方法第一章计算方法概论(2009-2010学年)

计算方法主讲：廖福成计算方法主要参考书：1.张晓丹等， 《应用计算方法教程》 ，机械 工业出版社，2008。

2.杨大地，王开荣， 《数值分析》 ，科学出 版社，2006。

3.关治，陆金甫， 《数值分析基础》 ，高等 教育出版社，1998。

4.关治，陆金甫， 《数值方法》 ，清华大学 出版社，2006。

5.吴勃英， 《数值分析》 高等教育出版社， ， 2007。

6.李庆扬，王能超，易大义， 《数值分析》 ， 华中科技大学出版社，2006，第四版。

计算方法第一章计算方法概论计算方法又称数值分析， 是计算数学的一个重要组成部 分， 它主要研究来自科学和工程中的数学问题的算法设计与 相关理论．本章首先介绍计算方法的意义、 任务， 其次介绍计算数 学的一些基本概念， 包括算法与效率、 计算机中数的浮点运 算，误差、问题的性态以及算法的数值稳定性等．上述概念 将贯穿到本教程的全部内容中．计算方法1.11.1.1引言计算方法的意义计算机的发展极大地扩展了数学的应用范围与能力，使得科 学计算平行于理论分析和科学实验成为人类探索未知领域，研究 现代科学技术的第三种手段．对于理论或实验方法难于完成的研 究，计算机模拟可以大大增强对所研究问题的认识． 科学计算的成败不仅与计算工具的先进性有关，而且与所用 计算方法的效能密切相关，计算方法对于计算速度的提高与增强 计算结果的准确性来说，与计算机硬件同等重要．这就导致了计 算方法研究领域的空前活跃，并形成了一门以原来分散在数学各 分支的计算方法为基础的新的数学分支—计算数学． 一系列与计算 数学相关的边缘学科，如计算力学、计算物理、计算电磁学、计 算化学、计算生物、计算地质与计算经济学等，也都相继出现了．计算方法1.1.2 数值计算方法研究的对象与特点数值计算方法：研究适合计算机进行科学计算的方法。

使用计算机、离散。

用计算机解决科学技术和工程问题的步骤:实际问题建立数学模型算法设计程序设计上机计算求得结果其中算法设计是本课程的主要内容。

计算方法又称数值 分析，它研究用计算机解决数学问题的数值算法及其结 论。

计算方法1.2算法与效率1.2.1 算 法解决某类数学问题的数值方法称为数值算法，它是 求解数学问题的过程的完整准确的描述。

为了使算法能 够在计算机上实现，必须将一个数学问题分解成为有限 次的四则运算。

计算方法算法常具有的基本特征：1、算法常表现为一个无穷过程的截断例1解计算 ln1.7 ．ln x 在 x0 = 1 的幂级数展开为( −1)k + 1 ln x = ∑ ( x − 1)k , 0 < x ≤ 2 ， k k =1∞从而( −1)k +1 ln1.7 = ∑ (0.7)k . k k =1∞计算方法这是一个无穷级数， 为计算它， 我们必须在适当的地方 “截断” ，使计算量不太大，精度又能满足要求。

( −1)k +1 令 Pn ( x ) = ∑ 我们希望对误差限 Tol 确 ( x − 1)k ， k k =1n定 n ，使近似值 Pn (1.7 ) 满足ln 1.7 − Pn (1.7 ) < Tol .计算方法∞ ( −1)k +1 k 由级数理论，交错级数 ∑ (0.7 ) = ∑ ak 的余项满足 k k =1 k =1 ∞ln 1.7 − Pn (1.7 ) < an +1 ,当 an +1 < Tol 时，有 ln 1.7 − Pn (1.7 ) < Tol ．基于上述讨论，给出如下算法计算方法%算法 x=0.7; tol=10^(-5); n=1; p=x; s=0; term=p; t=-1; while abs(term)>=tol n=n+1; t=-t; s=s+t*term; p=p*x; term=p/n; end disp(s); disp(n);计算方法% input 自变量 1.7, % 误差限 Tol = 10 ； % t 用来定义符号。

% abs( x ) 表示 x 的绝对值。

−5应用此算法求得： n =24, s= 0.530633026589034. (ln(1.7)=0.530628…) 用简化问题的解作为原来问题的近似解， 或构造迭代法 逼近问题的解， 涉及到方法的收敛性问题． 因此构造和分析 此类算法，必须讨论它的收敛性和误差估计．计算方法2、算法常表现为一个连续过程的离散化1 例 2. 计算积分 I = ∫ dx 0 1+ x1解、把区间 [0,1] 分成 4 等分，分别计算 4 个小曲边梯形的1 面 积 ， 加 起 来 作 为 积 分 的 近 似 值 。

记 f ( x) = ，取 1+ x f ( xi ) + f ( x i + 1 ) 1 h h = , xi = ih, i = 0,1, 2, 3, 4 ， Ti = 2 4则3 1 I=∫ dx ≈ ∑ Ti = 0.697024 0 1+ x i =0 1而精确值为 0.693147 ，可见精度不高。

