高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算新人教A版必修4
课件4：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
课堂检测 1．向量正交分解中，两基底的夹角等于( ) A．45° B．90° C．180° D．不确定 【答案】B
2．向量O→A＝(x，y)，(O 为原点)的终点 A 位于第二象限，则有( )
A．x>0，y>0
B．x>0，y<0
C．x<0，y>0
D．x<0，y<0
【解析】∵O→A＝(x，y)，∴A(x，y)．
_差____
数乘
实数与向量的积的坐标等 于用这个实数乘原来向量 的__相__应__坐__标____
λa＝_(_λ_x_1，__λ_y_1_) _
向量 坐标公式
一个向量的坐标
等于表示此向量 的有向线段的终 点的坐标减去起
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝_(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_
3．向量与坐标的关系 设O→A＝xi＋yi，则向量O→A的坐标_(_x_，__y_) _就是终点 A 的坐标；反 过来，终点 A 的__坐__标___就是向量O→A的坐标(x，y)．因此，在平 面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一 表示．即以原点为起点的向量与实数对是___一__一__对__应_____的．
例 2.设向量 a、b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求 a＋b， a－b,3a,2a＋3b 的坐标． 解:a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)； a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)； 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)； 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(－2＋9,4－15) ＝(7，－11)．
高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算
解 (1)O→P＝tO→A＋O→B＝(3＋t,3＋2t)， ∴P 点坐标为(3＋t,3＋2t)， 若 P 在 x 轴上，则 3＋2t＝0 得 t＝－32， 若 P 在 y 轴上，则 3＋t＝0 得 t＝－3， 若 P 在第二象限，则33＋＋t2<t>0，0， 得 t 无解，
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解 (1)O→P＝O→A＋tO→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)， 所以 P 点坐标为(1＋3t,2＋3t)．
若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，得 t＝－23； 若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，得 t＝－13； 若 P 在第二象限，则12＋＋33tt<>00，， 得－23<t<－13.
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(2)已知A→B＝(1,3)，且点 A(－2,5)，则点 B 的坐标为( )
A．(1,8)
B．(－1,8)
C．(3，－2) D．(－3,2)
解析 因为向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，所以 B 点坐标为(－1,8)．
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(3)(教材改编 P100T2)若 a＝(2,1)，b＝(1,0)，则 3a＋2b
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∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， ∴xy＝ ＝54＋ ＋57λλ，. (1)若 P 在一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ. ∴λ＝12.
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(2)若 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00， ， ∴λ<－1. ∴λ＝12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；λ<－1 时， 点 P 在第三象限内．
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4 (2)
变式训练1
在平面直角坐标系中 ,|a|= 4,且 a 如图所示,则 a 的坐标为 ( A.(2√3,2) B.(2,- 2√3) C.(-2,2√3) D.(2√3,-2)
)
解析:设 a=(x,y),则 x=|a|cos y=-|a|sin 30°=-4× =-2. 故 a=(2√3,-2). 答案:D
做一做 2 已知������������=(2,-3),则点 A 的坐标为( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-3,2) D.(3,-2) 解析:������������的起点为原点 O,则������������的坐标与终点 A 的坐标相同. 答案:B
4.平面向量的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y 2),λ∈R,则有下表: 文字描述 两个向量和的坐标分别等于这两 加法 个向量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两 减法 个向量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这 数乘 个实数乘原来向量的相应坐标 一个向量的坐标等于表示此向量 向量坐 的有向线段的终点的坐标减去始 标公式 点的坐标 符号表示 a+b=(x1+x2,y 1+y2) a-b=(x1-x2,y 1-y2) λa=(λx1,λy1) 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ������������ =(x2-x1,y2-y 1)
2 1
√3 30°=4× =2√3, 2
探究二平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求������������ , ������������ , ������������ + 1 ������������ , ������������ − ������������ ,2������������ + ������������ ; (2)已知 a=(1,2),b=(-3,4),求向量 a+b,a-b,3a-4b 的坐标. 分析:(1)先计算出������������ , ������������ 的坐标,再进行向量的线性运算; (2)直接利用向量的坐标运算.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
木块产生垂直于斜面的压力F2，G＝ F1＋F2 叫做把重力 G 分解.
