第12章 常微分方程与差分方程 §1 基本概念

′,⋯, y ( n−1) ). = f ( x, y, y
线性与非线性微分方程. 线性与非线性微分方程.
y′ + P ( x ) y = Q ( x ),
x ( y′ )2 − 2 yy′ + x = 0;
单个微分方程与微分方程组. 单个微分方程与微分方程组.
dy dx = 3 y − 2 z , dz = 2 y − z , dx
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线
确定通解中任意常数的条件. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 阶方程的初始条件 或初值条件) 初始条件(
′( x0 ) = y0 , ⋯, y(n−1) ( x0 ) = y0(n−1) ′ y( x0 ) = y0 , y
d2x 方程 2 + k 2 x = 0的解. 并求满足初始条件 dt dx x t = 0 = A, = 0 的特解. dt t = 0 dx 解 ∵ = − kC1 sin kt + kC 2 cos kt , dt 2 d x = − k 2C1 cos kt − k 2C 2 sin kt , dt 2 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
所求曲线方程为 y = x + 1 .
2
秒的速度行驶, 例 2 列车在平直的线路上以 20 米/ 秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 − 0.4 米/秒 2 , 问开始制动 后多少时间列车才能停住？ 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 行驶了多少路程？
解
设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s = s( t )
2
20 开始制动到列车完全停住共需 t = = 50 ( 秒 ), 0 .4
列车在这段时间内行驶了
s = − 0.2 × 50 2 + 20 × 50 = 500 ( 米 ).
例 3 已知放射性元素镭的衰变率与其现存量 R 成正 比。若镭在 t=0 时的质量为 R0，求在衰变过程中镭 R(t)随时间 的变化规律。 含量 R(t)随时间 t 的变化规律。
微分方程的解: 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设y = ϕ( x )在区间 I 上有 n 阶导数 ,
F ( x , ϕ( x ), ϕ′( x ),⋯, ϕ( n ) ( x )) = 0.
微分方程的解的分类： 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数, (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 通解 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
2
y′ = xy ,
′′ + 2 y′ − 3 y = e x , y
( t + x )dt + xdx = 0,
∂z = x + y, ∂x
实质: 联系自变量, 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 某些导数(或微分)之间的关系式.
常微分方程（一元未知函数。本章内容） 常微分方程（一元未知函数。本章内容） 分类 偏微分方程（多元未知函数） 偏微分方程（多元未知函数）
ds d 2s = −0.4 t = 0时, s = 0, v = = 20, 2 dt dt ds s = − 0. 2 t 2 + C 1 t + C 2 v = = −0.4t + C1 dt
代入条件后知
C 1 = 20 , C 2 = 0
ds v= = − 0.4 t + 20 , dt
故 s = − 0 .2 t + 20 t ,
所求特解为 x = A cos kt .
例4. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 轴平分, 且线段 PQ 被 y 轴平分 求所满足的微分方程 . 如图所示, 解: 如图所示 点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标 即 y y′ + 2 x = 0
dy dx
例1 通解: 通解 特解: 特解
= 2x
x=1= 2
d2 y
例2
y
s t =0 = 0 ,
dx
2
= −0.4
ds d t t =0
= 20
y = x2 + C
s = −0.2t 2 + C1t + C2 s = −0.2t 2 + 20 t
y = x2 + 1
例 3 验证:函数 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是微分
第十二章 12. 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x ,求这曲线的方程 求这曲线的方程. 求这曲线的方程 解 设所求曲线为 y = y( x ) dy = 2x 其中 x = 1时, y = 2 dx y = ∫ 2 xdx 即 y = x 2 + C , 求得 C = 1,
例 y′ = y ,
y′′ + y = 0,
(2)特解: (2)特解: 特解 解的图象: 解的图象: 通解的图象: 通解的图象: 初始条件: 初始条件:
通解 y = ce ;
x
通解 y = c1 sin x + c2 cos x;
确定了通解中任意常数以后的解. 确定了通解中任意常数以后的解. 微分方程的积分曲线. 微分方程的积分曲线. 积分曲线族. 积分曲线族.
− k 2 (C1 cos kt + C 2 sin kt ) + k 2 (C1 cos kt + C 2 sin kt ) ≡ 0.
故 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是原方程的解 .
∵ x t =0 dx = A, = 0, dt t = 0 ∴ C1 = A, C 2 = 0.
解
由题意知
dR = −λR(t ), λ > 0. dt
t = 0时, R = R0 ,
R( t ) = Ce − λt
R( t ) = R0 e
− λt
C = R0 ,
12.1.2 基本概念
微分方程: 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例
y P
Qo
x x
小
结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 微分方程 微分方程的阶 微分方程的解 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线; 通解 初始条件 特解 初值问题 积分曲线
微分方程的阶: 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 高阶导数的阶数. 一阶微分方程
F ( x , y , y ′ ) = 0,
高阶( ) 高阶(n)微分方程
y′ = f ( x , y );
F ( x , y , y ′ , ⋯ , y ( n ) ) = 0, y
( n)
用来确定任意常数的条件. 用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y′ = f ( x , y ) 一阶: 一阶 y x = x0 = y 0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
y ′′ = f ( x , y , y ′ ) 二阶: 二阶 ′ y x = x0 = y0 , y ′x = x0 = y0