , B = , ⎜ ⎟ ,则下列矩阵运算有意义的是( B ） ⎜3 4⎟ ⎜ 4 5 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜3 6⎟ ⎝ ⎠
得
⎡0 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ξ 2 = ⎢1⎥, ξ 3 = ⎢ ⎢0 ⎥ . ⎢ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ ⎣1⎥ ⎦ ⎡1 0 1⎤ P = ⎢0 1 0⎥ , 则有 P −1 AP = B . ⎢ ⎥ 0 1 1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
(2 分)
取
(1 分)
6
9、 设 λ0 是 n 阶矩阵 A 的特征值, 且齐次线性方程组 (λ0 E − A) x = 0 的基础解系为
η1和η2 , 则 A 的属于 λ0 的全部特征向量是（ D
A. C.
）.
η1和η2 ; η1或η2 ；
B. D.
C1η1 + C2η 2 ( C1 , C2 为任意常数 ); C1η1 + C2η 2 ( C1 , C2 为不全为零的任意常数 ).
⎛ 5 −2 1 ⎞ ⎛ −3 2 0 ⎞ ⎛ −19 −9 ⎞ T 2、已知矩阵 A = ⎜ ⎟，B = ⎜ ⎟ ，则 AB = ⎜ ⎟. ⎝ 3 4 −1 ⎠ ⎝ −2 0 1 ⎠ ⎝ −1 −7 ⎠ ⎛ 2 1⎞ 3、设 A = ⎜ ⎟ , E 为二阶单位阵，矩阵 B 满足 BA = B + 2 E , 则 B = 2 ⎝ −1 2 ⎠
A． ACB ； B． ABC ； C． BAC ； D． CBA .
西南科技大学2009年线性代数(B)期末试题A
证: 设有 k1α + k2 Aα + k3 A2α = 0 ，
则 k1 Aα + k 2 A2α + k3 A3α = 0 ，因 A3α = 0 ，故 k1 Aα + k 2 A2α = 0 -----(3 分)
ww w. zh
A2α ≠ 0 ，求证向量组 α , Aα , A2α 是线性无关的。
in
命题共 5 页 第 4 页
an ch e
1 x = −(λ − 1)2 (λ + 1) −λ
.c
⎛0 0 1⎞ ⎜ ⎟ 6.（10 分）设 矩阵A = ⎜ 1 1 x ⎟ ，问 x 为何值时，矩阵 A 可对角化？ ⎜1 0 0⎟ ⎝ ⎠
om
⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ 3 ⎜ ,η 2 + η3 = ⎜ ⎟ η1 = ⎜ 3⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠ 求该方程组的通解。 解 : 此 方 程 组 的 导 出 组 的 基 础 解 系 含 有 4−3 =1 个 解 向 量 （ 3 分 ） ，而 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 1 ξ = 2η1 − (η2 + η3 ) = ⎜ ⎟ 是导出组的一个非零解，故 ξ 就是基础解系（4 分） 。所 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ 以，方程组的通解为η = kξ + η1 （ k 为任意常数） （3 分）
（3） λ = −
5. （10 分）设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知η1 ,η2 ,η3 是它 的三个解向量且
命题共 5 页 第 3 页
ww w. zh
4 ，方程无解---------------------------(2 分) 5
in
⎛ 1 1 λ⎞ ⎜ ⎟ 解: 设方程组的系数矩阵为 A，则 A = ⎜ −1 λ 1 ⎟ --------(2 分) ⎜ 1 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠
吉林大学,线性代数,课件全,理工类07-08线代试题B答案
2007—2008学年第二学期《线性代数B》期末试卷答案2008年6月24日一、填空题(共6小题，每小题 3 分，满分18分．把答案填在题中横线上）1．设12-103524-1A 轾犏犏=犏犏臌，*A 是A 的伴随矩阵，则*A = 9 ．2．设3维向量组α1＝(1,2,3)，α2＝(2,5,6)，α3＝(3,6,k )线性相关，则k ＝ 9 ．3．已知3阶矩阵A 满足A 2-E =O ，则秩R(A )= 3 ．4．设实二次型22212312123(,,)3322f x x x =x x tx x x+++正定，则t 的取值范围是 |t |<3 ．5．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=513a A 只有一个线性无关的特征向量，则=a-1 ．6．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000111E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=001012E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010021E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100022E 为数域F 上的线性空间22⨯F 的一组基，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3102α在这组基下的坐标为 (2,0,-1,3)T ．二、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）2．与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=900042021A 等价的矩阵是[ B ]．(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000001；(B) 100010000轾犏犏犏犏臌； (C) 100010001轾犏犏犏犏臌；(D) 000000000轾犏犏犏犏臌． 1．设A 是4×3矩阵，列向量组线性无关，B 为3阶可逆矩阵，则秩R(AB ) 为[ C ]．(A) 1 ； (B) 2；(C) 3； (D) 4．3．线性方程组b Ax =的系数矩阵A 是4×5矩阵，且A 的行向量组线性无关，则错误的命题是[ D ]．(A) 齐次线性方程组0=x A T只有零解；(B) 齐次线性方程组A T Ax =0必有非零解；(C) 对任意向量b ，非齐次线性方程组Ax =b 必有无穷多解；(D) 对任意向量b ，非齐次线性方程组b x A =T必有无穷多解．4．设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵P -1AP 属于特征值λ的特征向量是[ A ]．(A) P -1α； (B) P T α；(C) P α； (D) α．5．下列矩阵中，正定矩阵是[ D ]．(A) 120250003轾犏犏犏犏-臌；(B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡624293431；(C)123257370轾-犏犏犏犏臌；(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2115222．6．设3阶矩阵A的特征值为-1，-2，3，则A的迹为[ A ]．(A)0；(B) 1；(C) 2；(D) 3．三、解答题（共５小题，每小题9分，满分45分）1．求向量组α1＝(1,2,-1,1)T,α2＝(0,-4,5,-2)T ，α3＝(2,0,4,0)T ，α4＝(3,-2,8,-1)T的秩和一个极大无关组．解 令A =(α1, α2，α3，α4)，则102310231024020448011~~1548056110011120103470000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ．………（5分）所以R(A )=3，且α1, α2，α3是α1, α2，α3，α4的一个极大无关组． ………（9分）2．已知α＝(2,1,4)，β＝(1,2,－3)，令A ＝αT β，求A n ．