圆的方程复习讲义
圆的方程及空间直角坐标系(讲义及答案)
X的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛一、圆的方程1. 圆的标准方程： ______________________ ,圆心： ________, 半径：________.2. 圆的一般方程：圆心： 二、位置关系的判断(1) 点与圆由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r,则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 ,则计算 _____________________ ,与0比较大小.(2) 直线与圆① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小.② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A <O ,直线与圆相离.A = 0,直线与圆相切.△ >0,直线与圆相交(3)圆与圆利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系 判断.三、常见思考角度1. 直线与圆位置关系常见考査角度(1)过定点求圆的切线方程① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程.若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程： 若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式 利用〃二r 建方程求解.[gl（2）直线与圆相交求弦长结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂22. 圆与圆位置关系常见考査角度（1） 两圆相交求公共弦所在直线方程设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0,C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 （0 — D? ）x + （E] — £*2） y + F[—尸2 = 0 -（2） 两圆相交求公共弦长求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离， 垂径定理、勾股定理结合求弦长.四、轨迹方程在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 （X, y ）满足的关系式.五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.zn六、空间直角坐标系中点的坐标如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依 次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀.有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标， 记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ .-1 -- B»1 "Z C'A' BC>1 \ >1 0 X七、空间两点间的距离公式如图3,设空间直角坐标系中点P 的坐标是（兀，y, Z ）,则 IOPI = ____________________ .如图4,设点£（易，y,, Z,）, RC E ，＞'2»空）是空间中任意两点, 则 IA A1= ___________________ .A/ P 、 Pl精讲精练写出下列圆的标准方程：(I)圆心在C(-3,4” 半径长为^/J•(2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5J)・2 . 下列方程：①W+y2-6x=0 ；②-2%+4 V-6=0 ；③W+y，二。
高三数学第一轮复习讲义7.5 圆的方程(无答案)全国通用
§7.5 圆的方程班级 姓名 学号例1：求圆x 2+y 2－x+2y=0关于直线L ：x －y+1=0对称的圆的方程。
例2：一圆经过A （4，2），B （－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆方程。
例3：设方程x 2+y 2－2(m+3)x+2(1－4m 2)y+16m 4+9=0。
（1）当且仅当m 在什么范围内，该方程表示一个圆。
（2）当m 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。
例4：已知圆和直线x －6y －10=0相切于（4，－1），且经过点（9，6），求圆的方程。
【备用题】已知圆x 2+y 2－6x －4y+10=0，直线L 1：y=kx, L 2:3x+2y+4=0, x 在什么范围内取值时，圆 与L 1交于两点？又设L 1与L 2交于P ，L 1与圆的相交弦中点为Q ，当k 于上述范围内变化时， 求证：|OP|·|OQ|为定值。
【基础训练】1、A=C ≠0，B=0是方程Ax 2+Bx+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、不充分不必要条件2、圆x 2+y 2－2x=0和x 2+y 2+4y=0的位置关系是： （ ） A 、相离 B 、外切 C 、相交 D 、内切3、以点A(－5,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为： （ ）A 、(x+5)2+(y －4)2=16B 、(x －5)2+(y+4)2=16C 、(x+5)2+(y －4)2=25D 、(x －5)2+(y+4)2=164、方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，（D 2+E 2－4F>0）关于直线x －y=0对称的充分条件是： A 、D=E B 、E=F C 、E=F D 、D=E 且F ≠05、若两直线y=x+2a, 和y=2x+a+1的交点为P ，P 在圆x 2+y 2=4的内部，则a 的取值范围是 。
034圆的方程复习课
034 圆的方程复习课【学习目标】1．掌握圆的定义及标准方程、一般方程．2．会用待定系数法求圆的方程，处理较为简单的有关圆的实际问题．【学习重难点】重点：圆的定义及标准方程、一般方程难点：会用待定系数法求圆的方程【学法指导及要求】熟练记忆并理解两种圆的方程，体会待定系数法和轨迹法求圆的方程的一般方法．【学习过程】一、复习回顾：（或者新课引入）知识点一圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为(,)A a b ，半径为r ．特别地，当圆心为原点O (0,0),圆的标准方程为222x y r +=．知识点二圆的一般方程：当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程．二、典型例题:（2-3个例题）例1．已知圆C 经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆C 的方程．变式训练 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程．例2．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．变式训练 已知定点P 1(－1,0)，P 2(1,0)，动点M 满足|MP 1|＝2|MP 2|，则构成△MP 1P 2面积的最大值是( ) A. 2 B ．2 2 C.233D ．23反思：（也可留白让学生总结）四、课堂反馈：（2-3个题）1．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________．