线代一章1节
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线性代数讲义正式版
郑老师线代核心讲义
目录 第一章 行列式........................................................................................................................................ 1
第一节：基本概念.......................................................................................................................... 1 第二节：行列式的基本性质与计算.............................................................................................. 1 第三节：典型例题精讲.................................................................................................................. 2 第二章 矩阵.......................................................................................................................................... 5 第一节：基本概念.......................................................................................................................... 5 第二节：几种特殊矩阵.................................................................................................................. 5 第三节：矩阵基本运算与公式性质.............................................................................................. 6 第四节：初等变换与初等矩阵...................................................................................................... 8 第五节：求逆矩阵........................................................................................................................ 10 第六节：矩阵的秩........................................................................................................................ 12 第七节：矩阵的性质.................................................................................................................... 13 第三章 向量........................................................................................................................................ 18 第一节：基本概念........................................................................................................................ 18 第二节：向量组的性质................................................................................................................ 19 第三节：向量组的秩与向量组等价............................................................................................ 23 第四章 线性方程组............................................................................................................................ 26 第一节：基本概念........................................................................................................................ 26 第二节：基本结论........................................................................................................................ 26 第三节：线性方程组解的结构.................................................................................................... 27 第四节：具体线性方程组的通解的求法.................................................................................... 28
目录 第一章 行列式........................................................................................................................................ 1
第一节：基本概念.......................................................................................................................... 1 第二节：行列式的基本性质与计算.............................................................................................. 1 第三节：典型例题精讲.................................................................................................................. 2 第二章 矩阵.......................................................................................................................................... 5 第一节：基本概念.......................................................................................................................... 5 第二节：几种特殊矩阵.................................................................................................................. 5 第三节：矩阵基本运算与公式性质.............................................................................................. 6 第四节：初等变换与初等矩阵...................................................................................................... 8 第五节：求逆矩阵........................................................................................................................ 10 第六节：矩阵的秩........................................................................................................................ 12 第七节：矩阵的性质.................................................................................................................... 13 第三章 向量........................................................................................................................................ 18 第一节：基本概念........................................................................................................................ 18 第二节：向量组的性质................................................................................................................ 19 第三节：向量组的秩与向量组等价............................................................................................ 23 第四章 线性方程组............................................................................................................................ 26 第一节：基本概念........................................................................................................................ 26 第二节：基本结论........................................................................................................................ 26 第三节：线性方程组解的结构.................................................................................................... 27 第四节：具体线性方程组的通解的求法.................................................................................... 28
线性代数课件 第一章
0 0 0 0 0 0 ≠ ( 0 0 0 0) . 0 0 0
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
线代第一章(1)
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j a2 j anj
1 2
n
其中
j1 j 2 j n
表示对所有n元排列取和。
注： (1) 当n=1时，一阶行列式 a a 此处 a 不是a的绝对值， 例如行列式 1 1
(2) 定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的 可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些 乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列， 然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一 项的符号。
i 为行标， j 为列标。
注： (1) 三阶行列式 算出来也是一个数。
(2) 记忆方法：对角线法则(在黑板上演示) 例：
2
0
1
1 4 1 1 8 3
2 (4) 3 0 (1) (1) 11 8 1 (4) (1) 0 1 3 2 (1) 8 24 8 4 16 4
二（三）阶行列式
排列与逆序 n 阶行列式的定义
行列式概念的形成（定义）
四. 行列式的性质 五. 行列式按一行（列）展开 六. Cramer 法则
行列式的基本性质及计算方法
利用行列式求解线性方程组
本章主要讨论以上三个问题。
首先来看行列式概念的形成 问题的提出：
求解二、三元线性方程组
一. 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式
a11
a12
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 a22 D a31 a32 a41 a42
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
线性代数第一章1-3PPT课件
1234
例3
0421
D
?