解 由于A ＝αT β=22461(1,2,3)123.44812-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ ………（4分）所以A n =αT β αT β αT β… αT β=(-8) n -1A =1246(8)1234812n --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦． ……（9分）3．设矩阵A 的伴随矩阵A *=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-420010001，且0>A ，E BA ABA 3-1-1+=，其中E 为3阶单位矩阵，求矩阵B ． 解 在ABA -1=BA -1+3E 等号的两边左乘矩阵A *，右乘矩阵A ，且|A |=2，得2B =A *B +6E，………（3分）即2B -A *B =6E ，亦即(2E -A *)B =6E ，故B =6(2E -A *)-1， ………（6分）即 11006006010060022063-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦B ． ………（9分）4．验证1231231,1,1032ααα轾轾轾犏犏犏犏犏犏=-==犏犏犏犏犏犏臌臌臌为R 3的基，并将507β轾犏犏=犏犏臌用这个基线性表示．解 设A =（α1，α2，α3），要证α1，α2，α3是R 3的一个基，只须证A E 即可．由于123512351235(,)~1110~0345~0345032703270022120812081002 ~0309~0103~0103001100110011⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦A β（5分）显然，A E ，所以α1，α2，α3是R 3的一个基．且 ……………（7分）β=2α1+3α2-α3． ……………（9分）5．求一组3维列向量α1，α2，使之与α3＝(1,1,1)T正交，并把α1，α2，α3化成两两正交的单位向量． 解 设所求的向量为x ，依题意得(x , α3)=0，即x 1+x 2+x 3=0，解之得 1232233,,.x x x x x x x =--⎧⎪=⎨⎪=⎩ 即121231110,01x x k k x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k 1,k 2为任意常数．取12111,001--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αα，则α1，α2与α3正交． ………（５分）对α1，α2施行施密特标准正交化，令b 1=α1，单位化得11110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦e . b 2=α2－2111(,)( ,) αe e e e 1=11122-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.单位化得21112-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦e . 将α3单位化，得31111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦e . 则e 1,e 2,e 3即为所求的两两正交的单位向量． ………（９分）四、（满分11分）已知非齐次线性方程组1234123412341,32420,31x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解。
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线性代数B 期末试题
一、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分)
1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
（ ）
2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
（ ）
3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( )
4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。
( )
5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。
（ ）
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+
（C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+
3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则
1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +
4．设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。
（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；
（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；
（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解；
（D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ）
（A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0
（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|
三、填空题（每小题4分，共20分）
1．01
2
1
0n n
- 。
2．A 为3阶矩阵，且满足=A 3,则1-A =______，*3A = 。
3．向量组1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2025α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3247α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，
4120α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。
4． 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3，
11234η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，234444ηη⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则方程组Ax b =的通解为 。
5．设
23111503A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且秩(A )=2，则a = 。
四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。
1．已知A+B=AB ，且
121342122A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵B 。
2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)αβ=--=--，而
T A αβ=，求n A 。
3.已知方程组有无穷多解，求a 以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型
32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=
5． A ，B 为4阶方阵，AB+2B =0，矩阵B 的秩为2且|E+A |=|2E -A |=0。
（1）
求矩阵A 的特征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E |。
五．证明题（每题5分，共10分）。
1．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结
论。
2．设A 为m n ⨯矩阵，且的秩()R A 为n ，判断T A A 是否为正定阵？证明你的结论。