专题七 不等式

[考试标准]一、不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a<b. 2．二、一元二次不等式及其解法四、基本不等式及应用1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大)五、绝对值不等式1．含有绝对值的不等式(1)|x |＜a (a ＞0)⇔－a ＜x ＜a ； (2)|x |＞a (a ＞0)⇔x ＜－a 或x ＞a ；(3)a ＜|x |＜b (a ＞0)⇔－b ＜x ＜－a 或a ＜x ＜b . 2．绝对值三角不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k(k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，则可从中提炼出一个不等式组为________．【解析】 假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k ，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋47k<1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k＋47k 2，有47＋47k ＋47k 2≥1.所以可从中提炼出一个不等式组是⎩⎨⎧47＋47k ＜1，47＋47k ＋47k 2≥1. 【答案】 ⎩⎨⎧47＋47k ＜1，47＋47k ＋47k 2≥1“不等式x (x －2)>0”是“不等式2x<1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 2x <1⇔2x－1<0⇔x (x －2)>0，所以是充要条件．【答案】 C在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)【点拨】 首先是阅读理解，考查考生的信息迁移能力，然后转化为常规的一元二次不等式求解．【解析】 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x ·(x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故这个不等式的解集是(－2,1)．【答案】 B设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k的最大值为( )A ．1B ．3C ．4D ．5【解析】 作出可行域(如图)．因为直线kx －y ＋2＝0恒过点(0,2)，当直线过B (2,4)时，斜率k 最大，此时k ＝2－40－2＝1.选A.【答案】 A实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则该目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．10B ．12C ．14D ．15【点拨】 根据题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0所表示的平面区域一定是三角形区域，根据目标函数的几何意义，知目标函数取得最小值的点必须是区域下方的顶点，求出c ，再确定目标函数的最大值．【解析】 如图所示可行域，目标函数取得最小值的点是其中的点A ，其坐标是(2,4－c )，代入目标函数得6＋4－c ＝5，解得c ＝5.目标函数取得最大值的点是图中的点B ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，－2x ＋y ＋5＝0，解得x ＝3，y ＝1，故目标函数的最大值是3×3＋1＝10.【答案】 A解不等式|x ＋1|＞|2x －3|－2.【点拨】 解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．或者，利用绝对值不等式的几何意义求解．【解】 (1)当x ≤－1时原不等式化为－(x ＋1)＞－(2x －3)－2， 所以x ＞2与条件矛盾，无解．(2)当－1＜x ≤32时，原不等式化为x ＋1＞－(2x －3)－2.所以x ＞0，故0＜x ≤32.(3)当x ＞32时，原不等式化为x ＋1＞2x －3－2.所以x ＜6，故32＜x ＜6.综上，原不等式的解集为{x |0＜x ＜6}．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 都成立，则正实数a 的最小值是________．【点拨】 恒成立问题转化为利用基本不等式求最值．【解析】 依题意，(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，则有1＋a ＋2a ≥9，解得a ≥4.【答案】 4已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a －a 2＜0，x ＋2a ＞1的整数解恰好有两个，则实数a 的取值范围为 ________.【点拨】 灵活利用函数、方程、不等式之间的关系，结合二次函数、一次函数的性质求解．【解析】 由x 2－x ＋a －a 2＜0⇔(x －a )[x －(1－a )]＜0且x ＋2a ＞1⇔x ＞－2a ＋1，那么可知当1－a ＝a ，即a ＝12时，x 无解；当1－a >a ，即a <12且a ≥0时，则不等式组的解集为(1－2a,1－a )无整数解；当1－a <a ，即a >12时，不等式的解集为1－a <x <a ，由有两个整数解，可知1－a <0，得到a >1且a ≤2.当a <0时，不等式的解集为空集，不满足题意，综上可知1<a ≤2.【答案】 (1,2]设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，且b ≠0)，已知|b |≤a ，|f (0)|≤1，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，当|x |≤1时，证明|f (x )|≤54.【点拨】 由a ＞0知，二次函数的图象是开口向上的抛物线；由|x |≤1且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1知，要求证的是|f (x )|≤54，所以抛物线的顶点一定在x 轴下方，取绝对值后，图象翻到x 轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解答本题的关键所在．【证明】 因为|2b |＝|(a ＋b ＋c )－(a －b ＋c )|≤|a ＋b ＋c |＋|a －b ＋c | ＝|f (1)|＋|f (－1)|≤1＋1＝2， 所以|b |≤1.又因为|b |≤a ，所以⎪⎪⎪⎪b a ≤1.所以⎪⎪⎪⎪－b 2a ≤12＜1. 又|c |＝|f (0)|≤1，f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ＝c －b 24a ，所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝⎪⎪⎪⎪c －b 24a ≤|c |＋⎪⎪⎪⎪b 24a ＝|c |＋14·⎪⎪⎪⎪b a ·|b |≤1＋14×1×1＝54.而f (x )的图象为开口向上的抛物线，且|x |≤1，即－1≤x ≤1，所以|f (x )|的最大值应在x ＝1或x ＝－1或x ＝－b2a处取得．因为|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ≤54， 所以|f (x )|≤54.