高考数学优化方案第8章§
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ＝b相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )；②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×)(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(√)(6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．(×)题组二教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案A解析BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．答案2解析|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为2.题组三易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是()A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案B解析由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5．已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________.答案26解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝______.答案18解析∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.解(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＋12b ＋＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1→解析∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.(2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于()A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )答案B解析NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB→＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC→＝12(a ＋b －c )．题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .证明(1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH→＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB →且同过点P MP →＝xMA →＋yMB→对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB→对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB→跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解(1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB→＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)解设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r －12p2－12q ·p ＋r ·q －12r ·2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos2－a 24＋a 22－＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cosθ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．解(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2＋12＋6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1，→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1．已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0，3，－6)B ．(0，6，－20)C ．(0，6，－6)D ．(6，6，－6)答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案A解析a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于()A.32B ．－2C ．0 D.32或－2答案B解析当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m ，解得m ＝－2.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为()A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)答案C 解析设P (0，0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3.5．已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为()A.5π6 B.2π3 C.π3 D.π6答案D解析∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1，1，2)，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是()A.3B.2C ．1 D.3－2答案D 解析∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.答案－9解析由题意知c＝x a＋y b，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，x－y＝7，＋2y＝6，3x＋3y＝λ，解得λ＝－9.8．已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.答案(3，－2，2)解析因为a∥b，所以x－2＝4y＝1－1，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，则VD→＝a＋c－b，由题意知PM→＝23b－13c，PN→＝23VD→－13VC→＝23a－23b＋13c.因此VA→＝32PM→＋32PN→，∴VA→，PM→，PN→共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解(1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，∴M ，A ，B ，C 四点共面．∴点M 在平面ABC 内．12．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB→＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E －65，－145，13.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案56解析连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c .又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.14．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案C 解析∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．15．已知O (0，0，0)，A (1，2，1)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB→取最小值时，点Q 的坐标是________．答案(1，1，2)解析由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1，1，2)．16．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝AC ′，→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
【人教A版】2012高三数学(文)《优化方案》总复习课件第8章2012高考导航
第8章 立体几何
2012高考导航
浙江考纲解读
1．空间几何体 (1)了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特 征，理解柱、锥、台、球的结构特征． (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆 锥、棱柱等的简易组合)的三视图，会用斜二测法 画出它们的直观图．
(3)会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图 形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式． (4)能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直 观图的联系，并能进行转化． (5)会计算球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积(不要求 记忆公式)． 2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解相关可 以作为推理依据的公理和定理．
高考数学复习 第八章 立体几何与空间向量 确定球心位置的三种方法
确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。
优化方案(新课标)高考数学一轮复习第八章第8讲第3课时知能训练轻松闯关
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第八章 第8讲 第3课时知能训练轻松闯关1．(2015·东北三校联合模拟)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝(y ＋1)＋1⇒x 2＝8y ．所以E 的方程为x 2＝8y ．(2)证明：易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中，得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b ．OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4，所以直线AB 恒过定点(0，4)． 2．(2015·河北省唐山市高三年级统考)已知抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)，直线y ＝kx ＋2与E 交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，其中O 为原点．(1)求抛物线E 的方程；(2)点C 坐标为(0，－2)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 21＋k 22－2k 2为定值．解：(1)将y ＝kx ＋2代入x 2＝2py ，得x 2－2pkx －4p ＝0，其中Δ＝4p 2k 2＋16p ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－4p ．OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 212p ·x 222p＝－4p ＋4＝2． 所以p ＝12， 所以抛物线E 的方程为x 2＝y ．(2)证明：由(1)知，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2．k 1＝y 1＋2x 1＝x 21＋2x 1＝x 21－x 1x 2x 1＝x 1－x 2，同理k 2＝x 2－x 1， 所以k 21＋k 22－2k 2＝2(x 1－x 2)2－2(x 1＋x 2)2＝－8x 1x 2＝16．3．(2015·山西省四校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1，0)，右顶点为A ，且|AF |＝1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t ，0)，使得MP →·MQ →＝0．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m 3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2．设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m， 即P (－4k m，3m)． ∵M (t ，0)，Q (4，4k ＋m )，∴MP →＝(－4k m －t ，3m)，MQ →＝(4－t ，4k ＋m )． ∴MP →·MQ →＝(－4k m －t )·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1． ∴存在点M (1，0)符合题意．。
【新人教B版】高中数学(文)《优化方案》总复习课件第8章第1课时
解析：①错，必须是两个相邻的侧面；②
正确；③错，反例，可以是斜四棱柱；④
正确，对角线两两相等，则此两对角线所
在的平行四边形为矩形．
答案：②④
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(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形
的四棱柱．
几何体的三视图
对于简单几何体的组合体的三视图，首先
要确定主视、左视、俯视的方向，其次要
注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们
的组成方式，特别应注意它们的交线的位
置．
例2 如图的三个图中，上面是一个长方体截
去一个角后所得多面体的直观图，它的主视图
和左视图在下面画出(单位：cm)．
真题透析
例 年高考安徽卷)一个几何体的三视图 (2010
如图，该几何体的表面积为(
)
A．280 C．360 【解析】
B．292 D．372 由三视图可知该几何体是由下面一个
长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．
∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋
10×2×2＝232，上面长方体的表面积为 8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方 体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232 ＋152－2×6×2＝360.