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 a , 均可以分解为不共线的两个向量 1e1和 2 e2 ，
使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
探究一：平面向量的坐标表示
rr (5)a =-4i
r rr (3)a =-i-3 j
r
r
r
答案：(1)a (2,3) (2)a (2, 3) (3)a (1, 3)
r
r
(4)a (0, 5) (5)a (4, 0)
rrrr 例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a，b，c，d，
并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
思考：如图,在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),
C(3,4),D(5,7).设 O A i, O B j, 填空：
y
（1）| i | ___1__,| j | ____1__,
7
D
| OC | ___5___;
（2）若用 i, j 来表示 OC,OD ，
则：O C
_3_ _i __4_ _j_ , O D
a b , a b ,a 的坐标吗？
rr r r
rr
提示: a + b = (x1i + y1 j) + (x2i + y2 j),
由向量线性运算的结合律和分配律可得
(x1i y1 j) (x 2 i y2 j) (x1 x 2 )i (y1 y2 ) j,
rr 即 a b (x1 x2, y1 y2)，
r rr a 2i 3 j r a (2,3)
课件6：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算
题型 2 平面向量的坐标运算 例 2 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且 C→M＝ 3C→A，C→N＝2C→B，求 M，N 的坐标和M→N.
解：C→A＝(1,8)，C→B＝(6,3)， →CM＝3C→A＝(3,24)， C→N＝2C→B＝(12,6)． 设 M(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)， ∴xy＋＋34＝＝32，4， 解得xy＝＝02，0. ∴M(0,20)． 同理可得 N(9,2)．∴M→N＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
典例精析 题型 1 向量的坐标表示 例 1 已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|O→A|＝ 4 3，∠xOA＝60°，求向量O→A的坐标．
解：设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3×12＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3·23＝6，即 A(2 3，6)． ∴O→A＝(2 3，6)．
B．x>0，y<0
C．x<0，y＞0
D．x<0，y<0
【答案】C 4．已知m＝(2,7)，n＝(x＋2,7)，若m＝n，则x＝ ________. 【答案】0
规律总结
1．向量的坐标表示 在直角坐标系中，点 A 的位置被点 A 的位置向量O→A
所唯一确定，向量O→A的坐标(x，y)也就是点 A 的坐标； 反之，点 A 的坐标就是点 A 相对于坐标原点的位置向量 O→A的坐标．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都 可以用一个有序实数对唯一表示．
归纳点评 本题是从纯向量运算的角度来思考的，通过点 P 对应向量坐标的讨论来考查 t 的可能取值，而对于是否构成 平行四边形则可从构成平行四边形的条件来进行思考．实际 上，如果换个角度，就会发现，点 A，P，B 三点共线，
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量
2.3.2 平面向量的坐标表示及运算2.3.3 平面向量的坐标运算更上一层楼基础•巩固1.若向量a=(3，2)，b=(0，-1)，则向量2b-a的坐标是( )A.(3，-4)B.(-3，4)C.(3，4)D.(-3，-4)思路分析:2b-a=2(0，-1)-(3，2)=(0，-2)-(3，2)=(-3，-4).答案:D2.设a=(-1，2)，b=(-1，1)，c=(3，-2)，用a、b作基底，可将向量c表示为c=p a+q b，则( )A.p=4，q=1B.p=1，q=-4C.p=0，q=4D.p=1，q=4思路分析:由(3，-2)=p(-1，2)+q(-1，1)=(-p-q，2p+q)，所以.解得p=1，q=-4.答案:B3.已知ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC、BD交于点O，则的坐标为( )A.(，5)B.(，5)C.(，-5)D.(，-5)思路分析:如图所示，=+=(-2，3)+(3，7)=(1，10).∴==(，5).∴=(-，-5).答案:C4.平面直角坐标系中，O为坐标原点.已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0思路分析:设C(x，y)，=(x，y)，由=α+β，∴=(x，y)=α(3，1)+β(-1，3)=(3α-β，α+3β).∴又∵α+β=1，β=1-α,代入①②得③+2×④整理得x+2y-5=0.这就是C点的轨迹方程.答案:D5.已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y 轴的正向上，则向量2+3+的坐标为_________.思路分析:根据题意建立坐标系如图.则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1).∴=(1，0)，=(0，1)，=(1，1).∴2+3+=(2，0)+(0，3)+(1，1)=(3，4).答案:(3，4)综合•应用6.若对n个向量a1，a2，…，a n，存在n个不全为零的实数k1，k2，…，k n，使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立，则称向量a1，a2，…，a n为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1，0)，a2=(1，-1)，a3=(2，2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可以取_______.(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)思路分析:据题意，可知k1a1+k2a2+k3a3=0，即k1(1，0)+k2(1，-1)+k3(2，2)=(0，0).∴令k2=2，则k3=1，k1=-4.答案:-4，2，17.已知A(-1，2)，B(2，8)，=3，=-3，求点C、D和向量的坐标. 解：∵=(2，8)-(-1，2)=(3，6)，∴=3=(9，18).∴=+=(-1，2)+(9，18)=(8，20)，。