某隧道长2 150 m ，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一个由55辆车身长都为10 m的同一车型组成的车队(这种型号的车能行驶的最高速度为40 m/s)匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据安全和车流的需要，当0<x ≤10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10<x ≤20时，相邻两车之间保持⎝⎛⎭⎫16x 2＋13x m 的距离，自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为y (s)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求车队通过隧道所用的时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73)【点拨】 以函数模型为载体的应用题，结合不等式知识来考查是比较常见的考法，应用题对综合能力要求较高，包括阅读能力、审题能力、分析能力、运算能力等，一定要先读懂题，再分析其中的等量关系，进而才能正确求解．【解】 (1)由题意知， 当0<x ≤10时，y ＝2 150＋10×55＋20×(55－1)x ＝3 780x；当10<x ≤20时，y ＝2 150＋10×55＋⎝⎛⎭⎫16x 2＋13x ×(55－1)x＝2 700x＋9x ＋18.所以y ＝⎩⎨⎧3 780x，0＜x ≤10，2 700x＋9x ＋18，10＜x ≤20.(2)当x ∈(0,10]时，在x ＝10时，y min ＝3 78010＝378(s)；当x ∈(10,20]时，y ＝2 700x ＋9x ＋18≥18＋2·9x ·2 700x＝18＋1803≈329.4(s)，当且仅当9x ＝2 700x，即x ≈17.3(m/s)时取等号．因为17.3∈(10,20]，所以当x ≈17.3(m/s)时，y min ≈329.4(s)．因为378>329.4，所以当车队的速度约为17.3 m/s 时，车队通过隧道所用的时间y 有最小值为329.4 s.1．关注不等式的一些常用性质(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b；(3)真分数的性质： b a <b ＋m a ＋m (m ＞0)；b a >b －m a －m (b －m >0，m ＞0)； (4)假分数的性质： a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0，m ＞0)． 2．由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．4．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值．(2)当b ＜0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．5．巧用“拆”“拼”“凑”求最值在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．6. 含有绝对值的不等式，要注意找零点去绝对值符号，最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，条理分明、不重不漏．7. 绝对值不等式|a ±b |≤|a |＋|b |在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．[单独成册] 一、选择题1.205国道某路段有如图所示的路标，提示司机在该路段行驶时，汽车的速度v 不超过70 km/h ，写成不等式的形式为( )A ．v <70B ．v >70C ．v ≠70D ．v ≤70解析：选D.“不超过”的含义是小于或等于，故不等式为v ≤70.2．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：选B.由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.3．若关于x 的不等式－12x 2＋ax >－1的解集为{x |－1＜x ＜2}，则实数a ＝( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2解析：选A.根据三个二次之间的关系直接求解．4.下列二元一次不等式组中，能表示图中阴影部分的是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2x －y ＋2≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，2x －y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－1，x ≤0，2x －y ＋2≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－1，2x －y ＋2≤0解析：选C.由图形知阴影部分为⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x ≤0，2x －y ＋2≥0.5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C.因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．6．若a 、b 为实数，则“ab <1”是“0<a <1b”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为ab <1，令a ＝1，b ＝－1，与“0<a <1b”矛盾，故充分性不成立；因为0<a <1b，所以b >0，不等式两边同乘以b ，可得0<ab <1⇒ab <1，故必要性成立，故选B.7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．2D ．0解析：选B.如图，画出可行域，由图可知，当目标函数经过点A (2,0)时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8.8．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是 “x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.A ∪B ＝{x ∈R |x <0或x >2}，C ＝{x ∈R |x <0或x >2}，因为A ∪B ＝C ，所以“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充分必要条件．故选C. 9．不等式|x －1|＋|x ＋2|≤4的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－52，32 B ．⎣⎡⎦⎤－52，32 C.⎣⎡⎦⎤－2，32 D ．⎣⎡⎭⎫－52，1 解析：选B.不等式表示数轴上到点1与到点－2的距离之和小于等于4的点的集合；画出数轴，由数轴可得不等式的解集是⎣⎡⎦⎤－52，32.故选B. 10．“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0，解得0＜a ＜1，故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，1，x <0，则不等式f (x 2)>f (3－2x )的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选B.原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ≥0，x 2>3－2x 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥0，3－2x <0，x >1，解得x <－3或x >1，所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，故选B.12．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≤2－x ，y ≥k (k <0)，若目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为－3，则z 的最大值为( )A ．7B ．5C ．3D ．无最大值解析：选B.易知，目标函数在点(k ，k )处取得最小值，z min ＝3k ＝－3，得k ＝－1；目标函数在点(3，－1)处取得最大值，z max ＝2×3－1＝5.13．