互动探究
把本例中的几何体上、下颠倒后如
图，试画出它的三视图．
解：三视图：
几何体的直观图 画几何体的直观图一般采用斜二测画法，步骤 清晰易掌握，其规则可以用“斜”(两坐标轴 成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段 长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来 掌握，在高考中常借助于求平面图或直观图的 面积来考查画法中角度和长度的变化．
【优化方案】2012高考数学总复习 第8章§8.5垂直关系精品课件 理 北师大版
(2)定理： 定理： 定理
文字语言 如果一条直线 和一个平面内 的 两 条 判定 ____________ 相交直线 定理 都垂直， 都垂直， 那么该 直线与此平面 垂直． 垂直． 图形语 言 符号语言 aα bα l⊥a ⇒ ⊥ l⊥b ⊥ a∩b＝A ＝ _____ l⊥α ⊥
平面与平面垂直的判定和性质 要证面面垂直，一般要转化为线面垂直， 要证面面垂直，一般要转化为线面垂直，即考虑证 明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面， 明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，然后 进一步转化为线线垂直，为此要熟练掌握“线线垂 进一步转化为线线垂直，为此要熟练掌握 线线垂 线面垂直”、 面面垂直 面面垂直”之间的相互转化关 直”、“线面垂直 、“面面垂直 之间的相互转化关 、 线面垂直 特别地，若已知两个平面垂直时， 系．特别地，若已知两个平面垂直时，一般要用性 质定理，将其转化为线面垂直进行应用． 质定理，将其转化为线面垂直进行应用．
(2010 年高考北京卷 节选 如图，正 年高考北京卷(节选 如图， 节选))如图 方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相 垂直， ⊥ ， ∥ ， ＝ ， ＝ 垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝ EF＝1.求证：CF⊥平面 BDE. 求证： ⊥ ＝ 求证
例2
【思路点拨】利用线面垂直、线线垂直的判定 思路点拨】利用线面垂直、 与性质可证． 与性质可证． 因为EF∥ ， ＝ 【证明】 连接 证明】 连接FG.因为 ∥CG，EF＝ 因为 CG＝1，且CE＝1，CE⊥AC， ＝ ， ＝ ， ⊥ ， 所以四边形CEFG为菱形，所以 ⊥EG. 为菱形， 所以四边形 为菱形 所以CF⊥ 因为四边形ABCD为正方形，所以 为正方形， 因为四边形 为正方形 BD⊥AC， ⊥ ， 又因为平面ACEF⊥平面 又因为平面 ⊥平面ABCD， ，
【优化方案】2012高考数学总复习 第8章§8.3空间图形的基本关系及公理精品课件 理 北师大版
如图所示， 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中， E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是 ， 的中点， ， ， CF CG 2 上的点， 边 BC，CD 上的点，且CB＝CD＝ ， ， 3 (1)求证：三条直线 EF，GH，AC 交于一点． 求证： 交于一点． 求证 ， ， AE CF AH CG (2)若在本题中， ＝ ＝2， 若在本题中， 若在本题中 EB FB ， HD＝GD＝3， ， 其他条件不变． 求证： EH， FG， 三线共点． BD 其他条件不变． 求证： ， ， 三线共点．
AE CF (2)因为 ＝ ＝2， 因为EB FB ，
所以 EF∥AC. ∥ AH CG 又HD＝GD＝3， ， ∴HG∥AC， ∥ ，
∴EF∥HG，且EF>HG. ∥ ， 所以四边形EFGH为梯形． 为梯形． 所以四边形 为梯形 交于点P， 设EH与FG交于点 ， 与 交于点 则P∈平面 ∈平面ABD，P∈平面 ， ∈平面BCD， ， 所以P在两平面的交线 上 所以 在两平面的交线BD上， 在两平面的交线 所以EH、 、 三线共点 三线共点． 所以 、FG、BD三线共点． 【易错警示】 易错警示】 缺乏理论依据． 缺乏理论依据． 证明线共点时， 证明线共点时，两条直线相交可能