0056
0008
12340421Fra bibliotekD 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
12 n;
t132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1 p1a2 p2 a3 p3 .
a31 a32 a33
二、n阶行列式的定义
定义 设有n2 个数，排成 n 行n列的数表
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
作出表中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，
对应于
1 1 2x 1
1 t a11a22a33a44 1 t1234a11a22a34a43
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
n
2
1
nn1
1 2 12 n .
n
证明 第一式是显然的,下面证第二式.
若记 i ai,ni1, 则依行列式定义
2
1
a1n
a2,n1
n
an1
1 tnn121a1na2,n1 an1
线性代数第一章PPT讲解1-4
aaijij 0 0
D
1 i1
1
a j 1 i1, j
ai1, j1
ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aijj
0
0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aaiijj
0
0
元 素aij在 行 列 式ai1, j ai1, j1 ai1,n 中 的
anj an, j1 ann
余 子 式 仍 然 是aij在 a11 a1 j a1n
D 0 aaiijj 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
二、行列式按行（列）展开法则
定理３ 行列式等于它的任一列（行）的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj j 1,2,, n
证 a11 a1 j 0 0 a1n
D
a21
0 a2 j 0
a2n
an1 0 0 anj ann
1பைடு நூலகம்
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
依次做行变换:
rn x1rn1 , rn1 x1rn2 , ....., r2 x1r1
有
1
1
1
1
0
Dn 0
x2 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 x1
线性代数课件第一章第一节PPT课件
第7页/共51页
应用三、电网 工程师利用仿真软件设计电路以及包含 百万晶体管的微芯片.这类软件离不开线性 代数方法和线性代数方程.
第8页/共51页
应用四、经济学和工程学中的线性模型
列昂惕夫 美籍俄裔著名经济学家，1906 年8月日生于俄国彼得堡，1925年毕业于列 宁格勒大学经济系。1928年获德国柏林大 学哲学博士学位。
第9页/共51页
但是，当时MarkⅡ还不能处理500个未知量、 500个方程组的方程组.所以他把这个问题提炼成 42个未知量、42个方程的方程组.
最后，经过56小时的持续运转， MarkⅡ终于求出了一个解.
列昂惕夫开启了通往经济学数学 模型一个新时代的大门，并于1973年 荣获诺贝尔奖.从那时起，其他领域 的研究者也开始使用计算机分析数学 模型. 常用的数学软件有Matlab、Maple、 Mathematica、SAS、Mathcad.
1 2 3
D 0 1 1 2 3 3 2
13 0
4 2 3
D1 3 1 1 8 27 12 12 11
4 3 0
第37页/共51页
14 3
D2 0 3 1 4 9 4 1
1 4 0
1 2 4
D3 0 1 3 4 6 4 9 7
1 3 4
于是，方程组的解为:
11 22 44
例2 计算三阶行列式 D 2 2 1
解二： 利用展开法
3 4 2
D 1 2 1 2 2 1 (4) 2 2
4 2 3 2
3 4
8 27 4(2)
8 14 8
14
第29页/共51页
例3 求解方程
解 方程左端
11 23 49
1 x 0 x2
应用三、电网 工程师利用仿真软件设计电路以及包含 百万晶体管的微芯片.这类软件离不开线性 代数方法和线性代数方程.
第8页/共51页
应用四、经济学和工程学中的线性模型
列昂惕夫 美籍俄裔著名经济学家，1906 年8月日生于俄国彼得堡，1925年毕业于列 宁格勒大学经济系。1928年获德国柏林大 学哲学博士学位。
第9页/共51页
但是，当时MarkⅡ还不能处理500个未知量、 500个方程组的方程组.所以他把这个问题提炼成 42个未知量、42个方程的方程组.
最后，经过56小时的持续运转， MarkⅡ终于求出了一个解.
列昂惕夫开启了通往经济学数学 模型一个新时代的大门，并于1973年 荣获诺贝尔奖.从那时起，其他领域 的研究者也开始使用计算机分析数学 模型. 常用的数学软件有Matlab、Maple、 Mathematica、SAS、Mathcad.
