16第十六讲 成本最小化
成本最小化公式
成本最小化公式摘要：一、引言二、成本最小化公式的概念与意义三、成本最小化公式的推导与计算四、成本最小化公式在实际应用中的案例分析五、结论正文：一、引言成本最小化是企业在生产、经营过程中追求的目标之一。
为了降低成本、提高效益，企业需要对各项成本进行分析和控制。
成本最小化公式作为一种理论工具，为企业实现成本最小化提供了依据。
本文将围绕成本最小化公式展开讨论，分析其概念、意义、推导方法以及在实际应用中的价值。
二、成本最小化公式的概念与意义成本最小化公式是一种数学模型，用于描述在一定条件下实现成本最小化的方法。
它可以帮助企业在生产、经营过程中，通过对各项成本进行量化、比较和优化，找出成本最低的生产要素组合，从而实现成本最小化。
成本最小化公式具有重要的实践意义，它为企业降低成本、提高效益提供了理论指导。
三、成本最小化公式的推导与计算成本最小化公式可以根据不同的成本类型和生产要素进行推导。
以下是成本最小化公式的一般推导过程：1.设定成本函数：C(x1, x2, ..., xn) = a1x1 + a2x2 + ...+ anxn，其中x1、x2、...、xn 为生产要素的数量，a1、a2、...、an 为生产要素的单位成本。
2.求导数：dC/dx1 = a1, dC/dx2 = a2, ..., dC/dxn = an3.令导数等于零，求得临界点：dC/dx1 = a1 = 0, dC/dx2 = a2 = 0, ..., dC/dxn = an = 04.计算最优生产要素组合：x1* = x1 临界点，x2* = x2 临界点，..., xn* = xn 临界点5.代入成本函数，求得最优成本：C 最小= C(x1* x2* ...xn*)四、成本最小化公式在实际应用中的案例分析以一家制造企业为例，该企业生产一种产品，需要投入劳动力、原材料和设备等生产要素。
企业可以通过成本最小化公式，找出实现成本最小化的最优生产要素组合。
成本最小化公式
成本最小化公式（最新版）目录1.成本最小化公式的定义与意义2.成本最小化公式的计算方法3.成本最小化公式的应用实例4.成本最小化公式在实际生活中的作用正文【1.成本最小化公式的定义与意义】成本最小化公式是一种经济学中的基本概念，用于描述在特定条件下，如何使总成本最小化的方法。
在生产、经营和其他领域中，成本最小化公式具有重要的实际意义。
它可以帮助企业降低成本、提高效益，从而在竞争激烈的市场中获得优势。
【2.成本最小化公式的计算方法】成本最小化公式的计算方法通常分为以下几个步骤：（1）确定目标函数：首先要明确企业要实现的目标，例如利润最大化、成本最小化等。
在此基础上，确定目标函数。
（2）确定约束条件：根据生产、经营过程中的实际情况，确定影响成本的各项因素，并设置相应的约束条件。
例如，生产过程中可能受到原材料、人工、设备等资源的限制，这些限制可以作为约束条件。
（3）确定变量和参数：确定影响成本的各项变量和参数，例如生产数量、原材料价格等。
（4）构建线性规划模型：根据目标函数、约束条件和变量参数，构建线性规划模型。
（5）求解最优解：通过求解线性规划模型，得到使成本最小化的最优解。
【3.成本最小化公式的应用实例】以一家生产电子产品的企业为例，假设该企业的目标是在保证产品质量的前提下，使生产成本最小化。
那么，该企业可以运用成本最小化公式进行计算。
首先，确定目标函数为“总成本最小化”；其次，确定约束条件，如生产数量、原材料价格、人工成本等；然后，确定变量，如生产数量、原材料价格等；接着，构建线性规划模型；最后，通过求解模型，得到最优的生产数量和原材料价格，从而实现成本最小化。
【4.成本最小化公式在实际生活中的作用】成本最小化公式在实际生活中的作用主要体现在以下几个方面：（1）帮助企业降低成本：通过运用成本最小化公式，企业可以找到最优的生产方案，从而降低生产成本。
（2）提高企业竞争力：在市场竞争激烈的环境下，降低成本是提高企业竞争力的有效途径。
成本最小化
成本最小化在本章中我们把企业的利润最大化行为分为两部分，其一是企业如何在即定的产量下最小化其成本，第二部分是企业如何确定一个最优的产量。