(4) 空 间 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 有 三 种 ： 直线在平面内 __________________ 、 直 线 和 平 面 相 交 、 直线与平面平行 ． _______________． (5) 空 间 两 平 面 的 位 置 关 系 有 两 种 ： 两平面平行和两平面相交 _____________________________． ． 思考感悟 直线吗？ 直线吗？ 若aα，b β，则a，b就一定是异面 ， ， ， 就一定是异面
高考数学文优化方案一轮复习课件第8第二两条直线的位置关系苏教江苏专用
A
x1＋2 x2＋By1＋2 y2＋C＝0，
＋By＋C2＝0，则 l1 与 l2 的距离 d＝___A_2_＋__B_2__.
4．直线系
(1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线系为 _A_x_＋__B__y＋__C__′＝__0__.
(2)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系为 _B__x_－__A_y_＋__C_′_＝__0___.
(3)过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋ B2y＋C2＝0交点的直线系 _A__1x_＋__B__1y_＋__C__1＋__λ_(_A_2_x_＋__B_2_y_＋__C_2_)＝__0___.
则
xy00－－32＝1
，解得 A′(－4，－3)．
由于反射光线经过点 A′(－4，－3)和 B(1,1)， 所以反射光线所在直线的方程为 y－1＝(x－1)·11＋ ＋34，
即 4x－5y＋1＝0.
解方程组4x－5y＋1＝0 ， x＋ y＋1＝0
得反射点 P(－23，－13)． 所以入射光线所在直线的方程为 y－3＝(x－2)·23＋＋3321， 即 5x－4y＋2＝0.
【思路分析】 判断直线的斜率是否存在 → 求斜率 →
直线平行或垂直的条件 → 字母系数的值
【解】 (1)法一：由 l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0. l2：mx＋3y－2＝0. ①当 m＝0 时， 显然 l1 与 l2 不平行． ②当 m≠0 时，l1∥l2， 需m2 ＝m＋3 1≠－42.
解得 m＝2 或 m＝－3.∴m 的值为 2 或－3.
(2)可直接采用如下方法： 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2： A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且 B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种
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变式训练 求适合条件的双曲线的标准方程．
与双曲线x2－2y2＝2有共同渐近线，且过点(2， －2)．
解：设与双曲线 x2－2y2＝2 有共同渐近线的双曲线方 程为x22－y2＝k，将(2，－2)代入得 k＝－2， ∴双曲线方程为y22－x42＝1.
考点三 双曲线的几何性质及应用
由双曲线方程研究性质或根据性质确定曲线方程 时，首先要确定虚、实轴在哪个坐标轴上，否则 就分类讨论． 渐近线是圆锥曲线中仅双曲线具有的特殊性质． 渐近线确定了双曲线的开口程度，但渐近线方程 确定其对应的双曲线不一定确定．
考点突破 考点一 双曲线的定义
双曲线的第一定义是到两定点的距离差的绝对 值为常数(小于两定点间距离)时，才表示双支曲 线，若无“绝对值”就只表示一支曲线；第二 定义中，定点和定直线是一组对应关系．参考 教材例1、3.
例1 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切， 与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨 迹方程．
所以离心率
e＝||PPMH||＝c－|OF2ca| 2＝c－c2ca2＝
c2 c2－ 2a2
＝e2e－2 2.
4
当 λ<0 时，2 －9λ＝6， ∴λ＝－1.
此时双曲线方程为y92－x42＝1.
【总结升华】 如果满足题设条件的双曲线方程形式 不确定时，一般有两种情况：xa22－by22＝1 或ya22－xb22＝1； 如果满足题设条件的双曲线的标量 a(或 b 或 c)有两解， 不能把xa22－by22＝1 中的 x，y 互换来得另一个方程如本 例(2)．
A．－1<k<1
B．k>0
C．k≥0
D．k>1 或 k<－1
答案：A
4．若双曲线的渐近线方程为 y＝±3x，它的一个焦 点是( 10，0)，则双曲线的方程为________．
答案：x2－y92＝1 5．双曲线x2＋ky2＝1的一条渐近线的斜率是2， 则k的值为________．
答案：－14
考点探究·挑战高考
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦距为 16，准线方程为 y＝±92；
(2)顶点间的距离为 6，渐近线方程为 y＝±32x. 【思路分析】 要求双曲线的标准方程，首先判 断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待 定的a和b.
【解】 (1)由准线方程为 y＝±92，可知双曲线的焦 点在 y 轴上．
【思路分析】 利用两圆内、外切的充要条件找
出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．
【解】 如图所示，设动圆 M 的半径为 r，
则由已知|MC1|＝r＋ 2， |MC2|＝r－ 2，∴|MC1|－|MC2|＝2 2. 又 C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，
∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以 C1(－4,0)， C2(4,0)为焦点的双曲线的右支． ∵a＝ 2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，
所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为x92－8y12 ＝1.
4
同理，可求焦点在
y
轴上的双曲线的方程为y2－x2 94
＝1.因此所求双曲线方程为x92－8y21＝1 或y92－x42＝1.
4
法二：设双曲线方程为x42－y92＝λ(λ≠0)． 当 λ>0 时，2 4λ＝6， ∴λ＝94. 此时双曲线的方程为x92－8y12 ＝1；
课前热身
1．(课后习题改编)双曲线x42－y32＝1 的两条准线间 的距离等于( )
A.67 7
B.8
7 7
C.158
D.156
答案：B
2．双曲线1x02－y22＝1 的焦距为(
)
A．3 2
B．4 2
C．3 3
D．4 3
答案：D
3．已知方程1＋x2k－1－y2 k＝1 表示双曲线，则 k 的
取值范围是( )
∴点 M 的轨迹方程是x22－1y42 ＝1(x≥ 2)．
【领悟归纳】 从|MC1|与|MC2|的大小关系上 确定是双曲线的哪一支．
考点二 求双曲线的方程
如果由条件可知双曲线的焦点位置(虚实轴)，那 么一般用待定系数法来解决，涉及几个独立参变 量，那么就需要列出含有这几个参变量的方程组 ，进而求解，或者直接根据双曲线的定义求出a 、b、c.参考习题8.4的第2、3题．
2c＝16， 由题意，得ac2＝92.
解得 a＝6，c＝8， 所以 b2＝c2－a2＝64－36＝28. 因此，所求双曲线的方程为3y62 －2x82＝1.
(2)法一：当焦点在 x 轴上时， 设所求双曲线的方程为xa22－by22＝1，(a>0，b>0)．
§8.2 双曲线
双基研习·面对高考
8.2
双
曲
考点探究·挑战高考
线
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理
F2(c,0)
F2(0,c)
A2(a,0)
A2(0，a)
y＝±abx
思考感悟
1.在双曲线的第一定义中，如果常数2a＝
|F1F2|,2a>|F1F2|,2a＝0时，则动点M的轨迹分别 是什么？
两点，且|AB|＝12，求此时的双曲线方程．
【思路分析】 (1)由双曲线的第二定义得到关于 离心率e的方程，解出即可．(2)设出双曲线方程 和直线方程，联立，然后利用弦长公式求解．
【解】 (1)由于四边形 OFPM 是菱形，故|OF|＝|PF|
＝c，作出双曲线的右准线交 PM 于点 H，
则|PM|＝|PH|＋2ca2.
提示：如果2a＝|F1F2|，则M的轨迹是以F1，F2 为端点的两条射线；如果2a>|F1F2|，则轨迹不存 在；如果2a＝0，则M的轨迹是线段F1F2的垂直 平分线．
2．双曲线的离心率e的大小对双曲线的“开口” 大小有什么影响？
提示：双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大 小的一个重要数据，由 e＝ac>1 可推出 e 越大，双 曲线的“开口”就越开阔．
例3 如图，F 为双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，b>0)的右 焦点，P 为双曲线 C 右支上一点，且位于 x 轴上方， M 为左准线上一点，O 为坐标原点，已知四边形 OFPM 为菱形． (1)求双曲线 C 的离心率 e； (2)若经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A，B