高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示、平面向
．平面向量的正交分解及坐标表示．平面向量的坐标运算学习目标.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量与的夹角是°，则称向量与垂直，记作⊥.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是°，且＝，以向量，为基底，如何表示向量?答案＝＋.思考在平面直角坐标系内，给定点的坐标为()，则点位置确定了吗？给定向量的坐标为＝()，则向量的位置确定了吗？答案对于点，若给定坐标为()，则点位置确定．对于向量，给定的坐标为＝()，此时给出了的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此的位置不确定．思考设向量＝()，为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？点坐标是多少？答案向量的坐标为＝()，点坐标为()．梳理()平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得＝＋.平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对(，)叫做向量的坐标，记作＝(，)．②在直角坐标平面中，＝()，＝()，＝()．()点的坐标与向量坐标的区别和联系思考 设，是分别与轴、轴同向的两个单位向量，若设＝(，)，＝(，)，则＝＋，＝＋，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ(λ∈)如何分别用基底，表示？ 答案 ＋＝(＋)＋(＋)， －＝(－)＋(－)，λ＝λ＋λ. 梳理 设＝(，)，＝(，)，段的终点的坐标减去始点的坐标．．相等向量的坐标相等．( √ )．在平面直角坐标系内，若(，)，(，)，则向量＝(－，－)．( × ) 提示 ＝(－，－)．．与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为：＝()，＝()．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例 如图，在平面直角坐标系中，＝，＝，∠＝°，∠＝°，＝，＝.四边形为平行四边形．()求向量，的坐标；()求向量的坐标；()求点的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解()作⊥轴于点，则＝·°＝×＝，＝·°＝×＝.∴(，)，故＝(，)．∵∠＝°－°＝°，∠＝°，∴∠＝°.又∵＝＝，∴，∴＝＝，即＝.()＝－＝.()＝＋＝(，)＋＝.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练在平面直角坐标系中，向量，，的方向如图所示，且＝，＝，＝，分别计算出它们的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解设＝(，)，＝(，)，＝(，)，则＝°＝×＝.＝°＝×＝，＝°＝×＝－，＝°＝×＝，＝(－°)＝×＝，＝(－°)＝×＝－.因此＝(，)，＝，＝(，－)．类型二平面向量的坐标运算例已知＝(－)，＝()，求：()＋；()－；()－.考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算解()＋＝(－)＋()＝(－)＋()＝()．()－＝(－)－()＝(－)－()＝(－，－)．()－＝(－)－()＝－＝.反思与感悟向量坐标运算的方法()若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．()若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．()向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练已知点()，()，向量＝(－，－)，则向量等于( )．(－，－) ．()．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析设(，)，则＝(，－)＝(－，－)，即＝－，＝－，故(－，－)，则＝(－，－)，故选.类型三平面向量坐标运算的应用例已知点()，()，()．若＝＋λ(λ∈)，试求λ为何值时：()点在第一、三象限的角平分线上；()点在第三象限内．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解设点的坐标为(，)，则＝(，)－()＝(－，－)，＋λ＝()－()＋λ[()－()]＝()＋λ()＝(＋λ，＋λ)．∵＝＋λ，且与不共线，∴则()若点在第一、三象限角平分线上，则＋λ＝＋λ，∴λ＝.()若点在第三象限内，则∴λ<－.反思与感悟()待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．()坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练已知平面上三点的坐标分别为(－)，(－)，()，求点的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－，－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－－)，且＝，得(－)，故点坐标为()或()或(－).．已知＝()，＝(，－)，则－等于( )．(－) ．(，－)．(－，－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析－＝()－(，－)＝＝(－)．．已知向量＝(，－)，＝(－，－)，则向量的坐标是( )．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析∵＝－＝(－)，∴＝.．已知四边形的三个顶点()，(－，－)，()，且＝，则顶点的坐标为( )．() ．()考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案解析设点坐标为(，)，则＝()，＝(，－)，由＝，得∴，∴.．已知向量＝(，－)，＝()，＝()，若＝＋，则＋＝.考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析由于＝＋，即()＝(，－)＋()＝(＋，－＋)，所以＋＝且－＋＝，解得＝，＝，所以＋＝.．已知点()，(－)，且＝，则点的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案()解析设(，)，则(－，－)＝(－)＝(－)，∴＝，＝.．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若(，)，(，)，则＝(－，－)．．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题．