2016-2017学年陕西省西安中学高一上学期期末数学试卷和解析

2016-2017学年陕西省西安中学高一（上）期末数学试卷（实验班）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将正确答案填写在答题卡相应位置）1．（4.00分）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图则原平面图形的面积为（）A．2 B．3 C．8 D．2．（4.00分）如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C=0不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（4.00分）一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为（）A．B．24πC．15πD．20π4．（4.00分）如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°5．（4.00分）已知两圆x2+y2=1和x2+y2﹣6x﹣8y+9=0，那么这两个圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切6．（4.00分）下列命题中正确的个数是（）①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱④圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（4.00分）已知两条直线a，b，两个平面α，β，下面四个命题中不正确的是（）A．a⊥α，α∥β，b⊂β⇒a⊥b B．α∥β，a∥b，a⊥α⇒b⊥βC．a∥b，b⊥β⇒a⊥βD．a∥b，a∥α⇒b∥α8．（4.00分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定9．（4.00分）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）A．B．C．D．10．（4.00分）曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将正确答案填写在答题卡相应位置）11．（4.00分）已知直线l1：ax+（a+2）y+2=0和l2：x+ay+1=0，若l1∥l2则a=．12．（4.00分）已知三角形的三个顶点为A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则BC边上的中线长为．13．（4.00分）已知三棱锥S﹣ABC的各项顶点都在一个表面积为4π的球表面上，球心O在AB上，SO⊥平面ABC，AC=，则三棱锥S﹣ABC的表面积为．14．（4.00分）过点（0，1）的直线l被圆（x﹣1）2+y2=4所截得的弦长最短时，直线l的方程为．15．（4.00分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当CQ=1时，S的面积为．三、解答题：（本大题共4小题，共40分．请将正确答案填写在答题纸相应位置）16．（10.00分）已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．17．（10.00分）如图，多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，△FBC中BC边上的高为FH，EF⊥FH，EF∥AB，（1）求证：平面FBC⊥平面ABCD；（2）若FH=2，EF=，求该多面体的体积．18．（10.00分）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，BA=2，AC=1，B1C=3（1）证明：DE∥平面ABC；（2）求圆柱OO1的体积和表面积．19．（10.00分）已知圆O：x2+y2=2，直线l过两点A（1，﹣），B（4，0）（1）求直线l的方程；（2）若P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标．2016-2017学年陕西省西安中学高一（上）期末数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．请将正确答案填写在答题卡相应位置）1．（4.00分）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图则原平面图形的面积为（）A．2 B．3 C．8 D．【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB=2，对应原图形平行四边形的高为：4，所以原图形的面积为：2×4=8．故选：D．2．（4.00分）如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C=0不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．【解答】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选：B．3．（4.00分）一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为（）A．B．24πC．15πD．20π【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×3×5=15π，故选：C．4．（4.00分）如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°【分析】将无盖正方体纸盒还原后，点B与点D重合，由此能求出结果．【解答】解：如图，将无盖正方体纸盒还原后，点B与点D重合，此时AB与CD相交，且AB与CD的夹角为60°．故选：D．5．（4.00分）已知两圆x2+y2=1和x2+y2﹣6x﹣8y+9=0，那么这两个圆的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径大小，利用两点的距离公式算出它们的圆心距为5，恰好等于两圆的半径之和，由此可得两圆相外切．