1 成本最小化实际上是在产量既定的约束条件下,最小化企业的投入成本,企业成本是成本最小化的结果,企业的成本函数为yxf t swxywc==)(..min),(,),(ywc叫做最小成本函数,wx是成本计算方程,前者括号中自变量为环境约束变量y w,,数得一阶条件为:yxfxxfwii==∂∂-)(*)(*λ,对i和j的一阶条件相除得jjx∂,等号前的部分叫做economic rate of substitution等号后的部分叫做technical rate of substitution,成本最小化点为等成本线与等产量线的切点,并且在该点等产量线要在等成本线上方。
在该规划中要素投入量x i为控制变量，企业的无论是成本最小化还是利润最大化的优化行为的实质是确定各种要素的投入量，也就是合理的分配在各种要素上投入的费用。
2 范围经济是与联合生产有关联的，当一个企业以同一种资源生产一种以上的产出品时，由于生产活动维度的增加即生产范围在横向上的扩展所带来的效益增进，叫范围经济。
第二十章：成本曲线1边际成本MC线经过AC和A VC线的最低点，MC的积分为总变动成本，由于一个要素投入组合是生产某一产量的最有效的规模，所以该产量位于短期平均成本线的最低点，而长期平均成本线是生产各个产量的最优的要素组合，所以该短期平均成本线的最低点必位于长期平均成本线上。
2边际成本线是先降低后升高的，在产量为0的时候，边际成本与平均变动成本时是相同的。
(精品) 微观经济学课件：成本最小化
x2
4x1 = x2
产出为y’的最小成本 投入束位于何处？
x2* = y
x1* = y/4
min{4x1,x2} y’ x1
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}
条件要素需求函数为：
x*1( w1,
w2,
y)
y 4
且
x*2( w1, w 2, y) y.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}
条件要素需求函数为：
x*1( w1,
w2,
y)
y 4
且
x*2( w1, w 2, y) y.
厂商的总成本函数为：
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y)
w 2x*2 ( w1, w 2 , y)
成本最小化的完全互补品的例子
2/ 3
y
w
2
2w1 w2
1/ 3
y
12
2/ 3
w11/ 3 w
2/ 2
3y
21/ 3
w11/
3w
2/ 2
3y
3
w1w 4
2 2
1/ 3
y.
成本最小化的完全互补品的例子
厂商的生产函数为：
y min{4x1, x2}.
给定投入要素价格w1 和 w2 。 厂商对于要素1和2的条件需求为多少？ 厂商的中成本函数为什么？
)1/ 3
2w1 w2
x*1
2/3
2w1 w2
2/3
x*1.
成本最小化的柯布-道格拉斯例子
(a) y (x*1 )1/3(x*2 )2/3
成本最小化
条件投入需求
给定w1, w2和y， 最小成本 投入组合是 如何确定的？
总成本函数是如何计算？
等成本曲线
包含相同成本的投入组合的曲线就是等 成本曲线。
例如，给定w1和w2， $100等成本线方 程为
w1x1 w2x2 100.
等成本曲线
一般地，给定w1和w2，等成本线的方程 为
x1 ,x 2 0
s.t. f (x1, x2 ) y.
成本最小化 问题
最小成本投入组合中的x1*(w1,w2,y)和 x1*(w1,w2,y) 是厂商对投入1和2的条件需 求（条件需求）
生产y单位产出的（最小的可能）总成本产 出是
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y).
第二十章
成本最小化
成本最小化
一个厂商是成本最小化者（costminimizer），如果对于任意给定产出水 平y 0 ，它总是尽可能使用最小的总成 本。
c(y)代表厂商为制造y单位产出可以达到 的最小的总成本。
c(y)是厂商的总成本函数。
成本最小化
当厂商面临给定的投入价格w = (w1,w2,…,wn) 时，总成本可以写作 c(w1,…,wn,y).
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化问题
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
成本最小化 问题
x2 所有能得到y’单位产出的投入组合 中，哪一个最便宜？
f(x1,x2) y’ x1
(b)等成本线斜率= 等产量线斜率
成本最小化(范里安微观经济)
* 1/ 3 * 2/ 3 y ( x (x2 ) (a) 1) 2w 1 * * x1 . 由 (b)可知, x 2 w2
w 1 x* 2 . (b) w 2 2x* 1
* 1/ 3 * 2/ 3 y ( x (x2 ) (a) 1) 2w 1 * * x1 . 由 (b)可知, x 2 w2 将其代入（a）可得：
4
4
完全替代技术
y( x1, x2 ) x1 x2
x2
若
w1 w2
，厂商只用要素2
c(w1, w2 , y) w2 y
x1
x2 若
w1 w2
，厂商只用要素1
c(w1, w2 , y) w1 y
x1
c( w1 , w2 , y ) min w1 y, w2 y
min w1, w2 y
x1
* * x1 ( y ) x1 ( y) x* 1 ( y )
x* 1
几个例子
－完全替代 －完全互补 －柯布－道格拉斯技术
完全互补技术
y minx1 , x2
x x y
* 1 * 2
最小成本将是：
c(w1, w2 , y) w1 y w2 y
x2
4x1 = x2
c(y’)
y’ 2y’
y
$
c(2y’)
c(y)
c(y’)
y’ 2y’ y
递增的规模报酬和总成本
$ c(2y’)
c(y’)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’). 斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
y’
2y’
y
$ c(2y’)
c(y’)
c(y)
成本与成本最小化
机会成本是指生产者所放弃的使用相同的生产要素在其他生产用途中所能获得的最高收入。
企业生产的显成本是指厂商在生产要素市场上购买或租用他人所拥有的生产要素的实际支出。
企业生产的隐成本是指厂商自己所拥有的且被用于自己企业生产过程的那些生产要素的总价格。
企业的所有的显成本和隐成本之和构成总成本。
企业的经济效益指企业的总收益和总成本之间的差额。
正常利润通常指厂商对自己所提供的企业家才能的报酬支付。
等成本线是在既定的成本和生产要素价格条件下，生产者可以购买到的两种生产要素的各种不同数量组合的轨迹。
厂商应该选择最优的生产要素组合，使得两要素的边际技术替代率等于两要素的价格之比，从而实现既定产量条件下的最小成本。
为了实现既定产量条件下的最小成本，厂商应该通过对两要素投入量的不断调整，使得花费在每一种要素上的最后一单位的成本支出所带来的边际产量相等。
只有在两要素的边际技术替代率和两要素的价格比例相等时，生产者才能实现生产的均衡。
厂商可以通过对两要素投入量的不断调整，使得最后一旦文的成本支出无论用来购买哪一种生产要素所获得的边际产量都相等，从而实现既定成本条件下的最大产量。
在生产要素的价格，生产技术和其他条件不变时，如果企业改变成本，等成本线就会发生平移；如果企业改变产量，等产量曲线就会发生平移。
这些不同的等产量曲线将与不同的成本线相切，形成一系列不同的生产均衡点，这些生产均衡点的轨迹就是扩展线。
扩展线是厂商在长期扩张或收缩条件时所必须遵循的最优路径。
长期总成本表示在每一个产量水平上的最小的生产成本。
短期总成本表示在每一个产量水平上的最小生产成本。
成本最小化——精选推荐
Ô总生产成本增长幅度大于1倍。
Ô平均生产成本上升。
20.4 短期成本和长期成本
短期成本函数被定义为在只有可变生产要素可以调 整的情况下，生产既定水平的产量的最小成本，
长期成本函数则表示在一切生产要素都可调整的情 况下，生产既定产量的最小成本。
c( y) = 2 y2 + 1000
AC=C(y) =2y+1000
y
y
AVC=TVC(y) =2y y
MC =C' (y) =4y AFC= F =1000
yy
min{AC = C(y) = 2y +1000}
y
y
⇒ y =10 5 AC = 40 5 AVC = 20 5
min{AVC = TVC(y) = 2y} y
¾长期边际成本曲线是与在不同的产出水平上最优 生产规模相对应的短期边际成本曲线的连线。
C
C
STC3
STC1 STC2
LTC
LMC SMC3 S
LAC
SAC1SMC1
SAC3 SMC2
SAC2
P
R
0
y0
y1
y2
y3
y
练习
对于生产函数 y = k1/ 4 L1/ 4 ，有两种可变投入K、L，资本的
租赁价格为1元，劳动的工资为1元，固定投入为1000元。 1）写出成本曲线。 2）计算AC, AVC, AFC, MC 3）计算minAC和minAVC时的AC,AVC,y。
w2
MP2
at
(x*1, x*2 ).
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2018/1/4
三、显示的成本最小化 1．显示成本最小化弱公理（产量固定） 假定观察到两组要素价格 w ,w 和 w ,w ，与此相应的 厂商的选择分别为 x ,x 和 x ,x 。如果每一种选择按相应 的价格都是成本最小化的选择，那么一定有：
t 1 t 2
s 1 s 2
一、成本最小化 1．成本最小化数理形式 成本最小化的问题就是在生产既定产量y的条件下 的最优投入选择。最优化问题的数学形式为：
min w1 x1 w2 x2
s.t. f x1 , x2 y
x1 , x2
数理方法可得成本最小化条件：
w1 MP 1 x w2 MP2 x
2．沉没成本 沉没成本也称为沉淀成本，是指已经发生而无法收 回的支出。 沉没成本通常是可见的，但一旦发生以后，在做出 经济决策之时经常被人们忽视。由于它是无法收回的， 因而不会影响企业的决策。
1 2 1 2
p2 数理方法解得： x1 4w12
（2）既定产量水平的最小成本选择的数学表达式为：
min w1 x1 w2 x2
x , x2 1
s.t. x1 x2 y
求解可得：
x1
x ， w w 此即为条件要素需求函数，表示既定产量水平的最 小成本选择。
w
1 w2
x1 x1 y
x2 x2 y
长期成本函数也可以记为：
c y cs y, x2 y
该方程表示，在所有要素都可自由变动时的最小成 本，恰好就是要素2固定在使长期成本最小化的水平上 时的最小成本。
六、成本概念 1．不变成本和准不变成本 不变成本是指与不变要素（固定要素）相关的成本 ，即不论企业生产与否都必须支付的成本。 准不变成本是指与产量无关的成本，只要企业生产 一定单位的产量，它就必须支付这种成本。 长期不存在不变成本，但却可能有准不变成本。
c(w1 , w2 , y) min w1 y, w2 y min w1 , w2 y
3．柯布-道格拉斯生产函数
b f x1 , x2 x1a x2
最优化问题为：
min w1 x1 w2 x2
x1 , x2
b s.t.x1a x2 y
数理方法可得：
a x b
2018/1/4
2．显示成本最小化弱公理的应用 将上述不等式整理得：
w w x
t 1 s 1
t 1
t s x1s w2 w2 x2t x2s
w1x1 w2 x2 0 得： 如果第一种要素的价格上涨，而第二种要素的价格保持不变 ，即 w2 0 ，那么：
w1x1 0
即：其他要素价格固定的情况下，某要素价格与该要素需求 呈反向变化关系。因此，有条件的要素需求曲线必定是向下倾斜 的。
2018/1/4
假设某种产品生产需要两种要素，当要素价格组合 是（1，2）时，要素的使用量为（3，4），而当要素价 格组合是（2，1）时，要素的使用量为（4，3），同时 假设在以上两种情形下产出相同。企业的行为是否违背 成本最小化的弱公理？（ ）[上海财经大学801经济 学2010研] A．是的 B．不是 C．取决于可变生产要素与固定生产要素的比例 D．取决于固定要素和产品的价格的情况 【答案】A
2 2 w2 y
w12 y 222212
（3）条件要素需求函数与要素需求函数的区别是： 条件要素需求函数给出的是既定产量水平下的成本最小 化选择，实现利润最大化的要素需求则给出了既定产出 品价格下的利润最大化选择。通常有条件的要素需求曲 线是观察不到的，它们是一个假定的定义。它回答的是 这样一个问题：如果厂商以经济的方式生产某个既定的 产量，它们将如何选择每种要素的使用量。