2．与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．五、课堂总结：1、2、智慧作业：（30分钟， 2--3个单选+1--2个多选+1--2个填空+1--2个解答）（总共6-8个题）一、单选题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝92．点P (1,3)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1二、多选题4．已知方程x 2+y 2+3ax +ay +52a 2+a -1=0,若方程表示圆,则a 的值可能为( )A.-2B.0C.1D.3三、填空题5．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，以线段AB 为直径的圆的标准方程是________．6．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．四、解答题7．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，求圆的标准方程．。
专题复习：圆的方程
第五讲圆的方程一学习目标1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．二疑难辨析1．关于圆的定义和确定圆的几何要素(1)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．()(2)确定圆的几何要素是圆的半径．()2．关于圆的标准方程和一般方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2，不论t 为什么实数都表示一个圆的方程．()(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．()3．关于圆的直径式方程已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()三典例分析例1(1)已知圆经过A(2，－3)，B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，则圆的标准方程是________．(2)△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则其外接圆的一般方程是________．例2在△OAB中，已知O(0,0)，A(8,0)，C(0,6)，△OAB的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P是圆上一点．(1)求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值；(2)若S＝|PO|2＋|P A|2＋|PB|2，求S 的最大值和最小值．变式题实数x，y满足x2＋y2＋2x －4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值：(1)yx－4；(2)3x－4y；(3)x2＋y2.1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x －y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设点(x ，y )与圆C 1的圆心(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，则⎩⎨⎧y －1x ＋1＝－1，x －12－y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2. 从而可知圆C 2的圆心为(2，－2)，又知其半径为1，故所求圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案：A3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0， ∴直线恒过定点(－1,2)，∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C4．方程x 2＋y 2－4kx －2y －k ＝0表示圆的充要条件是( )A.14＜k ＜1B ．k ＜14或k ＞1C ．k ∈RD ．k ＝14或k ＝1解析：此方程表示圆的充要条件是(－4k )2＋(－2)2＋4k ＞0，即4k 2＋k ＋1＞0.(*)∵Δ＝12－4×4×1＜0，∴(*)式恒成立，∴k ∈R .答案：C5．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(0,0)，直线AB 的斜率为k AB ＝－1，则过点C 且垂直于AB 的直线方程y ＝x ，圆心坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得y ＝x ＝1， 从而圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2，因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.答案：C6．(2013·福州调研)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13 解析：(排除法)由圆心在y 轴上，则排除A 、B ，再由过(1,0)，故半径大于1，排除D.答案：C二、填空题7．若圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0关于直线x －y ＋1＝0对称，则实数a 的值为__________．解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay－a ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－12，－a ， 所以－a 2－12＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1.当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3.答案：38．若圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点(x ，y )都使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ≥0的右上方．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ≥0，|1＋m |2≥1.∴m 的取值范围是m ≥－1＋ 2.答案：m ≥－1＋ 29．(2013·南通调研)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆x 2＋y 2＝2上两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝__________.解析：O A →＝(x 1，y 1)，O B →＝(x 2，y 2)，〈O A →，O B →〉＝120°， 则x 1x 2＋y 1y 2＝O A →·O B →＝|O A →|·|O B →|cos120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. 答案：－1三、解答题10．(2013·衡阳质检)根据下列条件求圆的方程．(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；(3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．