【解答】解：∵x2+y2﹣6x﹣8y+9=0化成标准方程，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=16，∴圆x2+y2﹣6x﹣8y+9=0的圆心为C1（3，4），半径r1=4．同理可得圆x2+y2=1的圆心为C2（0，0），半径r2=1．∵两圆的圆心距为|C1C2|==5，r1+r2=5，∴|C1C2|=r1+r2，可得两圆相外切．故选：C．6．（4.00分）下列命题中正确的个数是（）①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱④圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据棱柱的定义可得①错误；根据棱锥的定义可得②错误；两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，可得③错误；圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形，即④正确，从而得出结论．【解答】解：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故①错误．有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故②错误．当有两个侧面垂直于底面时，该四棱柱不一定为直四棱柱，如两个侧面不是相邻的时，侧棱与底面不一定垂直，∴③错误；④圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形，正确．故选：A．7．（4.00分）已知两条直线a，b，两个平面α，β，下面四个命题中不正确的是（）A．a⊥α，α∥β，b⊂β⇒a⊥b B．α∥β，a∥b，a⊥α⇒b⊥βC．a∥b，b⊥β⇒a⊥βD．a∥b，a∥α⇒b∥α【分析】对于A，a⊥α，α∥β，可得a⊥β，根据b⊂β，可得a⊥b；对于B，a∥b，a⊥α，可得b⊥α，利用α∥β，可得b⊥β；对于C，根据两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，正确；对于D，a∥b，a∥α⇒b∥α或b⊂α．【解答】解：对于A，a⊥α，α∥β，可得a⊥β，∵b⊂β，∴a⊥b，正确；对于B，a∥b，a⊥α，可得b⊥α，∵α∥β，∴b⊥β，正确；对于C，根据两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，正确；对于D，a∥b，a∥α⇒b∥α或b⊂α，不正确．故选：D．8．（4.00分）已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【分析】因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），由此可求出m的值．【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选：C．9．（4.00分）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）A．B．C．D．【分析】图2所示方向的侧视图，由于平面AED仍在平面HEDG上，故侧视图中仍然看到左侧的一条垂直下边线段的线段，易得选项．【解答】解：解题时在图2的右边放扇墙（心中有墙），图2所示方向的侧视图，由于平面AED仍在平面HEDG上，故侧视图中仍然看到左侧的一条垂直下边线段的线段，可得答案A．故选：A．10．（4.00分）曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1），又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，解得：k=；当直线l过B点时，直线l的斜率为=，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．故选：D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将正确答案填写在答题卡相应位置）11．（4.00分）已知直线l1：ax+（a+2）y+2=0和l2：x+ay+1=0，若l1∥l2则a=﹣1．【分析】由a•a﹣（a+2）=0，解得a，检验此时两条直线是否重合即可得出．【解答】解：由a•a﹣（a+2）=0，解得a=﹣1或2，经过检验a=2时两条直线重合，舍去．因此l1∥l2，则a=﹣1．故答案为：﹣1．12．（4.00分）已知三角形的三个顶点为A（2，﹣1，4），B（3，2，﹣6），C（5，0，2），则BC边上的中线长为2．【分析】根据B，C两点的坐标和中点的坐标公式，写出BC边中点的坐标，利用两点的距离公式写出两点之间的距离，整理成最简形式，得到BC边上的中线长．【解答】解：∵B（3，2，﹣6），C（5，0，2），∴BC边上的中点坐标是D（4，1，﹣2）∴BC边上的中线长为=，故答案为：2．13．（4.00分）已知三棱锥S﹣ABC的各项顶点都在一个表面积为4π的球表面上，球心O在AB上，SO⊥平面ABC，AC=，则三棱锥S﹣ABC的表面积为2+．【分析】如图所示，设球的半径为r，则4πr2=4π，解得r=1．由OC2+OA2=AC2，可得OC⊥OA．球心O在AB上，SO⊥平面ABC，可得SO⊥OC，进而得到SA=SC=SB．再利用等边三角形与直角三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，设球的半径为r，则4πr2=4π，解得r=1．∵OC2+OA2=2=AC2，∴OC⊥OA．∵球心O在AB上，SO⊥平面ABC，∴SO⊥OC，∴SA=SC=SB==．∴△SAC与△SBC都为边长为的等边三角形，∴S=S△SBC==．△SACS△SAB=S△ABC==1．则三棱锥S﹣ABC的表面积=2+．故答案为：2+．14．（4.00分）过点（0，1）的直线l被圆（x﹣1）2+y2=4所截得的弦长最短时，直线l的方程为x﹣y+1=0．【分析】设A（0，1），求出圆心C的坐标为（1，2），从而得到AC的斜率．由圆的性质，得当直线被圆截得弦长最短时，直线与经过A点的直径垂直，由此算出直线的斜率，即可得到所求直线的方程．