已知一元二次不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪ x ≤12⎭⎬⎫ 或x ≥3，则f (e x)>0的解集为( )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3}解析：选D.由题意知一元二次不等式所对应的二次函数开口向下，则f (e x )>0时，有12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3.故选D.14．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．22 D ．4 2解析：选B.因为2x ＋4y ≥22x ＋2y ＝224＝8，当且仅当2x ＝4y ＝4，即x ＝2y ＝2时等号成立．故选B.15．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元解析：选B.设投资甲为x 万元，投资乙为y 万元，获得利润为z 万元，则z ＝0.4x ＋0.6y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，作出不等式组表示的区域，如图，作直线l 0：0.4x ＋0.6y ＝0，并将l 0向上平移到过C 点时z 取得最大值，即z max＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，故选B.16．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ≤1，x ＋y ＋1≥0，则z ＝|x －y |的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x －y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1,2)与(1，－2)时，相应直线在x 轴上的截距分别达到最小与最大，此时x －y 分别取得最小值与最大值，即－1≤x －y ≤3，因此|x －y |的最大值是3，故选C.17．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6，x ≤0，－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是( )A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3)解析：选A.f (－1)＝3，f (x )<3，由题得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋6<3，或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x ＋6<3，解得x ∈(－3，－1)，或x ∈(3，＋∞)，故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)，故选A.18．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：选C.由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.二、填空题19．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 解析：当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案：320．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积为2，则a 的值为________．解析：作出可行域，如图阴影部分所示，直线ax －y ＋1＝0过定点(0,1)，若a ≤－1，则不能围成封闭区域，所以a >－1，解⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＝1得A (1，a ＋1)，所以S △ABC ＝12×1×(a ＋1)＝2，a ＝3. 答案：321．已知正实数x ，y 满足(x －1)(y ＋1)＝16，则x ＋y 的最小值为________．解析：由题意可得y ＝16x －1－1,1<x <17，所以x ＋y ＝x －1＋16x －1≥8，当且仅当x ＝5时取等号，所以x ＋y 的最小值为8.答案：822．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |ax 2＋bx ＋c ≤0}，若A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A∪B ＝R ，则b 2a ＋a c2的最小值是________． 解析：解二次不等式得A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，因为A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，A ∪B ＝R ，所以B ＝[－1,4]，则不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为[－1,4]，即a ＞0，且ax 2＋bx ＋c ＝0的根为－1,4，则根据根与系数的关系得－b a ＝3，c a ＝－4⇒b ＝－3a ，c ＝－4a 代入b 2a ＋a c 2，得b 2a ＋a c 2＝9a ＋116a ，由于a ＞0，则由基本不等式得b 2a ＋a c 2＝9a ＋116a ≥32，当且仅当9a ＝116a ⇒a ＝112时，不等式取得等号，所以b 2a ＋a c 2的最小值为32. 答案：32三、解答题23．已知不等式x 2－5ax ＋b >0的解集为{x |x >4或x <1}，(1)求实数a ，b 的值；(2)若0<x <1, f (x )＝a x ＋b 1－x ，求f (x )的最小值． 解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋4＝5a ，1×4＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝1x ＋41－x. 因为0<x <1，所以0<1－x <1，1x >0，41－x>0， 所以1x ＋41－x ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ×x ＋21－x ×1－x 2＝9， 当且仅当x ＝13时，等号成立，所以f (x )的最小值为9. 24．已知函数f (x )＝m －|x －3|(m ∈R )，且不等式f (x ＋2)≥0的解集为[0,2]．(1)求m 的值；(2)若a >0，b >0，且1a ＋4b＝m ，求证：a ＋b ≥9. 解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x －1|，所以不等式f (x ＋2)≥0等价于|x －1|≤m ，由不等式|x －1|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，x ∈R }．又已知不等式f (x ＋2)≥0的解集为[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＝2，1－m ＝0，所以m ＝1. (2)证明：由(1)得1a ＋4b＝1，因为a >0，b >0， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a ≥5＋24a b ·b a ＝5＋2×2＝9，当且仅当4a b ＝b a，即a ＝3，b ＝6时取等号，所以不等式a ＋b ≥9成立．25．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小． 解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a， 所以x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.所以f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .。