《第12章 轴对称》总复习教案及经典例题 新人教版

《第12章轴对称》总复习教案及经典例题新人教版一、教学目的与考点分析：1.本章的课标要求是：(1)图形的轴对称：①探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；②欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计；③在同一直角坐标系中，感受图形轴对称变换后点的坐标的变化.（2）线段的垂直平分线：了解线段垂直平分线及其性质.（3）等腰三角形：①了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质；②了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件.2.本章的主要内容是围绕等腰三角形展开的.等腰三角形是继角、线段后接触到的第三个轴对称图形，它为后面学习等边三角形、直角三角形和特殊四边形做下铺垫，也是平面几何研究的主要对象，起着承前启后的作用.3.本章的重点是轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定.难点是等腰三角形的性质和判定.掌握等腰三角形的性质和判定，并能应用这些知识是学好本章的关键.二、教学内容：（一）、复习三角全等形条件（二）、教学内容知识网络图示基本知识提炼整理一、基本概念1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.四、[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求：△ABC 各角的度数．分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷．解：因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ．∠A=∠ABD （等边对等角）． 设∠A=x ，则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x ，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ． 于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得x=36°． 在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[例2]在等边三角形ABC 中的AC 延长线上取一点E,以CE 为边做等边三角形CDE ，使它与三角形ABC 位于直线AE 的同一侧，点M 为线段AD 的中点，点N 为线段BE 的中点。

求证：三角形CNM 为等边三角形。

分析 由已知易证明△ADC ≌△BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M 、N 分别为BE 、AD 的中点，于是有BN=AM ，要证明△CNM 是等边三角形，只须证MC=CN ，∠MCN=60o ，所以要证△NBC ≌△MAC ，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得△NBC ≌△MAC证明：∵等边△ABC 和等边△DCE ，∴BC=AC ，CD=CE ，（等边三角形的边相等） ∠BCA=∠DCE=60o （等边三角形的每个角都是60） ∴∠BCE =∠DCA ∴△BCE ≌△ACD （SAS ） ∴∠EBC=∠DAC （全等三角形的对应角相等） BE=AD （全等三角形的对应边相等） 又∵BN=21BE ，AM=21AD （中点定义） ∴BN=AM ∴△NBC ≌△MAC （SAS ）∴CM=CN （全等三角形的对应边相等） ∠ACM=∠BCN （全等三角形的对应角相等）∴∠MCN=∠ACB=60o∴△MCN 为等边三角形（有一个角等于60o 的等腰三角形是等边三角形） 专题总结及应用一、用轴对称的观点证明有关几何命题例1 试说明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，如图所示.求证：BC=21AB.证明：如图所示.作出△ABC 关于AC 对称的△AB ′C.∴AB ′=AB.又∵∠CAB=30°，∴∠B ′=∠B=∠B ′AB=60°.∴AB=BB ′=AB ′又∵AC ⊥B ′B ，∴B ′C=BC=21BB ′=21AB.即BC=21AB.例2 如图所示，已知∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°.求证BD=41AB.证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=21AB ，∠B=60°.又∵CD ⊥BA ，∴∠BDC=90°，∠BCD=30°.∴BD=21BC.∴BD=21·21AB=41AB.即BD=41AB. 二、有关等腰三角形的内角度数的计算例3 如图所示，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，求∠A 的度数.（分析）图形中有多个等腰三角形，因而有许多对相等的角，设定其中的某个角，再用这个角把另外的角表示出来，即可解决.解：∵AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，∴∠ABC=∠C=∠BDC ，∠ABD=∠BED ，∠A=∠EDA.设∠A=α，则∠EDA=α，∠ABD=∠BED=2α，∠ABC=∠C=∠BDC=3α（根据三角形的外角性质）.在△ABC 中，∠A=α，∠ABC=∠ACB=3α，由三角形内角和可得α+3α+3α=180°，∴α=7180︒，∴∠A=7180︒. ∴∠A 的度数为7180︒. 例4 如图所示，在△ABC 中，D 在BC 上，若AD=BD ，AB=AC=CD ，求∠BAC 的度数.解：∵AD=BD ，AB=AC=CD ，∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA.设∠B=∠C=∠BAD=α，则∠CAD=∠CDA=2α，∠BAC=3α.在△ABC 中，∠BAC=3α，∠B=∠C=α，∴3α+α+α=180°，∴α=36”，∴3α=108°，即∠BAC=108°.∴∠BAC的度数是108°.三、作辅助线解决问题例5 如图所示，∠B=90°，AD=AB=BC，DE⊥AC.求证BE=DC.证明：连接AE.∵ED⊥AC，∴∠ADE=90°.又∵∠B=90°，∴在Rt△ABE和Rt△ADE中，∴Rt△ABE≌Rt△ADE（HL），∴BE=ED.∵AB=BC，∴∠BAC=∠C.又∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=90°.∴∠C=45°.∴∠DEC=45°.∴∠C=∠DEC=∠45°.∴DE=DC，∴BE=DC.例6 如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证EG=FG.证明：过E作EM∥AC，交BC于点M，∴∠EMB=∠ACB，∠MEG=∠F.又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠B=∠EMB，∴EB=EM.又∵BE=CF，∴EM=FC.在△MEG和△CFG中，∴△MEG≌△CFG（AAS）.∴EG=FG.例7 如图所示，在△ABC中，∠B=60°，AB=4，BC=2.求证△ABC是直角三角形. （分析）欲证△ABC是直角三角形，只需证明∠BCA=90°即可.证明：取AB的中点D，连接CD.∵BC=2，AB=4，∴BC=BD=AD=2.∴∠BCD=∠BDC.又∵∠B=60°，∴∠BCD=∠BDC=60°.∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA.又∵∠BDC是△DCA的一个外角，∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°.∴∠A=30°，∴∠BCA=180°-∠B-∠A=180°-60°-30°=90°∴△A BC是直角三角形.。