1 2 3
D 0 1 1 2 3 3 2
13 0
4 2 3
D1 3 1 1 8 27 12 12 11
4 3 0
第37页/共51页
14 3
D2 0 3 1 4 9 4 1
1 4 0
1 2 4
D3 0 1 3 4 6 4 9 7
1 3 4
于是，方程组的解为:
11 22 44
例2 计算三阶行列式 D 2 2 1
解二： 利用展开法
3 4 2
D 1 2 1 2 2 1 (4) 2 2
4 2 3 2
3 4
8 27 4(2)
8 14 8
14
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例3 求解方程
解 方程左端
11 23 49
1 x 0 x2
大学线性代数课件 第一章 第1节
四、n阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 23 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a 33
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． ） （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 ） 乘积． 乘积．
τ
对于D中任意一项 对于 中任意一项
( 1)τ a1 p a2 p
1
2
anpn ,
总有且仅有 D1 中的某一项 ( 1) aq1 1aq2 2 aqnn ,
s
与之对应并相等; 反之, 与之对应并相等 反之 对于 D1 中任意一项
( 1) a p 1a p 2 a p n ,
τ
1 2 n
也总有且仅有D中的某一项 也总有且仅有 中的某一项 从而 D = D1 .
a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31
为一个三阶行列式。 可用下面的对角线法则记忆
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
（3）当每一项行指标排列均为123时，这一项的正负 当每一项行指标排列均为123时 123 号取决于列指标排列的奇偶性，偶排列带正号， 号取决于列指标排列的奇偶性，偶排列带正号，奇排 列带负号。 列带负号。
例如
a13a21a32
列标排列的逆序数为 偶排列
+ 正号
《线性代数》第1讲-第1章第1-2节
线性代数
Linear Algebra
王健 理学院 数学系 北京工商大学 我的邮箱：wangjian04@ 课程主页：/ 登录密码：110
第一章 1 第一章 2
线性代数
课程特点： 一个中心 —— 求解线性方程组 一种工具 —— 矩阵（行列式、向量） 关于教材： 内容基本、难度低 第3.6节、第4.4节、第5.4节选讲 成绩：平时40%（出勤+作业+测验等）+ 期末60% 作业：用作业纸做，单周二交作业, 批阅1/3 作业上交情况及时上传至课程主页 答疑：单周周二下午七八节，工三303（数学系办公室）
a11
即 a 21 a 31 行标
a31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
+ +
+
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31 .
第一章 13
例4 解
1 求解方程
方程左端为
1 3 9
1 x 0. x2
计算三阶行列式
1 D 2 3 2 2 4 4 1 2
D 2 3
2 4
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
1 2 (2) 2 1 ( 3) (4) ( 2) 4
由 1, 2 , 3 组成的 3级排列有： 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321 .
由自然数 1 , 2 , , n 所构成的不同的 n 级排列 的总数为 n!. 通常用 Pn 表示 .
Pn n ( n 1) ( n 2 ) 3 2 1 n!.
Linear Algebra
王健 理学院 数学系 北京工商大学 我的邮箱：wangjian04@ 课程主页：/ 登录密码：110
第一章 1 第一章 2
线性代数
课程特点： 一个中心 —— 求解线性方程组 一种工具 —— 矩阵（行列式、向量） 关于教材： 内容基本、难度低 第3.6节、第4.4节、第5.4节选讲 成绩：平时40%（出勤+作业+测验等）+ 期末60% 作业：用作业纸做，单周二交作业, 批阅1/3 作业上交情况及时上传至课程主页 答疑：单周周二下午七八节，工三303（数学系办公室）
a11
即 a 21 a 31 行标
a31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
+ +
+
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31 .
第一章 13
例4 解
1 求解方程
方程左端为
1 3 9
1 x 0. x2
计算三阶行列式
1 D 2 3 2 2 4 4 1 2
D 2 3
2 4
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
1 2 (2) 2 1 ( 3) (4) ( 2) 4
由 1, 2 , 3 组成的 3级排列有： 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321 .
