圆锥曲线问题中的“设而不求”和“用点差法解圆锥曲线的中点弦问题”
点差法求椭圆中点弦
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
本文用这种方法作一些解题的探索。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x 。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B则221=+x x ，221=+y y122121=-y x ，122222=-y x 两式相减，得0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
关于圆锥曲线＂中点弦＂问题的思考——点差法的应用
又Ａ、Ｂ 两点 在椭 圆上 ，则 ４Ｉ ９ ｘ＋
二 一 ４ ｘ ＋ｘ ） （１ ２
一
３ ６，４ ２＋ ｘ ９
４ ．３ ６， Nhomakorabea（（ ：２２Ｘ２＿ １２ ｙｙ Ｉ ・ ）） ｌ ２ － － 一 得 －＝ Ｘ
，
去
两式相减得 ４ 一 ） ９ ） （ ＋ （。一 ＝０，
点Ｍ平分 ，求这条弦所在 的直线方 程。 解 ：设直 线与椭 圆的交点 为Ａ （ ， 。 。Ｙ ），Ｂ （ ２Ｙ ），Ｍ Ｘ，： （ ，１ ２ ）为Ａ 的中点 ， Ｂ
所 以 ＋ ２ ｘ ＝２， １ Ｙ ＝２， ＋ ２
尸 ， 、Ｑ ， ） ＲＰ． 点为Ｍ ， ，则 ＝ ， ） Ｙ ， Ｑ ２ 的中 ）
所 以
９ ｘ
一 一
２ 一 ＋ ３＝０，而此 方程无 实数 解 ，所 以满足 题设 的直 线不 存在
一
，
而 ＝ ｙ－ Ｏ
，
二 弦中点的坐标 问题
例２ 、求 直线 Ｙ＝ — 被抛 物 线 Ｙ ＝ ｘ ｘ ｌ ８ 截得 线段 的 中点坐 标。
解 ：设 直 线 Ｙ＝Ｘ 一１与 抛 物 线 Ｙ ：８ ｘ交 于 Ａ ｘ，１ （１ ）， Ｙ
：
将从 以下几点来谈点差法在 中点弦问题中的应用 。
一
（，） ５４ 。
求中点弦所在直线方程问题
变形 ２ 、若 抛 物线 Ｃ： Ｘ 存 在不 同 的两 点关 于 直 线 Ｙ： 上
解 ： 设 抛 物 线 ｃ 上 关 于 直 线 ， 称 的 两 点 分 别 为 对
： ｍｘ ３ Ｙ 对称， 求实数 的取值范围． 例１ 过椭圆吾 １ 一点Ｍ（ ， ） 、 ＋ 内 １ １ 引一条弦， 使弦被 ， ＝ （一 知）
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(*0,y 0)则有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2p*〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(*0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(*,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+的最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
中点弦问题点差法
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问 题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
解题策具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A(x i ，yj 、B(X 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。
(3)y 2=2px( p>0)与直线 I 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 M(x o ,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.经典例题讲解一、求以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆x 匚 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线164的方程。
解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)M (2,1)为 AB 的中点x 1 x 2 4 y 1 y 2 22 2 2 2又A 、B 两点在椭圆上，则 x 14y 1 16， x 2 4y 2 16，消去四如: 2(1)笃a2y b 2 1(ax o2阶 o 。
ab22(2)笃y2 1(aa bX oyo, o2ab 2kb 0)与直线相交于 A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o ),则有0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有两式相减得 2 2 2(人 X 2 ) 4(% y 22) 0于是(X 1X 2)(X 1 X 2) 4( y 1 y 2)(y 1 y 2)0y 1 y 2 X 1 X 2 4 1 X-I x 24( y 1 y 2)4 221 1即k AB㊁，故所求直线的方程为y 1 -(x 2)，即x 2y 4 0。
解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径
丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹丹与圆锥曲线的弦及其中点有关的问题称之为圆锥曲线中点弦问题.中点弦问题在解析几何试题中比较常见，侧重于考查圆锥曲线与直线的位置关系、弦长公式、中点坐标公式、直线的斜率以及韦达定理.下面谈一谈解答圆锥曲线中点弦问题的三种途径.一、利用韦达定理若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b 2a，x 1x 2=c a ，这个定理即是韦达定理.运用韦达定理求解圆锥曲线中点弦问题，需先将圆锥曲线方程与弦所在的直线的方程联立，通过消元，构造一元二次方程；再利用韦达定理，建立关于弦端点的坐标的关系式，最后结合中点坐标公式进行求解.例1.过点A (2,1)的直线与椭圆x 216+y29=1相交于P ,Q 两点，若点A 恰是线段PQ 的中点，求直线PQ 的方程.解：设直线PQ 的斜率为k ，则直线PQ 的方程为y -1=k (x -2)，将其与椭圆的方程x 216+y 29=1联立，并消去y 得，(16k 2+9)x 2+(-64k 2+32k )x +(64k 2-64k -128)=0，由韦达定理得x 1+x 2=-(-64k 2+32k )16k 2+9.又A (2,1)，所以x 1+x 2=-(-64k 2+32k )16k 2+9=4，可得k =-98，所以直线的方程为y -1=-98(x -2)，即9x +8y -26=0.当遇到中点弦问题时，应很快联想到韦达定理，将圆锥曲线的方程和直线的方程联立起来，构造一元二次方程，建立方程两根之间的关系式，这是解题的关键.二、采用点差法点差法是解答中点弦问题的常用方法.运用点差法解题，要先设出或明确圆锥曲线的方程、弦的两个端点的坐标、弦的中点坐标；然后将弦的两个端点的坐标代入圆锥曲线的方程中，并将两式作差；再根据中点坐标公式和直线的斜率公式进行求解.例2.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，过点P (1,1)的直线l交椭圆C 交于A ,B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程.解：设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将其分别代入椭圆C ：x 24+y 23=1中，可得ìíîïïïïx 124+y 123=1,x 224+y 223=1,将两式相减可得3()x 1-x 2（x 1+x 2）+4()y 1-y 2（y 1+y 2）=0，即3x +4y ∙y 1-y 2x 1-x 2=0.因为AB 所在直线的斜率与MP 的斜率相等，所以3x +4y ∙y -1x -1=0，化简得3x ()x -1+4y ()y -1=0，即为点M 的轨迹方程.运用点差法解题，可以达到设而不求的效果，大大减少计算量.但点差法的适用范围比较窄，只有在已知直线的方程、圆锥曲线的方程、弦中点的坐标三者中的两者时，才可运用此方法求解.三、运用导数法借助导数法来求解圆锥曲线中点弦问题，需要先对圆锥曲线的方程进行求导，得到曲线在某点处的切线的斜率，就能将其看作中点弦的斜率，再根据中点坐标公式求解.例3.过椭圆C ：x 216+y 24=1内一点M （2,1）作直线l ，交椭圆于A ,B 两点，使M 点恰好是弦AB 的中点，求该直线的方程.解：对x 216+y 24求导，得2x 16+2y 4y ′，把M （2,1）代入2x 16+2y 4y ′=0，得y ′=-12，所以直线AB 的方程为y =-12x +2.本题运用导数法求解十分简单、便捷，但需明确曲线的切线的斜率与曲线在某点处的导数之间的关系，据此建立关系式，即可快速解题.总之，在求解圆锥曲线中点弦问题时，同学们要注意将中点与韦达定理、中点坐标公式、直线的斜率公式相关联起来，从中寻找到解题的突破口，灵活运用上述三种方法解题，这样才能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁县实验高级中学）45。
(完整版)解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题(3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4)圆锥曲线的有关最值（范围)问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知---—-—--这类问题一般可用待定系数法解决. 2．曲线的形状未知-———-求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1〉r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法"，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，弦AB 中点为M （x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法,具体有：(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0，y 0），则有02020=+k b y a x 。
点差法的解题方法和技巧
点差法的解题方法和技巧
点差法是解决圆锥曲线中点弦问题的一种常用方法。
它的主要思路是将直线和圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线的方程中，通过对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子。
通过这个式子，可以大大减少运算量，快速地求解问题。
点差法的解题技巧主要包括以下几个方面:
1. 熟悉点差法的基本思想，理解如何将直线和圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线的方程中。
2. 掌握点差法推导出的公式，特别是弦的中点和斜率之间的关系。
3. 在实际应用中，要学会选择合适的条件，利用点差法来解决圆锥曲线中点弦问题。
4. 加强对点差法的变形和应用，例如将点差法应用于弦长问题、中点位置问题等。
点差法是解决圆锥曲线中点弦问题的一种有效方法，它的技巧性较强，需要同学们在学习中认真掌握。
圆锥曲线问题中的“设而不求”和“用点差法解圆锥曲线的中点弦问题”
⎪⎪ 3 ⎧x + x = 6 ， 即 ⎨ 1 ⎨⎩ 1 ⎪0 = ⎪⎩又 B 、 C 在椭圆上，∴ x 21 ⋅ 1 = -2 2=y -y圆锥曲线问题中的“设而不求”设而不求是解析几何中一种常用的重要方法和技巧，它能使问题简化。