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2=4的圆心为C（1，0），∴设A（0，1），得AC的斜率k AC==﹣1，∵直线l经过点A（0，1），且l被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长最短∴直线l与经过点A（0，1）的直径垂直的直线由此可得，直线l的斜率为k=﹣=1，因此，直线l方程为y﹣1=x﹣0，即x﹣y+1=0故答案为：x﹣y+1=0．15．（4.00分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是①②④（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当CQ=1时，S的面积为．【分析】如图所示，②当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1，即可判断出真假．①由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可判断出真假．③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ 交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，可得C1R，即可判断出真假；④当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，可得其面积．【解答】解：如图所示，②当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；①由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故③不正确；④当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF=×=，故④正确．综上可得：只有①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题：（本大题共4小题，共40分．请将正确答案填写在答题纸相应位置）16．（10.00分）已知函数y=x2﹣4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．【分析】（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），由此能求出圆的方程．（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，由此能求出结果．【解答】解：（1）由题意与坐标轴交点为M（3，0），N（1，0），P（0，3），设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2代入点，得，解得a=2，b=2，r=，∴圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．（2）由题意|AB|=4：设圆心到直线距离为d，则，即：，解得：．17．（10.00分）如图，多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，△FBC中BC边上的高为FH，EF⊥FH，EF∥AB，（1）求证：平面FBC⊥平面ABCD；（2）若FH=2，EF=，求该多面体的体积．【分析】（1）推导出FH⊥BC，FH⊥AB，从而FH⊥平面ABCD，由此能证明平面FBC⊥平面ABCD．（2）连结BE，CE，该多面体的体积：V ABCDEF=V E﹣ABCD+V E﹣BCF，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，△FBC中BC边上的高为FH，EF⊥FH，EF∥AB，∴FH⊥BC，FH⊥AB，∵BC∩AB=B，∴FH⊥平面ABCD，∵FH⊂平面FBC，∴平面FBC⊥平面ABCD．解：（2）连结BE，CE，∵FH=2，EF=，EF⊥FH，EF∥AB，AB⊥BC，∴EF⊥BC，∵BC∩FH=H，∴BC⊥平面BCF，∴该多面体的体积：V ABCDEF=V E﹣ABCD+V E﹣BCF==+=+=．18．（10.00分）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，BA=2，AC=1，B1C=3（1）证明：DE∥平面ABC；（2）求圆柱OO1的体积和表面积．【分析】（1）连结EO、OA，由圆柱的性质得四边形AA1B1B是平行四边形，所以DA∥BB1且DA=BB1．△B1BC中利用中位线定理，得到EO∥BB1且EO=BB1，从而证出四边形AOED是平行四边形，得DE∥OA，结合线面平行的判定定理即可证出DE∥面ABC；（2）根据BA=2，AC=1，B1C=3，BC是底面圆O的直径，求出BC=，B1B=2，即可求圆柱OO1的体积和表面积．【解答】（1）证明：连结EO、OA，∵E、O分别为B1C、BC的中点，∴EO∥BB1，EO=BB1又∵AA1、BB1为圆柱OO1的母线，∴AA1∥BB1、AA1=BB1，可得四边形AA1B1B是平行四边形，∵平行四边形AA1B1B中，DA∥BB1，DA=BB1，∴DA∥EO，且DA=EO四边形AOED是平行四边形，可得DE∥OA∵DE⊄面ABC，OA⊂面ABC，∴DE∥面ABC；…（4分）（2）解：∵BA=2，AC=1，B1C=3，BC是底面圆O的直径，∴BC=，B1B=2，∴圆柱OO1的体积==，表面积S=+=+2π．19．（10.00分）已知圆O：x2+y2=2，直线l过两点A（1，﹣），B（4，0）（1）求直线l的方程；（2）若P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，求证：直线CD过定点，并求出定点坐标．【分析】（1）利用两点式求直线l的方程；（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：x2+y2=2上可得直线C，D的方程，即可求得直线CD是否过定点【解答】解：（1）∵直线l过两点A（1，﹣），B（4，0），∴直线l的方程为，即y=﹣2；证明：（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为：x（x﹣t）+y（y﹣+2）=0，又C、D在圆O：x2+y2=2上∴l CD：=0，即（x+）t﹣2y﹣2=0，由，得x=，y=﹣1，∴直线CD过定点（，﹣1）．第21页（共21页）。