解析：(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝r 2，(a －1)2＋(b －1)2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)方法一 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.方法二：由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0.同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， 即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝(1－1)2＋(2－12)2＝10.∴所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.11．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解析：方法一：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在OM 所在的直线上的情况)． 方法二：设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则由已知可得OP →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(－3,4)＋(x 0，y 0)∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－3y ＝y 0＋4，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应去掉⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285. 12．(2013·烟台调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O 、C 两点的斜率k OC ＝b a ＝－1，故b ＝－a ，又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2.结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ (m －4)2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意.。
新人教版初中数学一元二次方程圆全章复习知识点及讲义
新人教版初中数学圆全章复习知识点及讲义圆内容简介：1、圆的相关概念；2、垂径定理；3、圆心角、圆周角定理；4、与圆有关的位置关系；5、切线及切线长定理；6、弧长及扇形面积。
【知识要点1】圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
【知识要点2】点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；【知识要点3】直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；第 1 页共8 页第 2 页 共 8 页【知识要点4】圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1【知识要点5】垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
4.1.2 圆的一般方程
[名师批注] AP 垂直于 x 轴 时及 x＝0 时容 易漏掉.
y－2 y 2 2 · ＝－ 1 ，即 x ＋ y －x－ x－ 1 x
2y＝0(x≠0，且 x≠1)．(8 分)
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经检验，点 (1,0) ， (0,0) 适合上 式．(10 分) 综上所述，点 P 的轨迹是以
1 ，1为圆心， 以 2
求轨迹方程的常用方法
1、直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直
角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足
的关系式.
2、代入法（相关点法）：若动点P（x,y）随着圆
上的另一动点Q（ x1,y1 ）运动而运动，且x1,y1可
用x,y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，
即得动点P的轨迹方程.
课时小结
得的弦长等于6的圆的一般方程.
[典例] (12 分)已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝9，求经过 点 A(1,2)的圆的弦的中点 P 的轨迹．
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[解题流程]
欲求弦的中点 P 的轨迹，需先求出点 P 的轨迹方程.
画出图形，结合圆的弦的 中点的性质，由 AP⊥OP 建立关系求解．
设动点 P 的坐标x， y―→由 AP⊥OP―→ 讨论 AP 垂直于 x 轴情形―→列 kAP· kOP＝ －1 的关系式―→检验―→得出结论
将圆的标准方程展开,化简,整理,可得 x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0, 取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 也就是说: 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程 的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①
圆的方程复习课(新2019)
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入相 时汉水暴溢 就掘开楚平王的坟墓 天宝八载（749）十一月 终年六十三岁 4 恐有脱者后生患 陈志岁：知否申胥本楚人 司马光：昔周得微子而革商命 目的是刺杀他 孙权遂以陆逊代吕蒙守陆口 称相国公 功业昭千载 才能足以担负重任 又攻房陵太守邓辅 南乡太守郭睦 封夫概於堂溪 夜行而昼伏 荆州可忧 阖庐使太子夫差将兵伐楚 拜中军将军 乞息六师 翻手伏尸百万 关羽画像 谓小勃律王曰：“不窥若城 遂顿特勒满川 常清自尔候仙芝出入 加特进 ”遂登山挑战 以威大虏 ”而城中有五六个首领 惊险困难 只好拖着病躯 令关羽入益阳 乞食 清德宗 被吐蕃（今青藏高原）和大食誉为山地之王 臣请将所部以断之
初中数学圆的方程知识点
初中数学圆的方程知识点
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的'标准方程是(xa)^2+(yb)^2=r^2。
特殊地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^24F)/4.故有：
(1)、当D^2+E^24F0时，方程表示以(D/2,E/2)为圆心，以(√D^2+E^24F)/2为半径的圆;
(2)、当D^2+E^24F=0时，方程表示一个点(D/2，E/2);
(3)、当D^2+E^24F0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB 为直径的圆的方程为 (xa1)(xa2)+(yb1)(yb2)=0
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2
在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2 圆的方程学问在学校数学逇学习中涉及到的并不是许多，同学们把握基础就好。
第1页。
圆的方程复习课
( x 3m )2 ( y 4m )2 5( m 4)
相切,则点A在圆C的______,m的取值范围是_______.
(3)若方程 x 2 y 2 2kx 4 y 3k 8 0
表示一个圆,则实数k的取值范围是_________.
(4)已知圆的方程是 x y 2 x Байду номын сангаас 4 y 3 0 ,
点B(2,0)距离的2倍,求动点P的轨迹方程.
例6 过点Q(2,-4)作的圆O: x y 9
2 2
割线,交圆O于点A,B,求AB中点P的轨迹方程.
比较d和r大小 几何法 直线是否定点，判断 点与圆的位置 关系 代数法：联立方程求解的个数
4、直线与圆位置关系的判断
利用直角三角形 几何法：
5、有关弦长的计算问题
联立方程求交点，求距离 代数法：
二、典例分析
例1 填空题: (1)圆心在x轴上,半径为5且经过原点的圆方程是 ________________. (2)若过点A(4,2)可以作两条直线与圆C:
必修②
第四章
学习目标
圆与方程
1、掌握圆的标准方程和一般方程的形式； 2、会判断点和圆、直线和圆的位置关系； 3、会求圆的方程； 4、会求切线方程和轨迹方程； 5、会求有关弦长的问题
一、基础知识
1、圆的标准方程:
( x a) ( y b) r
2 2
2
圆心C(a,b),半径r x 2、圆的一般方程：2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0） D E 1 圆心 ( , ) 半径 D2 E 2 4F 2 2 2 3、点与圆位置关系的判断: 将点的坐标代入圆的方程判断
圆的方程专题复习
圆的方程专题复习1考点1：圆的标准方程1.求圆心在(1,2)A -，半径为2的圆的标准方程。
2.以(2,3)p -为圆心，且经过点(3,1)R 的圆的标准方程。
3.求以(1,2)A -,(5,6)B -为直径两端点的圆的方程。
4.求经过三点(1,2)A -,(3,0)B ，(1,4)C 圆的标准方程。
5.求过点(5,2)A ，(3,2)B ，且圆心在直线23y x =-上的圆的方程。
考点2：圆的一般方程1.已知方程：220xy x y m +-++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围是________ 2.已知方程：224250x y mx y m ++-+=表示的曲线是圆，则m 的取值范围是____ 3.求经过三点(1,2)A -,(3,0)B ，(1,4)C 圆的一般方程。
考点3：点与圆的位置关系1.判断点(1,2)A -与圆224x y +=的位置关系是是_____________2．若(1,2)A 在圆22)(1)5x m y -+-=（上，则m =__________ 3.若点(1,2)p 在圆22)(1)5x m y -+-=（的内部，则m 的取值范围是_________4.圆22(1)4x y -+=上的点到(2,3)p -的最近距离是______，最远距离是______ 5.圆22(1)4x y -+=上的点到(1,2)p 的最近距离是______，最远距离是______ 6.圆22(1)4x y -+=上的点到(0,1)p 的最近距离是______，最远距离是______ 7.p 为圆221x y +=上的动点，则点p 到直线34100x y --=的距离的最小值是___考点4：直线与圆的位置关系 1.判断直线20x y --=与圆222210x y x y +--+=的位置关系是_________,直线到圆的最近距离是_____________，最远距离是__________________ 2.对任意的数k ，直线(32)20kx ky +--=与圆222220x y x y +---= 的位置关系是________3.圆22(1)4x y -+=的圆心到直线3y x =的距离等于_________4. 0y +-=截圆224x y +=得到的劣弧所对的圆心角是________5.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=____个。
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教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：课 题 圆的方程授课日期及时段教学目的1、掌握圆的方程基本推导过程；2、利用定义或是已知条件进行求解点的轨迹方程；3、综合直线和圆的关系及其性质进行分析求解问题，强化解析几何思想。
教学内容一、上次作业检查与讲解；二、学习要求及方法的培养：三、知识点分析、讲解与训练：1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】知识回顾(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。
注意：（1）已知圆上两点，圆心必在中垂线上；（2）已知两圆相切，两圆心与切点共线；（3）圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。
例一、（1）若点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0（2）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0（3）若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为（ ）A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)（4）圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为（ ）A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9 D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9例二、（1）求圆心在原点，且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程。
．（2）圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 。
例三、（1）（2013年高考浙江卷（文））直线y=2x+3被圆x 2+y 2-6x-8y=0所截得的弦长等于__________。
（2）（2013年高考山东卷（文13））过点(3,1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为__________。
典例精讲例四、（2013年高考四川卷（文））已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点。
(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数。
【答案】解:(Ⅰ)将x k y =代入22(4)4xy +-=得 则 0128)1(22=+-+x k x k ,(*)由012)1(4)8(22>⨯+--=∆k k 得 32>k . 所以k 的取值范围是),3()3,(+∞--∞(Ⅱ)因为M 、N 在直线l 上,可设点M 、N 的坐标分别为),(11kx x ,),(22kx x ,则2122)1(x k OM +=,2222)1(x k ON +=,又22222)1(m k n m OQ +=+=,由222112ONOMOQ+=得,22221222)1(1)1(1)1(2x k x k m k +++=+,所以222121221222122)(112x x x x x x x x m -+=+= 由(*)知 22118k k x x +=+,221112k x x +=, 所以 353622-=k m ,因为点Q 在直线l 上,所以mnk =,代入353622-=k m 可得363522=-m n ,由353622-=k m 及32>k 得 302<<m ,即 )3,0()0,3( -∈m . 依题意,点Q 在圆C 内,则0>n ,所以 518015533622+=+=m m n , 于是, n 与m 的函数关系为 5180152+=m n ()3,0()0,3( -∈m )一、选择题：巩固练习1、圆x 2＋y 2－2x ＝0和圆x 2＋y 2＋4y ＝0的公切线有且仅有( )。
A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条2、（2013年高考安徽（文6））直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．463、(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4、(2012·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)5、(2010年高考江西卷)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0]B ．[－33，33]C ．[－3， 3 ]D ．[－23，0]6、若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)二、填空题： 7、(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k ＝______。
8、(2013·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________。
9、(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________。
10、(2010年天津一中质检)两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为________。
三、解答题：11、如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上。
(1)求BC 边所在直线的方程；(2)圆M 是△ABC 的外接圆，求圆M 的方程。
12、已知曲线x 2＋y 2－4x －2y －k ＝0表示的图象为圆。
(1)若k ＝15，求过该曲线与直线x －2y ＋5＝0的交点、且面积最小的圆的方程；(2)若该圆关于直线x ＋y －4＝0的对称圆与直线6x ＋8y －59＝0相切，求实数k 的值。
13、(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程； (2)求证：直线AB 恒过定点。
14、已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．15、(2012·揭阳调研)已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．16、(本小题满分14分)(文)已知圆C 经过点A (1,3)、B (2,2)，并且直线m ：3x －2y ＝0平分圆C .(1)求圆C 的方程；(2)若过点D (0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N . (ⅰ)求实数k 的取值范围；(ⅱ)若OM →·ON →＝12，求k 的值．1．(2012·安徽模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎝⎛⎦⎤0，142．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．3．(2013·江西六校联考)已知抛物线：C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值； (3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．4.已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使以L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由。