但如何使用这种 方法，在使用中应注意哪些问题，却经常困扰着同学们。
在此笔者愿跟大家谈谈对上述问题 的看法与认识。
一、 哪些问题适合“设而不求”一般说来，解题中涉及不到但又不具体求出的中间量（称为相关量）可采取“设而不求，整体思想”。
具体体现在：①与弦的中点有关的问题；②定值与定点问题；③对称性问 题。
中点坐标公式、斜率公式和根与系数的关系是“设而不求，整体思想”的马前卒。
1、与弦中点有关的问题例 1、 已知 ∆ABC 是椭圆 x 2 y 2+ = 1 的一个内接三角形，且 A(0,4) ，若 ∆ABC 的20 16重心恰为椭圆的右焦点，求 BC 边所在直线的方程。
解：易求得椭圆的右焦点为 F (2,0) ，令 B( x , y ), C ( x , y ) ，由重心公式，得2 11222 =12⎧ 0 + x + x 2 4 + y + y y + y = -41 2 2 3。
∴ BC 的中点 D(3,-2) ，y 2 x 2 y 21 + 1 = 1 ，2 + 2 = 1 ，20 16 20 16两式相减，得 x 2 - x 2 y 2 - y 2 2 1 +2 120 16= 0 ，∴ y 2 - y 2 4 y - y y + y 42 1 =- ，即 。
x 2 - x 2 5 x - x x + x 52 1 2 1 2 1∴ kx - x2 12 1= 6 5。
由点斜式， BC 边所在直线的方程为 y + 2 = 6( x - 3) ，即 6 x - 5 y - 28 = 0 。
5点评：与弦中点有关的问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中 点坐标联系起来，相互转化。
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圆锥曲线问题中的“设而不求”设而不求是解析几何中一种常用的重要方法和技巧，它能使问题简化。
但如何使用这种方法，在使用中应注意哪些问题，却经常困扰着同学们。
在此笔者愿跟大家谈谈对上述问题的看法与认识。
一、 哪些问题适合“设而不求”一般说来，解题中涉及不到但又不具体求出的中间量（称为相关量）可采取“设而不求，整体思想”。
具体体现在：①与弦的中点有关的问题；②定值与定点问题；③对称性问题。
中点坐标公式、斜率公式和根与系数的关系是“设而不求，整体思想”的马前卒。
1、与弦中点有关的问题例1、 已知ABC ∆是椭圆1162022=+y x 的一个内接三角形，且)4,0(A ，若ABC ∆的重心恰为椭圆的右焦点，求BC 边所在直线的方程。
解：易求得椭圆的右焦点为)0,2(2F ，令),(),,(2211y x C y x B ，由重心公式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=3403022121y y x x ， 即⎩⎨⎧-=+=+462121y y x x 。
∴BC 的中点)2,3(-D ，又B 、C 在椭圆上，∴116202121=+y x ，116202222=+yx ，两式相减，得0162021222122=-+-y y x x ， ∴5421222122-=--x x y y ，即5412121212-=++⋅--x x y y x x y y 。
∴561212=--=x x y y k BC 。
由点斜式，BC 边所在直线的方程为)3(562-=+x y ，即02856=--y x 。
点评：与弦中点有关的问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。
同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系灵活转化，往往能事半功倍。
2、定点问题例2、 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O 。
解：设过焦点)0,2(p F 的直线AB 的方程为2pmy x +=，),(),,(2211y x B y x A 。
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=px y p my x 222，消去x ,得 0222=--p pmy y 。
∴221p y y -=。
BC ∥x 轴，且点C 在准线2px -=上，∴点C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2y p 。
OA CO k x y y p p y k ===-=111222，故AC 过原点O 。
点评：巧设过F 的直线方程2pmy x +=，而不用点斜式，可回避对直线AB 的斜率K 是否存在的分类讨论。
同时“用根与系数的关系”达到设而不求的目的。
3、对称问题例3、 已知椭圆13422=+y x 上存在两个不同的点关于直线m x y +=4对称，试确定m 的取值范围。
解： 由题设，有直线n x y +-=41与椭圆交于P 、Q 两点，且P 、Q 的中点),(00y x 在直线m x y +=4上。
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+n x y y x 4113422，消去y ，得 0481681322=-+-n nx x ①方程①有两不等实根，∴0)4816(1346422>-⨯⨯-=∆n n ，解得213<n 。
设),(),,(2211y x Q y x P ，则1342210n x x x =+=，13124100nn x y =+-=。
又PQ 中点在直线m x y +=4上，∴有m n n +⋅=13441312，413mn -=， ∴213413<-m ，1313213132<<-m 。
点评：根据题中隐含着的一元二次方程的根的存在性，以中点为桥梁，利用判别式建立不等关系，求参数的取值范围。
此类问题也可借助圆锥曲线的几何性质求解。
x二、“设而不求，整体思想”中应注意的两个问题 1、注意隐含条件例4、 已知双曲线12422=-y x ⑴过)1,1(M 的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为弦AB 中点，求直线AB 的方程。