已知()，()，则的坐标是( )．(，－) ．(－) ．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析＝()－()＝(－)．．已知－＝()，＋＝(，－)，则等于( )．(－，－) ．()．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案．若向量＝()，＝(－)，＝()，则等于( )．－．＋．－＋．＋考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案解析设＝＋，则解得∴＝－.．已知两点()，(，－)，则与向量同向的单位向量是( )考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为与同向的单位向量为，＝(，－)－()＝(，－)，＝＝，所以＝.．如果将＝绕原点逆时针方向旋转°得到，则的坐标是( )．(－，)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为＝所在直线的倾斜角为°，绕原点逆时针方向旋转°得到所在直线的倾斜角为°，所以，两点关于轴对称，由此可知点坐标为，故的坐标是，故选.．已知(－)，(，－)，点是线段上的点，且＝－，则点的坐标为( )．(－) ．(，－)．() ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标．若α，β是一组基底，向量γ＝α＋β(，∈)，则称(，)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量在基底＝(，－)，＝()下的坐标为(－)，则在另一组基底＝(－)，＝()下的坐标为( ) ．() ．(，－)．(－) ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析∵在基底，下的坐标为(－)，∴＝－＋＝－(，－)＋()＝()．令＝＋＝(－＋，＋)，∴解得∴在基底，下的坐标为()．二、填空题．已知平面上三点(，－)，()，(－)，则－的坐标是．考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案(－)．已知(－)，(，－)，(－，－)，＝，＝，则的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案(，－)解析＝()＝()，＝()＝()，＝－＝()－()＝(，－)．.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则的值为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析以向量和的交点为原点建立平面直角坐标系，则＝(－)，＝()，＝(－，－)，根据＝λ＋μ得(－，－)＝λ(－)＋μ()，有－λ＋μ＝－，λ＋μ＝－，解得λ＝－且μ＝－，．已知()，()，且＝(α，β)，α，β∈，则α＋β＝. 考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案或－解析因为＝(－)＝＝(α，β)，所以α＝－且β＝，∵α，β∈，所以α＝－，β＝或－，所以α＋β＝或－.三、解答题．已知点(－)，()及＝，＝－，求点，和的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标解设点(，)，(，)，由题意可得＝(＋，－)，＝()，＝(－－－)，＝(－，－)．∵＝，＝－，∴(＋，－)＝()＝()，(－－－)＝－(－，－)＝()，则有和解得和∴，的坐标分别为()和(－)，∴＝(－，－)．．已知＝()，＝(－)，＝()，求＝＋＋，并用基底，表示. 考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量解＝＋＋＝()＋(－)＋()＝()＋(－)＋()＝()．设＝＋＝()＋(－)＝(－，＋)，与不共线，则有解得∴＝＋.四、探究与拓展．已知点(，－)与(－)，点在直线上，且＝，求点的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解设点坐标为(，)，＝.当在线段上时，＝.∴(－，＋)＝(－－－)，∴解得∴点坐标为.当在线段延长线时，＝－.∴(－，＋)＝－(－－－)，∴解得综上所述，点的坐标为或(－)．．已知点()，()，()，及＝＋.()为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？()四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解()＝＋＝()＋()＝(＋＋)，若点在轴上，则＋＝，∴＝－.若点在轴上，则＋＝，∴＝－，若点在第二象限，则∴－<<－.()＝()，＝－＝(－－)．若四边形为平行四边形，则＝，∴该方程组无解．故四边形不能成为平行四边形．。
高中数学第二章平面向量2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课件新人
AB
1.平面向量坐标的相关概念
【思考】 (1)正交分解与平面向量基本定理有何联系? 提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时). (2)向量的坐标就是其终点的坐标吗? 提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量 不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向 量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.
【拓展延伸】
线段定比分点坐标公式如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)
的点,且满足 | P 1 P |
|PP2 |
=λ,即 P 1 P
=λP P 2
,则点P的坐标为(x1＋x2， y1＋y2).
1＋ 1＋
【拓展训练】 证明上述命题的正确性.
【补偿训练】 已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分 A B 的比 λ的值.
3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4, 分别计算出它们的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法
(1)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (2)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
【题组训练】 1.(2020·济宁高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 A P ＝ A B ＋ A C
(λ∈R),试求λ为何值时, (1)点P在一、三象限角平分线上. (2)点P在第三象限内.