由自然数 1 , 2 , , n 所构成的不同的 n 级排列 的总数为 n!. 通常用 Pn 表示 .
Pn n ( n 1) ( n 2 ) 3 2 1 n!.
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a1 x a2 ⋯ a2
a2 a2 x ⋯ a3
a3 a3 a3 ⋯ a4
⋯ an ⋯ an ⋯ an . ⋯ ⋯ ⋯ x
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解
列都加到第一列， 将第 2 , 3 , ⋯ , n + 1列都加到第一列，得
x + ∑ ai x + ∑ ai
i =1 n i =1 n n
a1 x a2 ⋮ a2
1≤ j < i ≤ n
(x − x )
i j
An n +1 = -1） M n n +1 = − M n n +1 （-1）
2n+1
故
M n n +1 = ( x1 + x2 + ⋯ + xn ) ∏
1≤ j < i ≤ n
(x − x )
i j
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结束
小结
计算行列式的方法比较灵活， 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法； 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时， 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 在构造上的特点， 换后，再考察它是否能用常用的几种方法． 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
(1+ 2 +⋯+ n ) − (1+ 2 +⋯+ n )
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结束
所以 所以 D2 =
∑ (−1) a
t
1 p1 a 2 p2
⋯ a npn = D1
本题证明两个行列式相等， 评注 本题证明两个行列式相等，即证明两 一是两个行列式有完全相同的项， 点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一 项所带的符号相同． 项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法． 式相等的常用方法．
a2 ⋯ an a2 ⋯ an x ⋮ ⋯ an ⋱ ⋮ x
D
n+1
=
x + ∑ ai
i =1 n
⋮ x + ∑ ai
i =1
a3 ⋯
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提取第一列的公因子， 提取第一列的公因子，得
1 a1 a 2 1 x a2 n = ( x + ∑ ai ) 1 a2 x i =1 ⋯ ⋯ ⋯ 1 a2 a3
1 a2 0 ⋮ 0
返回
1 a1 − 解 a2 1 c1 − c2 0 a2 D 1 ⋮ 1
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1
⋯
1 0 0 ⋮
0 ⋯ a3 ⋯ ⋮ ⋱ 0
⋯ an
下页 结束
1 a1 − ∑ i = 2 ai 1 c1 − ci 0 ai 0 ( 3 ≤ i ≤ n) ⋮ 0
n
n
1 a2 0 ⋮ 0
1
⋯
1 0 0 ⋮
一、计算排列的逆序数 例１ 求排列 (2k )1(2k − 1)2(2k − 2 )3(2k − 3)⋯ (k + 1)k
并讨论奇偶性。 的逆序数 , 并讨论奇偶性。
解 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 即算出排列中每个元素的逆序数． 和，即算出排列中每个元素的逆序数． 0 1 2 3 k-1
a12 a 22 a 32 a 42 a 52
a13 a 23 a 33 a 43 a 53
0 a 24 a 34 0 0
0 a 25 a 35 0 0
证明 行列式定义展开式中项的一般形式是 a1 p1 a 2 p2 a 3 p3 a 4 p4 a 5 p5 若该项不为零显然应满足 p1 , p4 , p5 ∈ {2 , 3} 为不同的三个数， 而p1,p4,p5为不同的三个数， 故 p1 , p4 , p5 中必有一个属于{ 中必有一个属于{1 , 4, 5}，即 a1 p1 , a4 p4 , a5 p5 中必有一个为零， 因而定义式中的任意一项 中必有一个为零， a1 p1 a 2 p2 a 3 p3 a 4 p4 a 5 p5 = 0 ，故 D = 0。
所以 , 当 n = 1 , n = 2 时, 结论成立.
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假设对阶数小于 n的行列式结论成立 , 下证对于阶数 等于 n的行列式也成立 .现将 Dn 按最后一行展开 , 得
Dn = 2 cosα Dn−1 − Dn− 2 .