如进一步划分区间，可 提高精度。

计算方法%a=0,b=1 a=0;b=1; n=input('输入区间等分数 n (n>0'); h=(b-a)/n; T=0; for i=0:n-1 T=T+(Hanshu_f(a+i*h)+Hanshu_f(a+(i+1)*h))*h/2； end disp(T);%函数 Hanshu_f.mfunction f=f(x); f=1/(1+x)计算方法3、算法常表现为“迭代”的形式“迭代”是指一简单算法的多次重复，后一次使用 前一次的结果。

这在程序中表现为“循环” ，易于编写 计算机程序。

例 3 计算多项式p( x ) = a n x + a n − 1 xnn −1++ a1 x + a0的值．计算方法解：用 t k 表示 x ， uk 表示 ak x +k k+ a1 x + a0 ，作为初始值，令⎧ t0 = 1 ⎨ ⎩ u0 = a0对 k = 1, 2,, n ，反复执行 ⎧ t k = xt k −1 ⎨ ⎩ uk = uk −1 + ak t k (*)易见p( x ) = un式（*）是一个简单算法的多次循环。

计算方法p( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 ++ a1 x + a0此算法程序 % inputx, n, a(1), a( 2), ,n +1, a( n + 1), 这里a(i ) = ai −1 , i = 1,% output u=p(x)t = 1; u = a(1) for i = 1 : n t = x * t; end u = u + a(i + 1)* t;计算方法此问题还有一种更好的迭代算法p( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + = ( an x n −1 + an −1 x n − 2 ++ a1 x + a0 + a1 ) x + a0 a2 ) x + a1 ) x + a0 + a1 ) x + a0= ((an x n − 2 + an −1 x n− 3 + = ( ( an x + an −1 ) x +令v0 = an ⎧ ⎨ ⎩ vk = xvk −1 + an− k于是 p( x ) = vn 。

后一算法计算量小。

计算方法(**)此算法程序 % input x, n, a(1), a( 2), 这里 a(i ) = ai −1 , i = 1,, a( n + 1), ,n +1%. output v(1)=p(x) 1. v(n+1)= a(n+1); 2. for k=n:-1:1 v(k)= x*v(k+1)+a(k); end计算方法例如，计算 p( x ) = 6 x + 90.6 x + 7.8 x + 2.5 x + 4 ， x = 2.344 3 2n=4; a(1)=4;a(2)=2.5;a(3)=7.8; a(4)=90.6;a(5)=6;x=2.34; %. output v=p(x) v= a(n+1); for k=n:-1:1 v= x*v+a(k); end v计算方法例 4 不用开方计算 a (a > 0) 的值。

解：在高等数学里已学过，数列xk +11 a = ( xk + ), k = 0,1, 2, 2 xk收敛，且极限为 a 。

我们利用此式计算。

设 x0 是 a 的一个近似值， x0 > 0 ，则a 也是 a 的一个近 x0似值，且 x0 与a 中必有一个大于 a ，一个小于 a ，可以设想它 x0们的平均值应是 a 的一个更好的近似值。

于是有了以上算法。

计算方法例如计算 3 ，取 x0 = 2 ，有xk +1 =计算有1 3 ( xk + ), k = 0,1, 2, xk 2 x0 = 2 x1 = 1.75 x2 = 1.7321429 x3 = 1.7320508a=3;x=2; n=5; for k=1:n k, x=1/2*(x+a/x) end可见此算法收敛速度极快，只算三次就得到 8 位有效数字。

迭代法应用时要考虑是否收敛，收敛条件和收敛速度等。

计算方法1.2.2 算法的效率同一个数学问题可能有多种数值算法，我们要做出选 择．评价一个算法的好坏主要有两条标准：算法的计算效率 和计算结果的精度．我们自然应该选择计算效率高又能满足 精度要求的算法．算法的计算效率是由它的计算工作量体现 的．一般地，将计算机完成一次浮点加（减）法或乘（除） 法 运 算 称 为 一 次 浮 点 运 算 ， 记 作 flop ( floating point operation)．我们将一个算法所需四则浮点运算的总次数定义 为它的计算量，单位是 flop. 由于计算机做加减法比做乘除 法快得多，故在统计计算量时，可忽略算法所含加减法的运 算次数，将算法的计算量简化为该算法所需乘法和除法运算 的总次数．通常，算法的计算量越小，它的计算效率就越高．计算方法例 5 再次讨论多项式p( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 +的计算问题．+ a1 x + a0⎧ t0 = 1 解：算法 1 ⎨ ⎩ u0 = a0 ⎧ t k = xt k −1 , ⎨ ⎩ uk = uk −1 + ak t k k = 1, 2, ,n (*)p( x ) = un计算量为 N=2nflop。

计算方法算法 2p( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + = ( an x n −1 + an−1 x n − 2 ++ a1 x + a0 + a1 ) x + a0 a2 ) x + a1 ) x + a0 + a1 ) x + a0= ((an x n− 2 + an−1 x n− 3 + = ( ( a n x + a n −1 ) x +令v 0 = an ⎧ ⎨ ⎩ vk = xv k −1 + an− k于是 p( x ) = vn 。