2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 O P ＝ O A ＋ tA B .是否存在t值,使四边形OABP 为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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量．为了加以区分，在叙述中，常说来自(x，y)或向量(x，y)．4．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述 加法 减法 数乘 向量坐 标公式 符号表示 两个向量和的坐标分别等于这两个 和 向量相应坐标的______ 两个向量差的坐标分别等于这两个 差 向量相应坐标的______ 实数与向量的积的坐标等于用这个 相应坐标 实数乘原来向量的____________ 一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的 坐标
x1＝x2， a＝b⇔ y1＝y2.
注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却 可以不同．
2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2)． (2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可 以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x，y)在平 面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向
(x1__ ＋_ x__ y1__ ＋__ y2 ) a＋b＝____ __ ______ 2， ( x1 － x2_ ， y1 － y2__ ) ____ a－b＝____ __ __ __ __ __ (λx1， λy 1) ____ λa＝________ __ ____
→ 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB x2__ －__ x1 ， y__ 2－ 1) ____ ＝____( __ __y __ __
1→ 1．已知 A(－5，－1)，B(3，－2)，是－2AB的坐标为 A．(8,1) C．(－8,1) 1 B．(－4，2) D．(－8，－1)
( B )
[解析]
→ AB＝(3，－2)－(－5－1)＝(8，－1)，
1→ 1 ∴－2AB＝(－4，2)．
2．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是 A．a＝(－2,4)，b＝(0,3) B．a＝(2,3)，b＝(3,2) C．a＝(2，－1)，b＝(3,7)
新课标导学
数 学
必修④ ·人教A版
第二章
平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
1 2
自主预习学案
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，如 何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？
|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
[解析] 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 2 则 a1＝|a|cos45° ＝2× 2 ＝ 2， 2 a2＝|a|sin45° ＝2× 2 ＝ 2， 1 3 b1＝|b|cos120° ＝3×(－2)＝－2，
3 3 3 b2＝|b|sin120° ＝3× 2 ＝ 2 ， 3 c1＝|c|cos(－30° )＝4× 2 ＝2 3， 1 c2＝|c|sin(－30° )＝4×(－2)＝－2． 3 3 3 因此 a＝( 2， 2)，b＝(－2， 2 )，c＝(2 3，－2)．
→ → → → → [解析] 由于AD⊥AB，则BD＝AD－AB是正交分解．
4．已知a＝(1,3)，b＝(－2,1)，则b－a等于
A．(－3,2) C．(－3，－2) B．(3，－2) D．(－2，－3)
( C )
互动探究学案
命题方向1 ⇨利用正交分解求向量的坐标
典例 1
在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向如图所示，且|a|＝2，
『规律总结』
求向量坐标的三个步骤：
平移 ―→ 将向量的始点移至坐标原点 ↓ 找出以x轴正向为始边，向量所在 求角 ―→ 射线为终边的角θ ↓ 根据x＝rcosθ，y＝rsinθr为向量的 求坐标 ―→ 模求终点坐标，即为向量坐标
3．向量与坐标的关系 → → (x__ ，__ y) ____就是终点 A 的坐标； 设OA＝xi＋yi， 则向量OA的坐标______ 反过来， → 坐标 就是向量OA 终点 A 的________ 的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一 个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是 一一对应 的． ____________
( D )
D．a＝(4，－2)，b＝(－8,4)
[解析] 1 D 选项 a＝－2b 共线，不能作基底．
3．如图所示，在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，下列是正交分解的是 ( B )
→ → → A．AB＝OB－OA → → → C．AD＝AB＋BD
→ → → B．BD＝AD－AB → → → D．AB＝AC＋CB
1．平面向量的正交分解 垂直 的向量，叫做平面向量的正交分 把一个平面向量分解为两个互相 ________ 解．
2．平面向量的坐标表示 相同 的两个 (1) 基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向 ________ 单位 向量i，j作为________ 基底 ． ________ 有且只有一 对实数x、y，使得a＝xi (2)坐标：对于平面内的一个向量a，______________ (x ， y)____叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其 ＋yj，我们把有序实数对______ __ __ x __轴上的坐标，y叫做向量a在____ y __轴上的坐标． 中x叫做向量a在____ (3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (1,0) (0,1) ，0＝_________ (0,0) (4)特殊向量的坐标：i＝________ ，j＝________ ．
[知识点拨]点的坐标与向量的坐标的联系与区别 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向 量仅由大小和方向决定，与位置无关． 1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身 的坐标． (2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则