由归纳假设 , Dn -1 = cos( n − 1)α , Dn − 2 = cos( n − 2)α ,
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结束
Dn = 2 cos α cos(n − 1)α − cos(n − 2)α
= [cos nα + cos( n − 2)α ] − cos( n − 2)α = cos nα ;
所以对一切自然数 n 结论成立.
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结束
评注 为了将 D n 展开成能用其同型的 D n − 1 , D n − 2 表示 , 本例必须按第 n 行 (或第 n 列 )展开 , 不能 按第 1行 (或第 1列 )展开 , 否则所得的低阶行列式 不 是与 D n 同型的行列式 .
一般来讲 ,当行列式已告诉其结果 , 而要我们 证明是与自然数有关的 结论时 , 可考虑用数学归 纳法来证明 .如果未告诉结果 , 也可先猜想其结果 , 然后用数学归纳法证明 其猜想结果成立 .
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例5
计算n 计算 阶行列式 爪型行列式 a1 1 1 ⋯ 1 1 a2 0 ⋯ 0 D = 1 0 a 3 ⋯ 0 ，其中 a1 a 2 ⋯ a n ≠ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 0 0 ⋯ an
n
n
1 a2 0 ⋮ 0
1
⋯
1 0 0
0 ⋯ a3 ⋯ ⋮ 0
⋱ ⋮ ⋯ an
a1 = (1 + a1 + ∑ )a 2 a 3 ⋯ a n i = 2 ai
a1 = (1 + ∑ )a 2 a 3 ⋯ a n i =1 a i
n
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例7 计算
x a1 D n + 1 = a1 ⋯ a1
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例３ 设
a11 a 21 D1 = ⋯
a12 ⋯ a1n a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ a n 2 ⋯ a nn
,
( i , j )元为 元为
aijb
i− j
a n1
a11 a 21 b D2 = ⋯ a n1 b
n −1
a12 b
−1
a 22 ⋯ an2 b
n− 2
⋯ a1n b1− n ⋯ a 2 n b2− n ⋯ ⋯ ⋮ a nn
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例4 证明
cos α 1 0 Dn = ⋯ 0 0
1 2cos α 1 ⋯ 0 0
0 1 2cos α ⋯ 0 0
⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2cos α ⋯ 1
0 0 0 = cos nα ⋯ 1 2cos α
对阶数n用数学归纳法 证 对阶数 用数学归纳法
因为D1 = cos α , cos α D2 = 1 1 = 2 cos 2 α − 1 = cos 2α , cos 2α
= ( x + ∑ a i ) ∏ ( x − a i ).
i =1 i =1 n n
0 0 ⋮ − an
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评注 本题利用行列式的性质，采用“化零” 本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（ 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（ ）；若没有 若没有１ 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（ 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 化为1 若所给行列式中元素间具有某些特点， 应充分利用这些特点，应用行列式性质， 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的． 化为三角形行列式之目的．
1≤ j < i ≤ n
(x
i
− x j ), (n ≥ 2 )
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证明 在 Dn 中加一行一列，配成范德蒙行列式 中加一行一列， 1 1 1 ⋯ 1 1 x1 x2 x3 ⋯ xn y 2 2 2 2 x1 x2 x3 ⋯ xn y2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Dn+1 = ⋯ D = Mnn+1 n n− 2 n− 2 n− 2 n− 2 n− 2 x1 x2 x3 ⋯ xn y n n n n x1 −1 x2 −1 x3 −1 ⋯ xn −1 y n −1 n n n n x1 x2 x3 ⋯ xn yn
=
=k
2
+
2
当 k 为偶数时，排列为偶排列， 为偶数时，排列为偶排列， 为奇数时，排列为奇排列． 当 k 为奇数时，排列为奇排列．
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二、计算（证明）行列式
１ 用定义计算（证明） 用定义计算（证明）
2 用数学归纳法 3 用行列式的性质 4 利用范德蒙行列式
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0 a 21 例２用行列式定义计算 D = a 31 0 0