假设生产函数为 f x , x x x 。产品的价格为p， 生产要素1和2的价格分别为 w 和 w2 。 （1）求要素需求函数和产出函数供给函数； （2）求条件要素需求函数； （3）要素需求函数和条件要素需求函数之间存在什 么关系？[上海交通大学841经济学（Ⅰ）2010研]
1 2 1 2
1
解：（1）厂商利润函数为：
pf TC p
x1 x2 w1 x1 w2 x2
p2 x2 ， 2 4 w2
。 此即为要素需求函数，表示既定产出价格下利润最 大化选择。 p p 代入生产函数，可得 f x , x 2w 2w ，此即为产出供 给函数。
范里安《微观经济学：现代观点》
第十六讲 成本最小化
主讲老师：郑 炳
郑炳，经济学、金融专硕考研辅导第一人，经管类考研权 威教辅图书主编，跨考经济学、金融专硕项目创始人。 （1）效果：至今已帮助数万考生成功考上目标院校，其中以 人大、央财、上海财大等名校居多。 （2）优势：七年专注经济学、金融专硕考研辅导，熟谙经济 学、金融专硕考研命题规律和考题特色。 （3）成就：主编的教辅图书全国第一。坊间有言：没有用过 炳哥的书，听过炳哥的课，考研估计没戏。
1 b a b
w
b a b 1
w
b a b 2
y
1 a b
a x2 b
a a b
a
w1a b w2 a b y a b
a
1
成本函数：
b a a b 1 a b a b a a w a b w a b y a b C w1 x1 w2 x2 2 b 1 b
四、规模报酬和成本函数 平均成本函数：
AC
c w1 , w2 , y y
1．规模报酬不变 规模报酬不变时，成本是产量的线性函数，1单位成本函数 c w1 , w2 ,1 ，则生产y单位产量的最小成本为 c w1 , w2 ,1 y 。
2018/1/4
2．规模报酬递增
c w1 , w2 , y < c w1 , w2 ,1 y AC w1 , w2 , y < c w1 , w2 ,1 y y c w1 , w2 ,1
2．成本最小化的图示 在最优选择处，等产量线与等成本线（对应的等成 C w1 x1 w2 x2 ）相切，此时厂商的技术替代率 本方程为： 等于要素的价格比率，即有： MP x w 1 TRS 1 MP2 x w2
图16-1 成本最小化
3．条件要素需求函数 在成本最小化问题中，每一种要素的最优使用量都 w2 和y 的函数，这就是条件要素需求函 可以表示成 w1、 数，表示给定要素价格以及产量水平下的厂商的最优要 素选择。 将条件要素函数代入成本方程 C w1 x1 w2 x2 即可得到 成本函数，度量给定要素价格下生产既定产量的最小成 本。
t 1 t 2 s 1 s 2
t t t t t s t s w1 x1 w2 x2 w1 x1 w2 x2
s s t s t w1s x1s w2 x2 w1s x1 w2 x2
成本最小化的弱公理（WACM）：如果厂商总是选择成 本最小化的方法生产y单位的产量，那么，它在t期和s期的 选择必定满足上述不等式。
二、特定技术下的成本最小化 1．完全互补的技术 生产函数： f x1 , x2 min x1 , x2 最小生产成本为：
c w1 , w2 , y w1 y w2 y w1 w2 y
2．完全替代的技术 生产函数： f x1 , x2 x1 x2 由于要素1和要素2是完全替代品，厂商显然会使用 价格较低的要素。因此：
3．规模报酬递减
c w1 , w2 , y > c w1 , w2 ,1 y AC w1 , w2 , y > c w1 , w2 ,1 y y c w1 , w2 ,1
结论：规模报酬递增、不变、递减分别对应AC曲线下降、不
变、上升。
2018/1/4
五、长期成本和短期成本 假定要素价格固定在事先确定的水平上，则长期的 要素需求可以记为：