⑵是否存在直线l ，使点)21,1(N 是直线l 被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线l 的方程 ，若不存在，说明理由。
解：⑴设),(),,(2211y x B y x A ，则1242121=-y x ，1242222=-yx ，∴0))((21))((4121212121=-+--+y y y y x x x x 。
又2,22121=+=+y y x x ，∴AB k x x y y ==--212121。
∴)1(211-=-x y 即)1(21+=x y 。
代入12422=-y x 检验，满足0>∆， ∴直线AB 的方程是)1(21+=x y 。
⑵假设存在，则0)(121)(2412121=-⋅⋅--⋅⋅y y x x ，∴121-=-x y ，即21-=x y 。
代入4222=-y x 中，得4)21(222=--x x ，02922=+-x x ，02944<⨯-=∆。
∴不存在2、注意参数对取值范围的影响例5、 求过点)2,0(P 的直线被椭圆2222=+y x 所截弦的中点的轨迹方程。
解 ：（1）当过)2,0(P 的直线的斜率k 存在时，设其方程为2+=kx y ，代入2222=+y x 中，消去y ，得068)12(22=+++kx x k ，由0>∆，得26>k ①。
设直线与椭圆的两个交点为),(),,(2211y x B y x A ，中点坐标为),(y x C ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+-=+=122212422221k kx y k k x x x ，消去参数k ，得2)1(222=-+y x 。
由①知，261241242<+=+=kk k k x ，)21,0(1222∈+=k y ， 故所求弦中点的轨迹方程为2)1(222=-+y x ，其中26<x ，且210<<y 。
（2）当所做直线的斜率不存在时，所截弦中点为)0,0(C 亦满足上述方程。
综上所述，所求弦中点的轨迹方程为2)1(222=-+y x ，其中26<x ，且210<≤y 。
点评： 消参过程中，应重视参数取值范围对其它相关变量的影响，确保等价性。
练习1、过点A ()21，的直线与双曲线x y 2221-=交于M N 、两点，求弦MN 的中点P 的轨迹方程。
2 、已知A 、B 是抛物线y px p 240=>()上原点O 外的两个动点，已知OB OA ⊥，求证：AB 所在直线必过一个定点。
3、已知椭圆x a y ba b 222210+=>>()，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x轴交于点P x ()00，求x 0的取值范围。
4、已知直线y ax --=10与双曲线3122x y -=相交于A 、B 两点，问a 取何值时，以AB 为直径的圆经过原点。
5、过抛物线y x 2=的点A ()42，作倾角互补的两条直线AB 、AC ，交抛物线于B 、C ，求直线BC 的斜率。
参考答案：1、 解：设M x y ()11，，N x y ()22，，则x y x y 121222222121-=-=，，两式作差并整理，得y y x x x xy y 121212122--=++ 。
设弦MN 的中点P x y ()00，，由k k MN AP =，且x x x y y y 12012022+=+=，，知y x xy 0000122--=。
故所求弦中点P 的轨迹方程是24022x x y y --+=。
2 、证明：设A x y B x y ()()1122，，，，由OA OB ⊥，得⎪⎩⎪⎨⎧===+③②①2221212121440px y px y y y x x把②③代入①整理得 y y p 12216=- ④ ， 由②－③整理得：y y x x py y k AB 1212124--=+=。
所以直线AB 的方程为y y py y x x -=+-11214() ，即()()y y y p x p 1244+=-，所以直线AB 过定点()40p ，。
3、 解：设A x y B x y ()()1122，，，，代入椭圆方程，得x a y b x a y b12212222222211+=+=，，两式作差并整理，得 y y x x b a x x y y 1212221212--=-++⎛⎝ ⎫⎭⎪。
又直线AB 的斜率与其垂直平分线的斜率互为负倒数∴y y x x y y x x x 121212120122--=-++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-，即2)1(21220x x a b x +-=。
21x x ≠ ，∴-<+<a x x a 122，得 --<<-a b a x a b a 22022。
4、解：设A x y B x y ()()1122，，，，若以AB 为直径的圆过坐标原点必有OA OB ⊥，即得：x x y y 12120+=①把y ax --=10代入双曲线方程，得x a a x a 22223230----=。
所以x x aa12223+=- ② x x a12223=-- ③y y ax ax a x x a x x 121221212111=++=+++()()() ④解①②③④组成的方程组得a =±1。
5、解：设B x y C x y ()()1122，，，，代入抛物线方程得 y x 12= ① y x 222= ② 242=③①②两式作差整理，得y y x x y y k BC 1212121--=+= ④①③两式作差整理，得121y k AB +=； ②③两式作差整理，得122y k AC +=。
由k k AC AB =-，得y y 124+=-。
代入④即得到直线BC 的斜率为-14。
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
本文用这种方法作一些解题的探索。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。